Một số vấn đề về hàm đơn điệu toán tử và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM oGo LÀNH THỊ THÙY MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ VÀ ỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 DỤNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM oGo LÀNH THỊ THÙY MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng đẫn khoa học TS HỒ MINH TOÀN Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng thân hướng dẫn khoa học TS Hồ Minh Toàn Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa công bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi có sử dụng số kết tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Lành Thị Thùy Lời cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn tơi nhận giúp đỡ nhiệt tình người hướng dẫn, T.S Hồ Minh Tồn Tơi muốn gửi lời cảm ơn mơn Giải tích, Khoa Tốn, tạo điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hồn thành tốt luận văn Do thời gian có hạn, thân tác giả hạn chế nên luận văn có thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cô, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Lành Thị Thùy Mục lục Lời mở đâu Ngày nay, tầm quan trọng lý thuyết ma trận biết đến nhiều lĩnh vực kỹ thuật, xác suất thống kê, thông tin lượng tử, giải tích số, sinh học khoa học xã hội Đặc biệt, giải tích ma trận trở thành chủ đề độc lập toán học số lượng lớn ứng dụng Chủ đề giải tích ma trận thảo luận đại số ma trận, tương đương, đại số tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert hữu hạn chiều Đại số tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert n chiều đẳng cấu với đại số ma trận vuông cấp n Một công cụ giải tích ma trận định lý phổ trường hợp hữu hạn chiều Gần đây, nhiều lĩnh vực giải tích ma trận nghiên cứu kỹ lưỡng lý thuyết hàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận, lý thuyết trung bình ma trận, lý thuyết phân hóa thơng tin lượng tử, Lý thuyết hàm nghiên cứu mạnh trở thành chủ đề quan trọng lý thuyết ma trận ứng dụng rộng lớn chúng lý thuyết ma trận lý thuyết lượng tử Hàm đơn điệu toán tử lần C Lowner nghiên cứu báo [1] ông năm 1934 Năm 1936, Kraus chứng minh tính đơn điệu tốn tử có mối quan hệ chặt chẽ với tính lồi tốn tử Năm 2008, số ứng dụng lớp hàm lý thuyết lượng tử nhà toán học Dénes Petz trình bày tài liệu chuyên khảo [2] Tài liệu chuyên khảo [3] nhà toán học F Hiai [4] nhà toán học R Bhatia cẩm nang kháđầy đủ chi tiết hàm đơn điệu tốn tử Bản luận văn trình bày lại số kết chọn lọc hàm đơn điệu tốn tử ứng dụng trích dẫn từ tài liệu Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương sau Chương Hàm đơn điệu tốn tử Trong Chương tơi trình bày: Thứ nhất, hệ thống hóa kiến thức ma trận tốn tử tuyến tính Thứ hai, trình bày định nghĩa hàm toán tử (hàm ma trận) số tính chất hàm tốn tử Thứ ba, trình bày định nghĩa hàm đơn điệu toán tử số định lý liên quan, đồng thời đưa số ví dụ nhằm minh họa cho lớp hàm Chương Một số ứng dụng hàm đơn điệu toán tử Đây phần luận văn Tơi trình bày ứng dụng hàm đơn điệu toán tử Bất đẳng thức Hansen-Pedersen, cho thấy mối liên hệ chặt chẽ hàm đơn điệu toán tử hàm lồi tốn tử Trình bày ứng dụng lớp hàm Bất đẳng thức Power-St0mer, nhắc lại kiến thức Vết trình bày chứng minh cụ thể cho Bất đẳng thức Đồng thời trình bày ví dụ cụ thể nhằm minh họa cho ứng dụng lớp hàm Do khả thời gian hạn chế nên luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót Ngồi ra, số kết trích dẫn thừa nhận mà bỏ qua chứng minh Tơi mong nhận góp ý q báu từ q thầy để luận văn hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Lành Thị Thùy Chương Hàm đơn điệu ma trận Trong phần này, nghiên cứu kết hàm ma trận hàm đơn điệu ma trận 1.1 Một số kiến thức 1.1.1 Ma trận Trong phần này, ta trích lược số kiến thức ký hiệu ma trận (toán tử) liên quan đến nội dung luận văn • Ký hiệu M vành ma trận cấp m X n trường phức C Ta mn thường ký hiệu chữ in ma trận Ví dụ X ma trận phần tử hàng thứ i cột j X viết x j i Các ma trận sau ma trận vng cấp n • Ký hiệu X := Diag(xi;X2; ; x ) ma trận đường chéo (hay ma n trận chéo), tức phần tử x j i = j Xii = Xi với i i Ma trận chéo mà phần tử đường chéo gọi ma trận đơn vị Ký hiệu I • Ma trận X* := (X) = (Xji) ma trận liên hợp X X gọi T tự liên hợp (hay Hermite) X* = X Ký hiệu Mn tập tất a ma trận tự liên hợp cấp n • Một ma trận E gọi Unita E-1 = E* Trong trường hợp EE* = E*E = I cột E hệ trực chuẩn • Ma trận A gọi ma trận chuẩn tắc AA* = A*A Ma trận Hermite ma trận Unita hai trường hợp đặc biệt ma trận chuẩn tắc 1.1.2 Toán tử tuyến tính Trong luận văn H ký hiệu khơng gian Hilbert n chiều H với tích vô hướng (.,.), L(H) tập ánh xạ tuyến tính (hay tốn tử tuyến tính) từ H vào Ta biết, H khơng gian hữu hạn chiều nên ánh xạ tuyến tính liên tục Cố định sở chuẩn E := {e ; e ; ■ ■ ■ ; e g H n Khi đó, ta có tương ứng e : L(H) M X !(xj )n,=i, (xjj'yr j=i ma trận toán tử X sở E Tương ứng e đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn e(XY) = e(X )e(Y); e(X *) = (e(X ))*; VX;Y L(H); tốn tử X* toán tử liên hợp X xác định hx X , y) = X*x;y),Vx,y H Nhờ đẳng cấu này, ta đồng L(H) với M Thay n nghiên cứu L(H) ta nghiên cứu M Vì hàm tốn tử n ta gọi hàm ma trận suốt luận văn Như ánh xạ tuyến tính ta có số khái niệm kết sau: (iii) h(PXP) > Ph(X)P với X Mn có phổ nằm [0, a) a P M toán tứ chiếu n Chứng minh (i) ) (ii) Hiển nhiên theo Mệnh đề 2.1.3 (ii)) (iii) Từ (ii) áp dụng với X = P, ||XII = (vì X = P tốn tử chiếu) ta có điều phải chứng minh (iii) ) (i) Lấy X, Y ma trận nửa xác định dương, vng cấp n có giá trị riêng không vượt a Lất < l < Đặt Z := Diag(X,Y) P := Diag(1,0) VĨI -A/Ỡ=Õ pĩ^~) I I XX + (1 Pli- l)Y E := PE *ZEP = 00 Dễ dang kiểm tra trực tiếp Z* = Z có phổ nằm [0, a), E Unita P toán tử chiếu Vì nên Diag(h(lX + (1 - l)Y), 0) = h(PE*ZEP) > Ph(E*ZE)P = PE*h(Z )EP = Diag(lh(X) + (1 - l)h(Y), 0) Ta biết ma trận khối nửa xác định dương khối nửa xác định dương So sánh ma trận khối bất đẳng thức vừa thu theo định nghĩa hàm lõm ma trận, ta suy hàm h n- lõm với số tự nhiên n h(0) > Cho hàm h xác định [0, a) Nếu giới hạn bên phải lim h(t) t! + tồn ta ký hiệu h(0+) := lim h(t) t! + Định lý 2.1.5 Cho hàm số f : [0, a) ! R với < a < +1 Khi mệnh đề sau tương đương (i) f hàm n-lõm với số tự nhiên n f (0) > 0; (ii)f hàm n-lõm khoảng mở (0, a) với số tự nhiên n f (0+) > f (0) > 0; (iii) s~1f (s) hàm n-đơn điệu giảm (0,a) với số tự nhiên n f (0+) > f (0) > Chứng minh Ta tiến hành chứng minh theo quy trình sau: (i) , (ii) (i) ) (iii) (iii) ) (ii) (i) ) (ii) Từ giả thiết f n-lõm (0, a) nên nói riêng f hàm lõm (0,a) Do tồn f (0+) := lim f (t) f (0+) > f (0) t! (ii)) (i) Đặt Íf (0+) f (s) s = 0, s (0, a) Khi f liên tục [0, a) Lấy X, Y ma trận vuông cấp n cho ơ(X), ơ(Y) c [0, a) Lấy e > đủ nhỏ cho phổ X + "I Y + "I tập khoảng (0, a) Khi với < t < 1, ta có [ ( + eI + (1 ) f t X - t )(Y + eI)] > tf (X + eI + (1 ) - t)f (Y Khi cho e ! 0, ta thu fo(tX + (1 - t)Y) > tfo(X) + (1 - t)f0(Y) + eI ) Vậy f hàm n-lõm [0, a) với số tự nhiên n (i) ) (iii) Lấy X,Y M cho X > Y > Đặt A := X-1/2Y Khi AA* = X YX 1/2 -1/2 < I nên A có chuẩn khơng -1/2 vượt q Theo Mệnh đề 2.1.3), ta có f (Y) = f (A*XA) > A*f (X)A = Y X- f (X)X“ Y 1/2 1/2 1/2 1/2 Áp dụng Mệnh đề 1.1.2, ta có B-1 f (B)B- > A~ f (A)A~ /2 1/2 1/2 1/2 Do X-1f(X) < Y-1 f(Y) điều chứng tỏ hàm s- f (s) hàm n-đơn điệu giảm (0, a) với số tự nhiên n (iii) ) (ii) Trước tiên, ta chứng minh g hàm n-đơn điệu giảm liên tục [0, a) với số tự nhiên n, hàm l(t) := tg(t) hàm nlõm [0, a) với số tự nhiên n Giả sử X ma trận vuông xác định dương cấp n P M toán n tử chiếu Khi X PX > X Từ ta có g(X PX ) < g(X) 1/ 1/2 1/2 1/2 Tác động liên hợp vế bất đẳng thức với PX , ta thu 1/2 PX g(X PX )X P < PX g(X)X P 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 Bây áp dụng Bổ đề 2.1.2, ta g(X PX )X P = X Pg(PXP) 1/ 1/2 1/2 1/2 Do ta có PXPg(PXP) > PXg(X)P tức l(PXP) < Pl(X)P Theo Định lý 2.1.4, hàm l hàm n-lõm [0, a) với số tự nhiên n Bây giả sử hàm s f (s) hàm n-đơn điệu giảm (0, a) Theo Định lý 2.1.1, hàm s f (s) liên tục (0,a) Với số e dương, đủ , f (s + e) K v nhỏ, hàm —- liên tục n-đơn điệu giảm [0, a — e) Theo trên, s s ■ e + f (s + e) hàm n-lõm lồi [0, a — e) Cho e ! 0, ta thu f hàm n-lõm (0, a) Áp dụng trực tiếp định lý vừa chứng minh trên, ta thu được: Hệ 2.1.6 Cho hàm số h : (0,1) ! (0,1) Khi các mệnh đề sau tương đương (i) Hàm h hàm n-đơn điệu với số tự nhiên n; (ii)Hàm s~ h(s) hàm n-đơn điệu với số tự nhiên n; (iii) (iv) h hàm n-lõm với số tự nhiên n; hàm n-lồi với số tự nhiên n Ví dụ 2.1.7 Hàm h(s) = s hàm n-lồi (0,1) với số tự nhiên z n t thuộc [—1,0] u [1, 2] Chứng minh Áp dụng Hệ 2.1.6 cho hàm h(s) = st với —1 < t < 0, ta h hàm n-lồi khoảng mở J := (0,1) Do suy hàm s~t n-đơn điệu J với số tự nhiên n Con trường hợp < t < 2, hàm s n- đơn điệu J t-1 Theo Định lý 2.1.5, s hàm n- lồi J É Với s không rơi vào truognwf hợp , ta dùng Định lý 2.1.5 lập luận tương tự ta suy hàm h n-lồi với số tự nhiên n □ 2.2 Bất đẳng thức Power-St0rmer Trong mục ta chứng minh Bất đẳng thức Power-St0mer cách áp dụng tính chất hàm đơn điệu tốn tử Trước hết ta nhắc lại số kiến thức vết ma trận 2.2.1 Vết Định nghĩa 2.2.1 Vết ma trận vuông X cấp n tổng phần tử đường chéo nó, kí hiệu Tr(X) Tức Tr(X) = X11 + X22 + ::: + X nn = Xii i=1 Một số tính chất Mệnh đề 2.2.2 (Tính chất tuyến tính) Cho X; Y M c K, đó: n (i) Tr(X + Y) = Tr(X) + Tr(Y); (ii)Tr(cX) = cTr(X) Chứng minh Giả sử X = (x j) ;Y = (y j) c K i nxn i nxn (i) Ta đặt C = X + Y, C = (cjj) với c j = x j + y j Ta có nxn i i Tr(X+Y) = Tr(C) = X c.i = X Xii+y„ = i=1 X Xi.+ỵn y» = Tr(X)+Tr(Y) i=1 i=1 Tr(cX) = X cXii = c X Xii = cTr(X) (cx (ii) Ta có cX = c(Xij )nxn = ij ^nxn, i=1 Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.2.3 Cho X; Y M Khi n (i) Tr(XY) = Tr(YX) i i=1 i=1 (ii) Nếu X < Y Tr(X) < Tr(Y) Chứng minh (i) Giả sử X = (Xiju Y = (yij) Ta đặt C = XY, C = (cj)nxn nxn với Cj = P Xikykj Ta có k=1 Tr(XY) = Tr(C) = XX c» = X Ê Xikì)kii=1 Mặt (2.1) i=1 k=1 khác, ta lại có nn Tr(YX)= XX yjiXij j=1 l=1 nn = x jyji (vì trường có tính chất giao hốn) l (2.2) i=1 j=1 nn = Xikyki (thay số l = i j = k) i=1 k=1 Từ (2.1) (2.2) suy Tr(XY) = Tr(YX) (ii) Giả sử X < Y hay Y — X > Chọn u = [0 • • • • • • 0] với hệ số vị trí thứ i hệ số cịn lại Vì Y — X nửa xác định dương nên u*(Y — X)u > Ta có u^(Y - X)u y11 - X11 y12 - X12 y1n - X1n y21 - X21 y22 - X22 y2n - X2n yn2 — x2n y nn x nn 010 yii - xii y y ii ni x ii x • • • • • • = yii - Xii > ni Từ suy P (yii - Xii) > i=1 Do Tr(Y - X) > kéo theo Tr(Y) - Tr(X) > hay Tr(X) < Tr(Y) Mệnh đề hoàn toàn chứng minh □ 2.2.2 Bất đẳng thức Power-St0mer Bất đẳng thức Power-St0rmer ([11, Theorem 11.19]) khẳng định Tr(X + Y - |X - YI) < 2Tr(X Y ~ ), t t với ma trận xác định dương X, Y M Đây bất đẳng thức quan n trọng để chứng minh cận biên Chernoff, lý thuyết lượng tử Bất đẳng thức chứng minh lần [10], sử dụng biểu diễn tích phân hàm < Sau đó, Ozawa đưa chứng minh đơn giản hơn, sử dụng hàm h(s) = st(s [0, +1)) đơn điệu toán tử với t [0,1] [8, Proposition 1.1] Gần đây, Ogata [11] mở rộng bất đẳng thức với chuẩn đại số von Neumann Nếu hàm h(s) = T thay hàm đơn điệu toán tử khác (lớp nghiên cứu [6]), Tr(X + Y — |X — YI) có cận bé so với kiểm định giả thuyết lượng tử Trong mục này, ta trình bày lại số kết công bố đưa số ví dụ minh họa Bổ đề 2.2.4 [5, Theorem 2.4] Cho f hàm liên tục [0,1) Nếu f 2n-đơn điệu, với ma trận nứa xác định dương A phép co C M có n Cf (A)C < f (C*AC) t n-đơn điệu [0,1) 70) Nếu f 2n-đơn điệu, hàm g(t') = Mệnh đề 2.2.5 [9, Proposition 2.1] Cho f hàm liên tục [0, 1) Chứng minh Cho A, B ma trận nửa xác định dương M n cho < A < B Đặt C = B-2 A2, Ơ A ,—X ✓*—>/ / 1—X \ -A -Ị—X / 1—X Ã1\ *BC = (B 2A2)*B(B 2A2) 1111 =(A2 )*(B )*B(B A2) =A2 B _ BB _ A2 =A2A = A Suy ||CII < Từ f hàm 2n-đơn điệu, —f thoả mãn bất đẳng thức Jensen từ Bổ đề 2.2.4, ta có -f(A) = -f (C*BC) < -C*f(B)C -f(A) < -A2B-2f(B)B-2A2 111 —A f (A)A < —B f (B)B -Af(A) < -Bf(B) Mặt khác, đơn điệu tốn tử (theo Ví dụ 1.3.6), nên (—= —là n-đơn điệu Mệnh đề chứng minh □ f (t) Hệ 2.2.6 Điều kiện 2n-đơn điệu hàm f điều kiện cần đe bảo đảm n-đơn điệu hàm g Ví dụ 2.2.7 Chúng ta biết t3 hàm đơn điệu, không 2-đơn điệu Trong trường hợp hàm g(t) = /., = /2 không 1-đơn điệu Hệ 2.2.8 Cho f 2n-đơn điệu, liên tục [0,1) cho f ((0,1)) c ( (0, ( ) ft) t (0,1), g hàm Borel [0,1) xác định g(t) = < >0 (t = 0) Khi với cặp ma trận nửa xác định dương A, B M cho f t )) n A < B g(A) < g(B) Chứng minh Giả sử f 2n-đơn điệu, liên tục [0,1) cho f ((0,1)) c (0,1), từ Mệnh đề 2.2.5 suy g n-đơn điệu (0,1) Từ g(A+") < g(B+") với " > 0, mà g liên tục ta suy g(A) < g(B) Hệ chứng minh □ Định lý 2.2.9 (Bất đẳng thức Power-St0mer) Giả sử A > B > ma trận xác định dương C Khi n Tr(A) + Tr(B) - Tr(\A - BI) < 2Tr(A1~ B ), s (2.3) s với s [0,1] Chứng minh Cho A, B ma trận xác định dương C Với toán n tử A — B ta ký hiệu P = (A + B) , Q = (A + B)“ phần dương âm + tương ứng Ta có A - B = P - Q \A - BI = P + Q, A - P = B - Q B + P = A + Q Suy Tr(A) + Tr(B) - Tr(\A - BI) = 2Tr(A) + Tr(P) Để chứng minh 2.3 ta chứng minh Tr(A) - Tr(AsB1-s) < Tr(P) Ta lại có B + P > B B + P = A + Q > A Vì hàm f (t) = t s đơn điệu toán tử với s [0,1] nên ta có f(A) < f(B + P), hay A < (B + P) “ 1-s s Vì A < (B + P) nên theo Mệnh đề 1.1.2, ta có 1s 1s (A )*A “ (A ) < (A )*(B + P) “ (A ), s/2 s s/2 s/2 s s/2 đó, A A A < A (B + P) A s/2 1-s s/2 s/2 1-s s/2 Theo (ii) Mệnh đề 2.2.3 suy Tr(A A ~ A ) < Tr(A (B + P) “ A ) s/2 s/2 s s/2 s (2.4) s/2 Lập luận tương tự với A < (B + P) (vì hàm f (t) = t hàm đơn điệu s s s toán tử với s [0,1]) theo Mệnh đề 1.1.2 ta có [(B + P - B ] A [(B + P - B ' s/2 s < [(B + P) - - B - ] (B + P) [(B + P) - - B - ] s s s/2 s s s s/2 hay B -] A A [(B + P ) s/2 s s/2 s s/2 (B + P) [(B + P) - - B - ] (B + P) s/2 s s s/2 s/2 Theo (ii) Mệnh đề 2.2.3, ta lại có Tr(A [(B + P) - - B - ] A ) s/2 s s s/2 s/2 (2.5) < Tr((B + P) [(B + P) - - B ] (B + P) ) s/2 s 1-s s/2 s/2 Lập luận tương tự với B < (B + P) ta s s Tr((B + P) B “ (B + P) ) > Tr(B) s/2 (2.6) s/2 s Do đó, ta có Tr(A) - Tr(A B ~ ) =Tr(A A ~ A ) - Tr(A B ~ A ) s s s/2 s/2 s s/2 s s/2 ( theo (2.4)) Y < X Từ suy điều phải chứng minh 1 □ Chương Một số ứng dụng hàm đơn điệu ma trận... (i) Hàm h hàm n -đơn điệu với số tự nhiên n; (ii )Hàm s~ h(s) hàm n -đơn điệu với số tự nhiên n; (iii) (iv) h hàm n-lõm với số tự nhiên n; hàm n-lồi với số tự nhiên n Ví dụ 2.1.7 Hàm h(s) = s hàm