Ôn thi ĐH năm 2010 - Câu 2

Ôn thi ðH năm 2010 – Câu PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – B T PHƯƠNG TRÌNH – H PHƯƠNG TRÌNH ð I S A Tóm t t lí thuy t I Phương trình lư ng giác Các h ng ñ ng th c: * sin2 α + cos2 α = v im iα * tan α cot α = v im iα ≠ * + tan2 α = * + cot2 α = cos α kπ v i m i α ≠ k 2π v i m i α ≠ kπ sin2 α H th c cung ñ c bi t a.Hai cung ñ i nhau: α −α 1) cos(−α) = cos α 2) sin(−α) = − sin α 3) tan(−α) = − tan α 4) cot(−α) = − cot α b Hai cung ph nhau: α π −α π π − α) = sin α 2) sin( − α) = cos α 2 π π 3) tan( − α) = cot α 4)cot( − α) = tan α 2 c Hai cung bù nhau: α π − α 1) sin(π − α) = sin α 2) cos(π − α) = − cos α 3) tan(π − α) = − tan α 4)cot(π − α) = − cot α d) Hai cung π : α π + α 1) sin(π + α) = − sin α 2) cos(π + α) = − cos α 3) tan(π + α) = tan α 4)cot(π + α) = cot α Các công th c lư ng giác a Công th c c ng 1) cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b 2) sin(a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b 1) cos( Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong Ôn thi ðH năm 2010 – Câu tan a ± tan b ∓ tan a tan b b) Công th c nhân 1) sin 2a = sin a cos a 3) tan(a ± b) = 2) cos 2a = cos2 a − sin2 a = − sin2 a = cos2 a − 3) sin 3a = sin a − sin a 4) cos3a = cos3 a − cos a c Công th c h b c − cos 2a + cos 2a 1) sin2 a = 2) cos2 a = 2 − cos 2a 3) tan2 a = + cos 2a d Công th c bi n đ i tích thành t ng 1) cos a.cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] 2) sin a.sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 3) sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] e Cơng th c bi n đ i t ng thành tích a+b a−b 1) cos a + cos b = cos cos 2 a+b a−b 2) cos a − cos b = −2 sin sin 2 a+b a−b 3) sin a + sin b = sin cos 2 a+b a−b 4)sin a - sin b = cos sin 2 sin(a + b) sin(a − b) 5) tan a + tan b = 6) tan a − tan b = cos a cos b cos a cos b Phương trình lư ng giác b n Phương trình: sin x = m (1) * N u: m > ⇒ Pt vô nghi m * N u: m ≤ ⇒ ∃α ∈ [ − π π ; ] : sin α = m 2 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong Ôn thi ðH năm 2010 – Câu  x = α + k2π ( k ∈ Z ) ⇒ (1) ⇔ sin x = sin α ⇔   x = π − α + k2π   π π − ≤ α ≤ Chú ý : * N u α th a mãn  2 ta vi t α = arcsin m sin α = m  *Các trư ng h p ñ c bi t: π π 1) sin x = ⇔ x = + k2π 2) sin x = −1 ⇔ x = − + k2π 2 3) sin x = ⇔ x = kπ Phương trình: cos x = m (2) * N u: m > ⇒ phương trình vơ nghi m * N u: m ≤ ⇒ ∃α ∈ [0; π] : cos α = m  x = α + k2π ( k ∈ Z ) ⇒ (2) ⇔ cos x = cos α ⇔   x = −α + k2π  0 ≤ −α ≤ π  Chú ý : * N u α th a mãn  ta vi t α = arccos m cos α = m  * Các trư ng h p ñ c bi t: 1) cos x = ⇔ x = k2π 2) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π π 3) cos x = ⇔ x = + kπ Phương trình : tan x = m (3) π π ; ) : tan α = m 2 ⇒ (3) ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ V i ∀m ⇒ ∃α ∈ (−  π π − < α < Chú ý : * N u α th a mãn  2 ta vi t α = arctan m tan α = m  * Các trư ng h p ñ c bi t: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong Ôn thi ðH năm 2010 – Câu π + kπ 3) tan x = ⇔ x = kπ 1) tan x = ⇔ x = 2) tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ 4 Phương trình: cot x = m (4) π π ; ) : cot α = m 2 ⇒ (4) ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ V i ∀m ⇒ ∃α ∈ (−  π π − < α < Chú ý : * N u α th a mãn  2 ta vi t α = arc co t m cot α = m  * Các trư ng h p ñ c bi t: π π 1) cot x = ⇔ x = + kπ 2) co t x = −1 ⇔ x = − + kπ 4 π 3) cot x = ⇔ x = + kπ Ghi chú: u = v + k2π * sin u = sin v ⇔  (k ∈ Z) u = π − v + k2π  * cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π (k ∈ Z) * tan u = tan v ⇔ u = v + kπ (k ∈ Z) * cot u = cot v ⇔ u = v + kπ (k ∈ Z) Phương trình lư ng giác thư ng g p Phương trình b c hai m t hàm s lư ng giác: Là phương trình có d ng sin x  sin x      cos x  + b cos x  + c = (1) a   tan x  tan x      cot x  cot x      Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong Ôn thi ðH năm 2010 – Câu sin x    cos x  (*) (1) tr thành: Cách gi i: ð t t =  tan x    cot x    at2 + bt + c = gi i phương trình ta tìm ñư c t thay vào (*) ta tìm ñư c x sin x  Chú ý: * N u t =   −1 ≤ t ≤ cos x    * Khi g p phương trình ch ch a m t hàm s lư ng giác ta đ t hàm s b ng m t n ph chuy n phương trình cho v phương trình đ i s Phương trình b c nh t đ i v i sinx cosx : a sin x + b cos x = c (1) Cách gi i: Chia hai v cho: a + b2 ñ t a b cos α = ; sin α = a2 + b2 a2 + b2 c ⇒ (1) ⇔ sin x cos α + cos x sin α = ⇔ sin(x + α) = sin β 2 a +b Chú ý: * (1) có nghi m ⇔ a + b2 ≥ c2 1  π * sinx ± cos x =  sin x − cos x  = sin(x − ) 2      π * 3sinx ± cos x =  sin x ± cos x  = sin(x ± )       π * sin x ± cos x =  sin x ± cos x  = sin(x ± )   Phương trình đ ng c p: Là phương trình có d ng f (sin x , cos x ) = lu th a c a sinx cosx ch n ho c l Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong Ôn thi ðH năm 2010 – Câu Cách gi i: Chia hai v pt cho cosk x ≠ (k s mũ cao nh t) ta ñư c phương trình n tan x Phương trình lư ng giác không m u m c ð gi i phương trình lư ng giác khơng m u m c, ta s d ng phép bi n ñ i lư ng giác, đưa phương trình cho v nh ng d ng phương trình bi t * ðưa phương trình ban đ u v phương đa th c ñ i v i m t hàm s lư ng giác * ðưa phương trình ban đ u v phương trình b c nh t đ i v i sinx cosx * ðưa phương trình ban đ u v phương trình d ng tích II Phương trình – b t phương trình Phương trình b c cao:  f (x ) =  Cách 1: ðưa v d ng tích: f (x ).g(x ) = ⇔  g(x ) =  ð ñưa v m t phương trình tích ta thư ng dùng cách sau: * S d ng h ng ñ ng th c ñưa v d ng a − b = 0, a − b = 0, * Nh m nghi m r i chia ña th c: N u x = a m t nghi m c a phương trình f (x ) = ta ln có s phân thích: f (x ) = (x − a )g(x ) ð d đốn nghi m ta d a vào đ nh lí sau: ð nh lí: N u đa th c f (x ) = an x n + an −1x n −1 + + a1x + a0 có nghi m ngun nghi m ph i c c a a0 * S d ng phương pháp h s b t ñ nh Cách 2: ð t n ph D ng 1: Phương trình đ i x ng: Là phương trình có d ng: ax ± bx + cx ± bx + a = Cách gi i: Chia hai v phương trình cho x (x ≠ 0) ta có : ) ± b(x + ) + c = x x 1 ð t t = x + v i t ≥ ta có x + = (x + )2 − = t − 2 x x x a(x + thay vào phương trình ta có: a(t − 2) ± bt + c = Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong Ôn thi ðH năm 2010 – Câu D ng 2: (x + a )(x + b )(x + c )(x + d ) = e a + b = c + d Cách gi i: ð t t = x + (a + b)x ta có : (t + ab)(t + cd ) = e D ng 3: (x + a )4 + (x + b)4 = c ð t x = t − a +b ta đưa v phương trình trùng phương Phương trình ch a n d u giá tr t ñ i  a a ≥ Cách 1: Dùng ñ nh nghĩa: | a |=  −a a <  Cách 2: Bình phương hai v k t h p v i tính ch t | a |2 = a g(x ) ≥  1) | f (x ) |= g(x ) ⇔  f (x ) − g (x ) =    f (x ) = g(x ) 2) | f (x ) |=| g(x ) |⇔   f (x ) = −g(x )  Cách 3: ð t n ph Phương trình – b t phương trình vơ t Cách 1: Bi n ñ i tương ñương * 2n f (x ) = 2n g(x ) ⇔ f (x ) = g(x ) ≥ * * * 2n g(x ) ≥  f (x ) = g(x ) ⇔  2n  f (x ) = g (x )  2n +1 f (x ) 2n +1 f (x ) = g(x ) ⇔ f (x ) = g 2n +1(x ) > g(x ) ⇔ f (x ) > g 2n +1(x )  f (x ) ≥  * 2n f (x ) < g(x ) ⇔ g(x ) ≥   2n  f (x ) < g (x )    g(x ) <  * 2n f (x ) > g(x ) ⇔  f (x )≥  g(x ) ≥    f (x ) > g 2n (x )   Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong Ôn thi ðH năm 2010 – Câu Cách 2: ð t n ph D ng 1: F (n f (x )) = , v i d ng ta ñ t t = n f (x ) (n u n ch n ph i có u ki n t ≥ ) chuy n v phương trình F (t ) = gi i phương trình ta tìm đư c t ⇒ x Trong d ng ta thư ng g p d ng b c hai: af (x ) + b f (x ) + c = D ng 2: m( f (x ) ± g(x )) ± 2n f (x ).g(x ) + n( f (x ) + g (x )) + p = Vì ta có: n( f (x ) + g (x )) ± 2n f (x ).g (x ) = n( f (x ) ± g(x ))2 Nên v i d ng ta ñ t t = f (x ) ± g(x ) Bình phương hai v ta s bi u di n ñư c nh ng ñ i lư ng cịn l i qua t chuy n phương trình (bpt) ban đ u v phương trình (bpt) b c hai ñ i v i t D ng 3: F (n f (x ), n g (x )) = , F (a, b ) m t bi u th c ñ ng c p b c k V i d ng ta xét hai trư ng h p: ( ) TH1: g x = thay vào phương trình ta ki m tra, TH2: g (x ) ≠ chia hai v phương trình cho t =n n g k (x ) ñ t f (x ) ta đư c phương trình G (t ) = phương trình đa th c g(x ) b c k Ta thư ng g p d ng: a.f (x ) + b.g(x ) + c f (x )g(x ) = ð tt = f (x ) , ta có phương trình : at + ct + b = g(x ) D ng 4: a.f (x ) + g (x ) f (x ) + h(x ) = V i phương trình d ng ta có th đ t t = f (x ) , ta đư c phương trình theo n t: at + g(x )t + h(x ) = , ta gi i phương trình theo t, xem x tham s (T c phương trình v a có t v a có x) nên ta thư ng g i d ng d ng ñ t n ph khơng tri t đ D ng 5: F  f (x ), n a + f (x ), m b − f (x )  = c (I)     Ta có th đ t: u = n a + f (x ), v = m b − f (x ) , lúc ta có h phương trình: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong Ôn thi ðH năm 2010 – Câu  f (u, v ) = c  gi i h ta tìm đư c u, v T ta có đư c x  n m u + v = a + b  Chú ý : Khi tìm đư c u,v đ tìm x ta ch c n gi i m t hai phương trình: n a + f (x ) = u ho c D ng 6: ( f (x )) n + b = a n af (x ) − b mb − f (x ) = v (II) ð gi i phương trình ta đ t t = f (x ); y = n af (x ) − b ta có t n + b = ay  h : n y + b = at  ðây h ñ i x ng lo i II v i hai n t y Cách 3: ðánh giá Xét phương trình : f (x ) = g (x ) xác ñ nh D u(x ) =  * N u phương trình ⇔ u (x ) + v (x ) = ⇔  v(x ) =   f (x ) ≥ m(x )  *N u  ∀x ∈ D PT : f (x ) = g(x ) v i g(x ) ≤ m(x )   f (x ) = m(x )  x∈D ⇔  g(x ) = m(x )  Trong cách ñánh giá ta thư ng dùng h ng ñ ng th c b t ñ ng th c quen thu c (như BðT Cauchy, BðT Bunhiacovski, BðT ch a tr t ñ i… )ñ ñánh giá hai v III H phương trình H phương trình b c nh t hai n ax + by = c  a ð nh nghĩa: Là h có d ng:  , a ' x + b ' y = c '  a, b, c, a’, b’, c’ s th c cho trư c a,b,a’,b’ khơng đ ng th i b ng khơng b Cách gi i: Dùng ñ nh tth c Crame a b c b a c Ta có đ nh th c: D = ; Dx = ; Dy = a' b' c' b' a ' c' Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong Ôn thi ðH năm 2010 – Câu * N u D ≠ h có nghi m nh t: x = Dx ; y= Dy D D x ∈ ℝ  * N u D = Dx = Dy = h vô s nghi m:  c − ax (b ≠ 0) y =  b D =  * N u  Dx ≠ h cho vô nghi m  D ≠   y H ñ i x ng lo i I  f (x ; y ) = a  a ð nh nghĩa: Là h có d ng  (I) f(x;y),g(x;y) g(x ; y ) = b  bi u th c ñ i x ng, t c f (x ; y ) = f (y; x ), g (x ; y ) = g(y; x ) b Cách gi i: ð t S = x + y, P = xy Bi u di n f (x ; y ), g (x ; y ) qua S P ta có h  F (S ; P ) = gi i h ta tìm đư c S, P  G (S ; P ) =  Khi x,y nghi m c a phương trình : X − SX + P = (1) c M t s bi u di n bi u th c ñ i x ng qua S P x + y = (x + y )2 − 2xy = S − 2P x + y = (x + y )(x + y − xy ) = S − 3SP x 2y + y 2x = xy(x + y ) = SP x + y = (x + y )2 − 2x 2y = (S − 2P )2 − 2P d Chú ý: * N u (x;y) nghi m c a h (I) (y;x) nghi m c a h * H (I) có nghi m (1) có nghi m hay S − 4P ≥ H ñ i x ng lo i  f (x ; y ) = a  a ð nh nghĩa: Là h có d ng  (II) f (y; x ) = a   b Cách gi i: Tr hai phương trình c a h cho ta ñư c : Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 10 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu ( b) D ng t ng quát toán : f (x ) ) n + b = a n af (x ) − b ð gi i phương trình ta đ t t = f (x ); y = n af (x ) − b ta có h : t n + b = ay  ðây h ñ i x ng lo i II v i hai n t y  n y + b = at  3) Ta th y x = không nghi m c a phương trình Chia hai v phương trình cho x ta ñư c: ð tt = 13 − + = 23 + −3 x x2 x x2 x , ta có: 8t − 13t + 7t = t + 3t − x ⇔ (2t − 1)3 − (t − t − 1) = 2(2t − 1) + t − t − ð t u = 2t − 1, v = 2(2t − 1) + t − t − , ta có h phương trình : u − t + t + = 2v  ⇒ u − v = 2v − 2u  v − t + t + = 2u  ⇔ (u − v )(u + uv + v + 2) = ⇔ u = v ⇔ 2t − = t + 3t − ⇔ 8t − 13t + 3t + = t = t =  ⇔ (t − 1)(8t − 5t − 2) = ⇔  ⇔ ± 89 8t − 5t − = t=   16  Th l i ta th y ba nghi m th a phương trình V y phương trình ñã cho có ba nghi m: x = 1; x = 16 ± 89 4) Phương trình ⇔ 8x − 13x + 7x = (x + 1) 3x − ⇔ (2x − 1)3 − (x − x − 1) = (x + 1)3 (x + 1)(2x − 1) + x − x − ð t u = 2x − 1; v = 3x − , ta có h phương trình : u − (x − x − 1) = (x + 1)v  ⇒ (u − v )(u + uv + v + x + 1) =  v − (x − x − 1) = (x + 1)u  Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 32 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu * u = v ⇔ 2x − = 3x − ⇔ 8x − 15x + 6x + = x = ⇔ (x − 1)(8x − 7x − 1) = ⇔  x = −1   u * u + uv + v + x + = ⇔ (v + )2 + (2x − 1)2 + x + = u ⇔ 4(v + )2 + 12x − 8x + = u ⇔ 4(v + )2 + 4x + 2(2x − 1)2 + = phương trình vơ nghi m V y phương trình cho có hai nghi m: x = 1; x = − Ví d 10 Tìm t t c giá tr c a tham s m đ phương trình 1) 2x − mx − x − = có nghi m 2) 2x + mx − = x + có hai nghi m phân bi t 3) x + 2x + 2m − 2x − x = m có nghi m 4) x − 2x + = 2m + − 2x + 4x có hai nghi m phân bi t L i gi i 1) Phương trình ⇔ 2x − mx = x − x − ≥ (1)  ⇔ (2) x − mx + =   | x |≥ Ta th y n u (2) có nghi m x1, x | x1x |= ⇒  nên | x |≥  phương trình cho có nghi m ⇔ ∆ ≥ ⇔| m |≥ x ≥ −1  2) Phương trình ⇔  x + (m − 2)x − =  Phương trình (*) ln có hai nghi m : x1 = (*) − m + m − 4m + − m − m − 4m + > ; x2 = (*) có hai nghi m x phân bi t D n đ n phương trình cho có hai ngh m phân bi t ⇔ f (t ) có m t nghi m t > b Do − = − nên yêu c u toán ⇔ f (t ) có hai nghi m 2a (t − 1)(t2 − 1) <  t1 < < t2 ⇔  ⇔ m > −1 ∆ = + 8(2m + 5) >  V y m > −1 giá tr c n tìm Ví d 11 Gi i h phương trình sau x + y − xy = x + y + 2xy =   (A – 2006 ) 1)  2)   x +1 + y +1 = x + y =   Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 34 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu x (x + 2)(2x + y ) =  3)  x + 4x + y =  y(1 + 2x 3y ) = 3x  4)  + 4x 6y = 5x   L i gi i 1) ð t S = x + y, P = xy Khi h tr thành:  2−S  P = S + 2P =  ⇔  S (S − 3P ) =  S (S − − 3S ) =    ⇒ 2S + 3S − 6S − 16 = ⇔ (S − 2)(2S + 7S + 8) = ⇔ S = ⇒ P = ⇒ x , y nghi m phương trình: X − 2X = ⇔ X = 0, X = x = x =   v  V y nghi m c a h là:  y = y =    xy ≥ 2) ði u ki n:  x , y ≥ −1  ð t S = x + y, P = xy ta có:   S − P = S ≥ 3; P = (S − 3) ⇔  S + + S + P + = 16 2 S + (S − 3) + = 14 − S   3 ≤ S ≤ 14; P = (S − 3)2  ⇔ 2 4(S + 8S + 10) = 196 − 28S + S    3 ≤ S ≤ 14; P = (S − 3) S = ⇔ ⇔ ⇒ x = y = P = S + 30S − 52 =   V y nghi m c a h là: (x ; y ) = (3; 3) Chú ý: V i tốn ta có th gi i cách khác sau Cách 2: T phương trình th nh t ⇒ x + y = + xy > ⇒ x , y > ( xy ≥ ) x +y x +y ⇒ x + y = + xy ≤ + ⇒ x + y ≤ 2 ð ng th c x y ⇔ x = y = Ta có: xy ≤ Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 35 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu M t khác ta ln có BðT a + b ≤ 2(a + b ) Áp d ng BðT v i a = x + 1, b = y + ta có: x + + y + ≤ 2(x + y + 2) ≤ ð ng th c có x = y = V y h có nghi m (x ; y ) = (3; 3) (x + 2x )(2x + y ) =   x + 2x = ⇔ 3) H ⇔  (x + 2x ) + (2x + y ) = 2x + y =   x = ⇒ y = ⇔ x = −3 ⇒ y =  V y nghi m c a h là: (x ; y ) = (1;1), (−3;9) 4) Ta th y x = không nghi m c a h nên ta bi n ñ i h tr thành  1 2y ( + 2y ) =  x x ð t a = 2y, b = , ta có h  x3  + (2y )2 = x    6 ab(a + b) =  a + b = a + b = ⇔ ⇔ ab ab  2 a + b = (a + b)2 − 2ab = 2a 3b + 5a 2b − 36 =       ab = a = a = v  ⇔ ⇔ a + b = b = b =    a =  * ⇔ b =   y =   x =   a = y =   ⇔ * b = x =   V y h cho có hai c p nghi m : (x ; y ) = (1;1), ( 1 ; ) 2 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 36 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu Ví d 12 Gi i h phương trình sau 3  = 2x + y  x +9 + y −7 =   2)  1)  x  = 2y + x  y +9 + x −7 =  y2    (x − y )2 y = x − xy + y = (x − y )   (D1 – 2006 ) 3)  4)  x + xy + y = x − y x − y = 19   ( )    L i gi i 1) ði u ki n: x , y ≠ 2x + x 2y =  ⇒ 2(x − y ) + xy(x − y ) = H ⇔ 2y + y x =  ⇔ (x − y )(2x + 3xy + 2y ) = ⇔ x = y (Do 2x + 3xy + 2y = 2(x + y) + y > ) Thay vào h ta ñư c: 3x = ⇔ x = = y V y h có nghi m: x = y = 2) ði u ki n: x , y ≥ Tr hai phương trình c a h ta đư c: x +9 + y −7 = y +9 + x −7 ⇔ (x + 9)(y − 7) = (y + 9)(x − 7) ⇔ x = y Thay vào h ta ñư c x + + x − =  x +9 + x −7 =  x +9 =4   ⇔ ⇔ ⇔x =7  x +9 − x −7 =  x −7 =   V y h có nghi m: x = y = 3) Vì x = khơng nghi m c a h nên ta đ t y = tx x (1 − t )2 t =  Khi h tr thành:  3 x (1 − t ) = 19  Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 37 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu − t3 19 t + t + 19 ⇒ = ⇔ = 2 t(1 − t ) t(1 − t )2 ,t = 2 19 * t = ⇔ y = x thay vào h : x = 19 ⇔ x = ⇒ y = 3 27 1 * t = ⇔ y = x thay vào h : x = ⇒y = 3 7 18 18 ; ) V y nghi m c a h là: (x ; y ) = (3;2), ( 18 18 ⇔ 21t − 17t + = ⇔ t = 4) Ta có: x + xy + y = 7(x − y )2 ⇔ 2x − 5xy + 2y = x = 2y ⇔ (2x − y )(x − 2y ) = ⇔  y = 2x   y = ⇒ x = * x = 2y thay vào h ta ñư c: 3y = 3y ⇔  y = ⇒ x =  x = ⇒ y = * y = 2x thay vào h ta có đư c: 3x = −3x ⇔  x = −1 ⇒ y = −2  V y nghi m c a h (0; 0), (2;1), (−1; −2) Chú ý: Ta có th gi i h theo cách khác sau    x − xy + y = (x − y )   (x − y ) − 3xy = (x − y )  Ta có:  ⇔ x + xy + y = x − y   xy = (x − y ) ( )       u − 3u + v =  ð t u = x − y, v = xy H tr thành   v = 2u    u = u =   ⇔ v    v = v =     T gi i đư c nghi m c a h (0; 0), (2;1), (−1; −2) Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 38 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu Ví d 13 Gi i h phương trình sau x − x 3y + x 2y =  1)  (A2 – 2007 ) x y − x + xy =  xy + x + y = x − 2y  2)  (D – 2008 ) x 2y − y x − = 2x − 2y   x −1 − y = −x3   ( B2 – 2008 ) 3)   (x − 1)4 = y    xy + x + = 7y  (B – 2009 ) 4)  2 x y + xy + = 13y  x − 2xy + x + y =  5)  2 x − 4x y + 3x + y =  L i gi i 2 2   2 x − x y + x y = x (x − xy ) + x y − = 1) Ta có:  ⇔ 2 x y − x + xy = (x + 1)(xy − 1) =   x − = x = y =  ⇔ ⇔ x = y = −1 xy =   x ≥  2) ði u ki n:  y ≥  Ta có: xy + x + y = x − 2y ⇔ y(x + y ) + x + y = (x − y )(x + y ) ⇔ (x + y )(2y − x + 1) = ⇔ x = 2y + (do ñi u ki n) Thay vào h ta có: (2y + 1) 2y − y 2y = 2y + ⇔ 2y (y + 1) − 2(y + 1) = ⇔ y = ⇒ x = V y h có nghi m: (x ; y ) = (5;2) x ≥  3) ði u ki n:   y ≥   Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 39 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu Thay (2) vào (1) ta ñư c: x − − (x − 1)2 = − x ⇔ x − + x − x + 2x − = ⇔ x − − + x − x + 2x − = ⇔ x −2 + (x − 2)(x + x + 4) = x −1 +    ⇔ (x − 2) + x + x + 4 = ⇔ x = ⇒ y =      x −1 +   V y (x ; y ) = (2;1) nghi m nh t c a h 4) Vì y = khơng th a h h ñã cho  x x + + = y y  ⇔ x x + + = 13 y y2   x ð t a =a = x + ; b = ⇒ x + = a − 2b y y y a + b = a + b =   Ta có h  ⇔ a − b = 13 a + a − 20 =   a = −5 a =   ⇔ ho c  b = b = 12     x + =   x − 4x + = y x = ⇒ y = ⇔ ⇔ *  x = x = 3y x =3⇒y =1    y   x + = −5   x + 5x + 12 = y ⇔ * h vô nghi m  x = 12 x = 12y  y  V y h cho có hai c p nghi m: (x ; y ) = (1; ), (3;1) Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 40 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 5) N u x = thay vào h ⇒ y = ⇒ x = y = m t nghi m c a h  y x + = 2y −  x V i x ≠ ta có h cho ⇔  x + y = 4y −  x2   y  y x + = 2y − (1)  x + = 2y − x ⇔ ⇔ x (x + y )2 = 6y − (2y − 1)2 = 6y − (2)   x  (2) ⇔ 2y − 5y + = ⇔ y = 2; y = 2 * y = ⇒ (1) ⇔ x + = ⇔ x − 3x + = ⇔ x = 1; x = x 1 = phương trình vơ nghi m * y = ⇒ (1) ⇔ x + 2x V y h cho có ba c p nghi m: (x ; y ) = (0; 0), (1;2), (2;2) Ví d 14 Tìm t t c giá tr c a tham s m ñ h sau có nghi m th c  1 x + + y + = x y  (D – 2007 ) 1)  1 x + + y3 + = 15m − 10  x3 y3  15x − 11xy + 2y = −7   2) x < y  2m x + 3my <  L i gi i 1 1) ð t: u = x + ; v = y + u ≥ 2; v ≥ x y u + v =   Khi ñó h ñã cho tr thành:   u + v − (u + v ) = 15m − 10    ( ) Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 41 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu u + v =  Suy u, v nghi m c a phương trình: ⇔  uv = − m   t − 5t + − m ⇔ t − 5t + = m (1) H phương trình cho ch phương trình (1) có hai nghi m t = t1; t = t2 v i t1 ≥ 2; t2 ≥ Xét hàm s : f (t ) = t − 5t + v i t ≥ B ng bi n thiên: T b ng bi n thiên ta có h phương trình có nghi m ≤ m ≤ ho c 22 ≤ m 2) Ta th y n u y = h vô nghi m ⇒ y ≠ ð t x = ty h y (15t − 11t + 2) = −2   cho tr thành: y(t − 1) <  y(2m t + 3m ) <  (1) (2) (3) Ta th y (1) có nghi m ⇔ 15t − 11t + < ⇔ ⇒ (3) ⇔ 2m 2t + 3m < (m ≠ 0) (**) 2m H cho có nghi m ⇔ t n t i t th a mãn ñ ng th i mãn (*) (**) 2m + 9 ⇔− > ⇔ < ⇔ − < m < 2m 2m V y − < m < nh ng giá tr c n tìm Bài t p Bài Gi i phương trình lư ng giác sau ⇔t 2x − (A – 2005 ) 2) x + + x + − x + = (D – 2005 ) 3) 3x − − − x = 2x − 4) 8x − 6x + − 4x + ≤ (B1 – 2005 ) ( B2 – 2005 ) Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 44 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 5) 2x + − − x ≥ 3x − (D1 – 2005 ) 6) 3x − + x − = 4x − + 3x − 5x + (B1 – 2006 ) 7) 2x + + − 2x = 8) 1 − x2 ( 3x +1> )( 9) x + x − (A2 – 2008 ) 1−x ) (2x − 1)2 (A1 – 2008 ) 2 ( −x + 2x + < − x − ) (D1 – 2008 ) 10) x + 3x + ≤ (x + 3) x + Bài Gi i h phương trình sau  x −1 + −y =   (B – 2005 ) 1)    3 log9 9x − log3 y =    x + y + x + y =  ( A1 – 2005 ) 2)    x (x + y + 1) + y (y + 1) =    x + + y y + x = 4x  3)  (A1 – 2006 )  x +1 y +x −2 =y  x − 8x = y + 2y  (A2 – 2006 ) 4)  2 x − = y +  ( ) ( ( ) )( ( ) ) ) (   x − y x + y = 13 ( )  5)  (B2 – 2006 )   x + y x − y = 25 ( )     x + y + x y + xy + xy = −  (A – 2008 ) 6)  x + y + xy(1 + 2x ) = −   2  x + 2x y + x y = 2x + (B – 2008 ) 7)  x + 2xy = 6x +   ( ( ) ) Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 45 Ôn thi ðH năm 2010 – Câu x (x + y + 1) − =  8)  (D – 2009 ) (x + y )2 − +1 =   x2  x +y + x −y = y  9)   x + 5y =  1 + x 3y = 19x  10)  y + xy = −6x   Bài Tìm t t c giá tr tham s m ñ x + mx + = 2x + có hai nghi m th c phân bi t 1) Phương trình (B – 2006 ) 2) Phương trình x − + m x + = x − có nghi m (A – 2007 ) 3) B t phương trình m  x − 2x + +  + x − x ≤ có nghi m     x ∈ 0; +  ( A1 – 2007 )     ( 4) Phương trình 5) Phương trình ) x + − x = m có nghi m (B1 – 2007 ) x − 13x + m + x − = có nghi m (B2 – 2007 ) 6) Phương trình x − − x − + x − x − + = m có hai nghi m th c (D1 – 2007 ) 2x − y − m =  7) H  x , y, m ∈ ℝ có nghi m nh t (D2 – x + xy =   2007) ( ) 8) Phương trình 2x + 2x + 24 − x + − x = m (A – 2008 ) 9) Phương trình x + 2x + − x + = m có m t nghi m ( D2 – 2008 ) Bài Ch ng minh r ng v i m i giá tr dương c a tham s m phương trình phương trình sau có hai nghi m th c phân bi t: x + 2x − = m(x − 2) (B – 2007 ) Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 46 ... 12 Ôn thi ðH năm 20 10 – Câu 2) Ta chuy n phương trình v phương trình ch ch a cos 2x Phương trình ⇔ 3 (2 cos2 2x − 1) − (1 + cos 2x)3 + + cos 2x + ⇔ cos 2x(cos2 2x − cos 2x + 2) =  π π cos 2x... Phong 13 Ôn thi ðH năm 20 10 – Câu ) ( sin 2x + sin2 2x + sin 2x − − = 2 π ⇔ sin2 2x + sin 2x − = ⇔ sin 2x = ⇔ x = + kπ Ví d Gi i phương trình sau Phương trình ⇔ − 1) cos 5x − sin 3x cos 2x − sin... Phong 18 Ôn thi ðH năm 20 10 – Câu Ví d Gi i phương trình sau 1) sin 2x cos 3x = sin 5x cos 6x 2) sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x (B – 20 02 ) 3) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos