Giá trị p adic của số schenker và giả thuyết của g mcgarvey

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồng Nhung GIÁ TRỊ P-ADIC CỦA SỐ SCHENKER VÀ GIẢ THUYẾT CỦA G MCGARVEY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồng Nhung GIÁ TRỊ P-ADIC CỦA SỐ SCHENKER VÀ GIẢ THUYẾT CỦA G MCGARVEY Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục với đề tài: “Giá trị p-adic số Schenker giả thuyết G McGarvey” công trình nghiên cứu riêng tơi Các nội dung kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Bùi Hồng Nhung LỜI CẢM ƠN Tơi xin thành kính gởi lời cảm ơn đến thầy PGS TS Mỵ Vinh Quang, người ln tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu thầy cô tổ Toán Trường THPT Nguyễn Trãi – Thị xã Thuận An – Tỉnh Bình Dương nơi tơi cơng tác, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo chun viên phịng Khoa học cơng nghệ - Sau đại học, Ban chủ nhiệm giảng viên khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tạo thuận lợi cho chúng tơi khóa học Tơi cảm ơn bạn, anh chị học Khóa 27 tơi chia sẻ buồn vui, khó khăn trình học tập nghiên cứu, đặc biệt bạn Đào Thị Thu Hường lớp Đại số lý thuyết số đồng hành, động viên suốt q trình học tập hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn đến gia đình tơi, chỗ dựa vững tơi Đặc biệt cảm ơn Má chỗ dựa tinh thần cho con, động lực để học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Bùi Hồng Nhung MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khai triển giá trị p-adic số tự nhiên 1.1.1 Định lí 1.1.2 Bổ đề 1.2 Lý thuyết chia hết .5 1.3 Chuẩn p-adic 1.3.1 Định nghĩa .5 1.3.2 Chuẩn p-adic 1.3.3 Định lí Ostrowski 1.4 Tính chất ( ) 1.4.1 Tính chất 1.4.2 Hệ 1.5 Bổ đề Helsel .8 Chương GIÁ TRỊ P-ADIC CỦA TỔNG SCHENKER 2.1 Tổng Schenker 2.1.1 Bổ đề 2.1.2 Mệnh đề .10 2.2 Giá trị 2-adic tổng Schenker 11 2.2.1 Giả thuyết 11 2.2.2 Bổ đề 11 2.2.3 Bổ đề 11 2.2.4 Bổ đề 14 2.2.5 Chứng minh giả thuyết 2.2.1 .15 2.3 Giá trị p-adic tổng Schenker 15 2.3.1 Định lí 16 2.3.2 Định lí 16 2.3.3 Ví dụ 17 2.3.4 Ví dụ 18 2.3.5 Ví dụ 18 Chương SỐ NGUYÊN TỐ SCHENKER 19 3.1 Định nghĩa số nguyên tố Schenker 19 3.1.1 Định nghĩa 19 3.1.2 Định lí 19 3.1.3 Ví dụ 19 3.1.4 Định lí 20 3.1.5 Giá trị 5-adic số Schenker 20 3.2 Một số giả thuyết số nguyên tố Schenker 22 3.2.1 Giả thuyết 22 3.2.2 Giả thuyết 22 3.2.3 Định lí 22 3.2.4 Chứng minh định lí 23 3.2.5 Chứng minh giả thuyết 3.2.1 .26 3.2.6 Kiểm tra giả thuyết 3.2.2 .27 3.2.7 Một số câu hỏi mở tổng Schenker 27 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 MỘT SỐ KÍ HIỆU : Tập số tự nhiên * : Tập số tự nhiên khác : Tập số nguyên : Vành số nguyên p-adic p : Tập số hữu tỉ : Trường số p-adic p : Chuẩn trường K : Chuẩn p-adic p v p x  s p n : Giá trị p-adic x : Tổng chữ số n khai triển n    p   : Kết thúc phép chứng minh : Phần nguyên MỞ ĐẦU Cho số tự nhiên Theo định lí số học viết dạng: = ∏ , số nguyên tố số tự nhiên, gọi giá trị p-adic kí hiệu ( ) Cho trước dãy số nguyên dương số nguyên tố Việc khảo sát, nghiên cứu giá trị p-adic ( ) toán thú vị Lý thuyết số thu hút quan tâm nhiều nhà Toán học Dưới hướng dẫn PGS TS Mỵ Vinh Quang, định chọn đề tài luận văn : “Giá trị p-adic số Schenker giả thuyết G McGarvey” Nội dung luận văn gồm có chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị tỉ ℚ Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị số học hàm giá trị trường đặc biệt trường số hữu Chương Giá trị p-adic tổng Schenker Chương trình bày tổng Schenker, giá trị 2-adic tổng Schenker đặc biệt giá trị p-adic tổng Schenker với p số nguyên tố lẻ Chương Số nguyên tố Schenker Chương trình bày định nghĩa số nguyên tố Schenker định lí liên quan Đặc biệt quan trọng, chương trình bày số giả thuyết số nguyên tố Schenker G McGarvey, số chứng minh kiểm chứng giả thuyết Mặc dù cố gắng nhiều, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp từ quý thầy cô đọc giả Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho  x  , định lí số học x phân tích dạng tích lấy theo số ngun tố (trừ số hữu hạn) Với số nguyên tố gọi giá trị p-adic  v Bài toán xác định giá trị p-adic số dãy số toán quan trọng thú vị Lý thuyết số ta xác định giá trị p-adic số với p ta xác định phân tích số thành tích số ngun tố cho phép tính chuẩn p-adic số Mục đích luận văn nghiên cứu giá trị p-adic tổng Schenker Từ nghiên cứu tính chất số nguyên tố Schenker Trước hết ta bắt đầu với số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khai triển giá trị p-adic số tự nhiên 1.1.1 Định lí Cho x  thỏa: i) x  an; ii) iii)  an  p p , x  tồn dãy số tự nhiên a n 19 Chương SỐ NGUYÊN TỐ SCHENKER Các kết mục trước v p an  hoàn toàn tính cơng thức p số ngun tố không thỏa điều kiện sau: “Tồn để p | ar ” Số nguyên tố thỏa điều kiện gọi số nguyên tố Sche cụ thể sau: 3.1 Định nghĩa số nguyên tố Schenker 3.1.1 Định nghĩa Số nguyên tố p gọi số nguyên tố Schenker tồn  r  p 1 để Từ định lí 2.3.1, 2.3.2 ta có kết sau: 3.1.2 Định lí Nếu ( Chứng minh Suy từ định lí 2.3.1 số nguyên tố Schenker chia hết a tích 3.1.3 Ví dụ Số nguyên tố 2.5 Số nguyên tố 17 số nguyên tố Schenker Kết phân thành thừa số nguyên tố số ar với  r 16 a1  a a2  2.5  2.3.13 a6  4.32.1223 a7  2.5.7.41.1153 a a a13  2.13.179.339211523363 a15  2.3 317.13103 a10  28.52.7281587 a12  210.35.53.1443613 a14  211.7 2.595953719897 a16  215.13.179.116371.11858447 20 Số nguyên tố 17 không xuất phân tích thành thừa số ngun tố nên số nguyên tố Schenker Danh sách tất số nguyên tố Schenker 200 {5,13,23,31,37,41,43,47,53,59,61,71,79,101,103, 107,109,127,137,149,157,163,173,179,181,191,197,199} Một vấn đề đặt tập số nguyên tố Schenker nào, hữu hạn hay vơ hạn Định lí sau trả lời cho câu hỏi trên: 3.1.4 Định lí Có vơ hạn số nguyên tố Schenker Chứng minh Giả sử có hữu hạn số nguyên tố Schenker, đặt p1 , , ps tất số nguyên tố lẻ theo thứ tự tăng dần Vì a1  suy p, , p Ta có ∏ = ∏ ( ) ∏ ( ) ( ) =∏ ( !) ≤ ! *  (*): ∤ suy = ( ta có ) = 0, ∤ ≠ , ( khơng số ngun tố Schenker, theo định nghĩa ) = 3.1.5 Giá trị 5-adic số Schenker Cho n số tự nhiên, giả sử khai triển 5-adic n là: Khi tính tốn trực tiếp, tác giả Tewodros Amdeberhan, David Callan, and Victor H Moll báo [1] đưa kết sau: 21 Các bước và ≠4 = 2, = 2, = ={4 Kết biểu diễn dạng sau: 5( phụ thuộc vào n n  s5 n v Cây giá trị với p = )=3 22 3.2 Một số giả thuyết số nguyên tố Schenker Đầu tiên ta xét p = số nguyên tố Schenker, giá trị 5-adic số nguyên tố Schenker Từ kết 3.1.5, tác giả đưa giả thuyết sau giá trị 5-adic số nguyên tố Schenker 3.2.1 Giả thuyết Giả sử tồn số nguyên dương nk nhỏ hơ n đó, tồn số n  cho k 1 Nói cách khác, với k  , bất đẳng thức v5 an   k có nghiệm n (mod 5k ) với ∤ n Sau đó, tổng quát giả thuyết cho số nguyên tố Schenker bất kỳ, tác giả đưa giả thuyết sau: 3.2.2 Giả thuyết Cho p số nguyên tố Schenker lẻ Khi với k tồn nghiệm mod pk bất đẳng thức v p an   k cho không đồng dư với mod p Trong phần luận văn này, chúng tơi trình bày kết Piotr Miska báo [5] nhằm đưa lời giải giả thuyết 3.2.1 cho p ∤ 3.2.2 Trước hết, ta có định lí sau: 3.2.3 Định lí Cho p số nguyên tố, với nk  p k | ank đặt q n k đó:  Nếu qnk , p p ≢0 mod p2 v nk 1  nk n p  nk 2 k  tồn số nk 1 mod pk 1 thỏa  mod p ; nk , 23  Nếu mod p  v p mod p p  mod v p qn k nk mã nk 1  n qn k  nk Nếu mã n nk 1  ,p k 1 | ∤ k 1 ,p mod p Hơn nữa, p ∤ n1 , p n , p | an q đẳng thức v p an  có du nghiệm bất n1 mod p y  nk  k với k nk  (mod pk ) thỏa mã n 3.2.4 Chứng minh định lí Đầu tiên, ta chứng minh với cặp số nguyên dương d, n nguyên tố Sự chia hết an cho d tương đương với chia hết an d n Ta có: an  j0 * d 1 nnjni j0 đó, tương đương (*) suy từ kết tích d số nguyên liên tiếp chia hết cho d với d  * ta định nghĩa a n Cho r Với kí hiệu (3.1) viết lại sau:  n mod d  Nếu d , n nguyên tố an  n n  d 2 f d n   mod d   f d n   mod d  (3.2) 24  f d r   mod d   ar  r r  d 2 f d r   mod d  Nếu với p số nguyên tố d p  k n  n  p fp a n n Vì vậy, ∤ , v p an   k mà k1  k2 mod p vp f   n  với k1 , k2  k Ngoài ra, k np12 n p1 Do đó, ∤ p | k f p2 Giả sử > 1, theo định lí nhỏ Fermat  tích p số nguyên liên tiếp chia hết cho , ta có k f ' k  p p 1      j  2n j0 Suy ra: f ' k p Nếu f  f  X   f x X  với bất k Từ (3.3), áp dụng đẳng thức với a np n  p npp Nếu ∤ , theo định lí Euler x p  p 1 mod p2  25 ' pf np p Do pnp Từ kết ta có f'  n  với Bây giả sử 0 p Khi   an  p  an n  p  n2 n p  n 2  mod p ( ) f  f nk 1  an k 1 Bằng cách qui nạp theo , chứng minh nhận xét: Nếu ∤ | đồng thời an1  p  an1 n1  p n1 2 n1p  n1 2  mod p2  tồn (mod ) cho ≡ (mod ) | ,    p  nk  p   a np k 26 Thật vậy, nhận xét với = Nếu tồn mãn điều kiện tồn +1 | +1 , ≡ +1 (mod +1 (mod +1 (mod ) cho ) Kết hợp (3.6) ta  n p n       n k ) thỏa Tóm lại, thấy trường hợp phát biểu định lí chứng minh Bây chúng tơi chứng minh phần cịn lại Cho dụng bổ đề Helsel (1.5) ta có: +Nếu +1 +Nếu +1 | ∤ Do đó, định lí chứng minh hồn tồn Chú ý Từ định lí 3.2.3, ta dễ dàng chứng minh giả thuyết G McGarvey Thật vậy, = 1,2 = nên ∤ ( ) = Từ định lí 3.2.3 ta dễ dàng kiểm tra tính đắn giả thuyết 3.2.1 3.2.5 Chứng minh giả thuyết 3.2.1 Áp dụng định lí 3.2.3 để chứng minh giả thuyết 3.2.1 ta cần kiểm tra = 3261090 ≡ 15 ≢ (mod 52) Do đó, giả thuyết 3.2.1 chứng minh 2,5 ≢ (mod 52) Bằng tính tốn trực tiếp ta có = 3309110 nên 2,5 27 3.2.6 Kiểm tra giả thuyết 3.2.2 Giả thuyết 3.2.2 với số nguyên tố Schenker p = (chứng minh giả thuyết 3.2.1) Tương tự, giả thuyết 3.2.2 với p = 13 Để chứng minh, theo định lí 3.2.3 ta cần kiểm tra 3,13 ≢ (mod 13 ) Thật vậy, tính tốn trực tiếp ta 3,13 = 52 (mod 132) Vậy giả thuyết 3.2.2 với p = 13 Áp dụng định lí 2.3.2 tính tốn trực tiếp ta có: 37 ∤ , 37| ⇔ ≡ 25 (mod 37) Mặt khác, 25,37 = 62 − 25 6227 2510 ≡ (mod 372) 25 ≡ 851 = 23.37 (mod 372) nên theo định lí 3.2.3 trường hợp 3) ta có 37( ) = với ≡ 25 (mod 37) Suy giả thuyết 3.2.2 không 3.2.7 Một số câu hỏi mở tổng Schenker Câu hỏi 1: Tồn hay không số nguyên tố Schenker lớn 37 cho có số n  Câu hỏi 2: Có vơ số số ngun tố mà số nguyên tố Schenker không? 28 KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày số kết giá trị p-adic tổng Schenker số nguyên tố Schenker Luận văn tính giá trị 2-adic tổng Schenker công thức tường minh Luận văn nêu số giả thuyết G McGarvey số nguyên tố Schenker, giả thuyết 2.2.1, giả thuyết 3.2.1 giả thuyết 3.2.2 Luận văn chứng minh giả thuyết 2.2.1 giả thuyết 3.2.1 Tuy nhiên, kiểm chứng giả thuyết 3.2.2 ta thấy giả thuyết không p  37 Luận văn nêu tất số nguyên tố Schenker 200 Luận văn chứng minh có vơ số số ngun tố Schenker Vì vậy, đọc giả dựa định nghĩa số nguyên tố Schenker mà tìm thêm nhiều số nguyên tố Schenker lớn 200 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tewodros Amdeberhan, David Callan, and Victor H Moll, P-adic analysis and combinatorics of truncated exponential sums, Mathematics Subject Classification, June 9, 2012 [2] T Amdeberhan, D Manna, and V Moll, The 2-adic valuation of Stirling numbers, Experimental Mathematics, 17:69-82, 2008 [3] A Berribeztia, L Medina, A Moll, V Moll, and L Noble, The p- adic valuation of Stirling numbers, Journal for Algebra and Number Theory Academia, 1:1-30, 2010 [4] K Ireland and M Rosen (1982), A Classical Introduction to Modern Theory, Springer, New York [5] Piotr Miska (Kraków), A note on p-adic valuations of Schenker sum, Mathematics Subject Classification, 2010 ... trường số hữu Chương Giá trị p- adic tổng Schenker Chương trình bày tổng Schenker, giá trị 2 -adic tổng Schenker đặc biệt giá trị p- adic tổng Schenker với p số nguyên tố lẻ Chương Số nguyên tố Schenker. .. HIỆU : T? ?p số tự nhiên * : T? ?p số tự nhiên khác : T? ?p số nguyên : Vành số nguyên p- adic p : T? ?p số hữu tỉ : Trường số p- adic p : Chuẩn trường K : Chuẩn p- adic p v p x  s p n : Giá trị p- adic x...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồng Nhung GIÁ TRỊ P- ADIC CỦA SỐ SCHENKER VÀ GIẢ THUYẾT CỦA G MCGARVEY Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số LUẬN