Hệ thống ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong giải các bài toán biên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TỐN BIÊN VŨ HỒNG THANH TRANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TỐN BIÊN Tổ mơn: Tốn lý Người hướng dẫn: TS Lương Lê Hải Sinh viên thực hiện: Vũ Hồng Thanh Trang MSSV: 42.01.102.119 Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI MỞ ĐẦU Để khóa luận đạt kết hơm nay, q trình bắt đầu hoàn thiện em nhận nhiều giúp đỡ từ q thầy cơ, bạn bè gia đình Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: Đầu tiên thầy Lương Lê Hải - giảng viên định hướng trực tiếp hướng dẫn em suốt trình làm khóa luận Thầy ln đồng hành giúp đỡ, động viên, dẫn tận tâm em gặp vấn đề khó hiểu Ngồi ra, em cịn nhận từ thầy tự tin, kinh nghiệm sống niềm đam mê nghiên cứu khoa học Thứ hai, thầy, cô Khoa Vật lý giảng dạy, truyền cho em kiến thức chuyên môn tảng, kĩ năng, phương pháp để em vững bước vào nghề tương lai Cùng với gia đình bạn bè thân thiết bên cạnh giúp đỡ em thời gian qua Một lần em xin chân thành cảm ơn Tp.HCM, ngày 30 tháng 06 năm 2020 gdggjsdgbgvvvfbfbbfbfgjhjhsdghfdfgsygdysysfysghf Vũ Hoàng Thang Trang Mục lục Mục lục Mở đầu Hệ thống số hàm toán đặc biệt 1.1 Hàm Bessel hàm trụ 1.1.1 Định nghĩa tính chất hàm Bessel 1.1.2 Các hàm trụ khác 1.2 Đa thức Legendre 1.2.1 Đa thức trực giao cổ điển Legendre 1.2.2 Đa thức Legendre liên hợp 1.3 5 10 12 12 16 Hàm cầu 1.3.1 Định nghĩa tính chất hàm cầu 1.3.2 Hàm riêng cầu 19 19 23 Ứng dụng hàm toán đặc biệt việc giải biên 2.1 Bài toán làm nguội hình trụ trịn dài vơ hạn 2.2 Bài toán khảo sát rung động bề mặt trống 2.3 Bài tốn tán xạ vơ hướng cầu dài toán 25 25 29 34 Kết luận hướng phát triển 41 Tài liệu tham khảo 42 Phụ lục 44 Công bố khoa học 49 Mở đầu Lý chọn đề tài Ngày nay, với phát triển mạnh mẽ vật lý lý thuyết vật lý toán việc sử dụng hàm toán đặc biệt trở nên cần thiết [1] Tầm quan trọng hàm đặc biệt có liên quan đến hai yếu tố Thứ nhất, khảo sát mơ hình tốn học tượng vật lý xảy tự nhiên, ban đầu cần khảo sát tốn đơn giản hóa, tức tốn mà nghiệm chúng tìm dạng giải tích (nghiệm xác) Thứ hai, tốn đơn giản hóa sử dụng phép thử (hàm sở) hữu hiệu cho việc lựa chọn thuật toán số học để giải toán vật lý phức tạp Trong q trình khảo sát tốn vật lý lý thuyết hay vật lý toán thường sử dụng hàm đặc biệt khác Nghiệm nhiều tốn vật lý quan trọng có liên quan đến vấn đề nghiên cứu trình truyền nhiệt tương tác xạ với chất [2], lan truyền sóng điện từ sóng âm [3], khảo sát lý thuyết phản ứng hạt nhân cấu trúc bên sao, dẫn đến việc tìm hàm riêng tốn Sturm – Liouville chứa phương trình Laplace hay Helmholts, mà tìm thấy dạng giải tích số lượng nhỏ miền khảo sát [4] Trong trường hợp miền khảo sát có dạng đơn giản nhất, đoạn thẳng, hình chữ nhật hay hình bình hành nghiệm hàm biểu diễn thông qua hàm sơ cấp Đối với miền có dạng hình trịn, hình trụ, hình cầu hay miền phức tạp hàm riêng biểu diễn thông qua hàm đặc biệt [5] Trong thực tiễn hàm đặc biệt thường đóng vai trị nghiệm phương trình vi phân khác toán vật lý Từ đó, thấy hàm đặc biệt có ứng dụng vô to lớn ngành khoa học tự nhiên, đặc biệt vật lý lý thuyết vật lý tốn Vì việc khảo sát nghiên cứu số hàm toán đặc biệt việc ứng dụng giải toán vật lý nhiệm vụ thiết yếu người nghiên cứu khoa học tự nhiên Trong đề tài khóa luận chúng tơi khảo sát hàm toán đặc biệt thường sử dụng, hàm Bessel, tổng quát hàm trụ, đa thức liên hợp Legendre, sở để tạo hàm cầu ứng dụng chúng việc giải vấn đề vật lý toán, vật lý lý thuyết, vật lý lượng tử có chứa tốn biên phương trình Helmholts Đối tượng phương pháp nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu hàm tốn đặc biệt, tìm hiểu định nghĩa tính chất chúng Khóa luận cịn khảo sát ứng dụng hàm toán việc giải tốn biên Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm 49 trang, 15 hình bảng thể qua hai chương: Chương 1: Hệ thống số hàm toán đặc biệt Giới thiệu số hàm toán đặc biệt thường sử dụng vật lý lý thuyết vật lý toán hàm Bessel hay tổng quát hàm trụ, đa thức Legendre cổ điển, đa thức Legendre liên hợp hàm cầu Chương 2: Ứng dụng số hàm toán đặc biệt việc giải tốn biên Trình bày ứng dụng hàm tốn đặc biệt thơng qua việc giải số toán biên tốn truyền nhiệt hình trụ dài vơ hạn, toán khảo sát rung động bề mặt trống tốn tán xạ vơ hướng cầu dài Cuối phần kết luận hướng phát triển đề tài Chương Hệ thống số hàm toán đặc biệt 1.1 Hàm Bessel hàm trụ Hàm Bessel xuất nghiệm phương trình có chứa tốn tử Laplace mặt phẳng tọa độ Oxy Xét phương trình − u(x, y) ≡ − ∂ 2u ∂ 2u − = λu + f (x, y) ∂x2 ∂y Trong hệ tọa độ cực (r, ϕ) phương trình cho có dạng − ∂ r ∂r r ∂ u˜ ∂r − ∂ u˜ = λ˜ u + f˜(r, ϕ), r2 ∂ϕ2 với u˜(r, ϕ) = u(r cos ϕ, r sin ϕ) Nếu nghiệm hàm u˜(r) không phụ thuộc vào ϕ f = phương trình cho trở thành u (r) + u (r) + λu(r) = r Phương trình xem trường hợp riêng phương trình Bessel Ta có phương trình Bessel dạng tổng quát x2 u + xu + (x2 − ν )u = (1.1) Mỗi nghiệm hàm khác phương trình Bessel gọi hàm trụ 1.1.1 Định nghĩa tính chất hàm Bessel Xét tính chất hàm Bessel hàm trụ Vì phương trình (1.1) có điểm đặc biệt x = 0, nên nghiệm hàm u(x) biểu diễn dạng chuỗi lũy thừa tổng quát ∞ u(x) = x ak x k , σ (1.2) k=0 với a0 = 0, số mũ σ hệ số ak thỏa mãn định nghĩa Chuỗi lũy thừa (1.2) có khả vi đến cấp Thay chuỗi (1.2) vào phương trình (1.1) đồng hệ số hai vế phương trình theo lũy thừa x, ta thu biểu thức truy hồi sau a0 (σ − ν ) = a1 [(σ + 1)2 − ν ] = a2 [(σ + 2)2 − ν ] + a0 = (1.3) ak [(σ + k)2 − ν ] + ak−2 = 0, k = 2, 3, Từ phương trình hệ (1.3), ta suy σ − ν = hay σ = ±ν Chú ý k rằng, ν = , k = 1, 2, ta có điều kiện sau (σ + k)2 − ν = 0; k = 1, 2, 3, (1.4) Từ phương trình hệ (1.3), σ = ±ν , ta suy a1 = (1.5) Theo điều kiện (1.4), từ phương trình cuối hệ (1.3) ta thu công thức truy hồi ak = − ak−2 , k = 2, 3, (σ + k + ν)(σ + k − ν) (1.6) Từ biểu thức (1.5) (1.6), ta thấy tất hệ số với số lẻ 0, cịn hệ số với số chẵn biểu diễn qua a0 Xét trường hợp σ = ν , đó, biểu thức (1.6) cho k = 2p, ta thu a2p = − a2p−2 2 p(p + ν) (1.7) Áp dụng công thức (1.7) cách tuần tự, ta thu a2p = (−1)p a0 22p p!(ν + 1)(ν + 2) (ν + p) (1.8) Như vậy, nghiệm phương trình Bessel (1.1) xác định với độ xác theo thừa số tùy ý a0 Ta cho a0 dạng a0 = 2ν Γ(ν + 1) (1.9) , với Γ hàm Gamma–Euler Theo tính chất hàm Gamma–Euler [? ] Γ(ν + 1)(ν + 1)(ν + 2) (ν + p) = Γ(p + + ν) Từ công thức (1.8) (1.9), ta thu a2p = (−1)p 22p+ν Γ(ν + 1)Γ(p + + ν) Xét chuỗi ∞ Jν (x) = k=0 (−1)k Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1) x 2k+ν (1.10) Dùng quy tắc d’Alembert, chứng minh chuỗi (1.10) hội tụ tuyệt x Định nghĩa: Chuỗi (1.10) gọi hàm Bessel loại bậc ν ký hiệu Jν (x) Ta thấy hàm Jν (x) nghiệm riêng phương trình Bessel (1.1) Xét trường hợp σ = −ν Đặt Yν (x) = J−ν (x), thực cách tương tự, ta đến định nghĩa sau Định nghĩa: Chuỗi (1.10), ứng với σ = −ν ∞ Yν (x) = k=0 (−1)k Γ(k + 1)Γ(k − ν + 1) x 2k−ν (1.11) Hình 1.1 Hàm Bessel loại Jn (x) ứng với n = 0, 1, hàm Bessel loại hai bậc ν Hình 1.2 Hàm Bessel loại hai Yn (x) ứng với n = 0, 1, Khi ν nhận giá trị không nguyên (ν = ±1, ±2 ) hàm Yν (x) nghiệm thứ hai phương trình Bessel Nghiệm độc lập tuyến tính với hàm Bessel loại Jν (x) nên hàm Jν (x) Yν (x) hình thành hệ nghiệm phương trình Bessel bậc ν sử dụng phương pháp tách biến hệ tọa độ cầu cho việc tính tốn tán xạ dừng vơ hướng cầu dài với tỉ lệ bước sóng kích thước cầu Một cách tổng thể, toán tán xạ dạng toán phức tạp có số tốn mà nghiệm chúng biểu diễn dạng giải tích Đã có số nghiên cứu tán xạ phòng cầu (dẹt dài) [15–17] nhiều cơng trình khác Mặc dù vậy, nghiệm tốn ln tìm thấy dạng sóng hình cầu (hàm bán kính hàm góc) Trong tốn khảo sát tốn tán xạ dừng vơ hướng có tính chất đối xứng trục cầu dài cách sử dụng phương pháp tách biến Phỏng cầu dài ellipsoid dài có trục lớn trục Oz [18] Chọn trục nhỏ cầu dài đơn vị, phương trình cầu dài hệ tọa độ cầu có dạng [19, 20]: r = r(θ) ≡ + ε2 cos2 θ, với ε tham số phụ thuộc vào tỉ số trục lớn trục nhỏ cầu dài Hình dạng cầu dài biểu diễn hình (2.6) ứng với giá trị khác ε Hình 2.6 Hình dạng cầu dài ứng với ε2 = 0, 1, 2, (từ trái sang) Trên hình (2.7) trường tán xạ biểu diễn hệ tọa độ cầu (r, ϕ, θ) Θ góc tán xạ Gốc tọa độ hệ tọa độ Decartes trùng với tâm đối xứng cầu trục Oz trùng với trục dài cầu α góc tới (góc hướng sóng tới với trục Oz mặt phẳng Oxy ) Phương pháp tách biến √ Trong phương trình Helmholts ∆ψ + k ψ = 0, với r > rmax = + ε2 (bên cầu với θ = θ = π , lúc cos2 θ = 1) hàm sóng ψ khai triển thành chuỗi ∞ − − + c+ n χn (r) − cn χn (r) Yn (θ), ψ= n=0 35 Hình 2.7 Biểu diễn tán xạ hình học cầu dài với Yn (θ) = π (1) H (2) (kr), Pn − đa thức Legendre, 2kr n+ 2n + Pn (cos θ), χ± n (r) = (1) (2) Hn+ − hàm Hankel loại loại hai 2 ∓∗ + − + − + Vì χ± , nên χ− n Yn sóng tới, cịn χn Yn sóng n (r) = χn (r), χn χn − χn χn = ikr2 khỏi hay sóng truyền qua Trong tốn tán xạ biên độ sóng tới c− n phải cho trước, cịn biên độ − sóng truyền qua c+ n biểu diễn qua cn với điều kiện bề mặt cầu tán xạ + ε2 sin2 θ −ikπ ∂ψ ∂n ≡ q(θ), r=r(θ) hệ số c± n , ta có ˆ c± n π q(θ)χ∓ n [r(θ)]Yn (θ) sin θdθ = (2.32) − Dựa vào biểu thức (2.32), ta cần tìm c+ n với giá trị cho sẵn cn đại lượng chưa biết q(θ) Đầu tiên, ta khai triển hàm q(θ) thành chuỗi theo hàm cầu ∞ q(θ) = αm Ym (θ) (2.33) m=0 ˆ Thay (2.33) vào (2.32) kí hiệu a± mn π χ∓ n [r(θ)]Yn (θ)Ym (θ) sin θdθ , ta thu = 36 hệ phương trình đại số vơ hạn hệ số αm : ∞ − a− mn αm = cn , n = 0, 1, 2, (2.34) m=0 Giải hệ phương trình ta thu αm sau biên độ c+ n tính theo cơng thức ∞ a+ mn αm c+ n = m=0 Với giá trị c+ n tìm được, tính tiết diện tán xạ vi phân I(θ) = r2 lim r→∞ 2ik Vì χ+ n ∂ψ ∗ − ψ+ + ∂r ∂r ∗ ∂ψ+ ψ+ ∞ + c+ n χn (r)Yn (θ) , với ψ+ = ≈ i−n−1 eikr r lớn, nên kr n=0 I(θ) = |f (θ)| , f (θ) = ik ∞ i−n c+ n Yn (θ) (2.35) n=0 Khó khăn tốn hệ (2.34) hệ vô hạn Mặc dù vậy, nguyên tắc hệ (2.34) xem hữu hạn, tán xạ hiệu dụng xảy số sóng hữu hạn n≤N ≈k + ε2 + Điều dễ dàng khẳng định trường hợp ε = 0, ± + a± mn = χn (1)δmn , cn = − c− n χn (1) χ+ n (1) n+ c+ Khi n lớn (n > k) ta có n− ≈ − i exp{[−(2n + 1)(α − chα)]}, với chα = k cn Tính tốn tán xạ Với giá trị cho trước biên độ sóng tới c− n ta tính tốn biên độ sóng rời c+ n tiết diện tán xạ vi phân Cho sóng tới sóng phẳng có dạng ψ0 = exp{(ikr cos θ)}, c− n cho n công thức c− n = −i 2n + − Giá trị c− n bình phương module tương ứng |cn | cho bảng 2.1 Nghiệm toán phụ thuộc vào hai tham số: k ε Lấy k = k = với ε2 = 0, 1, 2, [21, 22] 37 n c− n |c− n| −0.7071 −1.2247i 1.5811 1.8708i −2.1213 −2.3452i 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 − Bảng 2.1: Bảng giá trị c− n |cn | ứng với n = 0, 1, 2, 3, 4, ε2 c+ c+ c+ c+ c+ |c+ 0| + |c1 | |c+ 2| |c+ 3| + |c4 | S4+ σ 0.382-0.595i 0.268-0.633i 0.193-0.648i 0.111-0.644i 0.089+1.222i 0.173+1.212i 0.268+1.195i 0.365+1.168i -1.581+0.002i -1.587-0.002i -1.595-0.004i -1.604-0.002i -1.871i 0.001-1.871i 0.003-1.871i 0.006-1.872i 2.121 2.121 1.121 2.121 0.5 0.483 0.458 0.427 1.5 1.5 1.499 1.498 2.5 2.517 2.543 2.573 3.5 3.5 3.501 3.503 4.5 4.5 4.5 4.5 12.5 12.5 12.5 12.501 0.935 1.215 1.514 1.815 + + 2 Bảng 2.2: Giá trị c+ n , |cn | , SN (n = 0, N , N = 4) σ với ε = 0, 1, 2, + Giá trị c+ n bình phương module tương ứng |cn | cho bảng 2.2 2.3 N Đại lượng ± SN c± n = đặc trưng cho tiêu hao dòng sóng tới sóng n=0 rời giá trị đại lượng tính tốn biểu diễn bảng 2.2 2.3 Đối với việc tính tốn tiết diện tán xạ vi phân, phần hao hụt chuỗi (2.35) biểu diễn dạng δ(1 − cos θ) ik Đại lượng f (θ) θ = tính tổng chuỗi k ∞ 2n + −n−1 i Yn (θ), n c+ n −i n=0 hệ số chuỗi giảm dần n N Tiết diện tán xạ tồn phần tính theo cơng thức ˆ 2π ˆ π 2πσ = I(θ) sin θdθdϕ 0 38 ε2 c+ c+ c+ c+ c+ c+ |c+ 0| |c+ 1| + |c2 | |c+ 3| + |c4 | |c+ 5| + S5 σ -0.294-0.643i -0.350-0.456i -0.315-0.284i -0.220-0.165i 0.510+1.114i 0.806+0.908i 1.013+0.626i 1.111+0.316i -1.582+0.054i -1.629+0.119i -1.66+0.249i -1.654+0.427i -0.002-1.871i 0.013-1.878i 0.032-1.898i 0.051-1.932i 2.121 2.121+0.002i 2.121+0.009i 2.123+0.0.021i 2.345i 2.345i 2.345i -0.001+2.344i 0.5 0.332 0.18 0.075 1.5 1.474 1.418 1.335 2.5 2.669 2.819 2.917 3.5 3.529 3.604 3.736 4.5 4.5 4.501 4.509 5.5 5.5 5.499 5.496 18 18 18 18.006 0.846 1.044 1.271 1.511 + + 2 Bảng 2.3: Giá trị c+ n , |cn | , SN (n = 0, N , N = 5) σ với ε = 0, 1, 2, Hình 2.8 Hàm số tán xạ chuẩn hóa Tω (θ) với hệ số k = (bên phải) 39 (bên trái) k = Hàm số tán xạ chuẩn hóa Tω tính theo cơng thức [23] Tω = I(θ) σ biểu diễn hình (2.8) Hàm mật độ xác suất |ψ(r, θ)|2 , phần thực Re((ψ(r, θ)) phần ảo Im(ψ(r, θ)) hàm sóng tán xạ ψ(r, θ) biểu diễn hình (2.9) (a) |ψ(r, ϕ)|2 (b) Re(ψ(r, θ)) (c) Im(ψ(r, θ)) (d) |ψ(r, ϕ)|2 (e) Re(ψ(r, θ)) (f) Im(ψ(r, θ)) Hình 2.9 Mật độ xác suất |ψ(r, θ)|2 (bên trái), phần thực Re(ψ(r, θ)) (ở giữa) phần ảo Im(ψ(r, θ)) (bên phải) hàm sóng k = k = với ε2 = (hàng dưới) với ε2 = (hàng trên) Code thuật tốn chương trình phần mềm Maple trình bày phần phụ lục C (trang 46) 40 Kết luận hướng phát triển • Trong đề tài hệ thống số hàm toán đặc biệt khảo sát ứng dụng hàm toán việc giải toán biên Cụ thể, hàm toán đặc biệt khảo sát hàm Bessel hay tổng quát hàm trụ, đa thức Legendre cổ điển đa thức Legendre liên hợp cuối hàm cầu Các toán biên nghiên cứu khảo sát tốn truyền nhiệt hình trụ dài vơ hạn, toán khảo sát rung động trống đàn hồi tốn tán xạ vơ hướng cầu dài Kết thu tốn mang ý nghĩa khoa học cao • Nghiệm toán vật lý phức tạp vật lý tốn vật lý thuyết thường khơng thể biểu diễn qua hàm sơ cấp mà phải thơng qua hàm tốn đặc biệt Ngồi hàm tốn khảo sát đề tài cịn có hàm tốn đặc biệt khác thường sử dụng hàm Airy, đa thức Laguerre, đa thức Chebyshev, hàm Kelvin, đa thức Hermite v.v • Đề tài khóa luận cơng cụ hữu ích cho nhà nghiên cứu đặc biệt lĩnh vực khoa học tự nhiên khoa học kĩ thuật để khảo sát mơ hình tốn học dựa mơ hình vật lý vật lý lượng tử, vật lý hạt nhân nguyên tử v.v 41 Tài liệu tham khảo [1] Nikiforov A J., Uvarov V B., Special Functions of Mathematical Physics A Unified Introduction with Applications Springer Basel AG 1988 [2] Егоров А А Теоретический и численный анализ волноводного распространения и рассеяния собственных и несобственных мод нерегулярного интегральнооптического волновода Квант Электр 2012 Т 42 № С 337–34 [3] Боголюбов А Н., Малых М Д О ловушечных модах электромагнитного волновода с неоднородным заполнением Радиотехника и электроника 2005 T 50 № С 218–222 [4] Read W W., Analytical Solutions for a Helmholtz Equation with Dirichlet Boundary Conditions and Arbitrary Boundaries Mathl Comput Modeling 1996 Vol 24, No 2, pp 23-34 [5] Abramowitz M., Stegun I A., Handbook of Mathematical Functions 1964 [6] Watson G N , A Treatise on the Theory of Bessel Functions Cambridge University Press 1922 [7] Mathews G B., Gray A., Gray E., A Treatise on Bessel Functions and Their Applications to Physics Macmillan and Company 1895 [8] Bagrov V G., Belov V V., Zadorozhny V N., Trifonov A Yu., Methods of mathematical physics III Special features Tomsk: NTL Publishing House 2002 352p [9] Bergman T L., Lavine A S., Incropera F P and DeWitt D P., Fundamentals of Heat and Mass Transfer 7th ed Hoboken NJ: John Wiley and Sons 2011 [10] Javidinejad A., Vibration Modal Solutions Developing of the Elastic Circular Membrane in Polar Coordinates Based on the Fourier-Bessel Series Journal of Theoretical and Applied Mechanics March 2013 43(1):19-26 · 42 [11] Kholodova S E., Peregudin S I., Special functions in problems of mathematical physics -St Petersburg: NRU ITMO 2012 72p [12] Belousov S L., Tables of Normalized Associated Legendre Polynomials Mathematical Tables 1962 18 Pergamon Press ISBN 978-0-08-009723-7 [13] Courant, Hilbert 1953 V.10 [14] Barthelmes F., Definition of Functionals of the Geopotential and Their Calculation from Spherical Harmonic Models Scientific Technical Report STR09/02 Revised Edition, January 2013 36p [15] King B J., Van Buren A L., Acoustic radiation from two spheroids J Acoust Soc Amer 1972 52(1) 364-372 [16] Bowman J J et al., Electromagnetic and Acoustic Scattering by Simple Shapes North-Holland Amsterdam 1969 [17] Handelman G H., Sidman R D., Motion of a spherical obstacle generated by plane or spherical acoustic waves J Acoust Soc Amer 1972 52(3) 923-927 [18] Acho T M., Scalar wave scattering of a prolate spheroid as a parameter expansion of that of a sphere, Quarterly of applied mathematics 1992 l(3) 451-468 [19] Meixner J., Wells C P., Improving of the convergence in an expansion of spheroidal wave functions Quart Appl Math 1959 17(3) 263-269 [20] Flammer K., Spheroidal wave function tables Moscow Computing Center of the Academy of Sciences of the USSR 1962 [21] Senior T B A., Scalar diffraction by a prolate spheroid at low frequencies Canad J Phys 1960 38(12) 1632-1641 [22] Barlow C A., Einspruch N G., Scattering of a compressional wave by a prolate spheroid Quart Appl Math 1961 19(3) 253-258 [23] Wallander S V., Aerodynamics of thin gases Sat Ed L., Ed LSU 1963 43 Phụ lục A Thuật toán Maple cho tốn làm nguội hình trụ trịn dài vơ hạn Code cho tốn có dạng sau: *restart; with(plots):with(plottools): # Khởi động chương trình nhập lệnh vẽ đồ thị *r0:=1;phir:=100;a:=1; # Các thông số ban đầu *mu:=k->BesselJZeros(0,k); # Không điểm thứ k hàm Bessel bậc *A:=k->Int(r*phir*BesselJ(0,mu(k)*r/r0),r=0 r0)/ Int(r*(BesselJ(0,mu(k)*r/r0))^2,r=0 r0); # Hệ số khai triển Fourier thứ k *u:=(N,r,t)->sum(evalf(A(k))*BesselJ(0,mu(k)*r/r0)* exp(-(mu(k)*a/r0)^2*t),k=1 N); # Nghiệm hàm toán *plot3d([r,theta,u(10,r,0)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, coords=cylindrical,axes=frame,view=0 120); # Đồ thị hàm nhiệt độ thời điểm ban đầu t=0 *plot3d([r,theta,u(10,r,0.1)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, coords=cylindrical,axes=frame,view=0 120); # Đồ thị hàm nhiệt độ thời điểm t=0.1s *plot3d([r,theta,u(10,r,0.2)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, coords=cylindrical,axes=frame,view=0 120); # Đồ thị hàm nhiệt độ thời điểm t=0.2s *plot3d([r,theta,u(10,r,0.3)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, coords=cylindrical,axes=frame,view=0 120); # Đồ thị hàm nhiệt độ thời điểm t=0.3s *plot3d([r,theta,u(10,r,0.4)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, coords=cylindrical,axes=frame,view=0 120); # Đồ thị hàm nhiệt độ thời điểm t=0.4s *plot3d([r,theta,u(10,r,0.5)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, 44 coords=cylindrical,axes=frame,view=0 120); # Đồ thị hàm nhiệt độ thời điểm t=0.5s *animate3d([r,theta,u(10,r,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, t=0 0.5,coords=cylindrical,axes=frame,frames=30); # Đồ thị mô tả biến đổi hàm nhiệt độ theo khơng gian thời gian B Thuật tốn Maple cho toán khảo sát rung động bề mặt trống Code cho tốn có dạng sau: *restart; with(plots):with(plottools): # Khởi động chương trình nhập lệnh vẽ đồ thị *c:=1; r0:=2; # Các thông số ban đầu *mu:=(m,n)->BesselJZeros(m,n); # Không điểm thứ n hàm Bessel bậc m *lambda:=(m,n)->mu(m,n)/r0; #Biểu diễn lambda qua mu *uC:=(m,n,r,theta,t)->cos(c*lambda(m,n)*t)* BesselJ(m,lambda(m,n)*r)*cos(m*theta); # Nghiệm hàm toán ứng với thành phần cosin *uS:=(m,n,r,theta,t)->sin(c*lambda(m,n)*t)* BesselJ(m,lambda(m,n)*r)*sin(m*theta); # Nghiệm hàm toán ứng với thành phần sin # Đồ thị mô tả biến đổi hàm theo không gian thời gian ứng với giá trị khác m n *animate3d([r,theta,uC(0,1,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(0,1,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(0,2,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(0,3,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(0,4,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(1,1,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(1,2,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, 45 coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(1,3,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(1,4,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(2,1,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(2,2,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(2,3,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(2,4,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); C Thuật tốn Maple cho tốn tán xạ vơ hướng cầu dài Code cho toán trường hợp k = ε = có dạng sau: *restart;with(linalg):with(plots):with(plottools): # Khởi động chương trình, nhập lệnh phép tốn đại số tuyến tính lệnh vẽ đồ thị *Digits:=10; # Chọn 10 số đứng sau dấu phẩy số thập phân *epsilon:=0; k:=1;# Nhập giá trị epsilon số sóng *dimb:=6; # Nhập giá trị số chiều N ma trận *cm[i]:=(j,i)->evalf(-I^(i-1)*sqrt((2*(i-1)+1)/2)); # Tính tốn giá trị biên độ sóng tới *b:=matrix(1,dimb,cm[i]); # Ma trận hàng chứa phần tử biên độ sóng tới *rsferoid:=sqrt(1+epsilon^2*cos(theta)^2); # Phương trình cầu dài hệ tọa độ cầu *ccm:=matrix(1,dimb,(cm[i])^2); # Ma trận hàng chứa phần tử bình phương biên độ sóng tới *am[m,n]:=(m,n)->evalf(Int((sqrt((1/2)*Pi/k/rsferoid)* HankelH1(n-1+1/2,k*rsferoid)*(1/2)*sqrt(2*(n-1)+1)* sqrt(2*(m-1)+1))*simplify(LegendreP(n-1,cos(theta)))* simplify(LegendreP(m-1,cos(theta)))*sin(theta),theta=0 Pi)); # Biễu diễn hệ số am[m,n] *A:=transpose(matrix(dimb,dimb,am[m,n])); # Ma trận chứa phần tử am[m,n] 46 *for n to dimb eqn||n:=add(A[n,m]*alpha[m],m=1 dimb)-b[1,n]; od; # Lập hệ phương trình đại số chứa ẩn alpha[m] *s:=solve({seq(eqn||jj,jj=1 dimb)}, {seq(alpha[jj],jj=1 dimb)}); for h to dimb alpha[h]:=eval(alpha[h],s); od; # Nghiệm hệ phương đại số *for m to dimb for n to dimb ap[m,n]:=evalf(Int((sqrt((1/2)*Pi/k/rsferoid)* HankelH2(n-1+1/2,k*rsferoid)*(1/2)*sqrt(2*(n-1)+1)* sqrt(2*(m-1)+1))*simplify(LegendreP(n-1,cos(theta)))* simplify(LegendreP(m-1,cos(theta)))*sin(theta),theta=0 Pi)); od; od; # Biễu diễn hệ số ap[m,n] *for n to dimb cp[n]:=add(ap[m,n]*alpha[m],m=1 dimb); cpp[n]:=abs(cp[n])^2; od; # Tính tốn giá trị biên độ sóng truyền qua bình phương biên độ sóng truyền qua *S[6]:=sum(cpp[i],i=1 dimb); # Độ tiêu hao dịng sóng rời *for t from to dimb f[t]:=(1/2)*(cp[t]-I^(t-1)*sqrt((2*(t-1)+1)*(1/2)))* I^(-(t-1)-1)*sqrt(2*(t-1)+1)* simplify(LegendreP(t-1,cos(theta)))/k; od; *mysum:=sum(f[i],i=1 dimb); *expand(evalc(abs(mysum)^2)*sin(theta)): *v:=[op(%)]; *sigma:=add(int(op(j0,v),theta=0 Pi),j0=1 nops(v)); # Giá trị tiết diện tán xạ toàn phần *plot(abs(mysum)^2/sigma,theta=0 Pi,thickness=3,labels=[theta, T[omega](theta)]); # Đồ thị hàm số tán xạ chuẩn hóa *Psii:=add((cp[n]*sqrt((1/2)*Pi/k/r)*HankelH1(n-1+1/2,k*r)b[1,n]*sqrt((1/2)*Pi*k*r)*HankelH2(n-1+1/2,k*r))*sqrt(1/2)* sqrt(2*(n-1)+1)*simplify(LegendreP(n-1,cos(theta))),n=1 dimb); 47 # Hàm sóng tán xạ *RePsii:=Re(Psii);ImPsii:=Im(Psii); # Phần thực phần ảo hàm sóng *awf:=(collect(evalf(evalc(abs(Psii)^2)),[sin,cos],expand))* piecewise(r