4 NHAN DANG TAM GIAC

Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng CHƯƠNG II: NHẬN DẠNG TAM GIÁC  Để làm tốt loại tập này, ta cần nhớ điều sau:  Nắm vững công thức lượng giác kết hợp góc liên quan đặc biệt (bù, phụ), hệ thức lượng tam giác  Nên thuộc đẳng thức, bất đẳng thức quen thuộc tam giác để tránh biến đổi không cần thiết  Giải toán nhận dạng tam giác ta thường:  Đối với toán biến đổi đẳng thức: đưa phương trình tích  Đối với toán sử dụng bất đẳng thức: đẳng thức xảy tam giác cần nhận dạng  Dựa vào phương pháp giải mà ta phân loại sau:  Bài toán 1: sử dụng phép biến đổi đẳng thức  Bài toán 2: sử dụng bất đẳng thức BÀI 1: SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG THỨC Một số đẳng thức quen thuộc tam giác: Cho tam giác ABC có: A B C cos cos 2 A B C 2) cos A  cos B  cos C  1 4sin sin sin 2 3)sin A  sin B  sin 2C  4sin A sin B sin C 4) cos A  cos B  cos C 1 cos A cos B cos C 1)sin A  sin B  sin C  cos 5) sin A  sin B  sin C  2(1  cos A cos B cos C ) Để ý tam giác ABC vuông cos A  � �� cos B  � � cos C  � Như vậy, từ đẳng thức (4) (5) ta có toán sau: Hãy nhận dạng tam giác ABC neáu bieát: a) cos A  cos B  cos C  b) sin A  sin B  sin C  Nhóm học sinh lớp 11A1 47 Chương 2: Nhận dạng tam giác I NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG: Một số phương pháp nhận dạng tam giác vuông: Giả sử có VABC, chứng minh VABC vuông A, ta chứng minh:  � � cos A =0 � sin �  A �=0 � sin A =1 �2 �  sin B = cos C Bài 1: (Đề 121/III) Chứng minh tam giác ABC sin A + sin B + sin C =  cos A + cos B + cos C ABC tam giác vuông Lời giải: Trong VABC ta dễ dàng chứng minh sin A  sin B  sin C  cos A B C cos cos 2  cos A + cos B + cos C = 4sin A B C cos cos 2 Vậy từ giả thiết ta có: cos A B C A B C cos cos  4sin cos cos 2 2 2 � cos A A  sin 2 A �tg 1 A  �  2 Vậy tam giác ABC vuông A Bài 2: Cho VABC thỏa mãn hệ thức: sin A  sin B  sin C   cos A  cos B  cos C Chứng minh VABC tam giác vuông Lời giải: Đẳng thức cho tương đương với đẳng thức sau: 2sin A B A B C C A B A B C cos  2sin cos  cos cos  cos 2 2 2 2 � cos C � A B C� C � A B C� cos cos � sin � cos cos � � 2� 2� 2� 2� Từ (1) có hai khả năng: Nếu: cos A B C A B C  cos  � cos  cos 2 2 Năm học 2006 – 2007 48 (1) Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng Khi ta có là: A  B  C � A  B  C � A  900 B  A  C � B  C  A � B  900 Hoặc là: Nếu: cos A B C C C C  cos �0 � cos  sin � tg  2 2 � C  450 � C  900 nhö trường hợp ABC tam giác vuông Bài 3:(Đề 45/II2) Chứng minh sin A  sin B  4sin A.sin B ABC tam giác vuông Lời giải: Theo công thức biến đổi tổng thành tích tích thành tổng ta coù sin A  sin B  2sin  A B  cos  A B  4sin A.sin B  � cos A B  cos A B  � � � Nếu từ giả thiết ta có sin  A B  cos  A B   cos  A B   cos  A B  � cos  A B  � 1sin  A B  � � � cos  A B  A B � � A B A B sin A B � cos A B  � cos sin �cos 2 � 2 � A B � � A B �� A B A B � � � A B � A B �� cos sin cos  A B  � cos sin  cos sin 0 �� � � � � 2 � 2 �� 2 � � � � � Mà biểu ngoặc vuông viết thành �A B � �A B � cos � cos A B  1�  sin � cos A B  1� �� �� � � � � �2 � �2 � A B A B A B A B 2sin  sin cos 0 2 2 A B A B A B � � A B cos ,2sin 0,sin �0,2 cos 0 � � 2 2 � �   cos nên ta phải có cos A B A B A B C  sin �  2 2 Vậy tam giác ABC vuông C Bài 4: (Đề 19/II1) Xác định tam giác ABC thỏa mãn hệ thức: Nhóm học sinh lớp 11A1 49 Chương 2: Nhận dạng tam giác c  c.cos B  sin B Lời giải: Hệ thức cho viết thành c  1cos B   2b sin B.cos B � sin C.2sin B  2sin B.cos B � sin C cos B (vì sin B �0 ) Vì sin C sin B hai góc tam giác nên �  C   B  1 � � sin C  cos B � �  � C   B  � Trường hợp (1) tam giác ABC vuông sin A Trường hợp (2) ta có góc C  B   VABC giả vuông A Bài 5:((Đề 24/III2) Trong tam giác ABC, gọi r , r , r , r laàn A B C lượt bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A,B,C Chứng minh rA  r  rB  rC tam giác ABC vuông Lời giải: Theo công thức tính diện tích tam giác dựa vào bán kính vòng tròn nội tiếp bàng tiếp Ta có S  p.r   p  a  rA   p  b  rB   p  c  rC neân rA  r  rB  rC S S   pa p 1 �   pa p � � S  p b  p b S p c p c p   b  c a  p  p  a  p  b  p  c � p  p  a   p  b  p  c �  pa  bc  p  b  c  � p  b  c  a   bc �  b  c   a2 Vậy tam giác ABC vuông A Năm học 2006 – 2007 50 Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng II NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN Bài 1: Tam giác ABC có tính chất neáu tgA  tgB  cot g C Lời giải: Do A, B, C góc tam giác nên cot g C A B  tg 2 Vậy hệ thức cho viết thành: tgA  tg A B A B  tgB  tg 0 2 A B B A sin 2 �  0 A B A B cos A.cos cos B.cos 2 sin A � � A B cos sin �0 � � 2 � � neân ta coù sin A B � 1 �  � � �cos A cos B � � A B sin 0 �� � cos Acos B � � A B Vậy tam giác A, B, C cân C Nhận xét: Bài toán giải phương pháp bất đẳng thức Thực chất toán tìm (tam giác ABC có tính chất đẳng thức xảy ra) bất đẳng thức sau: tgA  tgB �2tg A B (Trong moïi tam giác nhọn ta có bất đẳng thức trên) Thật tam giác có góc nhọn ABC ta coù: tgA  tgB  sin  A B  cos A cos B maø cos A cos B  cos  A B  cos  A B  �1  cos  A B   cos A B A B 2sin cos 2  2tg A B neân tgA  tgB � A B cos 2 Đẳng thức xảy cos  A B   � A  B Nhóm học sinh lớp 11A1 51 A B Chương 2: Nhận dạng tam giác Bài 2: (Đề 90/III2) Chứng minh VABC có tgA  2tgB  tgA.tg B tam giác ABC cân Lời giải: ta có tgA  2tgB  tgA.tg B � tgA  tgB  tgA.tg B  tgB   tgAtgB 1 tgB � tgA tgB tgB 1tgAtgB 1tgAtgB �0   A B � �tgAtgB �� � tg  A B  tgB � tgC tgB �C  B 0 A, B,C   Vậy VABC cân A Nhận xét: Với toán ta giải cách đưa phương trình bậc hai với ẩn t tgB : tgA.t  2t  tgA  Với nghiệm t ta có phương trình tgB  t Cuối suy tính chất tam giác ABC Bài 3: (Đề 7/II2) Tam giác ABC có tính chất nếu: a.tgA+b.tgB=  a+b  tg A B Lời giải: Theo định lí hàm số sin ta có a=2R sin A , b=2R sin B nên từ hệ thức cho ta vieát A B A B � A B � � � � sin A.�tgA tg + sin B.�tgBtg =0 � � � � � � sin A.tgA+ sin B.tgB=  sin A sin B  tg Theo công thức tga  tgb  sin  a b  ta coù cos a.cos b A B B A sin 2 sin A  sin B 0 A B A B cos A.cos cos B.cos 2 sin Năm học 2006 – 2007 52 Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng Vì cos A B A B B A �0,sin   sin nên hệ thức cho viết thành 2 sin A B �sin A sin B �  � � �cos A cos B � � A B sin 0 �� �AB � tgAtgB � Vậy tam giác ABC cân C Bài 4: (Đề 39/II) Tam giác ABC có cạnh góc thỏa mãn hệ thức 1 cos B  sin B 2a  c 4a  c Chứng minh ABC LÀ tam giác cân Lời giải: Ta có B B cos cos 1 cos B   B B B sin B 2sin cos sin 2 Bình phương hai vế ta B 2   2a  c   2a  c �  cot g B   2a  c B 4a  c 2a  c 2a  c sin 2 cos � 4a  � 2a  c  2a  1 cos B  � c  2a cos B B a  c sin mà theo định lí hàm số sin có b  a  c  2ac cos B Vaäy b  a  c  c � b  a , VABC cân C Nhận xét: Ta giải phương pháp tam thức Đẳng thức cho tương đương Nhóm học sinh lớp 11A1 53 Chương 2: Nhận dạng tam giác  1 cos B   2a  c sin B � 2a  c 1 cos B  cos B 2a  c  2a  c 1cos B � 2a cos B   2a  c  cos B  c  c � cos B  � � 2a � cos B  1 � sin C �cos B  2sin A � 2sin A cos B sin C � sin  A B  sin  A B  sin C � sin  A B  0 � A B Bài 5: Chứng minh ABC tam giác vuông hay cân a cos B -b cos A =a sin A -b sin B Lời giải: Theo định lí hàm số sin có sin A.cos B  sin B.cos A  sin A  sin B � sin  A B    1cos A   1cos B   cos B cos A � sin  A B  sin  A B  sin  A B  � sin  A B  � 1sin  A B  � 0 � � � sin  A B  0 �� sin A B  1 � �  Vậy tam giác ABC cân C vuông C III NHẬN DẠNG TAM GIÁC ĐỀU Bài 1: Chứng minh tam giác ABC có góc 600 sin Asin B sin C  cos A cos B  cos C (1) Lời giải: Vì ta coù cos A  cos B  cos C   4sin A B C cos cos  neân 2 (1) � (sin A  cos A)  (sin B  cos B)  (sin C  cos C )  Naêm học 2006 – 2007 54 Chuyên đề Lượng giác ÖÙng duïng � � sin A  cos A  2sin �A � � 3� � � maø sin B  cos B  2sin �B  � � 3� � � sin C  cos C  2sin � C � � 3� � � � � � �  sin �B  �  sin � C � � � � � 3� � 3� � 3� � � � 2 � � Neân � �A B  � A B � �2 � � 2� sin � cos sin �  A B  � 0 � � �3 � � � � � � � � � �  1 � �sin � �A 2 �2 � �  A B   ma ø sin �  A B  �  sin � �3 � � � �A B  � �A B  �  � cos �  � � 2sin � 3� �2 3� � �2 � �A B  �� A B �A B  � � 4sin �  �� cos cos �  � � �� 3� �2 �2 � � C � �A  � �B  � � 8sin �  � sin �  � sin �  � 0 �6 � �2 � �2 � � �A  � sin �  � 0 � 6� � � � �B  � �� sin �  � 0 � � � � � C � sin �  � 0 � � �6 � �  A � �  � � B    A, B,C   � �  � C � Vậy tam giác ABC có góc 600 Bài 2: Tam giác cân ABC có góc nghiệm phương trình x  Chứng minh ABC tam giác Lời giải: Ta có x sin x 3� x � tgx  tg   cos x �0,cos �0 � � cos x.cos x � � tgx  tg Nhoùm học sinh lớp 11A1 55 Chương 2: Nhận dạng tam giaùc x �  cos x t �  1t tg 1 t 2 3  t 3 2 �t3  t t  0 3 � t t    �3 � �� t  �t  3t  0 � � � t � �� � t  3t  2 � x  x  �   k  � x   k 2 t  tg Ta chọn góc tam giác ABC x  Vậy tam giác ABC cân có góc Bài 3: Chứng minh   nên VABC VABC thỏa điều kiện sau ABC tam giác bc  a h a Lời giải: Ta coù  S bc sin A R.sin B.2 R.sin C.sin A    R.sin B.sin C a a R.sin A Theo định lí hàm số sin từ đẳng thức có 2sin B  2sin C  sin A  sin B.sin C với sin A  sin  B  C   sin B cos C  sin C cos B đẳng thức viết lại thành � � � � 3 2sin B �  cos C  sin C  2sin C  cos B  sin B � � � � � � �  a  2 � � � � � � � � � � � � � 2sin B �  cos �  C �  2sin C �  cos �  B � � � �3 � �3 � � � � � Năm học 2006 – 2007 56 Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng sin B  � � � � � ��  cos �  C � � ��0 � �3 � �� � � sin C  � �� � � � ��  cos �  B � ��0 �3 � �� � nên ta phải có � � � cos �  C � � � �3 � �� � � � cos �  B � � � � �3 �  C � � �� �B   � � � �  cos �  C � � � �3 � � � � �  cos �  B � � �3 � � Vaäy tam giác ABC Nhận xét: Từ đẳng thức (a) ta dùng bất đẳng thức B.C.S �1 sin C �1 � cos C  2 � � �1 � cos B  � sin B �2 sin B,sin C  � � �  a Đẳng thức xảy �1 � cos C  � � �2 �1 cos B  � �2 sin C  sin B  Nhóm học sinh lớp 11A1 � tgC  � �� tgB  � �  C � � �� �B   � 57 Chương 2: Nhận dạng tam giác BÀI 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC I NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho VABC có góc thỏa mãn hệ thức  cos B  2sin C    sin B  cos C   15 VABC vuông Chứng minh Lời giải: Theo B.C.S 3cos B  4sin B �5 6sin C 8cos C � 10 Đẳng thức xảy sin B cos C   � tgB  cot gC cos B sin C � � B,C�� 0; � � 2�  �B  C Vậy VABC vuông A Bài 2: Chứng minh  VABC thỏa 3S  R sin Asin B sin C  ABC tam giác Lời giải: Theo công thức tính diện tích tam giác định lí hàm số sin có 3 � 3abc �a � �b � �c �� � 3S   R � �� � � �� 4R � �2 R � �2 R � �2 R �� � � �a b  c 3abc theo bất đẳng thức Cauchy: a  b  c �3abc Đẳng thức xảy a  b  c Vậy VABC Năm học 2006 – 2007 58 Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng II NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN Bài 1: Cho VABC có góc nhọn A, B thỏa điều kiện tg A  tg B  2tg A B Chứng tỏ ABC tam giác cân Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức tgA  tgB �2tg A B cho VABC coù góc nhọn từ gt ta có  tgAtgB  �4tg  A B  tg A tg B  � tgAtgB  �� tgAtgB Vì A, B góc tam giác nên A=B VABC cân C Vậy Bài 2: (Đề 51/II) Cho VABC có góc thỏa mãn hệ thức cos A  cos B   cot g A  cot g B  sin A  sin B Chứng minh ABC tam giác cân Lời giải: Đẳng thức tương đương   sin A  sin B  cot g A   cot g B  1   sin A  sin B 2 1� 1 � �  �  � 2 sin A  sin B �sin A sin B � 2  � � �  sin A  sin B  �  � �sin A sin B � theo bất đẳng thức Cauchy sin A  sin B �2sin A.sin B vaø 1  � sin A sin B sin A.sin B � � 2 suy  sin A  sin B  �  ��4 �sin A sin B � 2 Đẳng thức xảy sin A  sin B � sin A  sin B  sin A  0,sin B   � A  B (vì A, B góc tam giác) Vậy tam giác ABC cân C III NHẬN DẠNG TAM GIÁC ĐỀU Nhóm học sinh lớp 11A1 59 Chương 2: Nhận dạng tam giác Bài 1: Chứng minh ABC tam giác ta có � sin A sin B �2sin C  1 � � cos A cos B �2 cos C   � Lời giải: Từ (1) ta có nhận xét C không góc lớn C lớn cạnh c lớn cạnh a, b, c theo định lí hàm số sin ta có sin C sin A � � 2sin C  sin A  sin B � sin C sin B � Trái gt từ hệ thức (1) Vậy C phải góc nhọn (do C không góc lớn nhất) � cos C  Nên vế bất đẳng thức (1) (2) dương nên ta có hệ �  sin Asin B  �4sin C  3 � � �  cos A cos B  �4 cos C   � Cộng vế hai bất đẳng thức (3) (4)  2cos  A B  �4 � cos  A B  �1 mà cos  A B  �1 nên cos  A B   A, B laø hai góc tam giác nên A=B � C từ (1) có 2sin A  2sin cos C từ (2) coù cos A � a c A C A C suy A=C Vậy ABC tam giác Bài 2: Chứng minh tam giác ABC coù a cos Ab cos B  c cos C p  a sin B  b sin C  c sin A R ABC tam giác Lời giải: Ta có a cos Ab cos B  c cos C p  a sin B  b sin C  c sin A R Năm học 2006 – 2007 60 Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng R sin A cos A R sin B cos B  R sin C cos C p a b c   b c a R 9R a b  c 2R 2R 2R R  sin Asin B sin 2C  a  b  c �  ab  bc  ca 9R R sin A.sin B.sin C a b c �  ab  bc  ca 9R c a b 8R2 R R R  a b  c � ab bc  ca 9R abc a b c �  ab bc  ca � a b  c   ab bc ca  9abc � �a  b c  b  c a  c  a b  0 b c 0 � � �� c  a 0�a b c � a b  � Vậy tam giác ABC Nhóm học sinh lớp 11A1 61 ... B A B A B C  sin �  2 2 Vậy tam giác ABC vuông C Bài 4: (Đề 19/II1) Xác định tam giác ABC thỏa mãn hệ thức: Nhóm học sinh lớp 11A1 49 Chương 2: Nhận dạng tam giác c  c.cos B  sin B Lời... sin 0 �� �AB � tgAtgB � Vaäy tam giác ABC cân C Bài 4: (Đề 39/II) Tam giác ABC có cạnh góc thỏa mãn hệ thức 1 cos B  sin B 2a  c 4a  c Chứng minh ABC LÀ tam giác cân Lời giải: Ta có B B... Asin B  �4sin C  3 � � �  cos A cos B  ? ?4 cos C   � Coäng vế hai bất đẳng thức (3) (4)  2cos  A B  ? ?4 � cos  A B  �1 maø cos  A B  �1 neân cos  A B   A, B hai góc tam giác