Thông tin tài liệu
Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010) abc xyz � (a+x)(b+y)(c+z) a) Lập phương vế (1) ta : (1) abc + xyz + 3 (abc) xyz + 3 abc(xyz) �(a+x)(b+y)(c+z) ۣ abc + xyz+ 3 (abc) xyz + 3 abc(xyz)2 abc+xyz+abz+ayc+ayz+xbc+xyc+xbz 3 (abc)2 xyz + 3 abc(xyz) (abz+ayc+ xbc)+ (ayz+xbz+xyc) (2) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : (abz+ayc+ xbc) �3 (abc) xyz (3) (ayz+xbz+ xyc) �3 abc(xyz) (4) Cộng hai bất đẳng thức (3) (4) ta bất đẳng thức (2), (1) chứng minh 3 b) Áp dụng BĐT (1) với a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = - 3, y = 1, z = 3 Ta có : abc = + , xyz = 3- , a+ x = 6, b + y = 2, c + z = Từ : 3+ 3 3- 3 �3 6.2.2 3 (đpcm) Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011) Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có: a� b ab 4ab (a b) ab 1 ۣ ( ) a b 4ab a b (*) Dấu “=” xảy a = b Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 �1 1 � �1 1 � � ( ) � � ( ) � � � 2x y z 2x y z 4� x y z � �x y z �(1) 1 �1 1 � � � � Tương tự ta có: x y z �y z x � (2) 1 �1 1 � � � � x y z �z x y � (3) Cộng (1), (2) , (3) ta được: 1 1 1 2 1 1 � ( ) ( ) x y z x y z x y 2z x y z 2x y 2z x y z 1 � 2010 1005 Vậy : x y z x y z x y z x yz Dấu “=” xảy 1005 xyz 670 Vậy MaxP = 670 Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012) � a) Chứng minh : x 2y xy y (x, y > 0) 2 Vì x, y > nên x 2y 0; xy y 2 � 2 Do : x 2y xy y � 2xy 2y �x 2y � (x y)2 (y 1)2 �0 Bất đẳng thức sau nên bất đẳng thức đầu Dấu xảy x = y = b) Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 M 2 a 2b b 2c c 2a (a,b,c >0; abc = 1) Áp dung bất đẳng thức câu a) ta có: 1 1 � 2 2 a 2b a 2b ab b 1 1 � 2 2 b 2c b 2c bc c 1 1 � 2 2 c 2a c 2a ca a 1� 1 � M � � �ab b bc c ca a � Do abc = nên: ca a 1 1 ab b bc c ca a = ca b abc ca abc ac a ca a ca a = ca a ca a ca a =1 1 M� Max(M) = Dấu “=” xảy a = b = c =1 Vậy Do Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) 2013 2013 x1006 y1006 (1) Tìm GTNN biểu thức P xy , biết: x y x 2013 y 2013 x1006 y1006 � x 2013 y 2013 x 2012 y 2012 Ta có: Mặt khác: x 2013 y 2013 �4 x 2013 y (2) 2013 (3) 2012 2012 2013 2013 x y � x y Từ (2) (3) suy ra: 2012 2012 Hay : x y (1 xy ) �0 Do P xy �0 2013 2013 (4) Đẳng thức xảy khi: xy � x y �x 2013 y 2013 �x � � 2013 � x y 2013 �y Từ (1) (4) ta có: � Vậy Min (P) = x = y =1 Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014) a b c � CMR: b c c a a b Cách 1: � 2a b c 2b a c 2c a b �0 2 b c 2 c a 2 a b (*) Vì a, b, c có vai trị Giả sử : a b �a c; a+b �b+c 2a b c 2b a c 2c a b 2a b c 2b a c 2c a b � 0 2 b c 2 c a 2 a b a b 2 a b 2 a b Suy ra: Vậy bất đẳng thức (*) với giá trị dương a, b, c Dấu “=” xảy a = b = c a b c � Nên b c c a a b Dấu “=” xảy a = b = c x b c; y=a+c; z=a+b yzx xzy x yz � a= ; b= ; c= 2 Cách 2: Đặt a b c y z x x z y x y z b c c a a b x y 2z Ta có : y z x z x y �y x � �z x � �y z � � � � � � � 2x 2x 2y 2y 2z 2z �2x 2y � �2x 2z � �2z 2y � Mà y x y x �2 � 1 2x 2y 2x 2y Tương tự : z x y z �1; �1 2x 2z 2z 2y a b c y z x x z y x y z �3 2x 2y 2z Nên b c c a a b a b c � Hay b c c a a b y x z x y z ; ; Dấu “=” xảy : 2x 2y 2x 2z 2z 2y hay x = y = z � a b c Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016) Chứng minh xy y �4 Ta có: x y �3 � x y �4 Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương y, x + ta có: 2 �x y � �4 � xy y y ( x 1) �� ��� � � � �2 � �x y �x �� � y x � �y Dấu “=” xảy 3xy y Tìm GTNN biểu thức: xy y xy y P xy y 6 Ta có: P Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương kết hợp với a) ta được: xy y y ( x 1) 2 3xy 4 y 6 44 � 2 �x y �y x � �2 �x xy �� � �y �3 xy �6 y4 � Dấu “=” xảy khi: �y Min P x 1, y Vậy P �2 Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016) 1 2 Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn x y z xyz � 64 Chứng minh 1 2y 2z 1 1 1 y 2z y 1 2z Từ giả thiết ta có: x Áp dụng BĐT Cauchy : �4 1 2x � Dấu “=” (1) xảy Lập luận tương tự ta có: zx �4 1 y 1 2z 1 2x �4 1 2z yz 1 y 1 2z (1) 2y 2z � yz 1 y 1 2z (2), dấu “=” � z x ; xy 1 2x 1 y (3), dấu “=” � x y Vì vế (1), (2) (3) không âm nên nhân theo vế ta được: x2 y z �64 (1 x)(1 y )(1 z ) (1 x ) (1 y ) (1 z ) Dấu “=” xảy � x yz xyz 64 Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017) 2 Cho m, n số thực thay đổi cho m n �5 (1) Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q m n mn (2) 2Q m n 2mn Từ (2) ta có: 2 2 Do đó: 2Q m n m n 2m 2n mn 2 m n 1 �1 2Q �1 m n �4 Q (do (1)) � m 2 � � � 2 n 1 � m n 5 � �� �� � m n 1 m 1 � � � � n 2 � � Dấu “=” xảy Vậy Min Q = -2 m =-2, n =1 m =1, n = -2 Suy ra: Bài 9: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018) a) Với Với 00 ta có x y z � 3 x2 y z2 , áp dụng ta có 1 1 � � � 3� � ab a bc b ca c ab a bc b ca c � � 1 �1 � x y��� xy x y xy � x y 4� �x y � -Với x,y>0 ta có áp dụng ta có 1 1 ab a ab a ab abc a ab( c 1) ( a 1) 1� 1 � � abc � 1�c � � � � � � � �ab( c 1) a � �ab(c 1) a � �c a � � 1�c � � � � Vây ta có ab a �c a � 1�a � 1�b � � � � � � � Tương tự ta có bc b �a b �; ca c �b c �nên 1 � � 3� � �ab a bc b ca c � 1�c a b � � 3� � � �c a a b b c � 1 � bc b ca c 2 dấu “=” có a=b=c=1 Vậy ab a Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z xyz x2 y z �xyz x y z Chứng minh rằng: 1 1 xy yz zx Từ Gt suy ra: Nên ta có: �1 � 1 x2 1 1 �1 � �2 1 � 2 � � ;" " � y z � �� � � x x xy yz zx x y �x z � �x y z � � � x �1 �4 � � � �x y z � x Vậy y �1 � z �1 � � � � � � � x y z �x y z � y � � z Tương tụ ta có ; �1 1 � x2 y2 z ;" " � x y z �3 � � x y z x y z � � Vậy ta có 10 1 � a b c a b c (*) 1 � �1 xy yz zx xy yz zx Áp dụng (*) ta có ; x y yz zx xy yz zx � x yz 3 2 (Vì ) yz zx xy �1 yz yz zx zx xy xy Vậy 2 2 2 2x y z 2y z x 2z x2 y �4 xyz yz zx xy Do ta có x y z Đẳng thức xảy Bài 66: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015) Ta có Nên Áp dụng BĐT Bunhia cho dãy dãy : Dãy : (*) Ấp dụng Côsi ;; Nên Thay Vào (*) Ta có Hay Dấu “=” xảy Cách khác ;; Nên Bài 67: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 – 2016) Ta có Khi Suy (1) Mặt khác Khi (2) Từ (1) (2) suy Dấu “=” xảy Chẳng hạn Bài 68: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 – 2018) 34 Giả sử a b c t đặt a tx; b ty; c tz � x y z �t 3x y t 3y z t 3z x � ��9 t x y z �2 2 2 t x xy t y yz t z zx � � � � Ta chứng minh 3x y y z 3z x � �9 x xy y yz z zx 4x x y y y z 4z z x 4 � �9 � �9 x x y y y z z z x 1 z x 1 x y 1 y z 5x y y � �9 x x2 y y z z � 1� a b c � x, y , z �� 0; � a , b , c � � Vì ba cạnh tam giác nên Ta có: � 1� 5x x � 0; � � 18 x � x x � � 2� � x x2 y 1 � 1� �18 y � y 1 y 1 �0 y �� 0; � y y 2� � � 1� 5z 1 z � 0; � � 18 z � z z � � 2� � z z2 5x y y 1 5x y y � �18 x y z � �9 2 2 2 x x y y z z x x y y z z Suy Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014) 1 (*) Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 � a 1 b 1 c 1 1 c 1 a 1 b 1 � 1 1 1 � c a b c a b (*) 1 1 a , b , c a b c Từ suy a, b, c hay a 0, b 0, c c 1 a 1 b 1 �2 c a b Ta có: Tương tự : a 1 b 1 ab b 1 c 1 a 1 �2 b c a c 1 a 1 a 1 b 1 c 1 �2 a b c b 1 c 1 ca bc (1) (2) (3) Từ (1), (2) (3) suy : 35 a 1 b 1 c 1 a 1 (c 1) (b 1) ( a 1) �2 2 c b a ab ca � a 1 b 1 c 1 �8 a 1 b 1 c 1 � a 1 b 1 c 1 � a 1 b 1 c 1 (đpcm) b 1 c 1 bc Bài 70: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016) a b � a b2 a 1 (*) Trước hết ta chứng minh với a Thật vậy: (*) � a2 2ab b2 �a2 a ab2 b2 ۣ 2ab a ab2 � a b 1 �0 a b2 Từ (*) Tương tự: (do a > 0) a a b b � b a2 b a M Cộng vế theo vế ta được: 1 a b � (1) a b2 b a2 (a b)2 a b �1 (2) ( a b ) a , b a b � Ta chứng minh với thỏa mãn Thật vậy: (2) � (a b)2 �(a b) � (a b 1)(a b 2) �0 (do a b �2 ) Từ (1) (2) suy M �1 Dấu ‘=’ xãy a b Vậy giá trị lớn M a b Bài 71: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019) Biến đổi giả thiết toán ta x y z xyz � xy x y yz y z zx z x xyz xy yz zx x y z � x1 y1 y1 z1 z1 x1 x1 y1 z x 1 � 1 x1 y1 z1 a Đặt 1 ;b ;c x1 y1 z ta a b c Ta có x 1 a 1 b 1 c ;y ;z a b c Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 36 b c � 1 a 1 b 1 a 1 b 1 c �2 � � a b c ab � � b c c a b c c a a b �2 � � a b c ab � Hay 2 c a a b bc Tương tự ta có c a a b bc b c c a ab Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta �2 bc a a c b c a � � � � ca a b b c � � ca � � b c c a c c � 2 b a b a a b b c ca �2 b b a c Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta thu � b c c a 2� � ab � � c a a b bc a b b c � ��b c c a a b ca � � � a b c Do bất đẳng thức cho chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b c hay x y z Bài 72: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013) Với a, b > ta có: (a – b)2(a + b) ≥ a3 ≥ ab(a + b) - b3 ≥ a(a + b) – b2 = a2 + ab – b2 Tương tự ta có BĐT cộng chúng lại ta suy đpcm Bài 73: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014) a b c2 � a b c �1 Ta có : � 1 �a �1 � a �0 Tương tự : b �0; c �0 (1 + a)(1 + b) (1 + c) ≥ + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ (1) 2 Mặt khác: (1 + a + b + c) = (1 + a) + (b + c)2 + 2(1 + a)(b + c) = + a2 + b2 + c2 + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc = (a2 + b2 + c2) + (a2 + b2 + c2) + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc = 2(a2 + b2 + c2 + a + b + c + ab + ac + bc) a2 + b2 + c2 + a + b + c + ab + ac + bc = (1 + a + b + c)2 ≥ (2) Cộng (1) (2) vế theo vế ta : abc + a2 + b2 + c2 + + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc ≥ abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ Bài 74: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 – 2018) 37 Vì a,b,c có vai trị �a, b, c �2 nên giả sử ≥ a ≥b ≥ c ≥ Khi đó: (b-a)(b-c) ≤ a b a �1 c ( chia vế (*) cho bc) b2 +ac ≤ ab+bc (*) b c b c c �1 a ( chia vế (*) cho ab) a b a b b c a c a c �2 2( ) c a b c a b c a a c a c 2( ) � c a c a (2) Để chứng minh (1) ta tiếp tục chứng minh a �x �2 c Ta có: ≥ a ≥ c ≥ (2) x+ x 2x25x+2 (x2)(2x1) ( �x �2 (2) chứng minh (1) chứng minh Dấu “=”xảy a = 2, b = c = a = b = 2, c = hốn vị Bài 75: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008 – 2009) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2) = x2 − xy + y2 (vì x + y = 1) x y x y2 x2 y2 ( ) ( xy ) 2 2 = (x2 + y2) + = � M �2 (x2+y2) Ngoài x + y =1 � x2 + y2 + 2xy = � 2(x2 + y2)−(x − y)2 = 1 � 2(x2 + y2) �1 � (x2 + y2) � dấu xảy � x = y = 1 1 � M � = dấu xảy � x = y = 1 Vậy giá trị nhỏ M , đạt x = y = Bài 76: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013 – 2014) 1 b c bc 1 1 �2 1 b 1 c 1 b 1 c (1 b)(1 c) Ta có : a ca ab �2 , �2 (1 c)(1 a) c (1 a)(1 b) Tương tự : b 1 abc �8 (1 a )(1 b)(1 c) Nhân bất đẳng thức vừa nhận ta có : a b c 1 � Hay : abc Dấu = xãy a = b = c = Vậy maxQ = 38 Bài 77: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 – 2017) Áp dụng BĐT Cauchy ta có a b�c۳ a b c a bc 2a abc Chứng minh tương tự ta b 2b c 2c � ; � ca abc ab abc 2 a b c a b c � 2 ca ab abc Suy b c a bc � � �� bca � a bc 0 � c ab � Dấu xảy Vậy dấu = không xảy suy đpcm (Trái với giả thiết) Bài 78: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2005 – 2006) Ta cã: 21a+(3/a) =(3/a) + a/3 + 62a/3 + (62.3/3) = 64 (1) a Dấu xảy (3/a) = a/3 a = a = L¹i cã: (21/b) + 3b =(21/b) + 7b/3 + 2b/3 + (2.3/3) = 16 (2) b DÊu b»ng x¶y (21/b) = 7b/3 vµ b = b = Từ (1) (2) suy BĐT cần chøng minh DÊu b»ng x¶y a = b = Cách giải khác: Trớc hết chứng minh BĐT: (21/b) + (3b) 16 (*) víi b Víi b th× (*) 3b2 - 16b + 21 (b - 3)(3b - 7) Do b nªn (b - 3) vµ (3b - 7) 3.3 - = => (b - 3)(3b - 7) DÊu b»ng x¶y b = Tơng tự, chứng minh đợc: 21a + (3/a) 64 víi a ( (a-3)(21a-1) 0) DÊu xảy a = Từ suy điều phải chứng minh Bi 79: ( HSG TNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2013 – 2014) 2 � 1� � 1� � a � � b � a � b � � a � b2 2 � 1� � 1� � 1� � 1� � � a � � b ��2 � a � b � � ab 2� � � ab � a� � � Có � b � � a � � b � Có ab 1 �1 � �a b � � 16ab � 15ab �2 16ab 15 � � ab ab �ab � �2 � 25 ab 2� ab hay Vậy 2 � � � � 25 a � � b �� � � b� � a� 1 �1 � �1 � � 8a 8a � � 8b 8b � 16 � �b � Có a b �a 39 1 8a.8a 3 8b.8b 16 a b =8 25 41 8 Vậy có T � Dấu “ = “ xảy � a = b = 41 Vậy giá trị nhỏ T đạt tại a = b = �3 Bài 80: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2013 – 2014) Đặt x = + a => y = 1- a => x5 + y5 = (1+a)5 + (1-a)5 = 10a4 + 20a2 + ≥ ( a4 ≥ 0; a2 ≥ với a) => x5 + y5 ≥ Dấu “=” xãy a = x = y = Bài 81: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c Biết P(x) > với x thuộc R a > 5a 3b 2c (1) Chứng minh rằng: a b c c b2 4a Từ giả thiết P(x) > với x thuộc R a > suy Vì P(x) > với x thuộc R nên P(-1)>0 Suy a – b + c > 5a 3b 2c � 5a 3b 2c a b c � 4a c 2b a b c Vậy Ta có 4a c 4a b2 4a b2 4a �2 b �2b 4a Áp dụng BĐT Cơsi ta có � 4a c 2b Vậy (1) Bài 82: ( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) a2 1 (a 1) (a 1)(a a 1) (a a a) a Dễ thấy a �0 ta có a2 1 2( ) 2(a ) � suy a a a �2��a6 a a > a6 Dấu sảy � a = (loại) Vậy a6 > Mặt khác ta có + a3 = a5 + a � 1 a � a a ( a �1) Nên có a < suy a6 < Nên có < a6 < 40 2 Ta có 2( a b ) �( a b) a2 b2 c2 a2 b2 c2 � bc ca ab b2 c2 c2 a2 c2 a2 Suy 2 2 2 Đặt x b c , y c a , z a b , y z x2 z x2 y x2 y z VT � 2 x 2 y 2z suy � �( y z ) � �( z x)2 � �( x y )2 � � � x y z� � � � �� � � 2� � 2x � � 2y � � 2z � � 2 � �( y z ) � �( z x) � �( x y )2 � � � x x y y z z � � � �� �� � 2� � 2x � � 2y � � 2z � � � � 2( y z ) 3x 2( z x) y 2( x y 3z � � � 2 1 2011 VT � ( x y z) 2 2 Suy Bài 83: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011) Bài 84: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014) Ta có: B 2xy (x y) 3xy(x y) xy 3xy xy xy(1 3xy) (x y)2 xy � 4 Theo Côsi: Gọi Bo giá trị B, đó, x, y để: 3Bo(xy)2 – (2 + Bo)xy + = (1) Bo 2xy xy(1 3xy) � Bo �4 � Bo �4 � Để tồn tại x, y (1) phải có nghiệm xy = Bo2 – 8Bo + � B �4 Để ý với giả thiết tốn B > Do ta có: o Bo Bo � xy � x(1 x) 6Bo 6 3 6 3 Với x2 x � x 6 3 Vậy, Bmin 1 , đạt x 3 1 1 1 3 ,x 2 1 3 1 1 1 3 , y 2 41 x 1 3 1 1 1 3 , y 2 Bài 85: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2014 – 2015) b � c(a b)(a ab b ) 2(a b ) �a b � �a � � c � � � 2 b a b a a b ab � � � � Từ: c(a b)( a ab b ) 2( a b ) c(a b) c ( a b) a b �2ab � � 4�0 �2 2 a b ab ab ab ta có: bc ac (bc)2 (ac) (bc ac) c ( a b) � Lại có a (2b c) b(2a c) abc(2b c ) abc(2a c) 2abc( a b c) 2abc(a b c) (ab bc ca) abc( a b c ) ab.bc bc.ca ab.ca � 2 � bc ac � c (a b ) � � � � a (2b c) b(2a c ) �ab bc ca � t Đặt c ( a b) ab P 3t 2(1 t )2 � c ( a b) � � � ab � c( a b) � 2� � 1 ab � � t (với t �2 ) 3t � 3t � 7t 8t 32t 24 � � 2(1 t ) t �2(1 t ) t � 6t (1 t ) Có (t 2)( 7t 22t 12) 6t (1 t ) (t 2)(7t 22t 12) (t 2)(7t 22t 12) 8 � t � (0; 2] � � t �(0; 2] 2 t (1 t ) t (1 t ) 3 mà Dấu "=" xảy t = hay a b c Vậy giá trị nhỏ P a b c Bài 86: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 – 2017) Tìm GTNN Khơng tính tổng qt, ta giả sử a �b �c Khi : a ���� b c� 3a � a (a 1)(2 a ) (*) 42 Mặt khác, �b, c �2 nên (b 2)(c 2) �0 ۳ bc 2(b c) ۳ bc 2(5 a) 2a (**) Do A a b c a b c bc � a a 2a ۳ A Theo (**) a a 2 a a ( a 2) a a a 3a a a (3 a ) a 3a a ( a 1)(2 a) �3 2 ( 1) ( (a 1)(2 a) �0 , theo (*) ) a a � 1 Nên Vậy A �2 Dấu xảy �a, b, c �2 ; a b c � � (a 1)(2 a ) � a b ; c 1 � � bc 2a � Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 2 Đạt (a, b, c) = (2, 2, 1) hoán vị Bài 87: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017 – 2018) y2 2z 1 xz y2 x 2z yz x P xz z y y yz xz yz x z 1 1 1 yz x yz Ta có x 2z y 1 2 y x a b 2c z y x z b2 a 1 c 1 1 1 z y x , xz yz x y z , b , c a, b, c y z x a2 Nhận xét Xét a b2 x �1 x �z z c2 2 2 2 a2 b2 2ab a a 1 ab 1 b b 1 ab 1 2aba a 1 b 1 b a ab a 1 b2 1 ab 1 ab a b a b a b3 a b a 1 b2 1 ab 1 �0 43 a2 b2 2ab � c b a ab 1 1 c c Do 2c Khi c c 2 2 c 1 c2 1 Đẳng thức xảy a b 2 c c 2c c c 1 c 3c 3c c �0 2 c c c c2 Từ 1 c �1 suy điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy a b, c � x y z Bài 88: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019) x y z � z xy x y xy x 1 y 1 Cách : Ta có x yz x y x y 1 x xy y y x y y 1 y xz y x x y 1 x y x 1 �P x3 y x y x 1 y 1 3 � x y �4 xy � x3 y x2 y x P � 3 3 xy x y x y � y0 Vì � Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương, ta có: x x x2 27 x x2 3 x �3 � x 1 � � 0 � 2 4 x 1 27 0 Tương tự: y2 � y 1 27 x y 4 P � 3 27 27 729 x 1 y 1 2 Dấu “=” xảy MaxP Vậy Cách : : �x y �x y � 1 � �2 �� � z 5 � �z x y �x y � 729 , đạt tại � z �x � �z � x yz y xz z xy x yz y xz z xy �y � 2 � z� z� � 1� � 3 P x y y x x y �x � �y � �xy � 2 �z � � �y x � � �z � � zy zx � � 1 z � � �z z � � � � � 1� P � x y � �xy � � �x y � �xy � � 2 44 Vì y x �2; x y � ; x y z 1 xy x y nên: 2 � 4z � � 4z � �4 z z 1 � � � � � � � z z � z z � x y � � z 1 � � z 1 � P � � � � � � Đặt �4 z z 1 � � 12 � � � z z � � � z 1 � � z z 1 � � � � � t z 1, ۳ P P � 12 � � t � 12 3t =� �= 2 � t � t2 12 � � � t� � � � � �t 3t � �8 �� � �t 2 t t � 729 33 � t 8� � P t � t� � � 8� � 729 Dấu “=” xảy ra: � t 4, x y � x y 2, z �x y � MaxP z � 729 Vậy , đạt tại Bài 89: ( HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2016 – 2017) x 2y 1 � x xy 2y 2xy 1 xy x y � y 2xy 1 Với x, y > 0, ta có: 1 x 1 y • Áp dụng bđt Cauchy, ta có 1�y� 2xy �2y.2xy 2xy2 8xy P xy y 2xy � � P1�� y 2xy 1 � � x y � x; y • Bài 90: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018) Theo điều đề ta có: 1- a > ; 1- b > ; 1- c > Nên theo BĐT Cô-si, ta có: a b ab �2 1 b 1 a (1 b)(1 a ) b c bc �2 1 c 1 b (1 c )(1 b) c a ca �2 1 a 1 c (1 a )(1 c) � ac bc a b ab bc ca �2( ) 1 b 1 a 1 c c ab a bc b ca hay1 �2( ab bc ca ) c ab a bc b ca ab bc ca c ab a bc b ca Vậy maxP = tại a = b = c = ۳ 45 Bài 91: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 – 2008) Trước hết, với số thực dương a, b ta có a b (a b)(a b ab) �(a b)(2ab ab) ab(a b) 3 2 Từ a b 2c �ab(a b) 2c �2 2abc (a b ) 4c (a b) 4c a b 3 3 Hay a b 2c �4c a b (1) Tương tự b c 2a �4a b c (2); c a 2b �4b c a (3) 3 3 3 3 Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có điều cần chứng minh abc � � abc � � ab(a b) 2c � a b c � � bc(b c) 2a � ca (c a ) 2b � Đẳng thức xảy � 3 3 Bài 92: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008 – 2009) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có a Từ a b c 3 a � a � 2 b2 c a b c � a b c � a b c a 2 b2 c2 a b c a bc b ca c ab b3 c b2 c b c c a a b (1) Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy a b c b c a c a b �3 abc (b c)(c a)( a b) �3 abc 8abc (2) Từ (1),(2) suy điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy … a b c Bài 93: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009 – 2010) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 � �1 ( a b)(b c)(c a ) � �� a b c abc a b b c c a abc � � Chứng minh (a b)(b c)(c a ) c (a b) a (b c ) b (c a ) 2abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopsky-Schwarz 46 1 c (a b) a (b c) b (c a) 2abc � �a b b c c a 2 2 � � �� abc � � 1 1 �� c a b a b c b c a 2abc � ab bc ca abc � c a b abc � � � � Dấu “ = ” xảy c(a b) a (b c ) b(c a ) abc abc � a b c Bài 94: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011) �x a 2b c � �y a b 2c � Đặt �z a b 3c , x, y, z >0 z y c, x y b c b ( z y ) Suy b x z y a 3c y x � y y x 4( x z y ) 8( z y ) x�� z y� P 17 �2 � � � x y z y�� y z� � x Khi ¸p dụng BĐT Cauchy ta được: P �17 32 17 12 y 4x 4z y ; � 4x2 y z y y z Đẳng thức xảy x , � b (1 2)a � � c (4 2)a Khi , suy � � b (1 2) a � � c (4 2) a Vậy giá trị nhỏ P 17 12 , đạt � a b 2c 2(a 2b c) � � a b 3c 2(a 2b c) � Bài 95: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 – 2012) Ta có: 2012 abc bcd cda dab a b c d ab 1 c d cd 1 a b 2 2 2 � �� cd 1 c d � �ab 1 a b � �� � 2 2 2 2 a b a b 1 c d c d 1 a 1 b 1 c 1 d 1 Suy a 1 b 1 c 1 d 1 �2012 Bài 96: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) a) Ta có a b c a2 b2 c2 b 2c c 2a a 2b a b 2c b c 2a c a 2b a b c � a b 2c b c a c a 2b ab bc ca � ab bc ca =1 a b c ab bc ca 47 Dấu đẳng thức xảy a b c b) Nhận xét Nếu a, b 3a 6b a 2b a b �a 2b 2 2 2 Từ nhận xét ta có 3a 6b �a 2b; 3b 6c �b 2c; 3c 6a �c 2a Do a b 2c b c 2a c a 2b a b 2c b c 2a c a 2b � abc b 2c c 2a a 2b 3b 6c 3c 6a 3a 6b Dấu đẳng a b c thức xảy Bài 97: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 – 2004) a) 5a2 + 5b2 + 8ab = 18 M = 18 – 4a2 – 4b2 – 8ab = 18 – 4(a + b)2 ≤ 18 Dấu “=” xảy a = –b thay vào đẳng thức: 10a2 – 8a2 = 18 a2 = a = ±3 Vậy: max M = 18 (a ; b) = (3 ; –3) (–3 ; 3) 2 b) 5a + 5b + 8ab = 18 9(a2 + b2) = 18 + 4(a – b)2 ≥ 18 9M ≥ 18 M ≥ Dấu “=” xảy a = b thay vào đẳng thức: a = b = ±1 Vậy: M = a = b = ±1 Bài 98: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007) (m n) mn mn mn 1 A � �1 2 2 mn m n (m n)(m n mn) m n mn 2mn mn 1 �1 ; �1 n (Do m ≥ n ≥ nên: m ) Dấu “=” xảy m = n = Bở xung: có thể thêm u cầu tìm giá trị nhỏ của biểu thức A Ta có: (m n) mn mn mn 1 1 A � � 1 2 (m n)(m n mn) m n mn 2mn mn mn m n 2 Dấu “=” xảy m = n = Bài 99: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2011 – 2012) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: \f(x,y+1 + \f(y+1,4 > 2\f(x,y+1\f(y+1,4 = ∙ \f(x,2 = x (1) Tương tự \f(y,z+1 + \f(z+1,4 > y (2) , \f(z,x+1 + \f(x+1,4 > z (3) Cộng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta \f(x,y+1 + \f(y,z+1 + \f(z,x+1 + \f(y+1,4 + \f(z+1,4 + \f(x+1,4 > x + y + z \f(x,y+1 + \f(y,z+1 + \f(z,x+1 > \f(,4 (4) Mặt khác, theo bất đẳng thức Cơ-si ta có: x + y + z > = = (5) Từ (4) (5) suy \f(x,y+1 + \f(y,z+1 + \f(z,x+1 > \f(3.3−3,4 = \f(3,2 Dấu “=” xảy x = y = z = 48 ... � Ta thấy với x, y F �2 Nên Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NM HC 2008 2009) a) Hàm số xác định với x y giá trị hàm số phơng trình (ẩn x tham số y) có nghiÖm y(x2 + x + 1) = x+ y.x2 +... 60: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012) 30 a b2 � Áp dụng BĐT ab ĐK: –x2 �0 y x x2 � Ta có � Vậy giá trị lớn y 9/2 x= Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho ba số thực... 66: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015) Ta có Nên Áp dụng BĐT Bunhia cho dãy dãy : Dãy : (*) Ấp dụng Cơsi ;; Nên Thay Vào (*) Ta có Hay Dấu “=” xảy Cách khác ;; Nên Bài 67: ( HSG TỈNH PHÚ
Ngày đăng: 10/12/2020, 12:00
Xem thêm:
