Slide_ Chương III _ Đại số 20201

Từ một hệ độc lập tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều, ta luôn có thể bổ sung các vec tơ để được một cơ sở.. C/m: G/s S là một hệ độc lập tuyến tính trong không gian[r]

1



 §6: Khơng gian vector

6.1 Khái niệm.

6.1.1 Định nghĩa.

Cho tập V khác rỗng trường số K, hai phép toán:

" " : V V V

(u,v ) u v

  

 

- phép nhân với vô hướng

" " : K V V

(k ,v ) kv

 



 §6: Khơng gian vector

Bộ ba (V;+;.) gọi không gian vecto





 §6: Khơng gian vector

6.1.2 Ví dụ

VD1: Tập số thực R R - không gian vecto với

- véc tơ không số



 §6: Khơng gian vector



 §6: Khơng gian vector



 §6: Khơng gian vector

Tổng qt

(x ;x ; ;x )|x 

n

n i ,i ,n

 1 2  

 

với hai phép toán:

n n

n n

" " : (x ; x ; ; x ) ( y ; y ; ; y )

( x y ; x y ; ; x y )

 

   

1 2

1 2

n n

" " : k( x ; x ; ; x )1 2  (kx ; kx ; ; kx )1 2

là R-kgvt với vecto không là:



 §6: Khơng gian vector



 §6: Khơng gian vector



 §6: Khơng gian vector



 §6: Khơng gian vector

-Vectơ không θ

-Vectơ đối (-v) vectơ v

- Ta có v

v           

6.1.3 Một số tính chất đơn giản khơng gian vectơ



 §6: Khơng gian vector con

6.2 Không gian con. a Định nghĩa.



 §6: Khơng gian vector con

b Định lý. Tập khác rỗng W không gian vecto V không gian V W đóng kín hai phép toán V, tức là:

W W

W W

i ) x , y : x y

ii ) x , k K : kx

   

    

Chú ý: Các điều kiện (i) (ii) tương đương với

W W

x , y , k ,l K : kx ly







 §6: Khơng gian vector con



 §6: Khơng gian vector con

 Bài Tập: Kiểm tra tập sau có

khơng gian vector khơng gian vector tương ứng không?

 

2

( ) [ ] /

M  x t  at  bt  c P t a b c  

 

( , , ) / 2 3 0

U  x y z  R x  y z 

 

( , ) / 2 1



 §6: Khơng gian vector con

 Bài Tập: Kiểm tra tập sau có

khơng gian vector không gian vector tương ứng không?

 

2

( ) [ ] /

M  x t  at  bt  c P t a  b  c 

 

( , , ) / 2 2

U  x y z  R x  y  z 

 | 

  n t 



 §6: Tổ hợp tuyến tính hệ sinh

6.3 Tổ hợp tuyến tính-Hệ sinh.

a Định nghĩa Cho hệ vectơ S={v1, v2,…,vn} không gian vectơ V Vectơ

với gọi tổ hợp tuyến tính S

n n

v  c v1 1  c v2 2  c v

i







 

Nhận xét:



 §6: Tổ hợp tuyến tính hệ sinh

b Định nghĩa Cho hệ vecto S={v1, v2,…, vm} không gian vecto V Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính S gọi bao tuyến tính hệ S, kí hiệu span(S)

span(v1, v2,…, vm)



 §6: Tổ hợp tuyến tính hệ sinh

d.

tức

n

V  span( x , x , , x )1 2









 §6: Sự độc lập phụ thuộc tuyến tính

6.4 Hệ vecto độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính

Trong không gian vectơ V, cho hệ vectơ S={v1, v2, … ,vn}

+ Hệ S gọi hệ độc lập tuyến tính từ hệ thức

n n i

c v1 1  c v2 2  c v   (c )

ta suy c1  c2   cn 

+ Hệ S gọi hệ phụ thuộc tuyến tính tồn

n

(c ,c , ,c )1 2  ( ; ; ; )0 0 cho

n n



 §6: Sự độc lập phụ thuộc tuyến tính

Nhận xét

- Một hệ hệ độc lập tuyến tính hệ độc lập tuyến tính









 §6: Sự độc lập phụ thuộc tuyến tính







 

 Ví dụ: Xét độc lập phụ thuộc tuyến

tính hệ vector sau

1

3

1 0 1 2

;

0 0 0 0

1 2 1 2

;

3 0 3 4

X X X X                            

 

 Bài tập: Xét độc lập phụ thuộc tuyến

tính hệ vector sau

 (1, 1, 0); (2,3, 1); ( 1, 4, 5)

X  x   x   x  

 

 Bài tập: Xét độc lập phụ thuộc tuyến

tính hệ vector sau

 2 

1( ) ; ( ) 1; 3( )

X  x t  t  t x t  t  t  x t  t  t 

 

 Bài tập: Xét độc lập phụ thuộc tuyến

tính hệ vector sau

1

3

1 2 1 1

;

1 0 0 2

0 1 0 2

;

3 2 2 4

X X X X                               



 §6: Cơ sở số chiều

6.5 Cơ sở số chiều.



 §6: Cơ sở số chiều

6.5.2 Định nghĩa: Hệ vectơ E





 §6: Cơ sở số chiều







 §6: Cơ sở số chiều

6.5.3 Định lý. Nếu B1={v1, v2,…, vm} B2={u1, u2,…, un} hai sở KGVT V m=n

(tức sở V có số phần tử)

C/m:

6.5.4 Định nghĩa. Nếu V có sở gồm n phần tử V gọi khơng gian n chiều, kí hiệu

dimV=n





 §6.5: Cơ sở số chiều

6.5.5 Cơ sở tắc số khơng gian

(i)Rn Cơ sở tắc E={e1, e2,…, en} với

n

e ( ; ; ; ; )

e ( ; ; ; ; )

e ( ; ; ; ; )







1

2

1 0

0 0

0 0 



 §6.5: Cơ sở số chiều

6.5.5 Cơ sở tắc số khơng gian

(ii) Không gian đa thức bậc không

quá n: Pn[x]

Cơ sở tắc E={1, x, x2,…, xn}



 §6.5: Cơ sở số chiều

6.5.5 Cơ sở tắc số không gian

(iii) Không gian M(m,n) các ma trận cỡ mxn

Cơ sở tắc E={Akl| 1≤k ≤ m,1 ≤ l ≤ n} với xác định

dim M(m,n) = m.n

ij

akl kl

A    

ij

(i=k) (j=l) a

(i k) (j l)

kl  

 

  





 §6: Cơ sở số chiều

6.5.6 Định lý: Cho V khơng gian vecto n

chiều Khi đó, B={v1, v2,…, vn} sở B độc lập tuyến tính B hệ sinh

Ví dụ: Chứng minh hệ vecto với

là sở

 1, ,2 3



B e e e

1 (1,1,1); (1,1, 0); (1, 0,1)

e  e  e 

3



 §6: Cơ sở số chiều

6.5.7 Định lý Từ hệ độc lập tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều, ta ln bổ sung vec tơ để sở

C/m: G/s S hệ độc lập tuyến tính khơng gian

hữu hạn chiều V

Nếu S sở V, tức

span(S)≠V Khi đó, lấy v∈V\span(S) ta có S’=S {v} hệ độc lập tuyến tính



 §6: Cơ sở số chiều

6.6 Tọa độ vecto sở. 6.6.1 Định lý định nghĩa.

Cho B={v1, v2,…, vn} sở KGVT V Với vec tơ x V, ta có biểu diễn

nhất:

n n

x  x v1 1  x v2 2   x v

Bộ số (x1, x2,…, xn) gọi tọa độ x B



 §6: Cơ sở số chiều

Ma trận tọa độ x sở B là:

 B



 §6: Cơ sở số chiều

VD1. Trong không gian ,cho vectơ 3

1 (2;3;1), (1;2;1), (1;1;1), (9;14;6)

v  v  v  u 

a) Tìm tọa độ u sở tắc E b) Tìm tọa độ u sở B {v ,v ,v }1 2 3

Đ/s:  



 §6: Cơ sở số chiều

6.6.2 Công thức đổi tọa độ đổi sở4

a Bài toán: Trong kgvt V cho hai sở B B’ vecto v ∈V Tìm mối quan hệ [v]B [v] /

B b Ma trận chuyển sở.

G/s B’={u1, u2,…, un}

[u ]1 B [u ]2 B [u ]n B 

C  



 §6: Cơ sở số chiều

ĐL Nếu C mtr chuyển sở từ B sang B’ C mtr khả nghịch C-1 mtr chuyển sở từ B’ sang B

c Công thức

Nếu C mtr chuyển sở từ B sang B’

    /

B B

v  C v hay   /  

1

B B



 §6: Cơ sở số chiều

VD. Trong không gian ,cho vectơ 4

1 (2;3;1), (1;2;1), (1;1;1), (9;14;6)

v  v  v  u 

a)Xác định mtr chuyển sở từ E sang

b) Xác định mtr chuyển sở từ B sang E

c) Kiểm tra

1 {v ,v ,v }

B 



 §6: Cơ sở số chiều

1 (1, 2, 3), ( 1,1, 0), (2,1,1), (4, 6, 3)

f  f   f  x  

CMR: hệ vector sở , tìm tọa độ vector x sở F.

3 

Trong KGVT cho vector

1

{ , , }

F  f f f 3



 §6: Cơ sở số chiều

1 (1, 2, 3), ( 1,1, 0), (2,1, )

f  f   f  m

Tìm m để hệ vector sở

3



Trong KGVT cho vector

1

{ , , }

F  f f f 3



 §6: Cơ sở số chiều

1 (1, 0, 2), ( 1,1, 0), (0,1,1), (4, 7, )

f  f   f  x  m

Tìm m để x tổ hợp tuyến tính hệ vector

3



Trong KGVT cho vector

1

{ , , }

F  f f f



 §6: Cơ sở không gian con

6.7 Hạng hệ vectơ

6.7.1 Định nghĩa. Cho S={v1, v2,…, vm}

không gian vecto V Ta gọi hạng S, kí hiệu r(S) số tối đa vecto độc lập tuyến tính hệ

* NX: +) r(S) ≤ m



 §6: Cơ sở khơng gian con

6.7.2 Cách tìm hạng hệ vectơ không gian hữu hạn chiều

Cho S={v1, v2,…, vm} không gian vecto V Giả sử B sở V ta có

i B i i in

(v )  (a ,a , ,a ),1 2  i 1,m

Đặt A=[aij] Khi đó, ta có



 §6: Cơ sở khơng gian con

Ví dụ 1

Trong khơng gian R4, tìm hạng hệ vecto sau:

{ v1= (2;1;-1;3), v2= (1;2;0;1), v3= (5;4;-2;7) }

Ví dụ

Trong khơng gian P3[x], tìm hạng hệ vecto

sau:



 §6: Cơ sở khơng gian con

6.7.3 Không gian sinh hệ vectơ

a.Định lý Số chiều không gian W sinh hệ vectơ S hạng hệ vectơ



 §6: Cơ sở khơng gian con

b Bài tốn xác định số chiều sở không gian sinh hệ vectơ

Cho hệ vecto S W=span(S) + dimW = r(S)=r



 §6: Cơ sở khơng gian con

Ví dụ 1

Trong khơng gian R4, tìm số chiều sở

không gian W= span{v1, v2, v3} với

v1= (2;1;-1;3), v2= (1;2;0;1), v3= (5;4;-2;7)

Ví dụ

Trong khơng gian P3[x], tìm số chiều

sở không gian W=span{p1, p2, p3, p4} với



 Một số đề thi

Câu 1.(K51)

(i) Trong không gian P2[x], cho vectơ

2 2

1  1 ,  2 ,   3 ,  11 6 11

v x v x v x x v x x

Chứng minh B={v1,v2,v3} lập thành sở P2[x] Xác định tọa độ vecto v sở B

(Đề III)

(ii) Câu hỏi tương tự với

2 2

1  1 ,   ,   2 ,  5 

v x v x x v x x v x x



 Một số đề thi

Câu 2.(K54)

(i) Trong không gian P2[x], cho vectơ

2

1

2

3

1 , ,

2 ,

    

      

v x x v x x

v x x v x x

Gọi V1=Span{v1,v2}, V2=Span{v3,v4} Xác định sở

(Đề I)

(ii) Câu hỏi tương tự với

(Đề II)

1 

V V

2

1

2

3

1 , ,

4 ,

     

      

v x x v x x



 Một số đề thi

Câu 3.

Trong không gian P3[x], cho vectơ

2 3

1   1  ,   2 ,

v x x x v x x

2 3

3  3  ,   5 

v x x v x x x

Đặt V1=span(v1,v2), V2 =span(v3,v4)

a) Tìm sở số chiều V1+V2

b) Vectơ v=1+x+x2 +x3 có thuộc V1+V2 hay khơng?