Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM NGẠC NGỌC KHÔI DƯỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HỒ DƯỚI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM NGẠC NGỌC KHÔI DƯỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HỒ DƯỚI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả Ngạc Ngọc Khơi LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hồn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Ban giám đốc TTGDTX Tỉnh Hà Giang đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2016 Tác giả MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọnđề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .2 Bố cục luận văn Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẢN BỊ 1.1 Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị 1.2 Hàm đa điều hoà .7 1.3 Hàm đa điều hoà cực đại 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 10 1.5 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 13 1.6 Các lớp lượng lớp lượng có trọng cn 17 Chương 2: DƯỚI THÁC TRIÊN CƯC ĐAI CUA HAM ĐA ĐIÊU HOA D.Ư.ÔĨ9 2.1 Độ đo Monge - Ampère thac triên cưc đai .19 2.2 Thế vị miền Kahler 21 2.3 Dưới thác triển hàm tựa đa điều hòa 30 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài “Dưới thác triển cực đại cua hàm đa điều hoà dưới” Đề tài có tính thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày kết gần U Cegrell, S Kolodziej A Zeriahi thác triển cực đại hàm đa điều hoà 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + trình bày tổng quan hệ thống kết lý thuyết đa vị + Nghiên cứu đô đo Monge - Ampère thac triền cưc dai, vị miền Kahler thác triển hàm tựa đa điều hòa Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 46 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị, tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh BedfordTaylor, lớp lượng lượng có trọng cn Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết gần U Cegrell, S Kolodziej A Zeriahi thác triển cực đại hàm đa điều hồ Trong đề cập đến toán thác triển địa phương toàn cục hàm (quasi-) đa điều hoà từ miền “chính qui” đa tạp Kahle compact Chưng minh cận khói lượng Monge - Ampère phức hàm cho trước keo theo sư tôn tai cua môt thac triên tới môt miên chinh quy lớn hớn hoăc tới toan bô đa Ịap compact Trong môt vài trướng hớp thác triên cưc đai co nụôt đô đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định thu đánh giá xác độ đo Ci cìmg môt vi du cua ham đa diêu hoa dươi vơi đo Monge - Ampère phức hồn tồn xác định cận phải khôi lượng Monge - Ampère hình câu đớn vị c" mà thac triên cưc đai tớới không gian xa anh phưc có độ đo Monge - Ampère phức hồn tồn xác định toàn cục Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt khơng Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẲN BỊ 1.1 Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị Giả sử R" không gian vectơ n chiều với sở tắc e = (0, ,0,1,0, ,0) , ở vị trí thứ j Giả sử với < j < n kí hiệu u hàm tọa độ thứ j: u (x) = X Một ánh xạ f : R” X X Rw —> c gọi p p — tuyến tính tuyến tính theo biến biến khác cố định Một ánh xạ p — tuyến tính cho f (v, , v) = v = í) ,1 < j c Nếu a dạng T)^n~p\rì), giá trị T a, kí hiệu T^ỵ) hay T, oộ Bây giả sử p,q — 0.1 ,n Ta kí hiệu C(p tập dạng phức song bậc (p, q) hệ số C" Khi w E tì w biểu diễn: w= II'I< 'w ,,-(ìz r A dzT JK J K IJI=P,IKI=Ợ wT„ eC, dzT = dz A /\dz, , đzT = đz, A A đz, tổng lấy theo JK k k ■/ 3p K l q đa số J = (jv ,jp),K = (kv ,kq) với < < < jp < n , < k, < < Â' < n —1 q— Dạng Kẵ hler tắc C" cho bởi: ẹ = -ddz‘ = l-ỳdz.hdĩ, Khi dạng thể tích C" = R2” cho bởi: „„ 1„ „i i i dV = — =—-/3/\ /\/3 = dz^ f\dz1 A f\ dz.1 f\dz 2A A -dz^ f\ dz^ n\ n\' ■ ' 2 2” n = (-7) dz^ /\đzA A A dz^ A dz^ x c\' 11 n Nếu w E c, (í’ ' biểu diễn w = — wq (P,P) 21 A wq 22 ” n A - ỉf, /\ ir, A A 2p với w^ G C(10) w gọi dạng dương sơ cấp Giả sử Q c C" tập mở Tập dạng vi phân song bậc (p, q) với hệ số thuộc C^ÍQC) (tương ứng C0(Q,C)) kí hiệu (tương ứng Ĩ>"(Q)) Định nghĩa 1.1.3 Mỗi phần tử T E(p(n p,n P \Q)Ỵ gọi dòng song bậc (p, q) hay (p, q) — dòng (tương ứng song chiều (n — p,n— q)) Những phần tử (T>^n~p,n~q\kì)y gọi dịng cấp 0, song bậc (p,q) (hay (p, q) — dòng cấp 0) Định nghĩa 1.1.4 Giả sử T (p, p)— dòng tập mở Q c C" T gọi dương với môi dạng sơ cấp a = -OL A ã, A -oe A ã A A -a Aã e 1 2 2 ~p n n ~p (n—p,n—p) ta có T /\a phân bố dương, nghĩa độ đo Borel Q 1.2 Hàm đa điều hồ Định nghĩa 1.2.1 Cho X khơng gian tôpô, hàm u : X —co, +oo gọi nửa liên tục trên X với d c H tập hợp X E X • u(x) < a mở X Định nghĩa 1.2.2 Cho Q tập mở C” u : Q —co, co hàm nửa liên tục không trùng với —oc thành phần liên thông Q Hàm u gọi đa điều hồ với mơi a E kl b E cn, hàm X I—> u(a + ) điều hồ trùng — oo môi thành phần tập hợp AGC:U + A&GQ Trong trường hợp này, ta viết u E PSH(Q) (ở kí hiệu PSH(£Ĩ) lớp hàm đa điều hồ Q) Sau vài tính chất hàm đa điều hoà dưới: Mệnh đề 1.2.3 Nếu u, v E PSH(Q) u = V hầu khắp nơi Q, u = V Mệnh đê 1.2.4 Hàm đa điêu hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miên bị chặn, tức Q tập mở liên thông bị chặn Q n u E PSH(Q), u với z G Q, u(z) < sup lim sup u(y) yeĩì Định nghĩa 1.2.5 Tập hợp E c cn gọi đa cực với điểm a E E đêu có lân cận V a hàm u E PSH(V) cho Ecv E z EV :u(z) = -oo Định lý 1.2.6 Cho Q tập mở tập compact Q, u E PSH(Q) Giả sử u E PSH(CÌ) cho bao u = swpu bị “ aeA aeA " chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u* đa điêu hoà Q Định lý 1.2.7 Cho Q tập mở C” 5(i) Cho u, v hàm đa điêu hoà Q v > Nếu ộ : R —> R lồi, vộ(u Ị ù) đa điêu hoà Q ’ (ii) Cho uEPSH(Q), v e PSH(Q), v> Q Nếu c>-."ứ-ư lồi tăng dần, vộ(u Ị v) đa điều hoà Q (iii) Cho u,—v G PSH(Q), u > Q, v > Q Nêu ộ : 0,00 —> 0,00 lồi ộ(0) = 0, vộ(u / v) E PSH(QỴ Định nghĩa 1.2.8 Một miền bị chặn fì c C“ gọi miền siêu lồi nêu tồn hàm đa điều hoà âm, liên tục p : Q —> (— oo,0) cho với c