TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI MÔĐUN XẠ ẢNH

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI MÔĐUN XẠ ẢNH Trong sự phát triển của toán học hiện đại, cơ sở đại số hiện đại là môn học quan trọng, là cơ sở tiền đề cho sự phát triển của đại số hiện đại. Trong đó vành và môđun đóng vai trò nền tảng của môn học. Môđun một trong số các cấu trúc đại số có một tập nên là một vành cùng với phép toán cộng và nhân vô hướng.

[...].. .Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 10 id X đơn cấu nên  đơn cấu Từ đó, X  Im  là hạng tử trực tiếp của môđun tự do F iii)  i) : Do mọi môđun tự do đều là xạ ảnh và hạng tử trực tiếp của một môđun xạ ảnh là xạ ảnh i)  iv) Giả sử X xạ ảnh và g : A  B là toàn cấu với mọi đồng cấu Rmôđun f  HomR  X , B  X  g A f B 0 Do X là xạ ảnh nên có đẳng cấu  : X  A thỏa... Phan Văn Thiện đã tận tình giảng dạy học phần Cơ sở đại số hiện đại Tôi cũng xin chân thành cám ơn các học viên cao học Toán khóa XX nhiệt tình giúp đỡ động viên tôi trong quá trình làm tiểu luận Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 N.T Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), Nhà xuất bản giáo dục, 1985 2 S Lang, Đại số (T.V Hạo,... Toán Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 13  0  Ker  F  P  0 ,     là chẻ ra Điều này nói lên rằng P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của môđun tự do F và khi đó theo mệnh đề 2.1 thì P là R-môđunxạ ảnh Định lý được chứng minh Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 14 Chương 3 BÀI TẬP ÁP DỤNG 3.1.Bài tập 1 Cho R là vành tất cả các hàm số thực...   bnj  Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 17 KẾT LUẬN Tóm lại, tiểu luận này đã trình bày những kiến thức cở bản về môđun xạ ảnh, và đặc biệt là đã giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun này Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận này khó tránh khỏi sai sót, mong nhận được sự đóng góp của quý... toàn cấu R -môđun iv)  i) : Giả sử f : X  B là đồng cấu R -môđun và g : A  B là toàn cấu R -môđun X f A Theo iv) ta có toàn cấu : g B 0 g* : HomR  X , A  HomR  X , B    g  f Do đó, có đồng cấu R -môđun  : X  A thỏa mãn g  f Vậy X là xạ ảnh ii)  v) : Ta chứng minh rằng nếu dãy các đồng cấu R -môđun Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 11 f... lý cơ sở đối ngẫu Một R -môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi tồn tại những họ  ai iI các phần tử của P và  f i iI trong HomP  P, R  sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Nếu a  P thì fi  a   0 với hầu hết (tức chỉ trừ một tập hữu hạn) (ii) a   iI ai f i  a , a  P Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 12 Chứng minh Giả sử P là R-môđunxạ... Lớp: LL & PP dạy học môn Toán Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 16 3.2.Bài tập 2 Chứng minh rằng mọi R-môđunxạ ảnh hữu hạn sinh P đều có thể được biểu diễn như e  R n  , với e : R n  R n là phép nhân bởi một ma trận lũy đẳng  aij n có hệ tử thuộc vành R Giải: Chọn một môđun Q phù hợp sao cho P  Q  R n , và cho e   aij   End R  R n    n  R  là phép chiếu ánh xạ lên P lấy vi phân theo các... nhất là hai giá trị n, và thật dễ dàng để thấy rằng Bây giờ xác định f n : R  R sao cho an : bn  P , với Học viên: Trần Cao Hoàng  b  x  n bn  x  Lớp: LL & PP dạy học môn Toán Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 15 với mọi x   0,1 Bằng cách hạn chế Iđêan P, chúng ta có thể xem f n như là một phần tử của P* Với bất kỳ a  P , chúng ta có f n  a   aan  0 với bất kỳ n đủ lớn để a biến mất...  a   f  a  g  a    P  f  R | f  a   0 a  0,   f   , 0    f   1   Chứng minh rằng: i) P là R -môđun xạ ảnh ii) P là hợp của một dây chuyền tăng chặt vô hạn các Iđêan chính trong R Giải : i) Ta xây dựng họ an , f n : n  1, 2,  như trong định lý cơ sở đối ngẫu Với mỗi a  R , ta viết supp  a    x  0,1 : a  x   0 Chúng ta xác định bn  P (n  1) bằng các đồ thị... phân theo các phân tích này Rõ ràng e 2  e , và eR n  P Đặt a j bằng cột thứ j của e (vì a j  P ), và đặt f j là ánh xạ tuyến tính theo hàm trên P với bất kỳ vectơ trong P theo tọa độ vị trí thứ j Chúng ta có a j , f j :1  j  n là một cặp đôi cơ sở của P (như trong định t lý cơ sở đối ngẫu) Trong thực tế, với bất kỳ vectơ x   x1 , , xn   P , chúng ta có:  b1 j   b11 x1  b12 x2     .  Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu khi và chỉ khi f là đơn ánh, toàn ánh, song ánh tương ứng. 1.3 Định nghĩa 3. Cho R là vành, S là một tập hợp. Một R-môđun tự do trên S. dục, 1985. 2. S. Lang, Đại số (T.V. Hạo, H. Kỳ dịch), Nhà xuất bản ĐHTHCN, 1978. 3. F.W. Anderson, K.R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer- Verlag, 1974. 4. C. Faith, Algebra