Câu 1.(5,0 điểm) Cho phương trình bậc hai (1) với x là ẩn số. a) Giải phương trình (1) khi m = 6. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn . Câu 2. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình: Câu 3.(5,0 điểm) a) Cho góc thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các . Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số . Câu 4. ( 5,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình , . a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD và BE. b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm. Câu 5. (2,0 điểm) Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
https://sachcuatui.net SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn : TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1.(5,0 điểm) Cho phương trình bậc hai x − x + m = (1) với x ẩn số a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x + x x1 = Câu (3,0 điểm) x + x y − xy + xy − y = Giải hệ phương trình: x + y − xy (2 x − 1) = Câu 3.(5,0 điểm) a) Cho góc α thỏa mãn tan α = Tính giá trị biểu thức P= 4sin α − cos α sin α + cos α uuur uuu r uuur uuur BD = BC; AE = AC b) Cho tam giác ABC Gọi D, E Điểm K đoạn AD thẳng AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AK Câu ( 5,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC, D trung điểm 16 E ;1÷ AB, E điểm thuộc đoạn AC cho AC = 3EC, có phương trình CD : x − y + = , a) Chứng minh BE phân giác góc B, Tìm tọa độ điểm I giao CD BE b) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm Câu (2,0 điểm) Cho a , b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 + 2 a +b +c abc Trang https://sachcuatui.net Hết -Họ tên thí sinh : Số báo danh : HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm Phương trình x − x + m = 5,0 a) Giải phương trình (1) m = 1,5 Khi m = PT (1) có dạng: x − x + = 0,5 ' Ta có: ∆ = + = > 0,5 PT (1) có nghiệm phân biệt: x1 = x2 = 0,5 b) Tìm giá trị m thỏa mãn 3,5 Lập ∆ = 25 - 4m 0,5 25 x , x Phương trình có nghiệm ∆ ≥ hay m ≤ Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = 5; x1 x2 = m Hai nghiệm x1 , x2 dương ïìï x1 + x > í ïïỵ x1x > 0,5 hay m > Điều kiện để phương trình có nghiệm dương x1, x2 Ta có: Suy Ta có Hay ( x1 + x ) 25 < m ≤ (*) 0,5 = x1 + x + x1 x = + m A x1 + x = + m x1 x + x x1 = ⇔ x1.x 0,5 ( ) E x1 + x = K m + m = ⇔ 2m m + 5m − 36 = (1) B Trang D C https://sachcuatui.net Đặt t = m ≥ , (1) thành: ⇔ 2t3 + 5t2 - 36 = 0,5 ⇔ (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = ⇔ t - = 2t2 + 9t + 18 = Với t - = => t = => m = (thoả mãn (*)) 0,5 Với 2t2 + 9t + 18 = : phương trình vơ nghiệm Vậy với m = phương trình cho có hai nghiệm dương x 1, x2 thoả mãn 0,5 x1 x + x x1 = x + x y − xy + xy − y = Giải hệ phương trình: x + y − xy (2 x − 1) = 3,0 ( x − y ) + xy ( x − y ) + xy = ⇔ 2 ( x − y ) + xy = Hệ 1,0 a = x − y Đặt b = xy Hệ trở thành: Hệ a + ab + b = a + b = (*) 2 a + a − 2a = a (a + a − 2) = (*) ⇔ ⇔ 2 b = − a b = − a Từ tìm 0,5 (a; b) ∈ { (0; 1); (1; 0); ( −2; − 3)} x2 − y = ⇔ x = y =1 xy = ( a ; b ) = (0; 1) Với ta có hệ x − y = ⇔ ( x; y ) = (0; −1);(1;0);( −1;0) xy = ( a ; b ) = (1; 0) Với ta có hệ Với 0,5 (a; b) = (−2; −3) ta có hệ 3 x − y = −2 y = − y = − ⇔ ⇔ ⇔ x = −1; y = x x xy = −3 x3 + x + = ( x + 1)( x − x + 3) = 0,5 0,5 Trang https://sachcuatui.net 3 x − y = −2 y = − y = − ⇔ ⇔ ⇔ x = −1; y = x x xy = −3 x3 + x + = ( x + 1)( x − x + 3) = Kết luận: Hệ có nghiệm ( x; y ) ∈ { (1; 1);(0; − 1);(1; 0);( −1; 0);( −1; 3)} 5,0 a) Cho góc α thỏa mãn tan α = Tính giá trị biểu thức P= sin α − cos α sin α + cos3 α ( 4sin α − cos α ) ( sin α + cos α ) 4sin α − cos α P= = sin α + cos3 α sin α + cos3 α = 4sin α − sin α cos α + 4sin α cos α − cos α sin α + cos α tan α − tan α + tan α − = tan α + = 4.8 − + 4.2 − = 8+2 uuur uuu r uuur uuur BD = BC; AE = AC b) Cho tam giác ABC Gọi D, E Điểm K b) AD đoạn thẳng AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AK 2,5 1.0 0,5 0,5 0,5 2,5 uuur uuur uuu r uuur uuu r AE = AC ⇒ BE = BC + BA (1) 4 Vì 0,5 Giả sử uuur uuur uuur uuur uuu r AK = x AD ⇒ BK = xBD + ( − x ) BA (1) 0,5 Trang https://sachcuatui.net uuur uuu r uuur uuur uuur 2x uuur uuur BD = BC AK = x.AD ⇒ BK = BD + (1 − x)BA 3 Mà nên 0,5 m 2x 3m uuu r uuur − = &1 − x − =0 BC; BA Do không phương nên 0.5 uuur uuur AD x = ;m = AK = AD ⇒ =3 Vậy AK Từ suy 0,5 Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC, D trung điểm AB, E điểm thuộc đoạn AC cho AC = 3EC, có phương trình 16 E ;1÷ CD : x − y + = , 5,0 Chứng minh BE phân giác góc B, Tìm tọa độ điểm I giao 2,5 a) CD BE BA EA A = =2⇒ E Ta có BC EC chân đường phân giác 0,5 D I B Do BD = BC ⇒ BE ⊥ CD ⇒ BE : 3x + y − 17 = x − 3y +1 = I = BE ∩ CD ⇒ tọa độ điiểm I nghiệm hệ 3 x + y − 17 = Giải hệ phương trình ⇒ I ( 5; ) b) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm a BC = a > ⇒ AB = 2a, AC = a 5, CE = Đặt E C 0,5 0,5 1,0 2,5 0,5 Trang https://sachcuatui.net BC a · CBE = 450 ⇒ IB = IC = = 2 Do ⇒ IE = EC − IC ⇒ IE = Tam giác EIC vuông I (1) a (2) uur uur ⇒ IB = − IE ⇒ B (4;5) Từ (1) (2) Gọi C (3c − 1; c) từ 0,5 0,5 c = BC = ⇔ c − 4c + = ⇔ c = 0,5 Với c = ⇒ C (2;1), A(12;1) (KTM) Với c = ⇒ C (8;3), A(0; −3) (TM) 0,5 Vậy A(0; −3), B(4;5), C (8;3) Cho a , b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2,0 1 + 2 a +b +c abc Áp dụng BĐT AM- GM ta có ab + bc + ca ≥ 33 a b c 1= a + b + c ≥ 3 abc ⇒ abc ≤ ⇒P≥ ⇒P≥ ≥ 0,5 3 ⇒ ab + bc + ca ≥ abc abc ≥ 9abc + 2 a +b +c ab + bc + ca 0,5 1 + + + 2 a +b +c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca 0,5 + = 30 2 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ( a + b + c ) Vậy giá trị nhỏ P 30 chẳng hạn a =b=c= 0,5 Trang https://sachcuatui.net `SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017-2018 Mơn thi: TỐN 10 (đề thi đề nghị) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình x + − 3x b) Giải hệ phương trình Câu (4,0 điểm) = 3x + 1− x xy 2 x + y + x + y = x + y = x2 − y a) Tìm tập xác định hàm số : y = x − + x − − x + x ;x b) Gọi hai nghiệm phương trình x − mx + m − = A= x1 x + x + x 22 + 2(1 + x1 x ) Với giá trị m A đạt giá trị nhỏ Đặt Câu (3,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: Q= x 1− x + y 1− y Câu (4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có BC = 18 ,các đường thẳng AB AC qua điểm M(1; ) N(0; ) Xác định tọa độ − đỉnh tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 điểm B có hồnh độ dương Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện = tam giác ABC tam giác cân b) Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh AB, N điểm trênrcạnh AC cho uuur uuuur uuuu uuur NC = NA I trung điểm đoạn MN Chứng minh : BC + NM = BM + NC Hãy biểu uuur uur uuu r diễn vecto AI theo hai vecto AB AC -Hết Trang https://sachcuatui.net SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN Câu Câu 5,0 a) Giải phương trình: ĐK: x ≥ 0; x ≠ Khi đó: (1) ⇔ HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN 10 Nội dung x + − 3x Điểm 2,5 3x + − x (1) = 0,25 x + + 3x 3x + = 1− x 1− x 0.5 0.5 ⇔ x + + 3x = 3x + ⇔ x + 3x = − x 0.5 0.5 − + 21 10 − + 21 x= 10 Vậy (1) có nghiệm: xy 2 x + y + x + y = x + y = x2 − y ⇒x= 0.25 2,5 b) Giải hệ phương trình Điều kiện: x > − y ( x + y ) − + xy − 1 = x+ y ⇔ ( x + y − 1) x + y + x + y = ( ) PT thư tương đương: ⇒ x + y = x = x = −2 ∨ y = y = Kết hợp với PT hai ta x = x = −2 ∨ y = y = Vậy, hệ cho có nghiệm Câu 0.5 0.5 0.5 0.25 Nội dung a) Tìm tập xác định hàm số : y = 0.25 0.5 x − + x −1 − x + Điể m 1.5 Trang https://sachcuatui.net x − ≥ x − ≥ x + ≥ x − + x −1 − x + ≥ x ≥ ⇔ 2 x − 3x + ≥ − x 4,0 0.5 0.5 0.5 21 ⇔ ≤x≤6 ĐK: b) Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình x − mx + m − = A= Đặt x1 x + x + x 22 + 2(1 + x1 x ) Với giá trị m A đạt giá trị nhỏ 2 + PT có hai ngiệm ∆ ≥ ⇔ m − 4m + ≥ 0, ∀m + x1 + x2 = m; x1 x = m − A= 2.5 0.25 0.25 0.5 x1 x + ( x1 + x ) + 4m + m2 + ( m + 2) = − ≥ −1 m +2 A nhỏ m = −2 0.5 = 0.5 0.5 Câu Cho hai số thực dương x, y 3,0 biểu thức sau: thỏa x + y =1 Tìm giá trị nhỏ Q= x 1− x y + 1− y Q= Viết lại x −1+1 1− x 1− x + + Theo Cô si: ( Do x+y=1 ) Theo Bunhiacopski: y −1+1 1− y 1− y ≥ = 1− x + 1− y (1 − x )(1 − y ) ≥ − ( 1− x + 1− y) 1− x +1− y =2 (1) Trang https://sachcuatui.net 1− x + 1− y ≤ 1− x +1− y = ( Do x+y=1 ) (2) Trừ theo vế (1) (2) ta có : Q ≥ 1 − x = − y ⇔x=y= x + y = Dấu đẳng thức xảy Vậy minQ = Câu Phương trình đường thẳng ∆ qua N vng góc với AH 4,0 x − y = − 18 Tọa độ giao điểm I AH với ∆ nghiệm hệ PT 18 16 x − y = − ⇒ I (− ; ) 7 x + y = N ( − : 2) Gọi N1 giao điểm ∆ AB, suy Đường thẳng AB qua hai điểm M N1 nên có PT 7x+3y = 7x + 3y = ⇒ A(−1 : 3) x + y = Tọa độ điểm A nghiệm hệ − 7b B (b; ) Giả sử d ( B, AH ) = BC = 2 Khi ⇒ 4b + b = ⇒ B (2;−4) =2 2⇒ b = −4(loai ) PT đường thẳng BC: x-y = x - y = ⇒ H (4 : −2) ⇒ C (6;0) x + y = Tọa độ điểm H nghiệm hệ Câu Nội dung Câu a) Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện = tam 4,0 giác ABC tam giác cân 0.5 0.25 0,5 0,5 0,25 0,25 0.25 0,5 0.5 0.5 0.25 0.5 Điể m 2,0 Trang 10 Câu Câu 5,0 a) Giải phương trình ĐK: x ≥ 5/3 (*) Nội dung Điểm 2,0 x + 12 + = 3x + x + (1) https://sachcuatui.net 0,25 x + 12 − = 3x − + x + − Khi đó: (1) ⇔ 0,25 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ ĐỀ NGHỊ KỲ THI OLYMPIC x −4 x2 − TRƯỜNG THPT HỒ ⇔ NGHINH = ( x − 2MƠN ) + 2: TỐN 10 - NĂM HỌC 2017-20180,5 x + 12 + x + 5:150 + phút (Không kể thời gian giao đề) Thời gian x+2 ( x − ) x + 12 + ⇔ ⇔ x = (thỏa (*)) Vì x + 12 + < x2 + + − 3÷= ÷ x2 + + x+2 − x+2 ⇒ x + 12 + 0,25 x+2 − x2 + + 0,5 −1 < x < A ⇔ x>7 x − 9x + 11x + 21 x − ( m − 1) x − m + ( m + 1) = M C 0,25 0,25 ( Vì x2 -5x + 2017 > với x) 0,25 ) I Vậy tập xác định hàm số cho D = ( b) Giả sử phương trình bậc hai ẩn N ≥0 −1;3 ∪ ( 7; +∞ ) x có hai nghiệm x1 , x2 (m 0,25 tham số): thỏa mãn điều kiện x1 +Bx2 ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: Trang 72 2,0 https://sachcuatui.net Câu (5,0 điểm) a.(3đ) Giải bất phương trình x − 2x + x + 3x ≥ 2x b.(2đ) Giải hệ phương trình 2 x − 6x y + 9xy − 4y = (1) x − y + x + y = (2) Câu (3,0 điểm) a (2đ) Cho parabol (P) : y = 3x2 – x – Gọi A,B giao điểm (p) với Ox Tìm m y ≥ 0.5đ 2đ 0.25đ (1) ⇔ (x − 4y)(x − y) = x = 4y ⇔ x= y Khi x = 4y: 0.5 đ x = 4y x = 32 − 15 HÖ⇔ ⇔ x − y + x + y = y = 8− 15 Khi x=y: x = y x = HÖ⇔ ⇔ x − y + x + y = y = 0.5đ KL: Hệ có tập nghiệm S = {(2;2),(32 − 15;8− 15)} 0.5đ 0.25đ Trang 74 https://sachcuatui.net a Cho parabol (P) : y = 3x2 – x – Gọi A,B giao điểm (P) với Ox Tìm m < cho đường thẳng d: y= m cắt (P) hai điểm phân biệt M, N mà bốn điểm A, B, M, N tạo thành tứ giác có diện tích Ta chọn A(-1;0), B(4/3;0) Pthđgđ (P) d: 3x2 – x – 4- m = (*) Câu (3 đ) Câu (3,0 điểm) m> −49 12 49 + 12m A B, M N đối xứng qua trục đối xứng (P) nên bốn điểm tạo nên hình thang cân có hai đáy AB, MN, độ dài đường cao = 0.25 đ 0.25 đ ĐK: ∆ > ⇔ M,N giao điểm nên xM , xN hai nghiệm (*) MN = x M − x N = (x M + x N ) − 4x M x N = 2đ m = − m (do m < 0) 0.25 đ 0.5 d 49 + 12m + −7m− m 49 + 12m SABMN = (−m) = =6 m = (lo¹i) ⇔ m − 28m− 48 = ⇔ m = −2 (nhËn) m = −4 (nhËn) 0.5 đ Vậy m = -4 , m = -2 thỏa mãn đề 0.25 đ 1 Cho sina.sinb = 5cosa.cosb TÝnh S = + 2 sin a− 5cos a sin b − 5cos2 b b Tõ gi¶ thiÕt cã tana.tanb = 1+ tan a 1+ tan b + tan2 a − tan2 b − 40 − 4tan2 a − 4tan2 b = tan2 a.tan2 b − 5tan2 a − 5tan2 b + 25 4(10 − tan2 a − tan2 b) = = 5(10 − tan2 a − tan2 b) S= 1đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ Cho a, b, c số thực dương thỏa a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức T= T= a b c + + 1− a 1− b 1− c − (1 − a) − (1 − b) − (1 − c) + + 1− a 1− b 1− c 1 =( + + ) − ( − a + − b + − c) 1− a 1− b 1− c Đặt A= 3đ 0.5 đ 1 + + 1− a 1− b 1− c 0.5 đ Trang 75 https://sachcuatui.net A= 1 1 + + ≥3 1− a 1− b 1− c (1 − a)(1 − b)(1 − c) Lại có : − a + − b + − c ≥ 3 (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≥ (1 − a)(1 − b)(1 − c) ⇔ (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ ⇔ − (a + b + c) = Suy A≥ 0.25đ 27 0.25 đ Đặt B = - ( − a + − b + − c ) ( − a + − b + − c) ≤ 3(1 − a + − b + − c) = 0.5 đ ⇔ < 1− a + 1− b + 1− c ≤ Suy B ≥ − 0.25 đ T=A+B T =A+B≥ 27 − 6= 2 a =b=c= KL: MinT= Trong mặt phẳng lấy 2n + điểm ( n ∈ ¥ ) cho ba điểm ln có hai điểm mà khoảng cách hai điểm nhỏ Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa n + điểm nêu Câu (2,0 điểm) Câu (3,0 điểm) Chọn điểm A 2n + điểm Vẽ đường trịn (A;1), có hai khả : a) Nếu tất điểm thuộc hình trịn (A;1) tốn thỏa mãn b) Nếu khơng phải tất điểm thuộc hình trịn (A;1) Khi đó, có điểm gọi B khơng thuộc hình trịn (A;1) Vẽ đường trịn (B;1) Gọi C điểm 2n + điểm lại Xét ba điểm A, B, C phải có AC BC nhỏ Nếu AC nhỏ C thuộc hình trịn (A;1) Nếu BC nhỏ C thuộc hình trịn (B;1) Do 2n + điểm cịn lại thuộc (A;1) thuộc (B;1) nên theo nguyên lí Dirichlet có n + điểm thuộc (A;1) (B;1) Nói cách khác có n+ điểm thoả mãn đề Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh với điểm M a.MA + b.MB2 + c.MC2 ≥ abc 0.5đ 0.25đ 2đ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ 3đ Trang 76 Câu (4,0 điểm https://sachcuatui.net uuuu r uuur uuur ( a.MA + b.MB + c.MC) ≥0 uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur ⇔ a2 MA + b2 MB2 + c2 MC2 + 2ab.MA.MB + 2bc.MB.MC + 2ac.MA.MC ≥ 0.5 đ ⇔ a2 MA + b2 MB2 + c2 MC2 + ab.(MA + MB2 − AB2 ) 1đ ⇔ a( a + b + c) MA + b( a + b + c) MB2 + c( a + b + c) MC2 ≥ abc2 + bca2 + acb2 0.5đ ⇔ ( a + b + c) ( a.MA + b.MB2 + c.MC2 ) ≥ abc( a + b + c) 0.5đ + bc.( MB2 + MC2 − BC2 ) + ac.( MA + MC2 − AC2 ) ≥ ⇔ a.MA + b.MB2 + c.MC2 ≥ abc uuuu r uuur uuur r Dấu xảy a.MA + b.MB + c.MC = ⇔ M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 0.5đ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC D trung điểm AB, E 16 ( ;1) nằm cạnh AC mà AC = 3EC Đường thẳng DC có phương trình x - 3y + = Tìm tọa 4đ độ điểm A, B, C Trang 77 https://sachcuatui.net EA BA = = Ta có EC BC nên BE phân giác góc B 0.5 đ Suy BE vng góc DC, nên DC có ptrình 16 ) + 1(y − 1) = ⇒ I = DC ∩ BE = (5; 2) 3(x − IE = Gọi BC= a tính 0.5 đ ⇔ 3x + y − 17 = 0.5 đ a ; IB = uur uu r ⇒ IB = −3IE ⇒ B(4;5) C ∈ x − 3y + = ⇒ c(3c − 1;c) a 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ BC = 2BI ⇔ c − 4c + = c = ⇒ C(2;1) ⇔ c = ⇒ C(8;3) KL: A(12;1), B(4,5), C(2;1) A(0;-3), B(4;5), C(8,3) 0.5 đ 0.5 đ Chú ý: thí sinh làm theo cách khác đúng, giám khảo dựa vào thang điểm cho điểm tương ứng SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH MƠN: TỐN 10 Năm học: 2017 - 2018 ĐỀ Câu 1: (5,0 điểm) a Giải bất phương trình: 2x + > − x ( x − + 3x + ) Trang 78 https://sachcuatui.net 2 x − = 2 y + x x + xy + x − y − y = y + b Giải hệ phương trình: Câu 2: (4,0 điểm) a Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x x − + 2 b Tìm giá trị tham số m cho hàm số y = f(x) = x + (2m+ 1)x + m − có giá trị bé đoạn [0;1] Câu 3: (4,0 điểm) a Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ ab+ bc + ca b c a b Tìm giá trị lớn biểu thức: P= yz x − + zx y − + xy z − xyz Câu 4: (4,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) trung điểm BC I(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - = Gọi D , E chân đường cao kẻ từ điểm B C tam giác ABC Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết phương trình DE x - = điểm D có hồnh độ dương Câu 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ thuộc cạnh BC, CA, AB.Chứng minh diện tích ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’C’ vượt qua phần tư diện tích tam giác ABC Với điều kiện tam giác có diện tích phần tư diện tích tam giác ABC HẾT - KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm trang) Câu Đáp án Điểm Trang 79 https://sachcuatui.net Câu 2x + > (5,0 a) Giải phương trình điểm) Điều kiện: ≤ x ≤ + 2x + > − x ( 2− x ( x − + 3x + ) 2,0 0,25 ) x − + x + ⇔ (3 x + 4) − ( x − 1) > − x ⇔ 3x + − x − > − x ( x − + 3x + > ( x − + 3x + ) ⇔ x + > − x + x − ⇔ (2− x )( x −1) < x + Giải tìm tập nghiệm bất phương trình S= [ 1;2] 2 x + = 2 y + x x + xy + x − y − y = y + b) Giải hệ phương trình Điều kiện: y ≥ xy + x − y − y ≥ - Xét phương trình thứ hai hệ: 2 x + xy + x − y − y = y + ⇔ ( x − y − 1) + 3( xy + x − y − y − y − 1) = 3( y +1) =0 ⇔ ( x − y − 1) xy + x − y − y + y +1 ) 0,5 0,5 0,25 0,5 3,0 0,25 0,5 0,5 ⇔ x − y − = (vì theo điều kiện biểu thức ngoặc vng ln dương 0,25 x −1 thay vào phương trình thứ ta được: + Với x2 + = x − + x2 2( x + 2) ⇔ ( x − 2) − + + x + 2 = x −1 +1 x +5+3 x ≥ Điều kiện: Khi đó, ta có: 0,25 y= 2( x + 2) − + x +5+3 x −1 +1 +x+2= ÷> + ( x + 2) 1− ÷ x −1 +1 x +5 + 0,5 0,25 Trang 80 https://sachcuatui.net Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( 2; ) Câu Câu 2(4,0 điểm) ãn 0,5 Đáp án y = f(x) = x x − + a/ Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số: x2 − 2x+1 , x ≥ y = f(x) = -x + 2x + 1, x 2 f(x) dồng biến [0;1] +Nếu ⇒ f(x)= f(0) = m2 − 1= 0;1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ m = (thỏa ) m = − (không thỏa) Trang 81 https://sachcuatui.net + Nếu x0 = −m− −3 > 1⇒ m < 2 f(x) nghịch biến [0;1] 0,25 ⇒ f(x)=f(1) = (m+ 1)2 = 0;1 ⇒ m=0 (không thỏa ) m=-2 (thỏa) 0,25 Vậy m = m=-2 Câu3 (4,0 điểm) a/ Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng: 0,25 2,0 a b c + + ≥ ab + bc + ca b c a Ta có (a− b)2 ≥ ⇒ a2 − ab + b2 ≥ ab ⇒ a3 + b3 ≥ ab(a+ b) ⇒ Tương tự (b − c) ≥ (c − a)2 ≥ b3 + c ≥ b2 + bc c ⇒ ⇒ a3 2 + b ≥ a + ab b c3 2 + a ≥ c + ca a a3 b3 c3 2 + b + + c + + a ≥ a + ab + b2 + bc + c2 + ca c a Suy b ⇒ đccm b/ Tìm giá trị lớn biểu thức: P= 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 2,0 yz x − + zx y − + xy z − xyz P xác định x ≥ 1,y ≥ 4,z ≥ P= 0,25 y− x−1 z− + + x y z 0,25 0,25 Ta có Áp dụng Bđt Cơsi ta có: x−1≤ x − 1+ x −1 ⇒ ≤ x 2 y− ≤ z− ≤ y− y − 4+ ⇒ ≤ y 11 z − 9+ z −1 ⇒ ≤ ⇒P≤ 12 z 11 ⇒ Max P= 12 , đạt x=2, y=8, z=18 0,5 0,5 0,25 0,25 Trang 82 https://sachcuatui.net Trang 83 https://sachcuatui.net Câu Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) trung điểm BC (4,0 I(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - = Gọi D , E chân điểm) đường cao kẻ từ điểm B C tam giác ABC Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết phương trình DE x - = điểm D có hồnh độ dương 4,0 Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn tâm I tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn tâm F Vậy IF đường trung trực ED Do IF ⊥ ED Suy phương trình IF : y-1=0 Suy F (1 ; 1) Suy A(-1 ;2) D thuộc DE suy D(2 ;d) 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 d = + ( x − 1) = ⇒ d = −1 Do FD = FA suy Do y D > nên D(2; 3) 0,5 0,25 Phương tình AC: x - 3y + = 0,25 Đường BC qua I vuông góc AH nên có phương trình BC 2x – y – 11 = Suy C ( 8; 5) Suy B ( ; -3 ) 0,25 0,25 0,25 A D F E H C B I Trang 84 https://sachcuatui.net Câu5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ thuộc cạnh BC, CA, AB.Chứng minh diện tích ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’B’ vượt qua phần tư diện tích tam giác ABC Với điều kiện tam giác có diện tích phần tư diện tích tam giác ABC Kí hiệu Ta có 3,0 S = S∆ABC SA = S∆AB'C' SB = S∆BA 'C' SC = S∆CA 'B' , , , SA AC'.AB'.sinA AC'.AB' = = S AC.AB AC.AB.sinA SB BC'.BA ' = S BC.BA SC CA '.CB' = S CA.CB SA SB SC AB'.AC'.BC'.BA '.CA '.CB' = AB.AC.BC.BA.CA.CB S3 Suy AC'.BC' AB'.CB' BA '.CA ' 2 AB AC BC2 = 1 AC'.BC' ≤ (AC'+ BC')2 = AB2 4 Mặt khác: 1 AB'.CB' ≤ (AB'+ CB')2 = AC2 4 1 BA '.CA ' ≤ (BA '+ CA ')2 = BC2 4 S S S 1 ⇒ A B C≤ 4 S SC SA SB ≤ ≤ ≤ S S S Suy Dấu xảy đồng thời A’, B’, C’ tương ứng trung điểm BC, CA, AB 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác Ban Giám khảo thảo luận thống thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm Trang 85 https://sachcuatui.net Trang 86