Nhan dang tam giac

CHƯƠNG XI: NHẬN DẠN G TAM GIÁC I TÍNH CÁ C GÓ C CỦ A TAM GIÁ C Bà i 201: Tính cá c gó c củ a ΔABC nế u : sin ( B + C ) + sin ( C + A ) + cos ( A + B ) = Do A+B+C= π Neâ n : ( *) ⇔ sin A + sin B − cos C = ( *) A+B A−B ⎛ C ⎞ ⇔ sin cos − ⎜ cos2 − ⎟ = 2 ⎝ ⎠ C A−B C ⇔ cos cos − cos2 = 2 2 C C A−B ⇔ cos2 − cos cos +1 = 2 2 C A − B⎞ ⎛ A − B ⇔ ⎜ cos − cos =0 ⎟ + − cos 2 ⎠ ⎝ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Baø i 202: C A − B⎞ ⎛ A − B =0 ⎜ cos − cos ⎟ + sin 2 ⎠ ⎝ C A−B ⎧ ⎪⎪2 cos = cos ⎨ ⎪sin A − B = ⎪⎩ C ⎧ ⎧C π ⎪⎪2 cos = cos = ⎪ = ⇔ ⎨2 ⎨ A − B ⎪ ⎪⎩ A = B =0 ⎪⎩ π ⎧ ⎪⎪ A = B = ⎨ ⎪C = 2π ⎪⎩ Tính cá c gó c củ a ΔABC bieá t : cos 2A + ( cos 2B + cos 2C ) + = (*) Ta coù : ( *) ⇔ cos2 A − + ⎡⎣cos ( B + C ) cos ( B − C ) ⎤⎦ + = ⇔ cos2 A − cos A cos ( B − C ) + = ⇔ ⎡⎣2 cos A − cos ( B − C ) ⎤⎦ + − cos2 ( B − C ) = ⇔ ⎡⎣2 cos A − cos ( B − C ) ⎤⎦ + sin ( B − C ) = ⎧sin ( B − C ) = ⎧B − C = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ 3 cos ( B − C ) ⎪cos A = ⎪cos A = ⎩ 2 ⎩ ⎧⎪ A = 300 ⇔⎨ ⎪⎩B = C = 75 Baø i 203: Chứ n g minh ΔABC có C = 1200 neá u : A B C sin A + sin B + sin C − sin ⋅ sin = sin (*) 2 Ta coù A+B A−B C C A B C cos + sin cos = sin sin + sin 2 2 2 B C A−B C C A+B A ⇔ cos cos + sin cos = cos + sin sin 2 2 2 C⎛ A−B C⎞ A B ⇔ cos ⎜ cos + sin ⎟ = cos ⋅ cos 2⎝ 2⎠ 2 (*) ⇔ sin C⎡ A−B A + B⎤ A B + cos = cos cos cos ⎢ ⎥ 2⎣ 2 ⎦ 2 C A B A B ⇔ cos cos cos = cos cos 2 2 C A B A B π (do cos > vaø cos > < ; < ) ⇔ cos = 2 2 2 ⇔ C = 120 ⇔ cos Bà i 204: Tính cá c gó c củ a ΔΑΒC biế t số đo gó c tạ o cấ p số cộ n g vaø 3+ sin A + sin B + sin C = Khô n g m mấ t tính chấ t tổ n g t củ a bà i toá n giả sử A < B < C Ta có : A, B, C tạ o cấ p số cộ n g nê n A + C = 2B π Maø A + B + C = π neâ n B = 3+ Lú c : sin A + sin B + sin C = π 3+ + sin C = 3 ⇔ sin A + sin C = A+C A −C ⇔ sin = cos 2 B A −C ⇔ cos cos = 2 ⎛ 3⎞ A−C ⇔ ⎜⎜ = ⎟⎟ cos 2 ⎝ ⎠ ⇔ sin A + sin ⇔ cos π C−A = = cos 2 Do C > A nê n ΔΑΒC có : π ⎧C − A π ⎧ ⎪ =6 ⎪C = ⎪ ⎪ 2π π ⎪ ⎪ ⇔ ⎨A = ⎨C + A = ⎪ ⎪ π π ⎪ ⎪ ⎪B = ⎪B = ⎩ ⎩ Baø i 205: Tính cá c gó c củ a ΔABC nế u ⎧⎪ b2 + c2 ≤ a ⎨ ⎪⎩sin A + sin B + sin C = + (1 ) ( 2) b2 + c − a 2bc 2 Do (1): b + c ≤ a neâ n cos A ≤ π π A π Do : ≤A cos ≤1 2 A Nê n M ≤ cos2 A + sin − π ΔABC khô n g tù nê n < A ≤ Mặ t c : ⇒ ≤ cos A ≤ * Cá ch 1: Đặt Do : ⇒ cos2 A ≤ cos A A M ≤ cos A + sin − A⎞ A ⎛ ⇔ M ≤ ⎜ − sin2 ⎟ + sin − 2⎠ ⎝ A A ⇔ M ≤ −4 sin2 + sin − 2 2 A ⎛ ⎞ ⇔ M ≤ −2 ⎜ sin − ⎟ ≤ ⎝ ⎠ Do giả thiế t (*) ta coù M=0 ⎧ ⎪cos2 A = cos A ⎪ B−C ⎪ ⎪⎧ A = 90 Vaä y : ⎨cos =1 ⇔ ⎨ ⎪⎩B = C = 45 ⎪ A ⎪ ⎪sin = ⎩ * Caù c h 2: ( *) ⇔ cos 2A + 2 cos B + 2 cos C − = B+C B−C −2=0 cos 2 A B−C ⇔ ( cos2 A − cos A ) + cos A + 2 sin cos −2=0 2 A⎞ A B−C ⎛ ⇔ cos A ( cos A − 1) + ⎜ − sin2 ⎟ + 2 sin cos −2=0 2⎠ 2 ⎝ ⇔ cos2 A + 2 cos A B − C⎞ ⎛ ⎛ B − C⎞ ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ sin − cos ⎟=0 ⎟ − ⎜ − cos 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ A B − C⎞ ⎛ B −C ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ sin − cos = (*) ⎟ − sin 2 ⎠ ⎝ Do ΔABC khô n g tù nê n cos A ≥ vaø cos A − < Vậ y vế trá i củ a (*) luô n ≤ ⎧ ⎪cos A = ⎪ A B−C ⎪ ⇔ ⎨ sin = cos Daá u “=” xaû y 2 ⎪ B−C ⎪ ⎪⎩sin = 0 ⎪⎧ A = 90 ⇔⎨ ⎪⎩B = C = 45 Bà i 207: Chứ n g minh ΔABC có nhấ t gó c 60 sin A + sin B + sin C = (*) cos A + cos B + cos C Ta coù : (*) ⇔ sin A − cos A + sin B − cos B + sin C − cos C = ( ) ( ) ( ) π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⇔ sin ⎜ A − ⎟ + sin ⎜ B − ⎟ + sin ⎜ C − ⎟ = 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ π⎞ A−B ⎛ A + B π⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ − ⎟ cos + sin ⎜ C − ⎟ = 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎡⎛ π C ⎞ π ⎤ A−B ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⇔ sin ⎢⎜ − ⎟ − ⎥ cos + sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ = ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ A−B ⎛C π⎞⎡ ⎛ C π ⎞⎤ ⇔ sin ⎜ − ⎟ ⎢ − cos + cos ⎜ − ⎟ ⎥ = ⎝ 6⎠⎣ ⎝ ⎠⎦ A−B ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⎛π A + B⎞ ⇔ sin ⎜ − ⎟ = ∨ cos = cos ⎜ − ⎟ = cos ⎜ − ⎟ 2 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝3 C π A − B π A + B −A + B π A + B ⇔ = ∨ = − ∨ = − 2 π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 3 Baø i 208: Cho ΔABC vaø V = cos A + cos B + cos C – Chứ n g minh: a/ Nế u V = ΔABC có mộ t gó c vuô n g b/ Nế u V < ΔABC có ba gó c nhọ n c/ Nế u V > ΔABC có mộ t gó c tù 1 (1 + cos 2A ) + (1 + cos 2B ) + cos2 − 2 ⇔ V = ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C ⇔ V = cos ( A + B ) cos ( A − B ) + cos2 C Ta coù : V = ⇔ V = − cos C.cos ( A − B ) + cos2 C ⇔ V = − cos C ⎡⎣cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤⎦ ⇔ V = −2 cos C cos A cos B Do : a/ V = ⇔ cos A = ∨ cos B = ∨ cos C = ⇔ ΔABC ⊥ taï i A hay ΔABC ⊥ taï i B hay ΔABC ⊥ taï i C b/ V < ⇔ cos A.cos B.cos C > ⇔ ΔABC coù ba gó c nhọ n ( tam giác khô n g thể có nhiề u góc tù nê n khô n g có trườ n g hợ p có cos cù n g â m ) c/ V > ⇔ cos A.cos B.cos C < ⇔ cos A < ∨ cos B < ∨ cos C < ⇔ ΔABC có gó c tù II TAM GIÁC VUÔNG B a+c = b Chứ n g minh ΔABC vuô n g Bà i 209: Cho ΔABC có cotg Ta coù : cotg ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ B a+c = b B = 2R sin A + 2R sin C = sin A + sin C B 2R sin B sin B sin B A+C A−C cos sin cos = 2 B B B sin sin cos 2 B B A−C B cos2 = cos cos (do sin > 0) 2 2 B A−C B cos = cos (do cos > 0) 2 cos B A−C B C−A = ∨ = 2 2 ⇔ A = B+C∨C = A +B π π ⇔ A = ∨C= 2 ⇔ ΔABC vuoâng A hay ΔABC vuông C ⇔ Bà i 210: Ta có : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Chứ n g minh ΔABC vuô n g tạ i A neá u b c a + = cos B cos C sin B sin C b c a + = cos B cos C sin B sin C 2R sin B 2R sin C 2R sin A + = cos B cos C sin B sin C sin B cos C + sin C cos B sin A = cos B.cos C sin B sin C sin ( B + C ) sin A = cos B.cos C sin B sin C cos B cos C = sin B sin C (do sin A > 0) cos B cos C − sin B sin C = ⇔ cos ( B + C ) = π ⇔ ΔABC vuông A ⇔ B+C= Bà i 211: Cho ΔABC coù : A B C A B C cos ⋅ cos ⋅ cos − sin ⋅ sin ⋅ sin = (*) 2 2 2 Chứ n g minh ΔABC vuô n g Ta có : A B C A B C cos cos = + sin sin sin 2 2 2 1⎡ A+B A − B⎤ C 1⎡ A+B A − B⎤ C cos cos cos sin ⇔ ⎢cos + cos = − − 2⎣ 2 ⎥⎦ 2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ (*) ⇔ cos C A − B⎤ C C A − B⎤ C ⎡ ⎡ ⇔ ⎢sin + cos cos = − ⎢sin − cos sin ⎥ ⎥ 2 ⎦ 2 ⎦ ⎣ ⎣ C C A−B C C C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = − sin + cos = − sin + cos sin 2 2 2 2 ⇔ sin C C A−B C C A−B C cos + cos cos = cos2 + cos sin 2 2 2 ⇔ cos C⎡ C C⎤ A−B⎡ C C⎤ sin − cos ⎥ = cos sin − cos ⎥ ⎢ ⎢ 2⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ C C⎤ ⎡ C A − B⎤ ⎡ ⇔ ⎢sin − cos ⎥ ⎢cos − cos =0 2⎦ ⎣ 2 ⎥⎦ ⎣ C C C A−B ⇔ sin = cos ∨ cos = cos 2 2 C C A−B C B−A ⇔ tg = ∨ = ∨ = 2 2 C π ⇔ = ∨ A = B+C∨B = A +C π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 2 Chứ n g minh ΔABC vuô n g nế u : Bà i 212: 3(cos B + sin C) + 4(sin B + cos C) = 15 Do baá t đẳ n g thứ c Bunhiacố p ki ta có : 3cos B + sin B ≤ + 16 cos2 B + sin2 B = 15 6sin C + cos C ≤ 36 + 64 sin2 C + cos2 C = 10 3(cos B + sin C) + 4(sin B + cos C) ≤ 15 ⎧ cos B sin B ⎧ ⎪⎪ = ⎪⎪tgB = Dấ u “=” xả y ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ sin C = cos C ⎪cotgC = ⎪⎩ ⎪⎩ ⇔ tgB = cotgC π ⇔ B+C= ⇔ ΔABC vuô n g tạ i A nê n : Cho ΔABC có : sin 2A + sin 2B = sin A.sin B Chứ n g minh ΔABC vuô n g Ta có : sin 2A + sin 2B = sin A.sin B ⇔ sin(A + B) cos(A − B) = −2 [ cos(A + B) − cos(A − B)] Baø i 213: ⇔ cos(A + B) = [1 − sin(A + B)] cos(A − B) ⇔ − cos C = [1 − sin C] cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = (1 − sin2 C) cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = cos2 C cos(A − B) ⇔ cos C = hay − (1 + sin C) = cos C cos(A − B) ⇔ cos C = ( Do sin C > neâ n −(1 + sin C) < −1 Mà cos C.cos(A − B) ≥ −1 Vậ y (*) vô nghiệ m ) Do ΔABC vuô n g tạ i C III TAM GIÁC CÂN (*) Bà i 214:Chứ n g minh nế u ΔABC có tgA + tgB = cotg tam giá c câ n Ta có : tgA + tgB = cotg C C C cos sin(A + B) ⇔ = C cos A.cos B sin C cos sin C ⇔ = C cos A.cos B sin C C C sin cos cos 2 = ⇔ C cos A cos B sin C C ⎛ ⎞ ⇔ sin = cos A.cos B ⎜ cos > ⎟ 2 ⎝ ⎠ 1 ⇔ (1 − cos C ) = ⎡⎣cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ⎤⎦ 2 ⇔ − cos C = − cos C + cos ( A − B ) ⇔ cos ( A − B ) = ⇔A=B ⇔ ΔABC caâ n tạ i C Bà i 215: Chứ n g minh ΔABC câ n nế u : A B B A sin cos3 = sin cos3 2 2 Ta coù : sin A B B A cos3 = sin cos3 2 2 A B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ sin ⎟ ⎜ sin ⎟ ⇔⎜ = A⎟ A ⎜ B⎟ B ⎜ cos ⎟ cos2 ⎜ cos ⎟ cos2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ A B (do cos > vaø cos > ) 2 A⎛ B⎛ A⎞ B⎞ ⎜ + tg ⎟ = tg ⎜ + tg ⎟ 2⎝ 2⎠ 2⎝ 2⎠ A B A B ⇔ tg − tg + tg − tg = 2 2 B⎞⎡ A B A B⎤ ⎛ A ⇔ ⎜ tg − tg ⎟ ⎢1 + tg + tg + tg tg ⎥ = (*) ⎠⎣ 2 2⎦ ⎝ A B A B A B ( + tg + tg + tg tg > ) ⇔ tg = tg 2 2 2 ⇔A=B ⇔ ΔABC câ n tạ i C ⇔ tg Bà i 216: Chứ n g minh ΔABC câ n nế u : cos2 A + cos2 B = ( cotg A + cotg 2B ) (*) sin A + sin2 B Ta coù : cos2 A + cos2 B ⎛ 1 ⎞ = ⎜ + − 2⎟ (*) ⇔ 2 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ 2 cos A + cos B 1⎛ 1 ⎞ ⇔ +1 = ⎜ + ⎟ 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin2 B ⎠ 1⎛ 1 ⎞ ⇔ = ⎜ + ⎟ 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ ⇔ sin2 A sin2 B = ( sin2 A + sin2 B ) ⇔ = ( sin A − sin2 B ) ⇔ sin A = sin B Vậ y ΔABC câ n tạ i C Bà i 217: Chứ n g minh ΔABC câ n nế u : C a + b = tg ( atgA + btgB ) (*) Ta coù : a + b = tg C ( atgA + btgB ) C = atgA + btgB C⎤ C⎤ ⎡ ⎡ ⇔ a ⎢ tgA − cotg ⎥ + b ⎢ tgB − cotg ⎥ = 2⎦ 2⎦ ⎣ ⎣ A + B⎤ A + B⎤ ⎡ ⎡ ⇔ a ⎢ tgA − tg + b ⎢ tgB − tg =0 ⎥ ⎦ ⎥⎦ ⎣ ⎣ A−B B−A a sin b sin 2 ⇔ + =0 A+B A+B cos A cos cos B cos 2 ⇔ ( a + b ) cotg A−B a b = hay − =0 cos A cos B 2R sin A 2R sin B ⇔ A = B hay = cos A cos B ⇔ A = B hay tgA = tgB ⇔ ΔABC câ n tạ i C ⇔ sin IV NHẬN DẠN G TAM GIÁ C Bà i 218: Cho ΔABC thỏ a : a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (*) Chứ n g minh ΔABC vuô n g hay câ n Do định lý hà m sin: a = 2R sin A, b = 2R sin B Neâ n (*) ⇔ 2R sin A cos B − 2R sin B cos A = 2R ( sin A − sin B ) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = sin A − sin B 1 (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) 2 ⇔ sin ( A − B ) = [ cos 2B − cos 2A ] ⇔ sin ( A − B ) = − ⎡⎣sin ( A + B ) sin ( B − A ) ⎤⎦ ⇔ sin ( A − B ) = ⇔ sin ( A − B ) ⎡⎣1 − sin ( A + B ) ⎤⎦ = ⇔ sin ( A − B ) = ∨ sin ( A + B ) = π vaä y ΔABC vuô n g hay câ n tạ i C ⇔ A = B∨ A+B = Caù c h khaù c sin A cos B − sin B cos A = sin A − sin B ⇔ sin ( A − B ) = ( sin A + sin B) ( sin A − sin B) A+B A−B A+B A−B cos ) (2 cos sin ) ⇔ sin ( A − B ) = ( sin 2 2 ⇔ sin ( A − B ) = sin ( A + B ) sin ( A − B ) ⇔ sin ( A − B ) = ∨ sin ( A + B ) = π Baø i 219 ΔABC laø tam giá c nế u ( a + b2 ) sin ( A − B ) = ( a − b2 ) sin ( A + B ) (*) ⇔ A = B∨ A+B = Ta coù : (*) ⇔ ( 4R sin A + 4R sin B ) sin ( A − B ) = 4R ( sin A − sin B ) sin ( A + B ) ⇔ sin A ⎡⎣sin ( A − B ) − sin ( A + B ) ⎤⎦ + sin B ⎡⎣sin ( A − B ) + sin ( A + B ) ⎤⎦ = ⇔ 2sin2 A cos A sin ( −B ) + 2sin2 B sin A cos B = ⇔ − sin A cos A + sin B cos B = (do sin A > vaø sin B > ) ⇔ sin 2A = sin 2B ⇔ 2A = 2B ∨ 2A = π − 2B π ⇔ A = B∨ A+B = Vậ y ΔABC câ n tạ i C hay ΔABC vuô n g tạ i C Bà i 220: ΔABC tam giá c nế u : ⎧a sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B (1) ⎨ (2) ⎩sin 2A + sin 2B = sin A sin B Ta coù : (1) ⇔ 4R sin A sin 2B + 4R sin B sin 2A = 16R sin A sin B cos A ⇔ sin A sin 2B + sin2 B sin 2A = sin A sin2 B cos A ⇔ sin2 A sin B cos B + sin A cos A sin B = sin A sin2 B cos A ⇔ sin A cos B + sin B cos A = sin B cos A (do sin A > 0, sin B > 0) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = ⇔ sin ( A − B ) = ⇔A=B Thay o (2) ta đượ c sin 2A = sin A ⇔ sin A cos A = sin A ⇔ cos A = sin A ( sin A > ) ⇔ tgA = π ⇔A= Do ΔABC vuô n g câ n tạ i C V TAM GIÁ C ĐỀ U Bà i 221: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u : bc = R ⎡⎣ ( b + c ) − a ⎤⎦ (*) Ta coù : (*) ⇔ ( 2R sin B )( 2R sin C ) = R ⎡⎣2 ( 2R sin B + 2R sin C ) − 2R sin A ⎤⎦ ⇔ sin B sin C = ( sin B + sin C ) − sin ( B + C ) ⇔ sin B sin C = ( sin B + sin C ) − sin B cos C − sin C cos B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 3 sin C ⎥ + sin C ⎢1 − cos B − sin B ⎥ = ⇔ sin B ⎢1 − cos C − 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ π ⎞⎤ ⎡ π ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⇔ sin B ⎢1 − cos ⎜ C − ⎟ ⎥ + sin C ⎢1 − cos ⎜ B − ⎟ ⎥ = (1) ⎠⎦ ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎣ ⎣ π⎞ ⎛ Do sin B > vaø − cos ⎜ C − ⎟ ≥ 3⎠ ⎝ π⎞ ⎛ sin C > vaø − cos ⎜ B − ⎟ ≥ 3⎠ ⎝ Nê n vế trá i củ a (1) luô n ≥ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪cos ⎜ C − ⎟ = ⎪ ⎝ ⎠ Do , (1) ⇔ ⎨ ⎪cos ⎛ B − π ⎞ = ⎜ ⎟ ⎪⎩ 3⎠ ⎝ π ⇔ ΔABC đề u ⇔C=B= 3 ⎧ = sin B sin C ⎪⎪ Bà i 222: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u ⎨ 3 ⎪a = a − b − c a−b−c ⎩⎪ (1) (2) Ta coù : (2) ⇔ a − a b − a c = a − b3 − c ⇔ a ( b + c ) = b3 + c ⇔ a ( b + c ) = ( b + c ) ( b2 − bc + c2 ) ⇔ a = b2 − bc + c2 ⇔ b2 + c − 2bc cos A = b2 + c − bc (do đl hà m cosin) ⇔ 2bc cos A = bc π ⇔A= Ta coù : (1) ⇔ sin B sin C = ⇔ ⎡⎣ cos ( B − C ) − cos ( B + C ) ⎤⎦ = ⇔ cos A = ⇔ ⎡⎣ cos ( B − C ) + cos A ⎤⎦ = π⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⇔ cos ( B − C ) + ⎜ ⎟ = ⎜ (1 ) ta coù A = ⎟ 3⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⇔ cos ( B − C ) = ⇔ B = C Vậ y từ (1), (2) ta có ΔABC đề u Bà i 223: Chứ n g minh ΔABC đề u neá u : sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C Ta coù : sin 2A + sin 2B = 2sin ( A + B ) cos ( A − B ) = 2sin C cos ( A − B ) ≤ 2sin C (1) Dấ u “=” xả y khi: Tương tự : cos ( A − B ) = sin 2A + sin 2C ≤ 2sin B (2) Dấ u “=” xả y khi: cos ( A − C ) = sin 2B + sin 2C ≤ 2sin A Tương tự : Dấ u “=” xaû y khi: cos ( B − C ) = (3) Từ (1) (2) (3) ta có: ( sin2A + sin2B + sin2C) ≤ ( sinC + sinB + sin A ) ⎧cos ( A − B ) = ⎪ Dấ u “=” xả y ⇔ ⎨cos ( A − C ) = ⇔ A = B = C ⎪ ⎩cos ( B − C ) = ⇔ ΔABC đề u Bà i 224: Cho ΔABC có : 1 1 (*) + + = 2 sin 2A sin 2B sin C cos A cos B cos C Chứ n g minh ΔABC đề u Ta có : (*) ⇔ sin2 2B.sin2 2C + sin2 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B sin 2A.sin 2B.sin 2C = ⋅ ( sin 2A sin 2B sin 2C ) cos A cos B cos C = sin A sin B sin C ( sin 2A sin 2B sin 2C ) Maø : sin A sin B sin C = ⎡⎣ cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤⎦ sin ( A + B ) = ⎡⎣cos ( A − B ) + cos C⎤⎦ sin C = sin C cos C + cos ( A − B ) sin ( A + B ) = sin 2C + sin 2A + sin 2B Do , vớ i điề u kiệ n ΔABC khô n g vuô n g ta có (*) ⇔ sin 2B sin 2C + sin 2A sin 2C + sin 2A sin 2B = sin 2A sin 2B sin 2C ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = sin 2A sin 2B sin 2C + sin 2B sin 2A sin 2C + sin 2C sin 2A sin 2B 1 2 ⇔ ( sin 2B sin 2A − sin 2B sin 2C ) + ( sin 2A sin 2B − sin 2A sin 2C ) 2 + ( sin 2C sin 2A − sin 2C sin 2B ) = ⎧sin 2B sin 2A = sin 2B sin 2C ⎪ ⇔ ⎨sin 2A sin 2B = sin 2A sin 2C ⎪sin 2A sin 2C = sin 2C sin 2B ⎩ ⎧sin 2A = sin 2B ⇔ A = B = C ⇔ ABC đề u ⇔⎨ ⎩sin 2B = sin 2C Bà i 225: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u : a cos A + b cos B + c cos C 2p (*) = a sin B + b sin C + c sin A 9R Ta coù : a cos A + b cos B + c cos C = 2R sin A cos A + 2R sin B cos B + 2R sin C cos C = R ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = R ⎡⎣2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) + sin C cos C ⎤⎦ = 2R sin C ⎡⎣cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤⎦ = 4R sin C sin A sin B Caù c h 1: a sin B + b sin C + c sin A = 2R ( sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ) ≥ 2R sin A sin B sin2 C ( bñt Cauchy ) a cos A + b cos B + c cos C ≤ sin A sin B sin C (1) a sin B + b sin C + c sin A 2p a + b + c Mà vế phả i : = = ( sin A + sin B + sin C ) 9R 9R ≥ sin A sin B sin C (2) Từ (1) (2) ta coù ( * ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ ΔABC đề u 4R sin A sin B sin C a+b+c Caù c h 2: Ta coù : (*) ⇔ = a sin B + b sin C + c sin A 9R a b c ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ 4R ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ 2R 2R 2R ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ = a+b+c ⇔ 9R ⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ ca a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟+ 2R 2R 2R ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔ 9abc = ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Do vế trá i : Do bấ t đẳ n g thức Cauchy ta coù a + b + c ≥ abc ab + bc + ca ≥ a b2c Do : ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≥ 9abc Dấ u = xả y ⇔ a = b = c ⇔ ΔABC đề u Bà i 226: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u A B C cot gA + cot gB + cot gC = tg + tg + tg ( *) 2 Ta coù : cot gA + cot gB = ≥ sin ( A + B ) sin A sin B sin C = sin C sin A sin B ⎛ sin A + sin B ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (do bñt Cauchy) C C C cos sin 2 = = C A + B A − B A − B sin cos cos cos 2 2 C (1) ≥ 2tg B Tương tự : cot gA + cot gC ≥ 2tg (2) A (3) cot gB + cot gC ≥ 2tg Từ (1) (2) (3) ta coù B C⎞ ⎛ A ( cot gA + cot gB + cot gC ) ≥ ⎜ tg + tg + tg ⎟ 2⎠ ⎝ Do dấ u “=” tạ i (*) xả y A−B A−C B−C ⎧ = cos = cos =1 ⎪cos ⇔⎨ 2 ⎪⎩sin A = sin B = sin C ⇔A=B=C sin ⇔ ΔABC BÀI TẬP Tính cá c gó c củ a ΔABC bieá t : a/ cos A = sin B + sin C − b/ sin 6A + sin 6B + sin 6C = c/ sin 5A + sin 5B + sin 5C = Tính gó c C củ a ΔABC biế t : a/ (1 + cot gA ) (1 + cot gB ) = π 2π ) ,A = π (ÑS: A = B = C = ) (ÑS: B = C = ⎧⎪ A, B nhoïn b/ ⎨ 2 ⎪⎩sin A + sin B = sin C ⎧cos2 A + cos2 B + cos2 C < Cho ΔABC coù : ⎨ ⎩sin 5A + sin 5B + sin 5C = Chứ n g minh Δ có nhấ t mộ t gó c 36 Bieá t sin A + sin B + sin C = m Chứ n g minh a/ m = ΔABC vuô n g b/ m > ΔABC nhọ n c/ m < ΔABC tù Chứ n g minh ΔABC vuô n g nế u : b+c a/ cos B + cos C = a b c a b/ + = cos B cos C sin B sin C c/ sin A + sin B + sin C = − cos A + cos B + cos C 2 ⎡1 − cos ( B − C ) ⎤⎦ b − c) ( d/ = ⎣ b − cos 2B Chứ n g minh ΔABC câ n nế u : + cos B 2a + c a/ = sin B a − c2 sin A + sin B + sin C A B b/ = cot g cot g sin A + sin B − sin C 2 c/ tgA + 2tgB = tgA.tg B C C⎞ ⎛ ⎞ ⎛ d/ a ⎜ cot g − tgA ⎟ = b ⎜ tgB − cot g ⎟ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ C B e/ ( p − b ) cot g = ptg 2 C f/ a + b = tg ( atgA + btgB ) ΔABC Δ nế u : A+B a/ atgB + btgA = ( a + b ) tg b/ c = c cos 2B + b sin 2B c/ sin 3A + sin 3B + sin 3C = d/ 4S = ( a + b − c )( a + c − b ) Chứ n g minh ΔABC đề u nế u a/ ( a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c b/ 3S = 2R ( sin A + sin B + sin C ) c/ sin A + sin B + sin C = sin A sin B sin C 9R d/ m a + m b + m c = vớ i ma , m b , mc đườ n g trung tuyeá n Th.S Phạm Hồng Danh – TT luyện thi Vĩnh Viễn ... c nhọ n ( tam giác khô n g thể có nhiề u góc tù nê n khô n g có trườ n g hợ p có cos cù n g â m ) c/ V > ⇔ cos A.cos B.cos C < ⇔ cos A < ∨ cos B < ∨ cos C < ⇔ ΔABC coù gó c tù II TAM GIÁC VUÔNG... C.cos(A − B) ≥ −1 Vậ y (*) vô nghiệ m ) Do ΔABC vuô n g tạ i C III TAM GIÁC CÂN (*) Bà i 214:Chứ n g minh nế u ΔABC có tgA + tgB = cotg tam giá c câ n Ta coù : tgA + tgB = cotg C C C cos sin(A + B)... 2R sin B ⇔ A = B hay = cos A cos B ⇔ A = B hay tgA = tgB ⇔ ΔABC caâ n tạ i C ⇔ sin IV NHẬN DẠN G TAM GIÁ C Bà i 218: Cho ΔABC thỏ a : a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (*) Chứ n g minh ΔABC