b Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh iii Một chữ số của y thì bằng tổng hai chữ số của x, còn chữ số kia thì bằng trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số của x.. Hãy cho biết điểm
Trang 1CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-TIN
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
Copyright 2006 © www.diendantoanhoc.net
Trang 2MỤC LỤC
Năm học 1993 – 1994 3
Năm học 1994 – 1995 6
Năm học 1995 – 1996 8
Năm học 1996 – 1997 11
Năm học 1997 – 1998 13
Năm học 1998 – 1999 16
Năm học 1999 – 2000 19
Năm học 2000 – 2001 22
Năm học 2001 – 2002 25
Năm học 2002 – 2003 28
Năm học 2003 – 2004 31
Năm học 2004 – 2005 34
Năm học 2005 – 2006 37
Năm học 2006 – 2007 40
Trang 33− =x 49 4 3− x −12 3x
b) Chứng minh đẳng thức
4 49 20 6 4 49 20 6
32
Bài 3
Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau đúng một lần Biết rằng đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa
Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A, B, C, D sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C thắng D
Bài 4
Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của kí túc xá Một cô đang sửa áo, một cô đang chải đầu, một cô đang viết thư và một
cô đang đọc sách Biết thêm rằng :
1 Mỹ không sửa áo và không đọc sách
2 Mận không viết thư và không sửa áo
3 Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo
4 Mai không đọc sách và không sửa áo
5 Mơ không đọc sách và không viết thư
Trang 4Bài 3
Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ, CD là cạnh đáy lớn,
M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Biết rằng hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính R Hãy tính diện tích tam giác ADM
Bài 4
Một hộp đựng 52 viên bi, trong đó có 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ,
13 viên màu vàng và 13 viên màu trắng Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên
bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn trong số đó không có ít hơn 7 viên bi cùng màu Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát hơn
Trang 5Bài 5
Một dãy các con số 0 và 1 có độ dài 32 được gọi là 1 xâu Ta kí hiệu các
xâu A,B,C ,… như sau :
A=(a 1 ,a 2 ,…,a 32 )
B=(b 1 ,b 2 ,…,b 32 )
C=(c 1 ,c 2 ,…,c 32 )
với a i ,b i ,c i ,…= 0 hay 1; i = 1,2,…,32
Giá trị của một xâu là số các con số 1 có trong xâu ấy
Một máy tính có thể xử lý các xâu bằng hai phép biến đổi sau :
_ Phép dịch chuyển các phần tử của A đi k vị trí, 1 ≤ k ≤ 32 theo qui
tắc :
(a 1 ,a 2 ,…,a 32) ⇒ (a k ,a k+1 ,…,a 31 ,a 32 ,a 1 ,a 2 ,…,a k-1)
_ Phép so sánh hai xâu A và B để được một xâu mới C theo qui tắc A&B ⇒ C, với
Trang 6Năm học 1994 – 1995
Ngày thứ nhất
Bài 1
Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vô địch Dưới đây là năm
khẳng định khác nhau về hai đội có mặt trong trận chung kết :
b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên bảng sẽ còn lại 1 số chẵn hay số lẻ ?
Trang 7a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c
b) Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh
iii) Một chữ số của y thì bằng tổng hai chữ số của x, còn chữ số kia
thì bằng trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số của x
Bài 5
Một tam giác đều được chia thành một số hữu hạn các tam giác con Chứng minh rằng sẽ có ít nhất một tam giác con có cả ba góc đều nhỏ hơn 1200
Trang 8Năm học 1995 – 1996
Ngày thứ nhất
Bài 1
Trong một kì thi trắc nghiệm có 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời
“có” hay “không” cho mỗi câu Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thông tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi :
a) Câu số 1 và câu số 5 cần trả lời trái ngược nhau
b) Câu số 2 và câu số 4 cần trả lời giống nhau
c) Nếu câu số 4 trả lời “có” thì câu số 5 cần trả lời “không”
d) Số câu được trả lời “không” ít hơn số câu trả lời “có”
thì một thí sinh có thể trả lời đúng bốn câu hỏi
Trang 9giác ABC và P, Q, R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh
AC, BC, AB Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, D, Q, R nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At thì PQ luôn đi qua một điểm cố
định
Ngày thứ hai
Bài 1
Cho số tự nhiên n>1 Chứng minh rằng :
a) Nếu n lẻ thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành một dãy sao cho với mọi k n ≤ , tổng của k số đầu tiên trong dãy không chia hết cho n
b) Nếu n thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành một dãy sao cho với mọi k n ≤ , tổng của k số đầu tiên trong dãy không chia hết cho n
Bài 2
Giải và biện luận hệ phương trình sau :
12
xyz
m
x y xyz
y z xyz
Bài 3
Cho là các số thực dương Gọi A là các số lớn nhất trong
các số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức :
Trang 10Bài 4
Cho tứ giác lồi ABCD
a) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp
xúc ngoài nhau thì ta luôn có
AB + CD ≤ AD + BC
b) Chứng minh rằng, nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp xúc ngoài với nhau và hai đường tròn đường kính AD và BC cũng tiếp xúc ngoài với nhau thì tứ giác ABCD phải là hình thoi
Bài 5
a) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình vuông Chứng minh rằng luôn
có thể tìm được hai đỉnh A và B của hình vuông sao cho :
135o≤ ∠AOB≤180o
b) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình đa giác đều n cạnh
Chứng minh rằng, luôn có thể tìm được hai đỉnh A và B của đa giác sao
Trang 11a) Chứng minh rằng tâm của C nằm trên đường thẳng AI
b) Chứng minh rằng : Tam giác ABC cân tại A ⇔ C tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC
thắng 2 điểm (chứ không phải 3 điểm như hiện nay), hòa 1 điểm, thua 0 điểm
thì thứ tự trên sẽ bị đảo lộn thành B nhất, A nhì, D ba , C tư Hãy cho biết điểm
thật sự của mỗi đội, biết rằng trong việc sắp thứ hạng, khi hai đội bằng nhau, đội nào có hiệu số bàn thắng thua lớn hôn sẽ được xếp trên và trên thực tế cả bốn đội bóng đều có hiệu số bàn thắng thua khác nhau
Trang 12Bài 4
Chứng minh không tồn tại số tự nhiên n sao cho n− +1 n 1+ là số hữu
tỉ
Bài 5
a) Chứng minh với , luôn luôn có N số chính phương đôi một khác
nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương N ≥3b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên bao giờ cũng xây dựng
được một bảng chữ nhật gồm m x n số chính phương đôi một khác
nhau sao cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một số chính phương
3
nm≥
Trang 13a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 Khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia
Bài 3
Hai thị trấn A và B cùng nằm trên một dòng sông, cách nhau D km Thị trấn B có địa thế cao hơn nên dòng nước luôn chảy từ B đến A với vận tốc d (km/h) không đổi Nếu nước không chảy, tàu Hi vọng có vận tốc x (km/h) không đổi, tàu Tương lai có vận tốc y (km/h) không đổi Vào lúc 8 giờ sáng, tàu
Hi vọng xuất phát từ A đi về hướng B và tàu Tương lai xuất phát từ B đi về hướng A Vào lúc 12 giờ trưa hai tàu gặp nhau lần đầu tiên tại một điểm cách A
một khoảng cách là 1
3D Khi đến A tàu Tương lai nghỉ nửa giờ rồi quay về B;
tương tự khi đến B tàu Hi vọng cũng nghỉ nửa giờ rồi quay về A Hai tàu gặp nhau lần thứ hai tại một điểm cách B một khoảng cách là 5
27D Hãy tìm vận
tốc của các tàu Hi vọng và Tương lai biết rằng nếu ngay từ đầu, mỗi tàu tăng vận tốc thêm 7,5 km/h thì hai tàu sẽ gặp nhau lần đầu vào lúc 11 giờ trưa
Bài 4
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm D Từ một điểm A bất kỳ
nằm trên đường tròn thứ nhất kẻ tiếp tuyến của đường tròn thứ nhất cắt đường
Trang 14tròn thứ hai tại hai điểm B và C Chứng minh rằng điểm A cách đều các đường thẳng BD và CD
i) Số người đã đi được cả hai nước Ý và Anh gâp đôi số người đã
đi được cả hai nước Pháp và Ý Còn số người đã đi được cả hai nước Pháp và Ý lại gấp đôi số người đã đi được cả hai nước Anh và Pháp
Trang 15ii) Số người đi Ý (mà không đi Anh, Pháp) hơn số người chỉ đi
Anh (mà không đi Pháp, Ý) là một người và bằng với số người
đã đi Pháp
a) Hãy tìm số người chỉ đi đúng một nước
b) Hãy tìm số người đi ít nhất một trong hai nước Anh, Pháp
b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số an+1 tùy ý (0 hay 1) thì
tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp a1, a2,
a3, a4 và an-3, an-2, an-1, an trùng nhau
Trang 16của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác – 1
Bài 3
a) Giải và biện luận theo m bất phương trình
(x+2)(x−3 ) (m > x−3)(x m+ − 1)b) Cho
a) Cho CM = 1, hãy tính BI, CI
b) Khi M di động trên đoạn BC, hãy tìm qũy tích điểm I
Bài 5
Một giải bóng đá có n đội tham dự Các đội thi đấu vòng tròn một lượt
Trong mỗi trận, đội thắng được 2 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua được 0 điểm Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó
Trang 17Khi kết thúc giải, đội vô địch được 8 điểm, đội xếp thứ nhì được 6 điểm và đội xếp thứ 3 được 5 điểm Các đội còn lại có số điểm khác nhau Hãy cho biết số đội đã tham dự giải và số điểm của các đội còn lại (có giải thích rõ)
Ngày thứ hai
Bài 1
a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho 2n-1 chia hết cho 7
b) Cho số nguyên tố p ≥ 5 Đặt A = 3p – 2p – 1 Chứng minh A chia hết cho 42p
Bài 2
Cho hai số nguyên dương a và b Biết rằng trong bốn mệnh đề P, Q, R, S
dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai :
P = “a = 2b + 5”
Q = “(a + 1) chia hết cho b”
R = “(a + b) chia hết cho 3”
S = “(a + 7b) là số nguyên tố”
a) Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong bốn mệnh đề trên (có giải thích)
b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thỏa ba mệnh đề đúng còn
lại
Bài 3
a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ Chứng minh rằng, trong các điểm đã cho có thể tìm được 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 2
2
b) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn hơn 1
Trang 18a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2,…, 8 thành 1 dãy
a 1 , a 2 ,…, a 8 sao cho với 2 số a i , a j bất kỳ (i < j) thì mọi số trong dãy nằm giữa a i và a j đều khác
Trang 19b) Từ đẳng thức (2) có suy ra đẳng thức (1) được hay không ? Giải thích
b) Áp dụng câu a), giải hệ phương trình :
Trang 20Bài 5
a) Có n đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt (n ≥ 3) Chứng minh rằng dù
lịch thi đấu thế nào sắp xếp ra sao thì tại bất kỳ thời điểm nào ta cũng tìm ra được hai đội bóng có số trận đã đấu là bằng nhau
b) Giả sử n = 3 và ba đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt Điều khẳng
định của câu a) còn đúng khônng ? Giải thích rõ câu trả lời
Cho tam giác ABC có diện tích S và một điểm P nằm trong tam giác
a) Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của tam giác PBC, PCA và PAB
Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của 2 2
S S S2
3
+ +
b) Gọi P1, P2, P3 lần lượt là các điểm đối xứng của P qua BC, CA và
AB Đường thẳng đi qua P1 và song song BC cắt AB và AC tại BB 1
và C1 Đường thẳng đi qua P2 và song song CA cắt BC và BA tại
C2 và A2 Đường thẳng đi qua P3 và song song AB cắt CA và BC tại A3 và B3B Hãy xác định vị trí điểm P để tổng diện tích ba hình thang BCC1BB 1, CAA2C2 và ABB3A3 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó
Trang 21Bài 4
Người ta lát nền nhà hình vuông kích thước n x n ô bằng các viên gạch
dạng như hình vẽ bên dưới sao cho còn chừa lại một ô không lát
a) Hãy chỉ ra một cách lát như trên với nền nhà kích thước 4 x 4 và 8 x 8 và ô trống nằm tại một góc nhà
b) Hãy chứng minh rằng, luôn luôn tồn tại cách lát nền nhà có kích thước 2k x 2k (k nguyên dương) với
Trang 22Năm học 2000 – 2001
Ngày thứ nhất
Bài 1
Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 7x + 3 =0
a) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 – x2 và 2x2 – x1 b) Hãy tính giá trị của biểu thức : A=| 2x1 −x2 | | 2+ x2 −x1|
Bài 2
a) Giải hệ phương trình : 2 6
8
x y xy
− =
⎧
⎨ =
⎩b) Giải hệ phương trình :
2
2( )2( 1)
Cho tam giác ABC có đường cao BD Giả sử (C) là một đường tròn có tâm
O nằm trên đoạn AC và lần lượt tiếp xúc với BA, BC tại M, N
a) Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N nằm trên một đường tròn b) Chứng minh rằng ADM∠ = ∠CDN
Bài 5
Trong một giải bóng đá có 10 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt Trong mỗi trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không có
Trang 23a) Gọi A là đội bóng tham dự giải, hỏi đội bóng A có thể đạt được
a) Cho số nguyên không âm A Hãy xác định A biết rằng trong 3 mệnh đề
P, Q, R dưới đây có 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai :
Bài 2
Giải các hệ phương trình :
32( )3(3 2 )
⎪
⎨+ + =
b) Cho 1000 số nguyên dương a1, a2,…, a1000 sao cho 1 với mọi
Trang 24a b c+ + ≤ ab+ bc+ ca (2) Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) hay không ? Vì sao ?
b) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và p, q, r là các số thực thỏa điều kiện p + q + r = 0 Chứng minh apq + bqr + crp ≤ 0
Trang 251 73
x y y x
a) Đường (BA) cắt đường (DC) tại E Hãy tính AE
b) Tính diện tích của tứ giác ABCD
Trang 26Bài 5
Trong một giải cờ vua có 8 kỳ thủ tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt, thắng được 1 điểm, hòa được 1
2 điểm, thua được 0 điểm Biết rằng sau khi tất
cả các trận đấu kết thúc thì cả 8 kỳ thủ nhận được các số điểm khác nhau và kỳ thủ xếp thứ hai có số điểm bằng tổng điểm của 4 kỳ thủ xếp cuối cùng Hỏi ván đấu giữa kỳ thủ xếp thứ tư và kỳ thủ xếp thứ năm đã kết thúc với kết quả như thế nào ?
Ngày thứ hai
Bài 1
a) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 2000a là
số chính phương
b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho (b – 1) không là bội của 9, b
là bội của bốn số nguyên tố liên tiếp và 2002b là số chính phương
Trang 27Bài 4
Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau tại
điểm A Hai điểm B, C lần lượt di động trên C
1( , )1 1
C O R C O R2( ,2 2)
1, C2 sao cho ∠BAC =90D
a) Chứng minh trung điểm M của BC luôn thuộc một đường tròn cố
định
b) Hạ AH vuông góc với BC, tìm tập hợp điểm H Chứng minh rằng
độ dài đoạn AH không lớn hơn 1 2
2R R
R +R
c) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự như câu a) và câu
b) trong trường hợp C1, C2 tiếp xúc trong với nhau tại điểm A
Trang 28Năm học 2002 – 2003
Ngày thứ nhất
Bài 1
Cho phương trình x+2 x− −1 m2 +6m− = 011
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m
a) Giải hệ phương trình khi m = 0
b) Giải hệ phương trình khi m = 1
Trang 29a) Tìm tất cả các số thực a và b sao cho |2x + a| = |bx + 5| với mọi số thực x
b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực thỏa điều kiện :
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt
Bài 2
Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình x2 + y2 = z
a) Chứng minh rằng trong hai số x, y có ít nhất một số chia hết cho 3 b) Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12
Bài 3
Cho đường tròn (C) đường kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (C) (A không trùng với B, C) Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC của đường tròn (C) tại điểm K (K ≠ A) Hạ AH vuông góc với BC
a) Đặt AH = x Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất
b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH2 +HK2 luôn luôn là một đại lượng không đổi
Tính góc B của tam giác ABC biết rằng 3
Trang 30b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đôi một khác nhau thì a b b =1
c) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì a = b = c
Bài 5
Trong một giải bóng đá có N đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn
một lượt (hai đội bất kỳ đều gặp nhau đúng một lần) Sau mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua không được điểm nào, còn nếu trận đấu có kết quả hòa thì mỗi đội cùng được 1 điểm Các đội xếp hạng dựa theo tổng điểm Trong trường hợp một số đội có tổng điểm bằng nhau thì các đội này được xếp hạng theo chỉ sồ phụ Két thúc giải người ta nhận thấy rằng không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa; các đội xếp nhất, nhì, ba có tổng điểm lần lượt là 15, 12,
12 và tất cả các đội xếp tiếp theo có tổng điểm đôi một khác nhau
a) Chứng minh rằng N ≥7
b) Tìm N và tổng điểm của mỗi đội tham gia giải