ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG N Năm học 2013-2014 MƠN TỐN (Thời gian: 150 phút) Bài (2,0đ) Giải phương trình sau: x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 a) 86 84 82 b) 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 Bài (2,0đ) a) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh rằng: A = b) Cho a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c a b c x y z + + = + + = x y z a b c x2 y z Chứng minh : + + = a b c Bài (1,0đ) Giải toán cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Bài (3,0đ) Cho ∆ABC vng A (AC>AB), đường cao AH ( H ∈ BC ) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: Bài (1,0đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = GB HD = BC AH + HC 2010x + 2680 x2 + Bài (1,0đ) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG YÊN Năm học 2013-2014 ĐÁP ÁN MƠN TỐN Bài (2,0đ) Giải phương trình sau: x − 214 x − 132 x − 54 a) + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ −1 + −2+ −3=0 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 ⇔ + + =0 86 84 82 1 ⇔ (x − 300)( + + ) = 86 84 82 ⇔ x = 300 b) 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 Ta có: x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; ĐKXĐ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7 Phương trình trở thành : 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 − = x + x + 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; Bài (2,0đ) a) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh rằng: A = a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ suy a= y+z x+z x+ y ;b = ;c = ; 2 2 Thay vào ta A= y+z x+z x+ y 1 y x x z y z + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) 2x 2y 2z 2 x y z x z y Từ suy A ≥ (2 + + 2) hay A ≥ b) Cho a b c x y z x2 y z + + = + + = Chứng minh : + + = x y z a b c a b c Từ : a b c ayz+bxz+cxy + + =0 ⇔ =0 x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z x y z + + = ⇔ ( + + )2 = a b c a b c xy xz yz + 2.( + + ) = ab ac bc cxy + bxz + ayz +2 =1 abc Ta có : x2 y z + + a b2 c2 x2 y z ⇔ 2+ 2+ a b c 2 x y z2 ⇔ + + = 1(dfcm) a b c ⇔ Bài (1,0đ) Giải toán cách lập phương trình Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm x (x số nguyên khác -11) x + 11 Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số Theo ta có phương trình x x + 15 = x + 11 x − x−7 (x khác -15) x + 15 Giải phương trình tìm x= -5 (thoả mãn) Từ tìm phân số − Bài (3,0đ) Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung CD CA = (Hai tam giác vuông CDE CE CB CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) · Suy ra: BEC = ·ADC = 1350 (vì tam giác AHD vng cân H theo giả thiết) Nên ·AEB = 450 tam giác ABE vng cân A Suy ra: BE = AB = m BM BE AD = × = × (do ∆BEC : ∆ADC ) BC BC AC mà AD = AH (tam giác AHD vuông vân H) BM AD AH BH BH = × = × = = nên (do ∆ABH : ∆CBA ) BC AC AC AB BE · · Do ∆BHM : ∆BEC (c.g.c), suy ra: BHM = BEC = 1350 ⇒ ·AHM = 450 Ta có: 3 Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM cịn phân giác góc BAC GB AB AB ED AH HD = = ( ∆ABC : ∆DEC ) = ( ED // AH ) = , mà GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = Do đó: GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC Suy ra: Bài (1,0đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2010x + 2680 x2 + 2010x + 2680 x2 + −335x − 335 + 335x + 2010x + 3015 335(x + 3) = = −335 + ≥ −335 x2 + x2 +1 Vậy giá trị nhỏ A – 335 x = – A= Bài (1,0đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) x2 + y2 = z2 (2) Từ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 Từ ta tìm giá trị x , y , z : (x=5, y=12, z=13) ; (x=12, y=5, z=13) ; (x=6, y=8, z=10) ; (x=8, y=6, z=10) ...ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG N Năm học 2013- 2014 ĐÁP ÁN MƠN TỐN Bài (2,0đ) Giải phương trình sau: x − 214 x − 132... lập phương trình Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm x (x số nguyên khác -11) x + 11 Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số Theo ta có phương trình... tam giác AHD vuông cân H theo giả thi? ??t) Nên ·AEB = 450 tam giác ABE vng cân A Suy ra: BE = AB = m BM BE AD = × = × (do ∆BEC : ∆ADC ) BC BC AC mà AD = AH (tam giác AHD vuông vân H) BM AD AH BH