Chuyen de ve day so

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ (Lớp 4, lớp 5) Hình thành khái niệm dãy số Sau học sinh nắm chữ số, cách đọc cách viết số, xếp tập hợp thành dãy theo quan hệ “nhiều hơn”, “ít hơn” giáo viên giúp học sinh viết “chữ số” tương ứng với “số phần tử” tập hợp thành hàng, học sinh nhận dãy số Giáo viên cần nhấn mạnh tính chất quan trọng dãy số quan hệ “liền trước”; “liền sau” để củng cố khái niệm dãy số, giáo viên yêu cầu học sinh tập đếm xuôi, đếm ngược, đếm liên tục, đếm nhảy định vị số dãy Phần Ôn lại số kiến thức dãy số: Tính chất dãy số Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số chẵn lại đến số lẻ lại đến số chẵn… Vì vậy, nếu: - Dãy số số lẻ kết thúc số chẵn số lượng số lẻ số lượng số chẵn - Dãy số số chẵn kết thúc số lẻ số lượng số chẵn số lượng số lẻ - Nếu dãy số số lẻ kết thúc số lẻ số lượng số lẻ nhiều số chẵn số - Nếu dãy số số chẵn kết thúc số chẵn số lượng số chẵn nhiều số lẻ số a Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số số lượng số dãy số giá trị số cuối số b Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số khác số số lượng số dãy số hiệu số cuối dãy số với số liền trước số Các loại dãy số: + Dãy số cách đều: - Dãy số tự nhiên - Dãy số chẵn, lẻ - Dãy số chia hết không chia hết cho số + Dãy số khơng cách - Dãy Phi bo na xi - Dãy có tổng (hiệu) hai số liên tiếp dãy số + Dãy số thập phân, phân số Phần Hệ thống toán dãy số Các dạng + Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, trước dãy số + Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy cho hay khơng? + Dạng 3: Tìm số hạng thứ n dãy + Dạng 4: Tìm tổng số hạng dãy số + Dạng 5: Dãy chữ Cách giải dạng toán dãy số: Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, trước dãy số Trước hết ta cần xác định lại quy luật dãy số: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trước cộng(hoặc trừ) với số tự nhiên a + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trước nhân (hoặc chia) với số tự nhiên q khác + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) tổng số hạng đứng trước + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng số hạng đứng trước cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự số hạng + Số hạng đứng sau số hạng đứng trước nhân với số thứ tự + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, số liền sau lần số liền trước + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, số liền sau lần số liền trước trừ Ví dụ 1: Điền thêm số hạng vào dãy số sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…… Muốn giải toán trước hết phảI xác định quy luật dãy số sau: Ta thấy: + = 2+3=5 3+5=8 + = 13 Dãy số lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ trở số hạng tổng hai số hạng liền trước Vậy dãy số viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144… 2 Viết tiếp số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27 Ta nhận thấy: 8=1+3+4 27 = 4+ + 15 15 = + + Từ ta rút quy luật dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) tổng ba số hạng đứng trước Viết tiếp ba số hạng, ta dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169 Tìm số hạng dãy số sau : a…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 : biết dãy số có 10 số hạng b , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 : biết dãy số có 10 số hạng *) Giải: a Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 : 1024 = 512 x Số hạng thứ : 512 = 256 x Số hạng thứ : 256 = 128 x Số hạng thứ : 128 = 64 x …………………………… Từ ta suy luận quy luật dãy số là: số hạng dãy số gấp đơi số hạng liền trước Vậy số hạng dãy là: x = b Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 : 110 = 11 x 10 Số hạng thứ : 99 = 11 x Số hạng thứ : 88 = 11 x Số hạng thứ : 77 = 11 x ………………………… Từ ta suy luận quy luật dãy số là: Mỗi số hạng 11 nhân với số thứ tự số hạng Vậy số hạng dãy : x 11 = 11 Tìm số cịn thiếu dãy số sau : a 3, 9, 27, ., 729, b 3, 8, 32, , 608, Muốn tìm số thiếu dãy số, cần tim quy luật dãy số a Ta nhận xét : 3x3=9 x = 27 Quy luật dãy số là: Kể từ số thứ trở đi, số liền sau lần số liền trước Vậy số cịn thiếu dãy số là: 27 x = 81 ; 81 x = 243 ; 243 x = 729 (đúng) Vậy dãy số thiếu hai số : 81 243 b Ta nhận xét: 3x3–1=8; x – = 23 Quy luật dãy số là: Kể từ số thứ trở đi, số hạng sau lần số hạng trước trừ 1, vậy, số cịn thiếu dãy số là: 23 x - = 68 ; 68 x – = 203 ; 203 x – = 608 (đúng) Dãy số thiếu hai số là: 68 203 Lúc 7h sáng, người từ A đến B người từ B đến A ; hai đến đích lúc 2h chiều Vì đường khó dần từ A đến B ; nên người từ A, đầu 15km, sau lại giảm 1km Người từ B cuối đI 15km, trước lại giảm 1km Tính qng đường AB *) Giải: chiều 14h ngày người đến đích số là: 14 – = Vận tốc người từ A đến B lập thành dãy số: 15, 14, 13, 12, 11, 10, Vận tốc người từ B đến A lập thành dãy số: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 Nhìn vào dãy số ta nhận thấy có số hạng giống quãng đường AB là: + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 (đáp số 84km) Điền số thích hợp vào ô trống cho tổng số ô liên tiếp 2002 783 998 *) Giải: Ta đánh số thứ tự ô sau: ô1 ô2 ô3 ô4 ô5 783 ô6 ô7 ô8 ô9 998 ô10 Theo điều kiện đề ta có: 783 + Ô7 + Ô8 = 2002 Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2002 Vậy Ơ9 + 783; từ ta tính được: Ô8 = Ô5 = Ô2= 2002 - (783 + 998) = 2002 Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998 Ô3 = Ô6 = 783 Điền số vào ta dãy số: 998 221 783 998 221 783 998 221 783 998 Một số lưu ý giảng dạy Toán dạng là: Trước hết phải xác định quy luật dãy dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ (ví dụ: 6) Từ mà học sinh điền số vào dãy cho * Bài tập tự luyện: 13, 19, 25,……, Dãy số kể tiếp thêm số nào? Số suy nghĩ thấp cao? Đố em đố bạn kể liền? Viết số hạng thiếu dãy số sau: a 7, 10, 13,……, 22, 25 b 103, 95, 87,……, 55, 47 Là số hạng cuối mà Dãy số: số hạng nha Số hạng đứng trước gấp sau liền Đố em tôi, đố bạn hiền Dãy số có số gì? Là nhanh đáp khó chi! Đố anh, đố chị thi tài Điền số thích hợp vào ô trống, cho tổng số ô liền bằng: a n = 14,2 2,7 8,5 b n = 14,3 2,7 7,5 Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy cho hay khơng? Cách giải dạng toán này: - Xác định quy luật dãy; - Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật hay khơng? Ví dụ: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,…… a Nêu quy tắc viết dãy số? b Số 93 có phải số hạng dãy khơng? Vì sao? *) Giải: a Ta nhận thấy: Số hạng thứ 1: 2=2x1 Số hạng thứ 2: 4=2x2 Số hạng thứ 3: 6=2x3 … Số hạng thứ n: ?=2xn Quy luật dãy số là: Một số hạng nhân với số thứ tự số hạng b Ta nhận thấy số hạng dãy số chẵn, mà số 93 số lẻ, nên số 93 số hạng dãy Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,…… - Viết tiếp số hạng vào dãy số trên? - Số 2000 có thuộc dãy số không? Tại sao? *) Giải: - Ta thấy: – = 3; 11 – = 3; ……… Dãy số viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ trở đi, số hạng số hạng đứng liền trước cộng với Vậy số hạng dãy số là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 - Số 2000 có thuộc dãy số trên, kể từ số hạng thứ dãy số 2000 chia cho dư Em cho biết: a Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay khơng? b Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không? c Số số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải thích sao? *) Giải: a Cả số 60, 483 khơng thuộc dãy cho vì: - Các số hạng dãy cho lớn 60 - Các số hạng dãy cho chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho b Số 2002 khơng thuộc dãy cho số hạng dãy chia cho 2, mà 2002 chia dư c Cả số 798, 1000, 9999 không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì: - Mỗi số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) số hạng liền trước nhận với 2; số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước số chẵn, mà 798 chí cho = 399 số lẻ - Các số hạng dãy chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho - Các số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) chẵn, mà 9999 số lẻ Cho dãy số: 1, 2, 2; 3, 4;……; 13; 14, Nếu viết tiếp số 34,6 có thuộc dãy số khơng? *) Giải: - Ta nhận xét: 2,2 - = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;…… Quy luật dãy số là: Từ số hạng thứ trở đi, số hạng sau số hạng liền trước 1,2 đơn vị: - Mặt khác, số hạng dãy số trừ chia hết cho 1,2 Ví dụ: (13 - 1) : 1,2 (3,4 - 1) : 1,2 (34,6 - 1) : 1,2 = 28 dư Vậy viết tiếp số 34,6 thuộc dãy số Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1997,……, 55, 52, 49 Các số sau có phải số hạng dãy không? 100, 123, 456, 789, 1900, 1995, 1999? *) Giải: Nhận xét: Đậy dẫy số cách đơn vị Trong dãy số này, số lớn 1996 số bé 49 Do đó, số 1999 khơng phải số hạng dẫy số cho Mỗi số hạng dãy số cho số chia hết cho 3, dư Do đó, số 100 số 1900 số dãy số Các số 123, 456, 789 1995 chia hết số khơng phải số hạng dãy số cho * Bài tập lự luyện: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,… a Nêu quy luật dãy b Số 31 có phải số hạng dãy khơng, phải số hạng thứ bao nhiêu? c Số 1995 có thuộc dãy khơng? Vì sao? Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 3008 Hỏi số 2004 1760 có thuộc dãy số hay không? Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…, a Nêu quy luật dãy số viết tiếp số hạng b Trong số 1999 2001 số thuộc dãy số? Vì sao? Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,…… Có dãy số tự nhiên có chữ số tận mà thuộc dãy số không? Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,…… a Số 1997 có phải số hạng dãy số hay khơng? b Số 561 có phải số hạng dãy số hay khơng? Nếu số số hạng dãy số cho số vị trí thứ dãy số đó? Dạng 3: Tìm số hạng dãy * Cách giải dạng là: - Sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (giải tốn trồng cây) Ta có cơng thức sau: Số số hạng dãy = số khoảng + - Nếu quy luật dãy là: Số hạng đứng trước vị trí thứ dãy số số tổng nhiêu, số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ 1) tính theo cơng thức: nx(n �1) Ví dụ: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992 a Hãy xác định dãy số có số hạng? b Nếu ta tiếp tục kéo dài số hạng dãy số số hạng thứ 2002 số mấy? *) Giải: a Ta có: 10 ………… 4–2=2 ; 8–6 =2 6–4=2 ; ……… 1992 Vậy, quy luật dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau số hạng đứng trước cộng với Nói khác: Đây dãy số chẵn dãy số cách đơn vị Dựa vào công thức trên: (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + Ta có: Số số hạng dãy là: (1999 – 2) : + = 996 (số hạng) b Ta nhận xét: Số hạng thứ là: = + = + (2 – 1) x Số hạng thứ là: = + = + (3 – 1) x Số hạng thứ là: = + = + (4 – 1) x ……… Số hạng thứ 2002 là: Đáp số: + (2002 – 1) x = 4004 a 996 số hạng b 4004 số hạng Cho 1, 3, 5, 7, ……… dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 số hạng thứ dãy số này? Giải thích cách tìm? (Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981) *) Giải: Ta thấy: Số hạng thứ bằng: 1=1+2x0 Số hạng thứ hai bằng: 3=1+2x1 Số hạng thứ ba bằng: 5=1+2x2 ……… Còn số hạng cuối cùng: 1981 = + x 990 Vì vậy, số 1981 số hạng thứ 991 dãy số Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,… a Tìm số hạng thứ 100 dãy b Số 11703 số hạng thứ dãy? *) Giải: a Số hạng thứ nhất: = + 15 x Số hạng thứ nhất: 18 = + 15 x Số hạng thứ nhất: 48 = + 15 x + 15 x Số hạng thứ nhất: 93 = + 15 x + 15 X + 15 x Số hạng thứ nhất: 153 = + 15 x + 15 x + 15 x + 15 x ……… Số hạng thứ n: + 15 x1 + 15 x +15 x + …… + 15 x (n - 1) Vậy số hạng thứ 100 dãy là: + 15 x + 15 x + …… + 15 x (100 – 1) = + 15 x (1 + + + …… + 99) (Đưa số nhân với tổng = + 15 x (1 + 99) ; x 99 = 74253 b Gọi số 11703 số hạng thứ n dãy: Theo quy luật phần a ta có: + 15 x + 15 x + 15 x + …… x (n – 1) = 11703 + 15 (1 + + + …… n – 1) = 11703 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) x (n – 1) : = 11703 15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x = 23400 n x (n – 1) = 23400 ; 15 = 1560 Nhận xét: Số 1560 tích hai số tự nhiên liên tiếp 39 40 (39 x 40 = 1560) Vậy, n = 40, số 11703 số hạng thứ 40 dãy Trong số có chữ số chia hết cho 102 số lớn có chữ số chí hết cho 999 Như vậy: Các số có chữ số chia hết cho là: (999 - 102) : + = 300 (số) Đáp số: 300 số Cho dãy số: 1, 2, 3, 4, ……… 195 a Tính số chữ số dãy b Chữ số thứ 195 chữ số nào? *) Giải: a Ta viết lại dãy số: 1, …… 9, 10, …… 99, 100, ……, 195 Trong dãy có số gồm chữ số; số cho chữ số Có 90 số gồm chữ số; số cho x 90 = 180 chữ số Có 96 số gồm chữ số; số cho x 96 = 288 chữ số Vậy chữ số dãy là: + 180 + = 477 (chữ số) b Trên ta tính số chữ số đoạn dãy 1………9, 10……99, 100……, 195 180 288 477 Vì < 195 < 477, nen chữ số thứ 195 chữ số thuộc vào đoạn từ 100 đến 195, 195 – 189 = 6, nên chữ số thứ đoạn từ 100 đến 195 Ta thấy chữ số (nằm số 101) 10 * Bài tập tự luyện: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, …… Tìm số hạng thứ 30 dãy số trên? Cho dãy số: 1, 4, 9, 16, …… a Nêu quy luật dãy? b Số 625 số hạng thứ bao nhiêu? c Số hạng thứ 100 số nào? Người ta viết số chẵn liên tiếp có chữ số liền thành số lớn theo quy tắc sau: 10 12 14 16 18 ……… 96 98 a Số có chữ số? b Trong có số 6? Xét dãy số: 100, 101, ………, 789 a Dãy có số? b Số thứ 100 số nào? c Dãy có chữ số? d Chữ số 789 chữ số nào? Cho dãy số: 1, 1; 2, 2; 3, 3; ……… 108, 9; 110,0 a Dãy số có số hạng? b Số hạng thứ 50 dãy số số hạng nào? 11 Dạng 4: Tìm tổng số hạng dãy số *) Giải: Nếu số hạng dãy số cách tổng hai số hạng cách đầu số hạng cuối dãy số Vì vậy: Tổng số hạng dãy tổng cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu cuối nhân với số hạng dãy chia cho Viết thành sơ đồ: Tổng dãy số cách đèu = (số đầu + số cuối) x (số hạng : 2) Từ sơ đồ ta suy ra: Số đầu dãy = tổng x : số số hạng – số hạng cuối Số cuối dãy – tổng x : số số hạng – số đầu Ví dụ: Tính tổng 19 số lẻ liên tiếp *) Giải: 19 số lẻ liên tiếp là: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37 Ta thấy: + 37 = 38 ; + 33 = 38 + 35 = 38 ; + 31 = 38 Nếu ta xếp cặp số từ hai đầu số vào, ta cặp số có tổng số 38 Số cặp số là: 19 : = (cặp số) dư số hạng Số hạng dư số hạng dãy số số 19 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp là: 39 x + 19 = 361 Đáp số: 361 Nhận xét: Khi số số hạng dãy số lẻ (19) cặp số dự lại số hạng gữa số lẻ khơng chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng việc tìm số hạng cịn lại khơng khó khăn Vậy ta làm cách sau: 19 – = 18 (số hạng) Ta thấy: + 37 = 40 ; + 33 = 40 + 35 = 40 ; + 31 = 40 ……… ……… Khi đó, ta xếp cặp số từ đầu dãy số gồm 18 số hạng vào cặp số có tổng 40 Số cặp số là: 18 ; = (cặp số) Tổng 19 số lẻ liên tiếp là: 12 + 40 x = 361 Chú ý: Khi số hạng số lẻ, ta để lại số hạng đầu dãy số (số đầu, số cuối) để lại số chẵn số hạng cặp; lấy tổng cặp nhân với số cặp cộng với số hạng để lại tổng dãy số - Từ ví dụ trên, ta thấy giải toán phương pháp lý thuyết tổ hợp, phải phân biệt rạch ròi cặp xếp thứ tự với cặp không xếp thứ tự Dưới đay ví dụ, có khái niệm Tính tổng số tự nhiên từ đến n * Giải: Ghép số: 1, 2, ……, n – 1, n thành cặp (không thứ tự) : với n, với n – 1, với n – 2, …… Khi n chẵn, ta có (n ; 2) = n x (n + 1) : Khi n lẻ, n – chẵn ta có: + + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : Từ ta có: S = (n – 1) x n : + n = (n - ) x n : + x n : = [(n – 1) x n : + x n] : = (n – + 2) x n : = n x (n + 1) : Cho dãy số: 1, 2, 3, …… 195 Tính tổng chữ số dãy? *) Giải: - Cách 1: Ta viết lại dãy số bổ sung thêm số: 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy: 0, 1, 2, 3, ……, 10, 11, 12, 13, ……, 19 90, 91, 92, 93, ……, 99 100, 101, 102, 103, ……, 109 Vì có 200 số vè dịng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng) Tổng chữ số hàng đơn vị dòng là: + + + …… + = x 10 : = 45 Vậy tổng chữ số hàng đơn vị là: 45 x 20 = 900 Tổng chữ số hàng chục 10 dòng tổng chữ số hàng chục 10 dòng sau bằng: x 10 + x 10 + …… + x 10 = (1 + + …… +) x 10 = 45 x 10 = 450 Vậy tổng chữ số hàng chục là: 450 x = 900 13 Ngoài dễ thấy tổng chữ số hàng trăm 100 Vậy tổng chữ số dãy số là: 900 + 900 + 100 = 1900 Từ suy tổng chữ số dãy ban đầu là: 1900 – (1 + + + + + + + + + + + 9) = 1830 - Cách 2: Ta bổ sung thêm số số từ 196 đến 199 vào dãy ghép số thành cặp: 0, 199 1, 198 2, 197 …… x, 199 – x Ta thấy tổng chữ số số 19 (nếu số x có chữ số a, b 199 – x có chữ số là: 1, – a – b Tổng chữ số – x 199 – x là: a + b + + – a + – b = + + = 19 Vậy tổng chữ số dãy số bổ sung là: 19 x 100 = 1900 Sau bớt chữ số số bổ sung cách giải trên, ta tổng cần tìm 1830 Trong Tốn học nói riêng khoa học nói chung, thường nhờ vào suy luận quy nạp khơng hồn toàn mà phát kết luận 9gọi giả thuyết) Sau sử dụng luận diễn dịch quy nạp hoàn toàn để kiểm tra đắn kết luận Khi dạy học tiểu học, điều nói lưu ý Tính tổng dãy số sau: 1 1 + + + + 18 512 Một học sinh lập luận sau: Ta nhận thấy: 2 4 8 16 16 – 512 511 512 15 16 Vậy, ta có 14 Học sinh sư dụng quy nạp khơng hồn thiện để đoán kết tổng Mặc dù kết q trình suy luận hợp lý, khơng thể xem lời giải chặt chẽ Để có lời giải chặt chẽ cần sử dụng suy luận diễn dịch, chẳng hạn, ta viết đầy đủ tổng: 1 1 1 1 + + + + + + + + 16 32 64 128 256 512 = Cách 2: S= 256  128  64  32  16     512 = 511 512 Đáp số: 511 512 Ký hiệu: 1 1 1 1 + + + + + + + + 16 32 64 128 256 512 Nhân vế trái vế phải với 2, biến đổi, ta được: Sx2=1+s- 512 Từ suy ra: S = Sx2=1+s- 511 = 512 512 512 Tính tổng tất số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số: *) Giải: Tính tổng tất số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số là: 9,00; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tức có 1000 số Ta thấy: 9,001 + 9,999 = 19 9,005 + 9,995 = 19 9,002 + 9,998 = 19 9,006 + 9,994 = 19 …………… …………… Nếu ta bỏ số xếp cặp số cách đầu dãy vào cặp số có tổng 19, cịn lại 9,005 chưa tính Số cặp số xếp là: 998 : = 499 (cặp số) chưa kể hai số 9,000 9,500 Tổng tất số dãy số là: 15 19 x 499 + 9,5 + 9,005 = 9499,5 Đáp số: 9499,5 * Bài tập tự luyện: Tính tổng: a Của tất số lẻ bé 100 b + + + 16 + …… + 169 Tính nhanh tổng só mặt đồng hồ? Cho ví dụ tương tự suy cách tính dãy số cách đều? Tính nhanh tổng sau: a + + + …… + 999 b + + + 10 + …… + x (chưa biết x số thứ 50) c Tính nhanh tổng tất số coá chữ số d 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384 Dãy số có 10 số hạng Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh Đố em, đố chị, đố anh Tìm phương pháp tính nhanh tài a So sánh S với Biết rằng: S=1+ 1 1 + + + +…+ 10 45 b Viết đầy đủ số hạng tính nhanh tổng sau: 1 1 + + + + …… + 12 20 90 a Tính tổng chữ số dãy: 1, 2, 3, ………, 799 b 1 1 1 + + + …… + + + =? 1024 2048 4096 Phép cộng phân số khó gì? Kê đủ số hạng uổng cơng Cách tỏ thông Cộng nhanh đáp lại không tốn Đố bạn hiền em thơ Đố ai biết nhờ giải mau 16 Dạng 5: Dãy chữ Khác với dạng toán khác, toán dạng dãy chữ khơng địi hỏi học sinh phải tính tốn phức tạp Ngược lại để giải toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo kiến thức toán học đơn giản, hiểu biết xã hội, từ mà vận dụng dạng toán vào đời sống hàng ngày mơn học khác Ví dụ: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: học sinh giỏi tỉnh thành dãy chữ liên tiếp: (học sinh giỏi tỉnh, học sinh……) hỏi chữ thứ 2002 dãy chữ nào? * Giải: Ta thấy nhóm chữ: học sinh giỏi tỉnh gồm 15 chữ Giả sử dãy chữ có 2002 chữ có: 2002 : 15 = 133 (nhóm) dư chữ Vậy chữ thứ 2002 dãy chữ học sinh giỏi tỉnh chữ H tiếng SINH đứng vị trí thứ nhóm 134 Người ta viết liên tiếp chữ số 13579 thành số M Hỏi chữ số thứ 764 số m chữ số nào? *) Giải: Ta thấy nhóm chữ số 13579 gồm có chữ số Giả sử số M có 764 chữ số có: 764 : = 152 (nhóm) dư chữ số Vậy chữ số 764 dãy số chữ số 7, đứng vị trí thứ nhóm, thứ 153 Một người viết liên tiếp dãy chữ thị xã thái bình, thành thi xa thai binh, thi xa…… a Chữ thứ 2002 dãy chữ gì? b Nếu người ta đếm dãy số có 50 chữ T dãy có chữ A? Bao nhiêu chữ N? c Bạn Bình đếm dãy có 2001 chữ A Hỏi bạn đếm hay đếm sai? Giải thích sao? d Người ta tô màu chữ dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím,… hỏi chữ thứ 2001 trang dãy tơ màu gì? *) Giải: a Nhóm chữ THI XA THAI BINH có 13 chữ cái: 2002 ; 13 = 154 (nhóm) Như vậy, kế từ chữ đến chữ thứ 2002 dãy, người ta viết 154 lần nhóm THI XA THAI BINH, chữ thứ 2002 dãy chữ H tiếng BINH 17 b Mỗi nhóm chữ THI XA THAI BINH có chữ T có chữ A chữ N Vì vậy, người ta đếm dãy số có 50 chữ T tức người viết 25 lần nhóm nên dãy phải có 50 chữ A 25 chữ N c Bạn đếm sai, dố chữ A dãy phải số chẵn d Ta nhận xét: + 2001 chia cho dư + Những chữ dãy có số thứ tự chia hết cho dư tơ màu XANH Vậy chữ thứ 2001 dãy tô màu XANH Một dãy số gồm nhóm chữ sau: Hãy cố gắng, Hãy cố gắng, Hãy cố gắng… a Em cho biết chữ thứ 273 dãy chữ gì? b Nếu dãy số có 426 chữ A dãy số có chữ N? *) Giải: a Ta thấy nhóm chữ Hãy cố gắng có chữ 273 : = 30 (nhóm) dư chữ Như vậy, kể từ chữ đến chữ thứ 273 dãy nhóm chữ Hãy cố gắng phải viết 30 lần nhóm chữ chữ HAY Vậy chữ thứ 273 chữ Y b Mỗi nhóm chữ dãy có hai chữ A có chữ T Để dãy có 426 chữ A chữ Hãy cố gắng phải viết 426 : = 213 (nhóm) Nhưng có khả sau đây: - Nhóm chữ thứ 213 viết Hãy cố ga, nhóm chữ cuối khơng có chữ N, nên chữ N dãy là: 213 – = 212 (chữ) - Nhóm chữ 1213 viết là: Hãy cố gan, chữ N dãy 213 - Nhóm chữ 213 viết trọn vẹn số chữ N dãy 213 Một bạn học sinh viết: a 2, 3, 4, 5, 1, 1, 3, 4, 5, 1, 2, ……… Và tiếp tục để có dãy số Hãy tính xem số hạng thứ 1996 mà bạn học sinh viết số mấy? *) Giải: Trong dãy số bạn học sinh viết số lại lặp lại từ đâu Ta có: 1996 : = 399 (dư 1) Như bạn học sinh viết 399 lần sô 1, 2, 3, 4, x 399 = 1995 (số hạng) Như vậy, số hạng thứ 1996 phải số * Bài tập tự luyện: 18 Một người viết liên tiếp nhóm nhữ: toán năm thành toan nam toan nam toan…… a Chữ thứ 2002 dãy gì? b Nếu người ta đếm dãy có 50 chữ N dãy có chữ A? Bao nhiêu chữ O? c Một người đếm dãy có 2000 chữ A, hỏi người đếm hay sai? Giải thích sao? d Người ta tơ màu chữ dãy theo thứ tự xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím…… hỏi chữ thứ 1999 dãy tơ màu gì? Một người đánh máy chữ phải đánh liên tiếp nhóm chữ “tiền hải” thành dãy chữ TIEN HAI TIEN HAI… hỏi lần gõ vào máy thứ 2001 rơi vào chữ nào? Viết liên tiếp số tự nhiên chẵn thành dãy: 2, 4, 6, 8, 10,…… hỏi chữ số thứ 1994 chữ số mấy? Người ta viết liên tiếp chữ số 0123456789 thành số A, hỏi chữ số thứ 195 số A chữ số nào? Người ta viết chữ dạy tốt, học tốt,…… thành DAY TOT HOC TOT… màu xanh, đỏ, tím, tiếng màu Hỏi chữ thứ 2002 chữ gì? Màu gì? Nội dung 3: Một số lưu ý giải toán “dãy số” Trong toán dãy số thường, người ta cho biết dãy số (vì dãy số có nhiều số khơng thể viết hết được) vậy, phải tìm quy luật dãy (mà có nhiều quy luật khác nhau) tìm số mà dãy số khơ cho biết Đó quy luật dãy số cách đều, dãy số không cách dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm quy luật dạng 1, muốn giải tốn tìm chữ số cuối dãy (khi biết dãy có tất số hạng) ta phải tìm số khoảng cách dãy số cách lấy dãy có số hạng trừ 1, sau tìm hiệu số cuối dãy hiệu số cuối số đầu khoảng cách số nhân với số khoảng cách Từ tìm số cuối dãy hiệu số cuối số đầu cộng với số dãy Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số a có thoả mãn quy luật dãy cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trước số cần xác định có tính chất hay khơng? (Có chia hết cho số có số dư) thf số thuộc dãy cho Ở dạng 3: Có yêu cầu sau: + Tìm tất chữ số dãy + Tìm tất số hạng dãy Khi giải tính cơng thức phần cách giải nói + Tìm số thứ n dãy 19 Ta cần phải tìm số đến số liên quan đến chữ số thứ n dãy số có chữ số, từ tìm câu hỏi tốn + Tìm số hạng thứ n dãy Ta cần tìm đấn quy luật dãy (nếu dãy số cách đều), dãy số (khơng cách đều) tính theo công thức n x (n – 1) : Ở dạng 4: Có u cầu: + Tìm tổng số hạng dãy + Tính nhanh tổng * Khi giải: Sau tìm quy luật dãy, ta xếp số theo cặp cho có tổng nhau, sau tìm cặmp số tìm tổng số hạng dãy Chú ý: Khi tìm số cặp số mà cịn dư số hạng tìm tổng ta phải cộng số dư vào Nếu tính nhanh tổng phải dựa vào tính chất phân số Ở dạng 5: Đó dãy chữ giải đề phải dựa vào quy luật dãy, sau xem dãy chữ dãy số có tất chữ số tìm có tất nhóm phần trả lời tốn Biện pháp tổ chức dạy giải toán nâng cao dạy khố Dạy học giải tốn nâng cao cho học sinh khá, giỏi nhiệm vụ thiếu trường tiểu học, tổ chức dạy học Toán nâng cao phải đảm bảo tính vừa sức, gây hứng thú cho học tốn phát triển óc tư duy, sáng tạo cho học sinh Dạy học giải Toán nâng cao “Dãy số” lồng vào nội dung giảng khố biện pháp để học sinh có kiến thức chắn quy luật dãy số tự nhiên, số thập phân, phân số Qua đó, rèn cho học sinh kỹ để nâng cao lực giải Toán “Dãy số”, là: Kỹ tính tốn Kỹ tìm hiểu, phân tích Kỹ trình bày lời giải Kỹ kiểm tra, đánh giá Trong tiết dạy khố, ngồi u cầu phổ cập tối thiểu kiên thức kỹ học sinh khá, giỏi cần phải có tập khó khăn hơn, cao yêu cầu phổ cập Ví dụ 1: Khi dạy Tốn lớp (tiết 18): Dãy số tự nhiên đến phần luyện tập Học sinh làm tập kiến thức hcọ SGK, người giáo viên cần đưa thêm toán nâng cao để học sinh khá, giỏi phát triển thêm kiến thức mở rộng Trong dãy số tự nhiên 10, 11, 12,……, 98, 99 (có số đầu ……… số cuối ……… có: - ……………… số số tự nhiên 20 - ……………… số số chẵn - ……………… số số lẻ) Dựa sở tính chất dãy số tự nhiên, hướng dẫn học sinh giỏi viết: Trong dãy số tự nhiên 10, 11, 12, ……, 98, 99 (Có số đầu 10, số cuối 99 có: - 90 số số tự nhiên (số có chữ số) - 45 số số chẵn (dãy số số chẵn kết thúc số lẻ) - 45 số số lẻ (Vì số lượng số chẵn số lượng số lử) Ví dụ 2: Khi dạy tốn lớp (tiết 19): Hệ thập phân, biểu diễn số tự nhiên hệ thập phân Sau dạy học sinh cấu tạo số, nâng cao toán cấu tạo số cho học sinh khá, giỏi làm thêm “Dãy số” mức độ nâng cao tiết 18 Cho dãy số lẻ: 1, 3, 5, 7,…… - Số lẻ thứ số nào? - Số lẻ thứ hai số nào? - Số lẻ thứ ba số nào? - Số lẻ thứ mười số nào? - Số lẻ thứ 37, 99 số lẻ thứ mấy? Muốn làm này, giáo viên phải đưa công thức để hướng dẫn học sinh cách làm sau: - Số lẻ thứ hai + x (2 – 1) Từ có công thức tổng quát - Số lẻ thứ n = + x (n – 1) - Số lẻ thứ 37 số lẻ thứ mấy? + x (n – 1) = 37 Từ hướng dẫn học sinh cách làm Dạy học giải Toán nâng cao “Dãy số” cho đội tuyển học sinh giỏi đại trà hình thành cho học sinh kiến thức kỹ để làm sở cho việc giải toán mức độ cao hơn, khái quát Học lớp đội tuyển học sinh giỏi có thời gian tự tìm hiểu, phát kiến thức mới, có nhiều thời gian để tranh luận, tìm tịi phương pháp khác để giải tốn biến kỹ có thành kỹ xảo Khi dạy nội dung giải Toán nâng cao, giáo viên phải biết tổ chức cho học sinh tự phát hiện, khám phá nội dung học luyện tập thực hành Ví dụ: Dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi ta thường dạy theo nội dung kiến thức định sẵn theo dạng như: “Điền thêm số hạng vào sau, giữa, trước dãy số” Giáo viên đưa ví dụ, định hướng cho học sinh phân tích yêu cầu đề tìm cách giải 21 Sau học sinh giải, giáo viên đặt câu hỏi để học sinh nhận xét cách giải, rút kiến thức cần ghi nhớ Các tập đưa nâng cao dần mức độ, từ đơn giản đến phức tạp, cụ thể là: - Bài 1: Bài tập phát kiến thức - Bài 2: Vận dụng kiến thức mức độ bình thường - Bài 3: Vận dụng tổng hợp kiến thức mức độ sáng tạo - Bài 4: Bài tập củng cố nâng cao mức độ sáng tạo Nội dung dạng tập lớp đội tuyển phải tổng hợp nâng cao nội dung dạy lớp đại trà Bởi vì, học xong nội dung tổng hợ nâng cao nội dung học sinh ghi nhớ kiến thức vận dụng sáng tạo Dạy học giải Tốn nâng cao thơng qua buổi ngoại khố Tốn hình thức như: - Toạn đàm phương pháp giải toán nâng cao “Dãy số” cho học sinh lớp 4, - Tổ chức: “Trò chơi Toán học”, thi giải toán nhanh tổ lớp, khối - Ngồi cịn tổ chức “Câu đố tốn học”, “Truyện kể tốn học” Thơng qua hoạt động ngoại khoá, học sinh tự trao đổi, tranh luận, học tập lẫn kiến thức kỹ để giải toán “Dãy số” Thi giải toán nhanh, giúp em tìm cách giải hay, ngắn gọn hơn, biết cách kiểm tra đánh giá lời giửi toán rút cho thân điều cần ghi nhớ Đây điều kiện thuận lợi để học sinh rèn luện tính mạnh rạn, tự tin, óc linh hoạt, sáng tạo, biết tự giải vấn đề đặt ra, Bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên giải toán nâng cao nhiệm vụ quan trọng để nâng cao chất lượng dạy giải toán nâng cao Thông qua buổi sinh hoạt chuyên môn, bàn bạc, giáo viên trao đổi, bàn bạc nội dung, phương pháp dạy giải toán nâng cao dạng, loại tốn “Dãy số” lồng vào dạy khoá dạy lớp đội tuyển Các nội dung dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thống tổ, đảm bảo tính hệ thống lơ-gíc 22 ... hạng Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh Đố em, đố chị, đố anh Tìm phương pháp tính nhanh tài a So sánh S với Biết rằng: S=1+ 1 1 + + + +…+ 10 45 b Viết đầy đủ số hạng tính nhanh tổng sau: 1... 0123456789 thành số A, hỏi chữ số thứ 195 số A chữ số nào? Người ta viết chữ dạy tốt, học tốt,…… thành DAY TOT HOC TOT… màu xanh, đỏ, tím, tiếng màu Hỏi chữ thứ 2002 chữ gì? Màu gì? Nội dung 3: Một số