Cuc tri HH.doc

Tr ờng THCS Trực Bình Đặt vấn đề Khi dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy khái niệm cực trị nói chung và bài toán cực trị hình học nói riêng, không đợc xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉ hình thành từng bớc cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo khoa. Nhng các bài toán cực trị lại là một vấn đề thờng gặp trong các kỳ thi, các đợt kiểm tra hàng năm. Do đó việc hình thành khái niệm cực trị một cách hệ thống cho học sinh và việc giải quyết các baì toán này của học sinh còn gặp nhiều trở ngại. Xuất phát từ những kinh nghiệm có đợc của bản thân qua thực tế giảng dạy, từ những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội, từ sự tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo. Tôi tự phân loại đợc một số dạng toán về cực trị hình học Qua bài viết, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tôi đã tìm một số dạng toán về cực trị hình học, nêu lên một số phơng pháp giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc nắm các kiến thức về dạng toán này. Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát triển t duy sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập góp phần nhỏ nâng cao hiệu quả giờ học của học sinh. Yêu cầu chung Đối với giáo viên: - Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải bài toán cực trị. - Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phơng pháp chính giải từng loại về bài toán cực trị hình học. - Dự đoán đợc các sai sót của học sinh, nêu đợc những điểm cần chú ý khi giải các bài toán về cực trị hình học. Đối với học sinh: - Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị hình học và nắm đ- ợc các bớc giải của bài toán cực trị hình học. - Nhận dạng đợc từng loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị hình học vào từng bài cụ thể, từ dễ đến khó. - Bớc đầu ứng dụng đợc các bài toán cực trị hình học vào đời 1 Tr ờng THCS Trực Bình Phần nội dung chính cực trị hình học A. Lý thuyết chung Các bài toán về cực trị hình học là các bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một đại lợng biến thiên f (độ dài đoạn thẳng, diện tích đa giác, thể tích khối đa diện ). Để giải các bài toán cực trị hình học ta cần tiến hành theo hai b- ớc: 1/ Tìm đợc các giá trị cố định f 1 ,f 2 thoả mãn f 1 f f 2 2/ Chỉ rõ các vị trí hình học của đại lợng biến thiên đang xét để tại đó đạt đợc giá trị lớn nhất f 2 hoặc giá trị nhỏ nhất f 1 tức là chỉ rõ các vị trí hình học để cho dấu đẳng thức xảy ra. Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm ra 1 trong hai giá trị trên. B. Một số dạng toán cực trị th ờng gặp và ph ơng pháp giải: I/ Các bài toán cực trị về độ dài các đoạn thẳng, quy về độ dài các đoạn thẳng 1/ Các bất đẳng thức hình học cần thiết: A) Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu: M A MA d ; A d ; B d; thì * MA MB dấu = xảy ra A B * AB AC MB MC d C M A B 2 Tr ờng THCS Trực Bình B)Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác *Trong ABC; AB AC à à C B *quy tắc các điểm:Với 3 điểm A,B,C bất kỳ ta có: AB + AC BC dấu = xảy ra A Đoạn BC (bất đẳng tức tam giác) *Mở rộng: Với n điểm A 1 ,A 2 , , A 12 bất kỳ ta có: A 1 A 2 + A 2 A 3 + + A 11 A 12 A 1 A 12 Dấu = xảy ra A 1 ,A 2 , A 12 [ ] 121 AA A B C C) Các bất đẳng thức trong đờng tròn: + Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn + Trong (O) AB và CD là hai dây cung H, K là trung điểm của AB, CD. Ta có AB CD OH OK D) Vận dụng các kiến thức đại số để giải toán cực trị hình học. Phơng pháp này cho phép ta đa về việc xét các bài toán cực trị đại số. Song đặc biệt phải chú ý đến phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhia-copski 2/ Các bài toán ví dụ: Ví dụ1: (một câu toán 9 trong bài thi 8 tuần HK II năm học 06-07) Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định . Qua Avà B vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đờng tròn(Ax và By cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đờng tròn). Từ một điểm M tuỳ ý trên nửa đ- ờng tròn ( Mkhác A và B) vẽ tiếp tuyến thứ ba với nửa đờng tròn cắt tiếp tuyến tại A và B theo thứ tự tơng ứng là H và K . Xác định vị trí của điểm M trên nửa đờng tròn sao cho tứ giác AHKB có chu vi nhỏ nhất 3 Tr êng THCS Trùc B×nh 4 3 2 1 O A x y B H K M N Gi¶i C¸ch 1: cã AH= HM ( theo t\ c 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau) BK = KM( theo t\ c 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau  Chu vi AHKB =AB+ AH + HM + MK + BK=AB+2HK Cã AB kh«ng ®æi => Chu vi AHKB nhá nhÊt HK nhá nhÊt Tõ K kÎ KN ⊥ Ax Ta cã KN KH≤ => HK nhá nhÊt  N H ≡ (qh ®êng siªn h\c) =>ABKH Lµ HCN Cã OM ⊥ HK => OM ⊥ AB => OM lµ trung trùc AB => MA=MB => ¼ ¼ MA= MB ⇒ Mlµ ®iÓm chÝnh gi÷a » AB C¸ch 2: Ta cã : Theo t\ c 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau => µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 1 2 3 4 1 4 3 2 2 3 0 1 2 3 4 ; ; ; 90 180 o O O O O AH HM BK HK O O O O O O O O O O ⇒ = = = =  ⇒ + = +  ⇒ + =  + + + =   hay · 0 HOK 90 = ∆ HOK vu«ng t¹i O ,cã OM lµ ®êng cao => HM.MK=OM 2 =R 2 =const Ta cã HK= HM+MK theo B§T cosi => HM+MK ≥ 2 HM.MK “=” x¶y ra khi HM=MK  HK nhá nhÊt = 2 HM.MK =2R  HM = MK = R =>AH = BK =R 4 Tr ờng THCS Trực Bình Có AH// BK (cùng AB) =>ABKH Là HCN => Có OM HK => OM AB => OM là trung trực AB => MA=MB => ẳ ẳ MA= MB M là điểm chính giữa ằ AB Ví dụ 2: Cho ABC ( = 1v) AH BC điểm M chuyển động trên BC vẽ MD AB; ME AC Xác định M để DE nhỏ nhất D A C B H M E Giải: Ta có ả à à D = A = E = 1v (gt) MEAD là hcn AM = DE DE min AM min Ta lại có: AM AH = const Dấu = xảy ra M H Vậy khi M là chân đờng cao hạ từ A của ABC thì DE nhỏ nhất. Ví dụ 3: Cho góc xoy nhọn, A nằm trong góc đó. Tìm trên ox, oy lần lợt hai điểm B và C sao cho chu vi ABC nhỏ nhất. Giải: Xác định A 1 ,A 2 lần lợt đối xứng với A qua ox; oy => A 1 ,A 2 cố định AB + BC +CA = A 1 B +BC +CA 2 A 1 A 2 Dấu = xảy ra B, C [ ] 21 AA Vậy nếu B và C lần lợt là giao điểm của A 1 A 2 với ox, oy với A 1 , A 2 lần lợt là điểm đối xứng của A qua ox, oy thì chu vi ABC nhỏ nhất. y O x A A2 A1 C B 5 Tr ờng THCS Trực Bình Ví dụ 4: Cho điểm A cố định ở bên trong đờng tròn (O;R) (A 0) và dây MN là dây cung quanh A. Xác định vị trí của dây cung MN để độ dài MN là lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: Gọi I là hình chiếu vuông góc của điểm O trên MN , A MN nên OI OA = const MN max OI min O I vậy để MN có độ dài lớn nhất thì MN là đờng kính đi qua A MN min OI max OI = OA I A Vậy để MN nhỏ nhất thì dây MN phải vuông góc với OA tại A O M N I A Ví dụ 5: Cho nửa đờng troòn tâm O, đờng kính AB= 2R. Vẽ tiếp tuyến Ax của nửa đờng tròn đó. M là điểm trên nửa đờng tròn. BM cắt Ax tại C, xác định M để 2BM +BC nhỏ nhất Giải: Vì AB là đờng kính ã 0 BMA= 90 ABC có Â=90 0 ; AM BC do đó AB 2 = BM . BC BM . BC = 4R 2 2BM . BC = 8R 2 đặt: 2BM = a > 0 BC = b > 0 M O x A B C 6 Tr ờng THCS Trực Bình áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dơng a,b ta có: a+b 2 constRab == 2 82 Dấu = xảy ra a = b 2BM = BC M là trung điểm B ABC vuông cân tại đỉnh A M là điểm chính giữa cung AB Vậy khi M à trung điểm của cung AB thì 2BM +BC đạt giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 6: Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. qua A vẽ đờng thẳng (d) cắt đờng (O) tại B và C (B nằm giữa A và C) Tìm vị trí của (d) để: a, AB + AC lớn nhất b, AB + AC nhỏ nhất d C B O A T I T` Giải: a, AB + AC lớn nhất Gọi I là trung điểm BC OI BC tại I Ta có: AB+ AC = (AI- IB )+(AI+ IC) = 2AI (AB+ AC)max AImax Mà AI AO = const (bất đẳng thức về đờng vuông góc và đờng xiên) Dấu = xảy ra I O hay AI đi qua O Vậy AB + AC lớn nhất khi (d) đi qua O b, AB + AC nhỏ nhất. Vẽ các tiếp tuyến AT, AT với (0). Điểm A và (O) cố định suy ra AT và AT không đổi. Do AB; AC > 0 Ta có: AB + AC 2 ACAB. (bất đẳng thức côsi) 7 Tr ờng THCS Trực Bình Mà AB . AC = AT 2 = const ( ATB ACT) Nên AB + AC 2AT Dấu = xảy ra khi (d) ở vị trí AT (hoặc AT ) Vậy AB + AC nhỏ nhất (d) là tiếp tuyến của (O) đi qua A II/ Các bài toán cực trị về diện tích: 1/ Các kiến thức cần thiết: + Công thức diện tích các hình + Tiên đề về diện tích: Nếu ta chia miền trong của hình H thành các miền nhỏ không có điểm trong chung thì diện tích miền trong của hình H bằng tổng diện tích các miền nhỏ. + Các hằng bất đẳng thức đã trình ở phần I + Khi giải các bài toán cực trị về diện tích, ta có thể đa về việc giải các bài toán cực trị về độ dài đoạn thẳng tơng ứng. Hoặc có thể đa về các bài toán cực trị đại số. 2/ Các ví dụ: Ví dụ 7: Cho hình vuông ABC điểm M nằm trên đờng chéo AC hạ ME AB tại E. MF BC tại F Tìm vị trí của M để diện tích DEF nhỏ nhất 45 A D B C M F E Giải: Cách 1: Xét MAE và MDE có chung đáy ME và đờng cao tơng ứng với ,đáy chung ME bằng nhau (đều là AE) => S MAE = S DME Tơng tự S CMF = S DMF S DEF = S DEM + S MEF + S DMF = S AEM + S MEF + S CMF = S AEFC mà S AEFC = S ABC- S EFB 8 Tr ờng THCS Trực Bình S EFC nhỏ nhất S EFB lớn nhất (vì S ABC không đổi) ta lại có: S EFB = BFEB. 2 1 Theo bất đẳng thức côsi ta có: . 2 2 BE BF AB BE BF + = = const (vì BF = AE do có AEM vuông cân) BE .BF const ABBFBE == + 22 ) 2 () 2 ( Dấu = xảy ra BE = BF BEF vuông cân MEF vuông cân M là trung điểm AC Cách 2: Đặt BE = x > 0 AB = x + y BF = y > 0 Ta có: S DEF = S (ABCD) - S EBF + S ADE + S DCF = (x+y) 2 - 2 1 ( x+y). y + xy + (x+y).x = (x+y) 2 - 2 1 ( x+y) 2 - 2 1 xy = 2 1 (x+y) 2 - xy Vì (x+y) 2 = const nên S BEF max (xy) max Theo bất đẳng thức côsi ta có: xy const yx = + 2 )( 2 Dấu = xảy ra x=y EB = BF M là trung điểm AC Ví dụ 8: Cho (0;R); BC là dây cung cố định (BC <2R). A là điểm chuyển động trên cung lớn BC. Xác định vị trí điểm A để diện tích ABC lớn nhất. M O B C A H A` Giải: 9 Tr ờng THCS Trực Bình Gọi A là điểm chính giữa cung BC lớn hạ AH BC tại H ta có: S ABC = BCAH. 2 1 BC cố định, AH thay đổi nên S ABC max AH max Ta đã đa đợc bài toán tìm diện tích (lớn nhất về bài toán tìm độ dài đoạn thẳng lớn nhất) Ta có: AH AM (quan hệ đờng xiên và đờng vuông góc) AM AO + OM (bất đẳng thức tam giác) AH AO + OM = A O + OM = A M = const Dấu = xảy ra A = A Vậy khi A là điểm chính giữa cung ằ BC lớn thì S ABC lớn nhất. Ví dụ 9: Cho (O;R) và dây BC = R 2 vẽ các tiếp tuyến của (0) tai B và C cắt nhau tại A. Điểm M di động trên ằ BC . Tiếp tuyến tại M với (0) cắt AB, AC tại D và E. Vị trí của M để diện tích ADE Giải: Đặt AD= x > 0 AE = y > 0 Chu vi ADE = AD + DE +EA = AD + DM + ME + EA = AD + DB +EC +EA = AB + AC = 2AB = 2R O B A C D E M 2R = x+y + xyxyxyyx )22(22 22 +=++ Nên )22()12(2 )12(2 2 22 2 == + = + RR RR xy Hay xy )246( 2 R Dâu = xảy ra khi x = y, ADE lúc đó M ở vị trí điểm chính giữa ằ BC (giao điểm của đoạn OA và OB) Và Max S BEF = 22 )223( 2 1 = Rxy Nhận xét : Các bài toán về cực trị diện tích phần lớn là giải đợc bằng phơng pháp đại số. Trong đó đặc biệt là phơng pháp vận dụng bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacopski. L u ý: 10 [...]... diện tích hình viên phân cung AB nhỏ Xác định vị trí Asao cho S1+S2 nhỏ nhất Kết quả thực nghiệm Đối với học sinh đại trà Thực tế khi cha tri n khai thì số lợng học sinh làm và trình bày đợc rất ít chỉ chiếm khoảng 0% => 2/90 = 2% 11 Trờng THCS Trực Bình Thực tế tri n khai ở năm học sau thì số lợng học sinh làm và trình bày đợc tăng lên chiếm khoảng 20/90 = 22% trở lên Điều cơ bản là học sinh thêm... mỗi phần, mỗi dạng tôi cũng đã có gắng nêu lên những cách giải cơ bản, những kiến thức cần thiết Tôi mong rằng tài liệu này sẽ góp phần nhỏ vào việc giúp học sinh học tốt hơn về dạng toán cực trị, phát tri n đợc óc sáng tạo của các em qua từng dạng, bài cụ thể Mong tiếp tục nhận đợc sự phê bình góp ý của bạn bè đồng nghiệp do trình độ có hạn chắc chắn còn có thiếu sót hạn chế Tôi xin chân thành cảm ơn . sinh đại trà Thực tế khi cha tri n khai thì số lợng học sinh làm và trình bày đợc rất ít chỉ chiếm khoảng 0% => 2/90 = 2% 11 Tr ờng THCS Trực Bình Thực tế tri n khai ở năm học sau thì số. dàng hơn trong việc nắm các kiến thức về dạng toán này. Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát tri n t duy sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập góp phần nhỏ. rằng tài liệu này sẽ góp phần nhỏ vào việc giúp học sinh học tốt hơn về dạng toán cực trị, phát tri n đợc óc sáng tạo của các em qua từng dạng, bài cụ thể. Mong tiếp tục nhận đợc sự phê bình