Đề thi vào trường chuyên toán Phổ Thông Năng Khiếu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2010 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian phát đề Câu 1. a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện 3 3 3 0a b c a b c      . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có ít nhất một số bằng 0 b) Giải hệ phương trình:   3 3 3 2 2 2 3 1 6 3 x y z xy yz xz x y z x y z                     Câu 2. a) Giải phương trình   2 2 2 1 12 2 1x x x     b) Cho tam giác ABC vuông tại A và có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức   2 2 2BC AB AC    Câu 3. a) Hãy chỉ ra một bộ 4 số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố. b) Chứng minh rằng không tồn tại 5 số nguyên dương phân biệt sao cho tổng ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố. Câu 4. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và dây cung BC cố định có độ dài 3BC R . A là một điểm thay đổi trên cung lớn BC. GọiE là điểm đối xứng của B qua AC và F là điểm đối xứng của C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K ( K  A). a) Chứng minh K luôn thuộc một đường tròn cố định b) Xác định vị trí điểm K để tam giác KBC có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó theo R. c) Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng tam giác ABH đồng dạng với tam giác AKC và đường thẳng AK luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. Trong một giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận). a) Chứng minh rằng sau 4 vòng đấu (mỗi đội thi đấu đúng 4 trận) luôn tìm được ba đội bóng đôi một chưa thi đấu với nhau. b) Khẳng định trên còn đúng không nếu mỗi đội đã thi đấu đúng 5 trận ? Hết SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT …………………… CẤP TỈNH, NĂM HỌC 2005-2006 ----------------------------- Đề chính thức Môn : TOÁN ( Vòng 2 ) ( Bảng A ) Thời gian làm bài :180 phút ( Không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 19 – 11 – 2005 ------------------------------------------------------------------ Câu 1 : (5 điểm). Xét dãy số thực a 1 , a 2 , a 3 , …… thỏa mãn các điều kiện: 0 < a n < 1 và a n+1 (1 – a n )  4 1 với mọi n = 1, 2, 3, ……. Chứng minh rằng 2 1 - n2 1 < a n  2 1 với mọi n = 1, 2, 3, …… Câu 2 : (5 điểm). Tìm tất cả các hàm số thực f(x), g(x) thỏa mãn: f(x) – f(y) = cos(x – y) . g(x – y) với mọi số thực x , y. Câu 3 : (5 điểm). Cho hai đa thức f(x) = x 4 – (1 + e 2 )x 2 + e 2 và g(x) = x 4 – 1 ( e là cơ số của lôgarit tự nhiên). Chứng minh rằng với các số dương a, b phân biệt thỏa mãn a b = b a thì f(a) . f(b) < 0 và g(a) . g(b) > 0. Câu 4 : (5 điểm). Cho 5 điểm phân biệt A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 không đồng phẳng nhưng cùng nằm trên một mặt cầu. Chứng minh rằng các mặt phẳng, mỗi mặt đi qua trọng tâm của tam giác có các đỉnh là 3 trong 5 điểm nói trên và vuông góc với đường thẳng nối hai điểm còn lại, thì đồng quy. -------------------------Hết------------------------ Đề thi thử đại học năm 2009 Môn: Toán Thời gian làm bài 180 phút A M S Câu I: ( 2 điểm ) Cho hàm số y = mx 3 +3mx 2 (m 1)x 1 (1) i) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1. ii) Xác định các giá trị của m để hàm số (1) không có cực trị. Câu II: ( 2 điểm ) i) Giải ph-ơng trình sau: 4x 2 1+ x = 2x 2 x + 2x +1 ii) Cho ba số thực d-ơng x,y,z và thoả mãn x + y + z = 3 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x 1+x 2 + y 1+y 2 + z 1+z 2 Câu III: ( 2 điểm ) 1. Giải ph-ơng trình: cot 2x + 2 cos x + 4 = sin x + cos x 2 sin 2x 2 tan x 2. Tìm các số thực a>1 thoả mãn: a 1 x ln xdx = 1 4 Câu IV: ( 3 điểm ) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(2; 0) và đ-ờng tròn (C) có ph-ơng trình: (C):x 2 + y 2 2x 6y +1=0 Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua M(2; 0) và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB =4. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x 4y 11z +26=0và hai đ-ờng thẳng d 1 , d 2 có ph-ơng trình lần l-ợt là: (d 1 ): x 3 2 = y 1 = z +1 3 ;(d 2 ): x 1 = y 4 1 = z 3 2 Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng nằm trên mặt phẳng (P), đồng thời cắt cả d 1 , d 2 . 3. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại C. Cho AC = a 3, góc giữa mặt bên (SBC) và đáy (ABC) bằng 60 o . Gọi I là trung điểm AB, tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) theo a. Câu V: ( 1 điểm ) Biết 6 khách vào một cửa hàng có ba quầy để mua hàng. Tìm xác suất để có 2 khách cùng vào một quầy. ĐỀ THI HSG TỈNH LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN Thời gian: 180 phút Bài 1. a. Giải phương trình: 23 2 4 3 4x x x x    b. Giải hệ phương trình: 22 22 13 25 xy xy xy xy            Bài 2. Gọi 12 ,xx là hai nghiệm của tam thức:   2 axf x x b   với   , 1;1ab . Chứng minh:    12 1 1 2 5xx    . Bài 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2 22 42 42 x y m x y m            Bài 4. Cho tam giác ABC có a mc . CM:   sin 2sinA B C . Bài 5. Cho tam giác ABC. Tìm min của 3 3 3 333 a b c a b c P mmm    ĐỀ SỐ 1 Câu 1: Cho 2 mệnh đề chứa biến P(n): “n là số chính phương” và Q(n): “n + 1 không chia hết cho 4” với n là số tự nhiên. a) Phát biểu mệnh đề P(16) và Q(2003).Xác định tính đúng sai của mệnh đề P(16) và Q(2003). b) Phát biểu bằng lời định lí: “ n  N, P(n)  Q(n)” c) Phát biểu mệnh đề đảo của định lí ở câu b). Mệnh đề đảo có đúng không? Vì sao? Câu 2: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 9}, B = {0; 2; 4; 6; 8; 9}, C = {3; 4; 5; 6; 7} a) Tìm A  B, B\C. b) Tìm các tập con của tập B\C c) So sánh hai tập A(B\C) và (AB)\C Câu 3: Xác định các tập A  B, A  B, A\B và biểu diễn lên trục số a) A = (1; 3), B = (1; 5) b) A = [0; 1], B = [1; 3) Câu 4: Trong một thí nghiệm, hằng số C được xác định là 2,43265 với cận trên của sai số tuyệt đối là d = 0,00312. Hỏi C có mấy chữ số chắc. Câu 5: Tìm số tập con gồm n  2 phần tử của tập gồm n phần tử (n là số tự nhiên lớn hơn 1) ĐỀ SỐ 2 Câu 1: Xác định tính đúng sai và tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: 2 2 2 2 a) R,x 2 x 4 b) R,x 2 x 4 c) R,x 4 x 2 d) N,x 2 x 4 x x x x                      Câu 2: Cho A là tập hợp các chữ cái trong câu: “to be or not to be”, B là tập hợp các chữ cái trong câu: “the horrors of war” a) Liệt kê các phần tử của tập A và B. Cho biết số phần tử của tập A và B. b) Tìm các tập con có 3 phần tử của A c) Tìm AB, AB, A\B B\A Câu 3: Xác định các tập A  B, A  B, B\A và biểu diễn lên trục số a) A = (1; 3), B = (1; +) b) A = [0; 3], B = (; 3) Câu 4: Bạn Kim Anh đo được chiều dài chiếc bàn là 2m  2 cm. Bạn Vĩnh Tùng đo được chiều dài của bức tường là 30m  4 dm. Hỏi hai bạn trên ai đo chính xác hơn? Vì sao? Câu 5: Tìm số tập con gồm 2 phần tử của tập gồm n phần tử (n là số tự nhiên lớn hơn 1) . TP. HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2010 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian phát đề Câu. Biết 6 khách vào một cửa hàng có ba quầy để mua hàng. Tìm xác suất để có 2 khách cùng vào một quầy. ĐỀ THI HSG TỈNH LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN Thời