TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ MÔĐUN TỰ DO TRÊN MIỀN NGUYÊN CHÍNH Nội dung tiểu luận gồm hai chương: Chương 1 nhắc lại một số khái niệm cơ bản về miền nguyên chính, mođun, mođun con, mođun thương và mođun tự do. Chương 2 trình bày một số đặc tính của mođun tự do trên miền nguyên chính và ví dụ.
[...]... hoặc bjm = 0 Vô lí! Do đó họ (ai )i∈I , ai = 0 là độc lập tuyến tính 18 Vậy họ các phần tử ai = 0 tạo thành một cơ sở của N hay N là R -môđun tự do 2.3 Môđun con của một môđun tự do có hạng hữu hạn trên một miền nguyên chính 2.3.1 Định lí Cho R là miền nguyên chính, M là một R môđun tự do có hạng n, và N là một môđun con của M Khi đó: i, N là tự do và có hạng q ≤ n ii, Tồn tại một cơ sở (e1 , e2 , , en... một s∈S cơ sở của không gian vecto M/pM trên trường R/pR Hơn nữa, rank(S) = rank(s + pM )s∈S = dim(M/pM ) Vậy rank(S) xác định duy nhất Nhận xét: Dưới đây là cách chứng phát biểu khác của định lí trên: Cho R là miền nguyên chính, M là R- môđun tự do với cơ sở S Giả sử S là cơ sở thứ hai của R- môđun M Khi đó S và S có cùng số phần tử 2.2 Môđun con của một môđun tự do trên một miền nguyên chính 2.2.1... nơi Do đó ∃s1 , s2 , , sn sao cho: φ(s ) nếu t = s ∈ {s , s , , s } i i 1 2 n φ(t) = 0 nếu t ∈ {s , s , , s } / 1 2 n n φ(si )si , φ(si ) ∈ R, si ∈ S Do đó: X = S Như vậy, x = i=1 Vậy định lí được chứng minh • Hệ quả 9: M là R - môđun tự do khi và chỉ khi M có cơ sở Ví dụ: 1 0 là R - môđun tự do với cơ sở ∅ 2 Vành R là R - môđun tự do với cơ sở 1 3 Mỗi Z - môđun tự do gọi là nhóm eben tự. .. nguyên chính thông qua các định lí 2.1.1, 2.2.1.2.3.1 và làm một số ví dụ về môđun tự do trên miền nguyên chính Mặc dù tôi đã có cố gắng nhưng tiểu luận không thể tránh khỏi sai sót Rất mong được sự góp ý của quý thầy và các bạn 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngô Thúc Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), NXB GD, Hà Nội, 1985 [2] Nguyễn Xuân Tuyến (chủ biên)- Lê Văn Thuyết, Giáo trình cơ sở đại số hiện đại, ... chặn trên của M trong N Theo bổ đề Zorn, M có phần tử cực đại C Lấy bất kì x ∈ V : x=0⇒x∈ C x = 0: C ∪{x} phụ thuộc tuyến tính vì C cực đại Do dó, ∃r0 , r1 , , rn ∈ K không bằng 0 tất cả r0 x + r1 x1 + r2 x2 + + rn xn = 0, x1 , x2 , , xn ∈ C ⇒ r0 = 0 ⇒ x = −1 −r0 (r1 x1 + r2 x2 + + rn xn ) ∈ C Vậy V = C 15 Chương 2 Môđun tự do trên miền nguyên chính 2.1 Hạng của một môđun tự do trên một miền nguyên. .. - môđun đều là ảnh của một môđun tự do Chứng minh: Giả sử M là R - môđun tự do lấy S ⊂ M sao cho S = M , F là R - môđun tự do trên S f S E F © h d dd M h : S −→ M là đồng cấu sai cho hf = d Khi đó: h(F ) = h f (s) = hf (s) = d(s) = S = M suy ra h là toàn cấu • Hệ quả 7: Mọi R - môđun M đều đẳng cấu với môđun thương của một R - môđun tự do Chứng minh: Giả sử M có tập sinh S = {xi , i ∈ I} Xét môđun. .. là môđun tự do Chứng minh: i, Ta có: 1R ∈ R, 0 ∈ M ⇒ 1R 0 = 0 ⇒ 0 ∈ τ (M ) ⇒ τ (M ) = O ∀x, y ∈ τ (M ), ∀r, s ∈ R, ∃λ1 λ2 ∈ R\{0} sao cho λ1 x = 0, λ2 y = 0 Khi đó: λ1 λ2 (rx + sy) = rλ2 (λ1 x) + sλ1 (λ2 y) Vì R là miền nguyên chính nên λ1 λ2 = 0 suy ra rx + sy ∈ τ (M ) Vậy τ (M ) là môđun con của M ii, 22 KẾT LUẬN Qua tài liệu tham khảo, tôi đã nêu được một số đặc tính của môđun tự do trên miền nguyên. .. nguyên chính 2.2.1 Định lí Cho R là một miền nguyên chính, M một R môđun tự do Khi đó mọi R môđun con N của M đều là R -môđun tự do Để chứng minh định lí trên ta sử dụng 2 bổ đề sau: Bổ đề 1: Mọi tập hợp A đều có thể trang bị một thứ tự tốt, tức là mọi tập con khác rỗng của A đều có phần tử tối tiểu Bổ đề 2: ( Nguyên lí quy nạp siêu hạn ) Giả sử A là tập hợp sắp thứ tự tốt và T là một tính chất đối với... S = {xi , i ∈ I} Xét môđun tự do R(I) với cơ sở chính tắc U = {xi , i ∈ I} Khi đó, ánh xạ: f :U →M ei → xi được mở rộng thành toàn cấu g : R → M Từ đó suy ra: M ∼ R(I) /kerg = • Định lí 8: Tập con S của R - môđun X = 0 là một cơ sở khi và chỉ khi ánh xạ bao hàm d : S −→ X được mở rộng thành đẳng cấu h : F −→ X với F là môđun tự do sinh bởi S Chứng minh: Vì F là môđun tự do sinh bởi S nên tồn tại đồng... chính 2.1 Hạng của một môđun tự do trên một miền nguyên chính 2.1.1 Định lí Giả sử R là một miền nguyên chính, M là R- môđun tự do với cơ sở S Khi đó rankS xác định duy nhất Chứng minh: Giả sử p là một phần tử bất khả qui của R Khi đó iđean p = pA là tối đại do đó R/pR là một trường Trước hết ta chứng minh môđun thương M/pM là một không gian vecto trên trường R/pR Thật vậy, ta định nghĩa phép cộng: (a . là R - môđun tự do khi và chỉ khi M có cơ sở. Ví dụ: 1. 0 là R - môđun tự do với cơ sở ∅. 2. Vành R là R - môđun tự do với cơ sở 1. 3. Mỗi Z - môđun tự do gọi là nhóm eben tự do. Mọi nhóm xyclic. Định lí 6: Mọi R - môđun đều là ảnh của một môđun tự do. Chứng minh: Giả sử M là R - môđun tự do. lấy S ⊂ M sao cho S = M, F là R - môđun tự do trên S. S F M ❅ ❅❘ d ✲ f ✠ h h : S −→ M là đồng. tự do trên vành tổng quát người ta đã thu được những kết quả rất đẹp. Một câu hỏi đạt ra là:" Trên miền nguyên chính thì môđun tự do sẽ có những đặc tính gì?". Và đó cũng là lí do mà