Ôn thi ĐH năm 2010 – phương trình lượng giác, bất phương trình.

Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðẠI SỐ A. Tóm tắt lí thuyết I. Phương trình lượng giác 1. Các hằng ñẳng thức: * 2 2 sin cos 1 α α + = với mọi α * tan .cot 1 α α = với mọi 2 k π α ≠ * 2 2 1 1 tan cos α α + = với mọi 2k α π ≠ * 2 2 1 1 cot sin α α + = với mọi k α π ≠ 2. Hệ thức các cung ñặc biệt a.Hai cung ñối nhau: α và α − 1) cos( ) cos−α = α 2) sin( ) sin−α = − α 3) tan( ) tan−α = − α 4) cot( ) cot−α = − α b. Hai cung phụ nhau: α và 2 π α − 1) cos( ) sin 2 π − α = α 2) sin( ) cos 2 π − α = α 3)tan( ) cot 2 π − α = α 4)cot( ) tan 2 π − α = α c. Hai cung bù nhau: α và π α − 1) sin( ) sinπ − α = α 2) cos( ) cosπ − α = − α 3) tan( ) tanπ − α = − α 4)cot( ) cotπ − α = − α d) Hai cung hơn kém nhau π : α và π α + 1) sin( ) sinπ + α = − α 2) cos( ) cosπ + α = − α 3)tan( ) tanπ + α = α 4)cot( ) cotπ + α = α 3. Các công thức lượng giác a. Công thức cộng 1) cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b± = ∓ 2) sin(a b) sin a.cos b cosa.sin b± = ± Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 2 tan a tan b 3) tan(a b) 1 tan a.tan b ± ± = ∓ b) Công thức nhân 1) sin2a 2 sina cosa= 2 2 2 2 2)cos2a cos a sin a 1 2 sin a 2 cos a 1 = − = − = − 3 3) sin 3a 3 sin a 4 sin a = − 3 4) cos3a 4 cos a 3 cos a = − c. Công thức hạ bậc 2 1 cos2a 1) sin a 2 − = 2 1 cos 2a 2) cos a 2 + = 3) 2 1 cos 2a tan a 1 cos 2a − = + d. Công thức biến ñổi tích thành tổng 1 1) cos a.cos b [cos(a b) cos(a b)] 2 = − + + 1 2) sin a.sin b [cos(a b) cos(a b)] 2 = − − + 1 3) sin a.cos b [sin(a b) sin(a b)] 2 = − + + . e. Công thức biến ñổi tổng thành tích a b a b 1) cos a cos b 2 cos .cos 2 2 + − + = a b a b 2) cos a cos b 2 sin .sin 2 2 + − − = − a b a b 3)sin a sin b 2 sin .cos 2 2 + − + = a b a b 4)sin a - sin b 2 cos .sin 2 2 + − = sin(a b) 5) tan a tan b cos a cos b + + = sin(a b) 6) tan a tan b cos a cos b − − = . 4. Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình: sin (1)x m= * Nếu: m 1 > ⇒ Pt vô nghiệm * Nếu: m 1 [ ; ] : sin m 2 2 π π ≤ ⇒ ∃α ∈ − α = Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 3 (1) sin x sin⇒ ⇔ = α ⇔ x k2 x k2  = α + π  = π − α + π   ( k Z∈ ). Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2 sin m  π π − ≤ α ≤    α =  thì ta viết arcsin mα = . *Các trường hợp ñặc biệt: 1) sin x 1 x k2 2 π = ⇔ = + π 2) sin x 1 x k2 2 π = − ⇔ = − + π 3) sin x 0 x k= ⇔ = π 2. Phương trình: cos x m (2)= * Nếu: m 1> ⇒ phương trình vô nghiệm * Nếu: m 1 [0; ] : cos m≤ ⇒ ∃α ∈ π α = (2) cos x cos⇒ ⇔ = α ⇔ x k2 x k2  = α + π  = −α + π   ( k Z∈ ). Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 0 cos m  ≤ −α ≤ π   α =   thì ta viết arccos mα = . * Các trường hợp ñặc biệt: 1) cos x 1 x k2= ⇔ = π 2) cos x 1 x k2= − ⇔ = π + π 3) cos x 0 x k 2 π = ⇔ = + π 3. Phương trình : tan x m (3)= Với m ( ; ) : 2 2 π π ∀ ⇒ ∃α ∈ − tan mα = (3) tan x tan x k⇒ ⇔ = α ⇔ = α + π . Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2 tan m  π π − < α <    α =  thì ta viết arctan mα = . * Các trường hợp ñặc biệt: Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 4 1) tan x 1 x k 4 π = ⇔ = + π 2) tan x 1 x k 4 π = − ⇔ = − + π 3) tan x 0 x k= ⇔ = π 4. Phương trình: cot x m (4)= Với m ( ; ) : 2 2 π π ∀ ⇒ ∃α ∈ − cot mα = (4) cot x cot x k⇒ ⇔ = α ⇔ = α + π. Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2 cot m  π π − < α <    α =  thì ta viết arc co t mα = . * Các trường hợp ñặc biệt: 1) cot x 1 x k 4 π = ⇔ = + π 2) co t x 1 x k 4 π = − ⇔ = − + π 3) cot x 0 x k 2 π = ⇔ = + π Ghi chú: * u v k2 sin u sin v u v k2  = + π  = ⇔ = π − + π   (k Z)∈ * cos u cos v u v k2= ⇔ = ± + π (k Z)∈ * tan u tan v u v k= ⇔ = + π (k Z)∈ * cot u cot v u v k= ⇔ = + π (k Z)∈ 5. Phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc hai một hàm số lượng giác: Là phương trình có dạng 2 sin x sin x cos x cos x a. b. c 0 tan x tan x cot x cot x             + + =                 (1) Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 5 Cách giải: ðặt sin x cos x t tan x cot x       =         (*) khi ñó (1) trở thành: 2 at bt c 0 + + = giải phương trình này ta tìm ñược t thay vào (*) ta tìm ñược x Chú ý: * Nếu sin x t cos x   =       thì 1 t 1− ≤ ≤ . * Khi gặp phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác ta cũng ñặt hàm số ñó bằng một ẩn phụ và chuyển phương trình ñã cho về phương trình ñại số. 2. Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx : a sin x b cos x c (1)+ = . Cách giải: Chia hai vế cho: 2 2 a b+ và ñặt 2 2 2 2 a b cos ; sin a b a b α = α = + + 2 2 c (1) sin x. cos cos x.sin sin(x ) sin a b ⇒ ⇔ α + α = ⇔ + α = β + . Chú ý: * (1) có nghiệm 2 2 2 a b c⇔ + ≥ . * 1 3 sinx 3 cos x 2 sin x cos x 2 sin(x ) 2 2 3   π ± = − = −       * 3 1 3sinx cos x 2 sin x cos x 2 sin(x ) 2 2 6   π ± = ± = ±       * 1 1 sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin(x ) 4 2 2   π ± = ± = ±     . 3. Phương trình ñẳng cấp: Là phương trình có dạng (sin , cos ) 0=f x x trong ñó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 6 Cách giải: Chia hai vế pt cho cos 0 k x ≠ (k là số mũ cao nhất) ta ñược phương trình ẩn là tan x . 4. Phương trình lượng giác không mẫu mực ðể giải phương trình lượng giác không mẫu mực, ta sử dụng các phép biến ñổi lượng giác, ñưa phương trình ñã cho về những dạng phương trình ñã biết. * ðưa phương trình ban ñầu về phương ña thức ñối với một hàm số lượng giác * ðưa phương trình ban ñầu về phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx * ðưa phương trình ban ñầu về phương trình dạng tích II. Phương trình – bất phương trình 1. Phương trình bậc cao: Cách 1: ðưa về dạng tích: ( ) 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 f x f x g x g x  =  = ⇔  =   . ðể ñưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau: * Sử dụng các hằng ñẳng thức ñưa về dạng 2 2 3 3 0, 0, .a b a b − = − = * Nhẩm nghiệm rồi chia ña thức: Nếu x a= là một nghiệm của phương trình ( ) 0f x = thì ta luôn có sự phân thích: ( ) ( ) ( )f x x a g x= − . ðể dự ñoán nghiệm ta dựa vào ñịnh lí sau: ðịnh lí: Nếu ña thức 1 1 1 0 ( ) . n n n n f x a x a x a x a − − = + + + + có nghiệm nguyên thì nghiệm ñó phải là ước của 0 a * Sử dụng phương pháp hệ số bất ñịnh Cách 2: ðặt ẩn phụ Dạng 1: Phương trình ñối xứng: Là phương trình có dạng: 4 3 2 0ax bx cx bx a ± + ± + = . Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 2 ( 0)x x ≠ ta có : 2 2 1 1 ( ) ( ) 0a x b x c x x + ± + + = ðặt 1 t x x = + với 2t ≥ ta có 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 2x x t x x + = + − = − thay vào phương trình ta có: 2 ( 2) 0a t bt c − ± + = Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 7 Dạng 2: ( )( )( )( )x a x b x c x d e+ + + + = trong ñó a b c d+ = + Cách giải: ðặt 2 ( ) t x a b x = + + ta có : ( )( )t ab t cd e+ + = Dạng 3 : 4 4 ( ) ( )x a x b c + + + = . ðặt 2 a b x t + = − ta ñưa về phương trình trùng phương. 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt ñối Cách 1: Dùng ñịnh nghĩa: khi 0 | | khi 0 a a a a a  ≥  =  − <   Cách 2 : Bình phương hai vế kết hợp với tính chất 2 2 | |a a = 1) 2 2 ( ) 0 | ( ) | ( ) ( ) ( ) 0 g x f x g x f x g x  ≥  = ⇔  − =   . 2) ( ) ( ) | ( ) | | ( ) | ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x  = = ⇔  = −   . Cách 3 : ðặt ẩn phụ 3. Phương trình – bất phương trình vô tỉ Cách 1: Biến ñổi tương ñương * 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n f x g x f x g x= ≥= ⇔ * 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n g x f x f x g x g x  ≥   =   = ⇔ * 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x g x f x g x + + = ⇔ = * 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x g x f x g x + + > ⇔ > * 2 ( ) ( ) n f x g x< ⇔ 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) n f x g x f x g x  ≥   ≥   <   * 2 ( ) ( ) n f x g x> ⇔ 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) n g x f x g x f x g x  <   ≥    ≥     >       Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 8 Cách 2: ðặt ẩn phụ Dạng 1: ( ( )) 0 n F f x = , với dạng này ta ñặt ( ) n t f x= (nếu n chẵn thì phải có ñiều kiện 0t ≥ ) và chuyển về phương trình ( ) 0F t = giải phương trình này ta tìm ñược t x⇒ . Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc hai: ( ) ( ) 0 af x b f x c + + = . Dạng 2: ( ( ) ( )) 2 ( ). ( ) ( ( ) ( )) 0m f x g x n f x g x n f x g x p± ± + + + = . Vì ta có: 2 ( ( ) ( )) 2 ( ). ( ) ( ( ) ( ))n f x g x n f x g x n f x g x+ ± = ± Nên với dạng này ta ñặt ( ) ( )t f x g x= ± . Bình phương hai vế ta sẽ biểu diễn ñược những ñại lượng còn lại qua t và chuyển phương trình (bpt) ban ñầu về phương trình (bpt) bậc hai ñối với t. Dạng 3: n ( ( ), ( )) 0 n F f x g x = , trong ñó ( , )F a b là một biểu thức ñẳng cấp bậc k. Với dạng này ta xét hai trường hợp: TH1: ( ) 0g x = thay vào phương trình ta kiểm tra, TH2: ( ) 0g x ≠ chia hai vế phương trình cho ( ) k n g x và ñặt ( ) ( ) n f x t g x = ta ñược phương trình ( ) 0G t = là phương trình ña thức bậc k. Ta thường gặp dạng: . ( ) . ( ) . ( ) ( ) 0a f x b g x c f x g x+ + = . ðặt ( ) ( ) f x t g x = , ta có phương trình : 2 0at ct b+ + = . Dạng 4: . ( ) ( ) ( ) ( ) 0a f x g x f x h x+ + = . Với phương trình dạng này ta có thể ñặt ( )t f x= , khi ñó ta ñược phương trình theo ẩn t: 2 ( ) ( ) 0at g x t h x + + = , ta giải phương trình này theo t, xem x là tham số (Tức là trong phương trình vừa có t vừa có x) nên ta thường gọi dạng này là dạng ñặt ẩn phụ không triệt ñể. Dạng 5: ( ), ( ), ( ) n m F f x a f x b f x c   + − =     (I). Ta có thể ñặt: ( ), ( ) n m u a f x v b f x= + = − , lúc ñó ta có hệ phương trình: Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 9 ( , ) n m f u v c u v a b  =   + = +   giải hệ này ta tìm ñược u, v. Từ ñây ta có ñược x. Chú ý : Khi tìm ñược u,v ñể tìm x ta chỉ cần giải một trong hai phương trình: ( ) n a f x u+ = hoặc ( ) m b f x v− = . Dạng 6: ( ) ( ) ( ) n n f x b a af x b+ = − (II) ðể giải phương trình này ta ñặt ( ); ( ) n t f x y af x b= = − ta có hệ: n n t b ay y b at  + =   + =   . ðây là hệ ñối xứng loại II với hai ẩn t và y. Cách 3: ðánh giá Xét phương trình : ( ) ( )f x g x= xác ñịnh trên D. * Nếu phương trình 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 u x u x v x v x  =  ⇔ + = ⇔  =   * Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) f x m x x D g x m x  ≥  ∀ ∈  ≤   thì : ( ) ( )PT f x g x= với x D∈ ( ) ( ) ( ) ( ) f x m x g x m x  =  ⇔  =   . Trong cách ñánh giá này ta thường dùng các hằng ñẳng thức và các bất ñẳng thức quen thuộc (như BðT Cauchy, BðT Bunhiacovski, BðT chứa trị tuyệt ñối… )ñể ñánh giá hai vế. III. Hệ phương trình 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a. ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng: ' ' ' ax by c a x b y c  + =   + =   , trong ñó , , , ’, ’, ’a b c a b c là các số thực cho trước và a,b,a’,b’ không ñồng thời bằng không. b. Cách giải: Dùng ñịnh tthức Crame Ta có các ñịnh thức: c c ; ; ' ' ' ' ' c' x y a b b a D D D a b c b a = = = . Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 10 * Nếu D 0≠ thì hệ có nghiệm duy nhất: ; y x D D x y D D = = . * Nếu 0 x y D D D= = = thì hệ vô số nghiệm: ( 0) x c ax y b b  ∈   − = ≠   ℝ . * Nếu 0 0 0 x y D D D  =   ≠    ≠    thì hệ ñã cho vô nghiệm. 2. Hệ ñối xứng loại I a. ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng ( ; ) ( ; ) f x y a g x y b  =   =   (I) trong ñó f(x;y),g(x;y) là các biểu thức ñối xứng, tức là ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; )f x y f y x g x y g y x= = . b. Cách giải: ðặt , S x y P xy= + = . Biểu diễn ( ; ), ( ; )f x y g x y qua S và P ta có hệ ( ; ) 0 ( ; ) 0 F S P G S P  =   =   giải hệ này ta tìm ñược S, P. Khi ñó x,y là nghiệm của phương trình : 2 0 (1)X SX P − + = . c. Một số biểu diễn biểu thức ñối xứng qua S và P. 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( )( ) 3 ( ) ( ) 2 ( 2 ) 2 x y x y xy S P x y x y x y xy S SP x y y x xy x y SP x y x y x y S P P + = + − = − + = + + − = − + = + = + = + − = − − d. Chú ý: * Nếu (x;y) là nghiệm của hệ (I) thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ * Hệ (I) có nghiệm khi (1) có nghiệm hay 2 4 0S P − ≥ . 3. Hệ ñối xứng loại 2 a. ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng ( ; ) ( ; ) f x y a f y x a  =   =   (II) b. Cách giải: Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta ñược : [...]... , do ñó ta luôn phân tích phương trình ñã cho v d ng: (x − y )g(x ; y ) = 0 4) Trong h phương trình n u bi u th c u(x) xu t hi n hai Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 11 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 phương trình thì ta có th ñ t t = u(x ) ñ làm ñơn gi n hình th c bài toán 5) N u m i v c a hai phương trình là nh ng bi u th c ñ ng b c, ta có th ñ t x = ty (y ≠ 0) và t hai phương trình c a h ta... nghi m c a b t phương trình ñã cho là: T = [ − 1; 8) Ví d 7 Gi i các phương trình – b t phương trình sau 1) x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x 2 + 8x − 7 + 1 (D2 – 2006 ) 2) 10x + 1 + 3x − 5 = 9x + 4 + 2x − 2 (B1 – 2008 ) 3) x − 2 x − 1 − x (x − 1) + x 2 − x = 0 4) x+ 1 x 2 + x− 1 x 2 > 2 x Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 24 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 5) 2x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0 (D – 2006 ) L i... k π sin 2x = cos 2x    8 2 Ví d 5 Gi i các phương trình sau 1) 16 cos x cos 2x cos 4x cos 8x = 1 (KTQD Hà N i – 1998 ) π 2) 2 cos2 ( cos2 x ) = 1 + cos(π sin 2x ) (ðH Thái Nguyên – 1998 ) 2 L i gi i 1) Ta th y sin x = 0 không là nghi m c a phương trình Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 19 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nên nhân hai v c a phương trình v i sin x ta ñư c: 8 sin 2x cos 2x cos 4x... phù h p Trong phương pháp này ta c n lưu ý m t s d u hi u sau 1) N u trong h phương trình có m t phương trình b c nh t ñ i v i m t n thì ta rút n ñó qua n kia th vào phương trình còn l i và chuy n v gi i phương trình m t n 2) V i hai s th c b t kì x ≠ 0; y ta luôn có y = tx (t là s th c c n tìm) V i cách làm này ta s ñư c h v phương trình m t n t 3) Phương trình f (x ; y ) = f (y; x ) luôn có m t c p... m khi cho V y nghi m c a phương trình ñã cho là: x = 0; x = r ng a.b = a b ! Nên nh ñ ng th c này ch ñúng khi a, b ≥ 0 ! N u a, b ≤ 0 thì ab = −a −b c) V i b t phương trình có d ng như trên ta v n gi i theo cách bình phương ñã trình bày Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 22 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 4) S d ng ñ ng th c: (a + b)3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) Phương trình ñã cho tương ñương... cos ⇔x=± + k2π 2 2 3 3 Chú ý: Ta có th gi i bài toán trên b ng cách sau Phương trình ⇔ cos 3x − cos x − (1 − cos 2x ) = 0 3 2 2 ⇔ −2 sin 2x sin x − 2 sin2 x = 0 ⇔ sin2 x (2 cos x + 1) = 0 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 12 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 2) Ta chuy n phương trình v phương trình ch ch a cos 2x Phương trình ⇔ 3(2 cos2 2x − 1) − (1 + cos 2x)3 + 1 + cos 2x + 3 ⇔ cos 2x(cos2 2x... 1 = 0 (VN 0 )  phương trình ñã cho 4) ði u ki n: x ≥ 1 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 25 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 1 Khi ñó b t phương trình ⇔ 2x + 2 x 2 − x ⇔ x3 + x6 − 1 > 2 ⇔ x6 − 1 > 2 − x3 4 > 4 x2 (1) * N u x > 3 2 ⇒ (1) ñúng * N u 1 ≤ x ≤ 3 2 ⇒ (1) ⇔ x 6 − 1 > 4 − 4x 3 + x 6 ⇔ 4x 3 > 5 ⇔ 3 5 < x ≤ 32 4 V y nghi m c a b t phương trình là: x > 3 5 \ 4 5) Phương trình ⇔ 2x − 1 −... a phương trình là: x = −24; x = −88; x = 3 b) Khi g p phương trình d ng: F  f (x ), n a + f (x ), m b − f (x )  = c Ta     có th ñ t: u = n a + f (x ), v = m b − f (x ) , lúc ñó ta có h phương  f (u, v ) = c  trình:  n gi i h này ta tìm ñư c u, v T ñây ta có u + vm = a + b   ñư c x Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 30 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 2) ði u ki n : x ≥ −3 Phương trình. .. trình ñã cho có nghi m ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔| m |≥ 4 x ≥ −1  2) Phương trình ⇔  2 x + (m − 2)x − 4 = 0  Phương trình (*) luôn có hai nghi m : x1 = (*) 2 − m + m 2 − 4m + 8 2 − m − m 2 − 4m + 8 > 0 ; x2 =