BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHỦ ĐỀ 25: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A/ CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN DẠNG 1: Giải phương trình: f(x) k , với k số không âm Phương pháp giải: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần) f(x) k Bước 2: Khi f(x) k nghiệm x f(x) k Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương trình Bài 1: Giải phương trình sau: a) 2x b) x 1 -2=0 x Hướng dẫn 2x a) ta có 2x 2x 2x 2x x x Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = b) Điều kiện xác định phương trình x x 1 x 2 x 1 2 x x 2 x x 2x x 2x Vậy phương trình có hai nghiệm x = Bài 2: Giải phương trình sau: a, x b, x 12 c, 0,5 x x x 1 1 3x x 1 x = BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC d, x Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà DẠNG 2: Giải phương trình: f(x) g(x) Phương pháp giải: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) g(x) xác định (nếu cần) f(x) g(x) Bước 2: Khi f(x) g(x) nghiệm x f(x) g(x) Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương trình Bài 1: Giải phương trình sau: a, 2x x x2 x b, x 0 x 1 c, Hướng dẫn a, Biến đổi tương đương phương trình: 2x x 2x x 3 x 6 2x x 2x x 2x x x Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 x = b, Điều kiện xác định phương trình x Biến đổi tương đương phương trình: x2 x x2 x x 0 x x 1 x 1 x2 x x 1 x x2 x x(x 1) 2x x 1 2x v« nghiƯm x x x(x 1) x x x x Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 2: Giải phương trình: 2x 3m = x , với m tham số Hướng dẫn Biến đổi tương đương phương trình: BỒI DƯỠNG TỐN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà 2x 3m x 2x x 3m x 3m 2x 3m x 2x 3m x 2x x 3m 3x 3m x 3m x m Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3m + x = m – Bài 3: Giải phương trình sau: a, x x b, x - 3,5 = 4,5 - x c, x x d, x x DẠNG 3: Giải phương trình: f(x) g(x) Phương pháp giải: Cách 1: (Phá dấu giá trị tuyệt đối) Thực bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) g(x) xác định (nếu cần) Bước 2: Xét hai trường hợp: -Trường hợp 1: Nếu f(x) (1) Phương trình có dạng: f(x) = g(x) => nghiệm x kiểm tra điều kiện (1) -Trường hợp 2: Nếu f(x) < (2) Phương trình có dạng: -f(x) = g(x) => nghiệm x kiểm tra điều kiện (2) Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương trình Cách 2: Thực bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) g(x) xác định (nếu cần) g(x) f(x) g(x) Bước 2: Khi đó: f(x) g(x) Nghiệm x f(x) g(x) Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương trình Bài 1: Giải phương trình: x 3x Hướng dẫn Cách 1: Xét hai trường hợp: BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà - Trường hợp 1: Nếu x + x -4 (1) Phương trình có dạng: x + + 3x = 4x = x = - Trường hợp 2: Nếu x + < x < - thoả mãn điều kiện (1) (2) Phương trình có dạng: -x - + 3x = 2x = x = không thoả mãn tra điều kiện (2) Vậy phương trình có nghiệm x = Cách 2: Viết lại phương trình dạng x 3x Với điều kiện - 3x + - 3x - x Khi phương trình biến đổi: x x 3x x 3x x 3x x không tho ả mÃn * Vy phng trình có nghiệm x = Lưu ý: Khi vế phải biểu thức không đa thức có bâc ta nên sử dụng cách sử dụng cách việc tìm x thoả mãn điều kiện g(x) không âm phức tạp Khi biểu thức trị tuyệt đối dạng phức tạp khơng nên sử dung cách gặp khó khăn việc giải bất phương trình f(x) f(x) < Tuy nhiên học sinh khắc phục cách khơng di giải điều kiện mà thực bước biến đổi phươnmg trình sau thử lại điều kiện mà khơng đối chiếu Bài 2: Giải bất phương trình: a, x x2 x b, x 2x 2x Hướng dẫn BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà a) Xét hai trường hợp - Trường hợp 1: Nếu x + x -1 (1) Khi phương trình có dạng: x + = x2 + x x2 = x = (thoả mãn đk 1) - Trường hợp 2: Nếu x + < x < -1 (2) Khi phương trình có dạng: - x - = x2 + x x2 + 2x + = (x+1)2 = x = -1 ( không thoả mãn đk 2) Vậy phương trình cób hai nghiệm x = b) Viết lại phương trình dạng: x 2x 2x với điều kiện 2x - 2x x (*) x 2x 2x x 4x Ta có: x 2x 2x x 2x 2x x x (x 2)2 x 2 x không tho ả mÃn * Vy phương trình có nghiệm x = Lưu ý: Đối với số dạng phương trình đặc biệt khác ta có cách giải khác phù hợp chẳng hạn phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng bất đẳng thức Cơsi Bài 3: Giải phương trình x x2 2x Hướng dẫn PT (x2 2x 1) x (x 1)2 x (1) Đặt x = t ( t 0) Khi từ (1) ta có phương trình t2 - 2t - = t2 + t - 3t - = t(t + 1) - 3(t + 1) = BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà (t + 1)(t - 3) = t = - (loại) t = (t/m) Với t = ta x = x x x 3 x 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2 x = Bài 4: Giải phương trình: a, x x b, x 4 x c, x ( x 3) d, x x x x e, x x (4 x) x Bài 5: Giải biện luận phương trình sau a) 3x m x b) x 4x x m m DẠNG 4: Giải phương trình: f(x) + g(x) = a Phương pháp giải: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối Ở dạng phải lập bảng xét dấu để xét hết trường hợp xảy (lưu ý học sinh số trường hợp xảy số biểu thức chứa đấu giá trị tuyệt đối cộng thêm 1) Bài 1: Giải phương trình x 1 2 x 1 (1) Hướng dẫn Điều kiện xác định phương trình x -1 Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Đặt t = Khi (1) x 1 điều kiện t > t t 2t t t BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà x 1 x x 1 x 1 x 3 x 4 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 x = Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi VT = x 1 x 1 =2 x 1 x 1 Ta thấy dấu xảy (Tức x 1 2) x 1 x 1 x x (x 1)2 x 1 x 3 x 4 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 x = Đối với phương trình có từ hai giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách đặt điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối Mỗi trị tuyệt đối có giá trị x làm mốc để xác định biểu thức trị tuyệt đối âm hay không âm Những giá trị x chia trục số thành khoảng có số khoảng lớn số trị tuyệt đối Khi ta xét giá trị x khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối giải phương trình tìm Bài 2: Giải phương trình x + x = Hướng dẫn Ta thấy x - x x-3 x Khi để thực việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba trường hợp +Trường hợp 1: Nếu x < Khi phương trình có dạng: - x + - x + = -2x = - x = (không t/m đk) +Trường hợp 2: Nếu x < Khi ta có phương trình: x - - x + = 0x = => x < nghiệm +Trường hợp 3: Nếu x BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Khi phương trình có dạng: x - + x - = 2x = x = (t/m đk) Vậy nghiệm phương trình x Bài 3: Giải phương trình sau: 1) x x 2) x x 3) x x 4) x x 5) x x x 6) x x x B/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải phương trình sau: a) 4x x b) x 3x d) 2x 6x x e) 2 ĐS: a) S ; b) S 0 c) S 3 5x 5x 9 7 d) S c) 2x 5x f) x x 1 x 19 20 e) S 1 8 f) S Bài 2: Giải phương trình sau: a) x2 2x x b) 2x2 5x 2x2 c) x2 4x x2 d) 3x2 7x x2 5x 1 ĐS: a) S 0;1;3 b) S 1; c) S 3;1 d) S 2 4 Bài 3: Giải phương trình sau: 3x a) x2 2x d) x2 x 5x2 7x ĐS: a) S 2 x2 x b) 2x x3 c) x2 x 4 x 2x f) e) x3 x 6 x2 36 2 x2 5x x2 3x x 13 3 d) S ;3 e) S 4 2 5 b) S ; 4 c) S f) S 4 BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Bài 4: Giải phương trình sau: a) 2x x b) 5x 3x c) 4x 7x d) 2x2 5x 10 2x2 e) x f) x2 3x x2 1 3 8 2 1 11 9 5 1 2 ĐS: a) S 2; 0 b) S ; c) S ;1 d) S ;1; e) S 1; 5 f) S 1; Bài 5: Giải phương trình sau: a) 2x 5x b) x x c) x x d) x x x e) 2x x x f) x x ĐS: a) S b) S 4 c) x 3 2 1 2 d) S ; e) S f) S ... = Đối với phương trình có từ hai giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách đặt điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối Mỗi trị tuyệt đối có giá trị x làm mốc để xác định biểu thức trị tuyệt. .. định biểu thức trị tuyệt đối âm hay không âm Những giá trị x chia trục số thành khoảng có số khoảng lớn số trị tuyệt đối Khi ta xét giá trị x khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối giải phương trình... Phương pháp giải: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối Ở dạng phải lập bảng xét dấu để xét hết trường hợp xảy (lưu ý học sinh số trường hợp xảy số biểu thức chứa đấu giá trị tuyệt đối cộng thêm 1) Bài 1: