LTĐH DXC cưc tri

DẠNG 6: BÀI TOÁN CỰC TRỊ I. BÀI TỐN ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI. 1. Cho đoạn mạch RLC (cụôn dây thuần cảm) nối tiếp. Tìm R để công suất mạch cực đại Ta có: 2 2 2 2 2 2 . . . ( ) L C U U P R I R R Z R Z Z = = = + − Chia tử số và mẫu số cho R vì R là biến số. 2 2 2 ( ) L C U P R Z Z R = + − 2 2 ( ) L C U Z Z R R = − + Từ biểu thức trên ta thấy để cơng suất P đạt giá trị cực đại thì mẫu số min. Theo bất đẳng thức Cơsi: 2 2 2 ( ) ( ) 2 . 2 ( ) L C L C L C Z Z Z Z R R Z Z R R − − + ≥ ≥ − Vậy: 2 ( ) 2 L C L C Z Z R Z Z R − + ≥ − ⇒ 2 min ( ) 2 L C L C Z Z R Z Z R   − + = −  ÷   Khi đó: ( ) L C Z Z R R − = ⇒ 2 2 ( ) L C R Z Z= − ⇒ L C R Z Z = − 2 2 ma X L C U U P 2 Z Z 2R ⇒ = = − và ϕ = 2 cos 2 2. Cho đoạn mạch R, cuộn dây có điện trở L, R 0 và tụ C nối tiếp. a) Tìm R để công suất mạch cực đại: Ta có: 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 ( ). ( ). ( ). ( ) ( ) L C U U P R R I R R R R Z R R Z Z = + = + = + + + − Chia tử số và mẫu số cho (R + R 0 )là biến số. 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L C L C U U P R R Z Z Z Z R R R R R R = = + + − − + + + + Từ biểu thức trên ta thấy để cơng suất P đạt giá trị cực đại thì mẫu số min. Theo bất đẳng thức Cơsi: 2 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ). 2 ( ) ( ) ( ) L C L C L C Z Z Z Z R R R R Z Z R R R R − − + + ≥ + ≥ − + + Vậy: 2 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) L C L C Z Z R R Z Z R R − + + ≥ − + ⇒ 2 0 0 min ( ) ( ) 2 ( ) L C L C Z Z R R Z Z R R   − + + = −  ÷ +   Khi đó: 0 0 ( ) ( ) ( ) L C Z Z R R R R − + = + A C L B R C 0 L,R A B R ⇒ 2 2 0 ( ) ( ) L C R R Z Z+ = − ⇒ = − − L C 0 R Z Z R ⇒ = = + − 2 2 ma X 0 L C U U P 2(R R ) 2 Z Z và ϕ = 2 cos 2 b) Tìm R để công suất trên R cực đại: Ta có: 2 2 2 2 2 2 0 . . . ( ) ( ) L C U U P R I R R Z R R Z Z = = = + + − Chia tử số và mẫu số cho R vì R là biến số. 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 ( ) ( ) 2 L C L C U U P R RR R Z Z Z Z R R R R R = = + + + − − + + + Từ biểu thức trên ta thấy để cơng suất P đạt giá trị cực đại thì mẫu số min. Theo bất đẳng thức Cơsi: 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) 2 . 2 ( ) L C L C L C Z Z R Z Z R R R Z Z R R R − + − + + ≥ ≥ − + Vậy: 2 2 2 2 0 0 ( ) 2 ( ) L C L C Z Z R R Z Z R R − + + ≥ − + ⇒ 2 2 2 2 0 0 min ( ) 2 ( ) L C L C Z Z R R Z Z R R   − + + = − +  ÷   Khi đó: 2 2 0 ( ) L C Z Z R R R − + = ⇒ 2 2 2 0 ( ) L C R Z Z R= − + ⇒ 2 2 0 L C R R (Z Z ) = + − 2 R maX 2 2 0 L C 0 U (P ) 2( R (Z Z ) R ) = + − + 3. Cho đoạn mạch như hình: Tìm L để U L cực đại Ta có: 2 2 . . . ( ) L L L L L C U U U Z I Z Z Z R Z Z = = = + − Chia tử số và mẫu số cho Z L , đưa Z L vào căn bậc hai của mẫu ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 L L L C C C C L L L U U U R Z Z Z Z R Z Z Z Z Z = = + − + + − + Đặt = L 1 x Z ta được: 2 2 2 ( ). 2 . 1 L C C U U R Z x Z x = + − + 2 2 2 ( ). 2 . 1 C C y R Z x Z x= + − + (P) Ta thấy: y là một (P) có hệ số (a > 0) do đó tọa độ đỉnh I của (P) có giá trị nhỏ nhất: C L A B R N M C 0 L,R A B R ( ; ) I I I x y vi 2 4 I I b x a y a = = Vy (U L ) max thỡ mu s cú giỏ tr min suy ra x,y cú giỏ tr min chớnh l ta nh (P). 2 2 2 C I C Z b x a R Z = = + suy ra 2 2 C L C R Z Z Z + = (U L ) max khi 2 2 C L C R Z Z Z + = thay giỏ tr Z L vo ta c 2 2 C L MAX U R Z (U ) R + = 4. Cho ủoaùn maùch nhử hỡnh: Tỡm C ủeồ U C cửùc ủaùi Ta cú: 2 2 . . . ( ) C C C C L C U U U Z I Z Z Z R Z Z = = = + Chia t s v mu s cho Z L , a Z L vo cn bc hai ca mu ta c: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 C L L C C L L C C C U U U R Z Z Z Z R Z Z Z Z Z = = + + + + t = C 1 x Z ta c: 2 2 2 ( ). 2 . 1 C L L U U R Z x Z x = + + 2 2 2 ( ). 2 . 1 L L y R Z x Z x= + + (P) Ta thy: y l mt (P) cú h s (a > 0) do ú ta nh I ca (P) cú giỏ tr nh nht: ( ; ) I I I x y vi 2 4 I I b x a y a = = Vy (U C ) max thỡ mu s cú giỏ tr min suy ra x,y cú giỏ tr min chớnh l ta nh (P). 2 2 2 L I L Zb x a R Z = = + suy ra 2 2 L C L R Z Z Z + = (U C ) max khi 2 2 L C L R Z Z Z + = vaứ + = 2 2 L C max U R Z (U ) R C L A B R BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 1: Cho mạch điện như hình vẽ, được cung cấp bởi nguồn điện xoay chiều tần số f = 50Hz. Điện thế hiệu dụng giữa hai đầu A và B ổn đònh và có giá trò U = 100V, điện trở R thay đổi được. Tụ điện có điện dung C = 10 -4 /π(F). Cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm L = 3/π. Bỏ qua điện trở của dây nối. Thay đổi R để công suất tiêu thụ của mạch điện đạt giá trò lớn nhất. Tính R và công suất cực đại. Câu 2: Cho mạch điện như hình vẽ: Điện áp giữa A, B là u = 150 2 cos100πt (V) cuộn dây có R 0 = 40Ω, hệ số tự cảm L = π 4 3 (H). Cho C = 31,8µF. Tìm R sao cho công suất tiêu thụ trên R cực đại p max . Tính p max ? Câu 3: . Điện áp hai đầu AB: u AB = 200cos100πt (V); R = 100Ω; cuộn dây thuần cảm L thay đổi a) Mắc vào hai điểm M và B một Ampe kế, có điện trở không đáng kể, thì thấy (A) chỉ 1A. Tính C b) Lấy (A) ra, xác đònh L sao cho điện áp 2 đầu M và B cực đại ĐS: a) C = 31,8µF; b) L = 0,636H Câu 4: Cho mạch điện như hình vẽ. Điện áp hiệu dụng hai đầu AB không đổi: U = 120V, f = 50Hz; R = 40Ω ; L = π 3,0 H. a. Cho C = π − 6 10 3 F. Tính tổng trở và chỉ số (V) b. Điều chỉnh C sao cho (V) có chỉ số lớn nhất. Tính C và số chỉ (V) lúc này. Câu 5: Cho mạch điện R,L và C mắc nối tiếp R = 50Ω; cuộn dây thuần cảm L = 0,1πH; C = π 100 µF; U AB = 120V; tần số f của dòng điện thay đổi được. a) Tính f để công suất mạch điện cực đại. b) Tính f để U L max. ĐS: b) f = 53Hz Câu 6: (Trích đề TSĐH 2008) Đoạn mạch điện xoay chiều gồm biến trở R, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Biết hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu đoạn mạch là U, cảm kháng Z L , dung kháng Z C (với L C Z Z≠ ) và tần số dòng điện trong mạch khơng đổi. Thay đổi R đến giá trị R 0 thì cơng suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt giá trị cực đại P m , khi đó A. 2 0 L C Z R Z = B. 0 L C R Z Z= − C. 2 0 m U P R = D. 0 L C R Z Z= + Câu 7:(Trích đề TSĐH 2007) Đặt hiệu điện thế u = U0cosωt (U0 và ω khơng đổi) vào hai đầu đoạn mạch RLC khơng phân nhánh. Biết độ tự cảm và điện dung được giữ khơng đổi. Điều chỉnh trị số điện trở R để cơng suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt cực đại. Khi đó hệ số cơng suất của đoạn mạch bằng : R L C A B C 0 L,R A B R R A C B M A. 0,5. B. 0,85. C. 2 2 D. 1. Câu 8 : (Trích đề TSĐH 2008) Đoạn mạch điện xoay chiều gồm biến trở R, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Biết hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu đoạn mạch là U, cảm kháng Z L , dung kháng Z C (với C L Z Z≠ ) và tần số dòng điện trong mạch không đổi. Thay đổi R đến giá trị R 0 thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt giá trị cực đại P m , khi đó : A. 2 0 L C Z R Z = B. 0 L C R Z Z = − C. 2 max 0 U P R = D. 0 L C R Z Z = + Câu 9 : (Trích đề TSĐH 2009) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100 Ω . Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R1 và R2 công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau. Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R=R1 bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R2. Các giá trị R1 và R2 là: A. R1 = 50 Ω , R2 = 100 Ω . B. R1 = 40 Ω , R2 = 250 Ω . C. R1 = 50 Ω , R2 = 200 Ω . D. R1 = 25 Ω , R2 = 100 Ω . Câu 10: (Trích đề TSĐH 2009) Cho mạch RLC nối tiếp, biết Z L = 100 Ω ; Z C = 200 Ω , R = 50 Ω . Mắc thêm một điện trở R 0 với điện trở R để công suất của mạch đạt giá trị cực đại. Cho biết cách ghép và tính R 0 ? A. Mắc song song, R 0 = 100 Ω . B. Mắc nối tiếp, R 0 = 100 Ω . C. Mắc nối tiếp, R 0 = 50 Ω . D. Mắc song song, R 0 = 50 Ω . Câu 11: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, có Z L = 100 Ω , Z C = 200 Ω , R là biến trở. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều có biểu thức )V(t100cos.2100u π= . Điều chỉnh R để U Cmax khi đó A. R = 0 và U Cmax = 200V. B. R = 100 Ω và U Cmax = 200V. C. R = 0 và U Cmax = 100V. D. R = 100 Ω và U Cmax = 100V. Câu 12: Mạch điện xoay chiều không phân nhánh R,L,C có độ tự cảm L thay đổi được. Biết rằng ứng với hai giá trị L 1 , L 2 thì điện áp hiệu dụng 1 2 L L U U= . Điều chỉnh L = L 0 thì thấy điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm thuần đạt cực đại. Hệ thức đúng là : A. 1 2 L L L= + B. 1 2 2 L L L + = C. 1 2 1 2 2 .L L L L L = + D. ( ) 1 2 1 2 . 2 L L L L L = + Câu 13: (Trích đề TSĐH 2009) Đặt điện áp u = U0cos ω t vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được. Biết dung kháng của tụ điện bằng R 3 . Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại, khi đó : A. điện áp giữa hai đầu điện trở lệch pha 6 π so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch. B. điện áp giữa hai đầu tụ điện lệch pha 6 π so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch. C. trong mạch có cộng hưởng điện. D. điện áp giữa hai đầu cuộn cảm lệch pha 6 π so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch. Câu 14 : (Trích đề TSCĐ 2009) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 120V, tần số 50 Hz vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần 30 Ω , cuộn cảm thuần có độ tự cảm 0,4 π (H) và tụ điện có điện dung thay đổi được. Điều chỉnh điện dung của tụ điện thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại bằng : A. 150 V. B. 160 V. C. 100 V. D. 250 V. Câu 15 : (Trích đề TSĐH 2009) Mạch điện R,L,C nối tiếp được đặt dưới một điện áp xoay chiều có dạng không đổi. Biết điện dung C thay đổi. Khi C = C 1 và C = C 2 thì dòng điện qua mạch có giá trị hiệu dụng bằng nhau. Để dòng điện qua mạch đạt giá trị hiệu dụng lớn nhất thì : A. 1 2 C C C= + B. 1 2 2 C C C + = C. 1 2 1 2 2 .C C C C C = + D. 1 2 1 2 .C C C C C = + Câu 16: Xét mạch điện nối tiếp gồm điện trở thuần R, ống dây thuần cảm L và tụ điện có điện dung C thay đổi được. Mạch được đặt dưới điện áp xoay chiều có dạng ( ) 2 cosu U t ω = Ta thay đổi C cho đến khi điện áp hiệu dụng hai đầu C đạt giá trị cực đại U Cmax thì dòng điện qua mạch sớm pha hơn điện áp hai đầu mạch góc 3 π . Ta có A. max 2 3 3 C U U = B. maxC U U= C. max 2 C U U= D. max 3 C U U= Câu 17: Cho mạch điện nối tiếp gồm điện trở thuần R, ống dây thuần cảm có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C thay đổi được. Mạch được đặt dưới điện áp xoay chiều ( ) 2 cosu U t ω = thì cảm kháng ống dây là Z L = 2R. Khi thay đổi C đến giá trị C 0 thì công suất tiêu thụ trên mạch đạt cực đại là P m = 100 W. Khi thay đổi C đến giá trị bằng 2C 0 thì công suất tiêu thụ trên mạch là : A. 25 W B. 80 W C. 60 W D. 50 W Câu 18: Cho đoạn mạch điện xoay chiều như hình vẽ. Điện trở thuần 20R = Ω , cuộn cảm thuần có độ tự cảm L = 0,3 H π thay đổi được , tụ điện có điện dung C thay đổi được. Hai đ u đo nầ ạ m ch m c vào ngu n xoay chi u : ạ ắ ồ ề 0 cos100u U t π = (V). Điều chỉnh C để điện áp hiệu dụng hai đầu đoạn mạch MB đạt cực đại, giá trị của C khi đó là : A. 3 10 4 π − F B. 3 10 3 π − F C. 3 10 2 π − F D. 3 10 π − F L R C A B M