Hàm tử tor và hàm tử exit trên miền dedekind

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Cao Văn Hồng HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành Phố HỒ CHÍ MINH - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Cao Văn Hồng HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành Phố Hồ Chí Minh - Năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn PGS.TS Mỵ Vinh Quang Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ sách liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập hồn thành luận văn, tơi nhận giúp đỡ hướng dẫn nhiệt tình thầy bạn cao học tốn K28 Đầu tiên, xin gửi lời biết ơn sâu sắc, chân thành đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy tâm huyết giảng dạy người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tơi q trình hồn thành luận văn, nói luận văn khơng hồn thành khơng có bảo thầy Ngồi ra, với lịng kính trọng biết ơn, tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến: Các thầy khoa Tốn trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh GS.TSKH Nguyễn Tự Cường trực tiếp trang bị cho kiến thức làm tảng cho trình nghiên cứu hồn thành luận văn Ban giám hiệu, phịng Đào tạo sau đại học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, hồn thành bảo vệ luận văn Các thầy cô Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá luận văn Cuối xin dành lời cảm ơn đến gia đình ln động viên, giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2019 Cao Văn Hoàng MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu Mở đầu Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Hàm tử Hom 1.2 Hàm tử Tenxơ 1.3 Môđun tự 1.4 Môđun xạ ảnh 1.5 Môđun nội xạ 1.6 Hàm tử đồng điều 1.7 Đồng luân Chương HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ 2.1 Phép giải xạ ảnh 2.2 Xây dựng hàm tử Tor 2.3 Hai dãy khớp hàm tử Tor 2.4 Ứng dụng dãy khớp Tor 2.5 Xây dựng hàm tử Ext 2.6 Hai dãy khớp dài Ext 2.7 Ứng dụng dãy khớp hàm Chương HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND 3.1 Môđun miền Dedekind 3.2 Hàm tử Tor miền Dedekind 3.3 Hàm tử Ext miền Dedekind TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Hom(X; Y ) M od f X Hom(f; g) g Y X Y L6K f’g Hn(K) n H (L) T orn(X; Y ) T orn(h; g) n Ext (X; Y ) n Ext (h; g) X = hx1; x2; :::; xni : X môđun hữu hạn sinh sinh phần tử x1; x2; :::; xn MỞ ĐẦU Hàm tử T or hàm tử Ext với hàm tử Tenxơ hàm tử Hom xem bốn cột trụ Đại số đồng điều, hàm tử T or Ext đóng vai trị quan trọng nhiều chuyên ngành khác Toán học Đại số đồng điều, Đại số giao hốn, Hình học đại số, tơ pơ hình học Chính vậy, chọn đề tài : "Hàm tử T or hàm tử Ext miền Dedekind" làm đề tài cho luận văn Thạc sĩ Tốn với mong muốn tìm hiểu sâu hơn, tiếp cận nhiều với hướng nghiên cứu phát triển có nhiều ứng dụng Tốn học đại Với đối tượng, phạm vi nghiên cứu miền Dedekind, hàm tử T or hàm tử Ext vành giao hốn có đơn vị miền Dedekind, mục đích luận văn tìm hiểu sâu hơn, tồn diện hệ thống hàm tử T or Ext miền nguyên Sau dựa số tính chất miền Dedekind mơđun miền Dedekind để chứng minh số tính chất sâu sắc thú vị hàm tử T or hàm tử Ext miền Dedekind Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn trình bày thành ba chương Chương 1: Các kiến thức Nội dung chương trình bày định nghĩa, tính chất hàm tử Hom, hàm tử Tenxơ, mơđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, hàm tử đồng điều, đồng luân Chương Hàm tử T or Ext vành giao hốn có đơn vị Chương trình bày cách xây dựng hàm tử T or Ext dẫn xuất hàm tử Tenxơ hàm tử Hom Chương trình bày chứng minh số kết tính chất T or Ext Chương Hàm tử T or Ext miền Dedekind Chương trình bày số tính chất miền Dedekind, môđun miền Dedekind ứng dụng chúng để nghiên cứu hàm tử T or Ext miền Dedekind Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong suốt luận văn này, môđun xét vành sở vành R giao hốn có đơn vị 1.1 Hàm tử Hom Định nghĩa 1.1.1 Cho X; Y R- môđun Tập tất đồng cấu từ X tới Y , ký hiệu Hom(X; Y ) Trên Hom(X; Y ) ta định nghĩa: 8f; g Hom(X; Y ) : f + g :X ! Y x 7!(f + g)(x) = f(x) + g(x) 8r R; 8f Hom(X; Y ) : rf :X ! Y 7!(rf)(x) = r f(x): Khi Hom(X; Y ) môđun R x Định nghĩa 1.1.2 Cho đồng cấu : A! B X môđun cố định Xét ánh xạ cảm sinh: : Hom(X; A) ! Hom(X; B) f 7! (f) = f : Hom(B; X) ! Hom(A; X) g 7! (g) = g ; đồng cấu môđun Định nghĩa 1.1.3 Xét môđun X thuộc phạm trù R- môđun (ký hiệu M od) 38 Chương HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND 3.1 Môđun miền Dedekind Mục chứng minh số kết thú vị mơđun miền Dedekind, kết xem mở rộng kết biết mơđun miền iđêan chính, nhiên chứng minh hồn tồn khác Đầu tiên ta có định nghĩa miền Dedekind sau: Định nghĩa 3.1.1 Miền Dedekind miền nguyên mà iđêan môđun xạ ảnh Ta biết miền iđêan iđêan mơđun tự Do miền Dedekind xem mở rộng miền iđêan Ta biết, mơđun mơđun tự miền iđêan môđun tự Vậy môđun môđun tự miền Dedekind có mơđun tự hay khơng? Câu trả lời khơng, sau ví dụ: Ví dụ 3.1.2 Xét D = fa + b p trường Q( 5) = fa + b Dedekind Xét iđêan I = tự D Ta chứng minh I không môđun tự D Giả sử I mơđun tự 39 Vì D vành giao hoán hai phần tử D phụ thuộc tuyến tính D sở I gồm phần tử , nghĩa là: I = j Khi j hay = suy khả nghịch D Khi I nên = 3(a + b Do 3a + c 5d = 1; 3b + c + d = 3(a thuẫn chứng tỏ I không môđun tự Tuy nhiên ta có kết sau xem mở rộng kết miền iđêan Định lí 3.1.3 Môđun môđun xạ ảnh miền Dedekind môđun xạ ảnh Chứng minh Để chứng minh định lý ta cần bổ đề quan trọng sau: Bổ đề 3.1.4 Nếu R miền Dedekind mơđun R- môđun tự tổng trực tiếp môđun mà môđun tổng trực tiếp đẳng cấu với iđêan R Chứng minh Lấy F môđun tự với sở fxigi2I I tập số thứ tự tốt Ta ký hiệu: Ta có F = F hx i với I Lấy A R- môđun F Mỗi phần tử a A \ F có dạng a = b + ax với b F , Đặt I = Ta có: aja A \ F a R 40 a1 ; a2 I , tồn a1; a2 A \ F cho a =b + 1 a =b + 2 a1 a2 x x ) a1 a2 = b1 b2 + ( a1 a2 )x Mà (a1 Do ( a1 a2 ) F ) 9a A \ ) : = rb + r ax < ar = br + arx Vậy I iđêan R Xét ánh xạ p : A\ Ta có p toàn cấu Kerp = A \ F Từ ta có dãy khớp ! Vì I iđêan R nên I xạ ảnh ) dãy khớp chẻ ) \ A F = (A Ta chứng minh A = C Thứ c + + c n = với c i C i 1< 2 1, với X quy nạp Với n = 1: Để chứng minh T or(X; Y ) xoắn ta nhúng X vào f g sơ đồ ! A! F ! X ! Với F môđun tự Khi theo mệnh đề 2.4.1 ta có với f 1Y : A Vì Y xoắn nên A Giả sử T orn 1(X; Y ) xoắn 8X Khi theo mệnh đề 2.4.2 ta có: T or n Do T orn(X; Y ) xoắn Vậy T orn(X; Y ) xoắn với n Tương tự X xoắn T orn(X; Y ) xoắn với Y Bây ta phát biểu chứng minh định lí mục sau: Định lí 3.2.2 Cho R miền Dedekind Khi ta có a) X không xoắn , T or(X; Y ) = với Y b) X; Y khơng xoắn X Y không xoắn c) T orn(X; Y ) xoắn 8n > Chứng minh a) ()) Ta chứng minh X khơng xoắn T or(X; Y ) = 0; 8Y Nếu X hữu hạn sinh theo định lí 3:1:5 ta có X mơđun xạ ảnh T or(X; Y ) = (theo mệnh đề 2.2.5) Nếu X môđun không xoắn tùy ý, ta chứng minh với đơn cấu f : A ! B, ánh xạ f = 1X Khi đ Thật vậy, lấy u = B X0 X B Vì X0 khơng xoắn, hữu hạn sinh nên X0 xạ ảnh T or(X0; Y ) = 0; 8Y Bởi ánh xạ f0 : 1X0 f : X0 f0(u) = xi X Vậy f = 1X (() Ngược lại: giả sử T or(X; Y ) = với Y , ta chứng minh X không xoắn (chú ý chứng minh cho R miền nguyên bất kỳ, không cần Dedekind) Với a R; a 6= 0; xét ánh xạ ga :X ! X x 7!ax Để chứng minh X không xoắn ta chứng minh ga đơn cấu 8a R; a 6= Thật vậy, ta có fa :R ! R đơn cấu d 7!ad T or(X; Y ) = 0; 8Y nên ánh xạ 1X fa : X mệnh đề 2.4.4) Mặt khác, sơ đồ X X R giao hoán, cột đẳng cấu, 1X b) Với đơn cấu f : A ! B, Y khơng xoắn theo a) ta có T or(Y; Z) = 0; 8Z theo mệnh đề 2.4.4 với đơn cấu f : A ! B, ánh xạ 1Y f: 46 A! Y B đơn cấu Lại X khơng xoắn nên kết hợp ý a định lí 3.2.2 Y mệnh đề 2.4.4 ta có ánh xạ 1X (1Y f) : X Do ánh xạ 1X (Y A) ! Y f : (X X Y) (Y A! B) đơn cấu (X Y) B đơn cấu Theo mệnh đề 2.4.4 T or(X Y; Z) = 0; 8Z Theo a) ta có X Y không xoắn c) Chứng minh T orn(X; Y ) xoắn 8n > Nếu X xoắn Y xoắn T orn(X; Y ) xoắn Thật vậy, giả sử Y xoắn ta chứng minh T orn(X; Y ) xoắn 8X; 8n qui nạp Với n = 1: Khi xét dãy khớp ! A! Ta có f T or(X; Y ) Vì Y xoắn nên A Giả sử với n Ta có n Do T orn 1(A; Y ) xoắn nên T orn(X; Y ) xoắn 8X Nếu X; Y không xoắn, ta chứng minh T orn(X; Y ) xoắn Vì X khơng xoắn nên theo a) ta có T or(X; Y ) = Do T orn(X; Y ) = 0; 8n > ) T orn(X; Y ) xoắn 3.3 Hàm tử Ext miền Dedekind Định lí 3.3.1 n Nếu X; Y mơđun miền Dedekind Ext (X; Y ) = với số tự nhiên f g n > Ngoài ra, nhúng X vào dãy khớp ngắn ! A ! F ! X ! với F tự Chứng minh Theo định lí 2.6.3 ta có dãy khớp: g ! Hom(X; Y ) ! 47 Ext(A; Y ) ! ! Vì môđun môđun xạ ảnh miền Dedekind mơđun xạ ảnh nên ta có A; F mơđun xạ ảnh theo mệnh đề 2.5.4 ta có: Ext n n n (A; Y ) = 0; Ext (F; Y ) = 8n > Suy Ext (X; Y ) = 8n > Mặt khác Ext(F; Y ) = nên Im = Kerg = Ext(X; Y ) Do đó: Cokerf = Hom(A; Y )=Imf = Hom(A; Y )=Ker Im = Ext(X; Y ): = Định lí 3.3.2 Cho R miền Dedekind X; Y hai môđun R Khi Ext(1X ; p) : Ext(X; Y ) ! p:Y! Ext(X; Y = (Y )) đẳng cấu với Y = (Y ) phép chiếu tự nhiên Chứng minh Xét dãy khớp ! (Y ) ! Y! P Y = (Y ) ! Theo định lí 2.6.2 ta có dãy khớp: 0! ! Hom(X; (Y )) ! Hom(X; Y ) ! Hom(X; Y = (Y )) ! Ext(X; (Y )) Ext(X; Y ) ! Ext(X; Y = (Y )) ! Ext (X; (Y )) ! : : : Vì (Y ) chia nên theo định lí 3.1.6 ta có (Y ) nội xạ Theo mệnh đề 2.5.5 ta có Ext(X; (Y )) = 0; Ext (X; (Y )) = Ext(1X ;p) Do ta có dãy khớp ! Ext(X; Y ) ! Ext(X; Y = (Y )) ! Vậy Ext(1X ; p) đẳng cấu Định lí 3.3.3 Cho R miền Dedekind Môđun X R không xoắn Ext(X; Y ) chia với môđun Y Chứng minh )) Với a R; a 6= ký hiệu đồng cấu a :X ! X x 7!ax Khi X khơng xoắn a đơn cấu với a R; a 6= a Ta có dãy khớp ngắn: ! X ! p X! X=aX ! 48 Áp dụng định lí 2.6.3 ta có dãy khớp: a Ext 1 (X; Y ) ! Ext (X; Y ) ! Ext (X=aX; Y ) ! E Theo định lí 3:3:1 R Dedekind nên Ext (X=aX; Y ) = ta có dãy khớp a Ext 1 (X; Y )! Ext (X; Y ) ! a = Ext (a; 1Y ) Từ định nghĩa a ta có a : Ext (X; Y ) ! Ext (X; Y ) 7! a Vì a tồn cấu nên 8a R; a 6= 0; a()= hay a = Ext (X; Y ) tồn Ext (X; Y ) để Vậy Ext (X; Y ) chia () Ngược lại với môđun Z ta có đẳng cấu 1 Ext (Z; Ext (X; Y )) Ext (T or (Z; X); Y ) = 1 Vì Ext (X; Y ) chia miền Dedekind nên Ext (X; Y ) nội xạ (theo 1 định lý 3.1.6), Ext (Z; Ext (X; Y )) = 8Z (theo mệnh đề 2.5.5) Suy Ext (T or1(Z; X); Y ) = 8Z; 8Y Do T or1(Z; X) xạ ảnh với Z (theo mệnh đề 2.7.5) Vì mơđun xạ ảnh khơng xoắn nên T or1(Z; X) môđun không xoắn với Z Mặt khác R miền Dedekind nên theo định lí 3:2:2c) ta có T or1(Z; X) mơđun xoắn với Z Do T or1(Z; X) = 0; 8Z Do Z bất kỳ, R vành Dedekind nên theo định lí 3:2:2:a) ta có X mơđun khơng xoắn 49 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách xây dựng hàm tử T or Ext dẫn xuất hàm tử Tenxơ hàm tử Hom dựa vào phép giải xạ ảnh với tính chất chúng Luận văn trình bày nhiều tính chất thú vị hàm tử T or biệt tính chất hàm tử Ext Đặc T or Ext miền Dedekind 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]: Nguyễn Viết Đông - Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nxb ĐHQG TP HCM [2]: Sze-Tsen Hu (1973), Nhập môn Đại số đồng điều, Nxb ĐH THCN [3]: Mac Lane S (1975), Homology, Springer, Verlag, NewYork [4]: Rotman J.J (2009), An Introduction to Homological Algebra, Springer, New York [5]: Henri Cartan and Samuel Eilenberg (1956), Homological Algebra, Princeton, New Jersey, Princeton University Press [6]: Saban Alaca Kenneth S.Williams (2004), Introductory Algebraic Number Theory, Cambridge University Press ... Xây dựng hàm tử Ext 2.6 Hai dãy khớp dài Ext 2.7 Ứng dụng dãy khớp hàm Chương HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND 3.1 Môđun miền Dedekind 3.2 Hàm tử Tor miền Dedekind. .. cứu miền Dedekind, hàm tử T or hàm tử Ext vành giao hốn có đơn vị miền Dedekind, mục đích luận văn tìm hiểu sâu hơn, tồn diện hệ thống hàm tử T or Ext miền nguyên Sau dựa số tính chất miền Dedekind. .. Chương HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ 2.1 Phép giải xạ ảnh 2.2 Xây dựng hàm tử Tor 2.3 Hai dãy khớp hàm tử Tor 2.4 Ứng dụng dãy khớp Tor 2.5