Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM LÊ ĐÌNH QUỲNH ĐỊNH LÝ ĐIỂM HAT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2019 NỬA TựA CO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM LÊ ĐÌNH QUỲNH ĐỊNH LÝ ĐIỂM HAT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2019 NỬA TựA CO Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2019 Người viết luận văn Lê Đình Quỳnh Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu đế tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán tồn thầy giáo trường ĐHSP Thái Ngun truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên đế luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Lê Đình Quỳnh Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Định lý điểm bất động ánh xạ co Banach 1.1 Định nghĩa ví dụ 1.2 Sự hội tụ không gian metric 1.3 Không gian metric đầy đủ 1.4 Định lý điểm bất động ánh xạ co Banach Chương Định lý điểm bất động ánh xạ nửa tựa co suy rộng ứng dụng 15 2.1 Không gian metric đầy đủ theo quỹ đạo 15 2.2 Định lý điểm bất động củaánh xạ tựa co 16 2.3 Định lý điểm bất động củaánh xạ tựa co suy rộng 21 2.4 Định lý điểm bất động củaánh xạ nửa tựa cosuy rộng 25 2.5 ứng dụng 31 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Một số ký hiệu viết tắt N N* tập số tự nhiên tập số tự nhiên khác không R tập số thực R+ tập số thực không âm C tập số phức {xn} ; AuB AXB (X; d) dãy số tập rỗng hợp hai tập hợp A B tích Descartes hai tập hợp A B không gian metric O(x; 1) quỹ đạo ánh xạ T điểm x B(S) tập tất hàm thực bị chặn S với chuẩn supremum □ kết thúc chứng minh Mở đầu Lý thuyết điểm bất động ứng dụng lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn toán học đại Đây lĩnh vực thu hút quan tâm nhiều nhà toán học nước Lý thuyết điểm bất động công cụ quan trọng để nghiên cứu tượng phi tuyến tính Nó có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Toán học tồn nghiệm phương trình vi, tích phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng hệ động lực, Hơn nữa, cịn có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác khoa học máy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trị chơi, vật lý tốn, sinh học, kinh tế, Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết điểm bất động nói bắt nguồn từ ứng dụng rộng rãi Nguyên lý ánh xạ co Banach trung tâm lý thuyết điểm bất động không gian metric Sự đời nguyên lý ánh xạ co Banach với ứng dụng mở phát triển lý thuyết điểm bất động metric Lý thuyết điểm bất động metric phát triển chủ yếu theo ba vấn đề sau: Mở rộng điều kiện co cho ánh xạ; mở rộng định lý điểm bất động biết lên khơng gian có cấu trúc tương tự khơng gian metric; tìm ứng dụng chúng Đối với vấn đề mở rộng điều kiện co ánh xạ, biết lớp ánh xạ co tiêu biểu kể đến Pant- Singh-Mishra [3], Popescu [5], Mot- Perusel [6], Rhoades [7], Singh- Mishra [8], Suzuki [9], Năm 1974, Ciric [1] chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ tựa co không gian metric T- đầy đủ theo quỹ đạo Năm 2015, Kumam- DungSitthithakerngkiet [2] chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ tựa co suy rộng không gian metric T- đầy đủ theo quỹ đạo Kết mở rộng kết Ciric [1] Năm 2017, Pant [4] chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ nửa tựa co suy rộng không gian metric T- đầy đủ theo quỹ đạo Kết mở rộng kết Ciric [1] Kumam- Dung- Sitthithakerngkiet [2] Mục đích luận văn giới thiệu lại số kết nghiên cứu tác giả Ciric [1], Kumam- Dung- Sitthithakerngkiet [2] Pant [4] định lý điểm bất động cho ánh xạ tựa co, tựa co suy rộng nửa tựa co suy rộng không gian metric T- đầy đủ theo quỹ đạo Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian metric nguyên lý ánh xạ co Banach Ngoài chúng tơi cịn trình bày số mở rộng dạng đơn giản nguyên lý ánh xạ co Banach Chương dành cho việc trình bày khái niệm khơng gian metric đầy đủ theo quỹ đạo số định lý điểm bất động cho ánh xạ tựa co, tựa co suy rộng nửa tựa co suy rộng khơng gian metric đầy đủ theo quỹ đạo Ngồi ra, ứng dụng vào toán quy hoạch động trình bày chương Chương Định lý điểm bất động ánh xạ co Banach Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm không gian metric định lý điểm bất động ánh xạ co Banach không gian metric đầy đủ số biến thể 1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X tập hợp khác rỗng Hàm d : X X X ! R gọi metric X thỏa mãn (i) d(x, y) > với x, y X d(x, y) = , x = y (ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y X (iii) d(x, y) < d(x, z) + d(z, y) với x, y, z X Khi cặp (X, d) gọi khơng gian metric Ví dụ 1.1.2 Trên C[0,ip xét hàm số d : C[O,1] X C[O,1] ! R d(x,y) = \x(t) — y(t)\dt, với x,y C[0)1] Ta có d(x,y) = / \x(t) — y(t)\dt > 0, vớimọix,y C[0)1] Giả sử d(x,y) = / \x(t) — y(t)\dt = 0 Điều tương đương với x(t) = y(t), với t [0,1] Điều chứng tỏ x = y Mặt khác, ta lại có d(x, y) = Z \x(t) -y(t)\dt JO = / \x(t) — z(t) + z(t) — y(t)\dt JO < Ị \x(t) — z(t)\dt + Ị \z(t) — y(t)\dt = d(x, z) + d(z, y) với x,y,z C[O,1] Vậy (C[O,1], d) không gian metric 1.2 Sự hội tụ không gian metric Định nghĩa 1.2.1 Cho (X, d) không gian metric, {xn} dãy phần tử X, ta nói {xng hội tụ đến z X lim d(xn, z) = nu Ta kí hiệu lim nuxn = z xn ! z n ! Định lý 1.2.2 Giả sử (X, d) khơng gian metric Khi (i) Giới hạn dãy (nếu có) (ii) Nếu lim xn = a; lim yn = b thỉ lim d(xn,yn) = d(a,b) nu nu nu Chứng minh, (i) Trong X giả sử lim xn = a; lim yn = b Ta có nu nu d(a, b) < d(a, xn) + d(xn, b) với n Cho n ! ta thu d(a, b) = Điều kéo theo a = b (ii) Với n ta có d(a, b) < d(a, xn) + d(xn, yn) + d(yn, b) 2.3 Định lý điểm bất động ánh xạ tựa co suy rộng Các kết phần trích từ cơng trình [2] Định nghĩa 2.3.1 Ánh xạ T : X ! X gọi tựa co suy rộng không gian metric X tồn số r [0; 1) cho: d(TX; Ty') < rMG(x, y) với x,y X; MG(X; y) = max{d(X;y); d(X;Tx); d(y;Ty); d(X;Ty); d(y;Tx); d(T2X; x); d(T2X; Tx); d(T2X; y); d(T2X; Ty)} Số r > nhỏ thỏa mãn (2.6) gọi số tựa co suy rộng T Nhận xét Ví dụ sau ánh xạ tựa co suy rộng khơng tựa co Ví dụ 2.3.2 Xét tập X = {1, 2; 3; 4; 5} với metric d : X X X ! R+ xác định {0; X = y; 2; (X;y) {(1;4);(1;5);(4; 1);(5; 1)}; 1; trường hợp lại Xét ánh xạ T : X ! X xác định T1 = T2 = T3 = 1; T4 = 2; T5 = Khi d(TX; Ty) = d(1; 1) = (X; y) {1; 2; 3}; d(T 1;T4) = d(T2;T4) = d(T3;T4) = d(1; 2) = 1; d(T 1; 4) = d(T 2; 4) = d(T 3; 4) = d(1; 4) = 2; d(T 1;T5) = d(T2;T5) = d(T3;T5) = d(1; 3) = 1; d(T 1; 5) = d(T 2; 5) = d(T 3; 5) = d(1; 5) = 2; d(T 4;T 5) = d(2; 3) = 1; d(4; 5) = d(4; T4) = d(5; T5) = d(4; T5) = d(5;T4) = 1; (2.6) d(T22 4; 4) = d(T2, 4) = d(1; 4) = 2; d(T 5; 5) = d(T3; 5) = d(1; 5) = Bằng kiểm tra trực tiếp, với r [2; 1] ta có d(TX;Ty) < rMG(x,y) với X;y X Vậy T nửa tựa co suy rộng Bằng cách chọn x = 4; y = ta có d(T4; T5) > r.M(4; 5) với r [0; 1) Điều chứng tỏ T không ánh xạ tựa co Bổ đề 2.3.3 Giả sử T : X ! X tựa co suy rộng không gian metric (X; d) x X Khi ớ[ơ(x; n)] > với n V thỉ tồn kn(x) {1; 2, ,n} cho ỗ [O(x; n)] = d(x;Tkn(x)x) Chứng minh Với x X < i < n — 1; < j < n, tacó d(T XT x) = d(TTi-1x;TTj-1 x) pi,p2 B(S) Với x S tùy ý, ta chọn yi, y2 D cho Tpi < ^(x,yi) + K(x,yỉ,pỉ(xỉ)) + ", (2.14) xi = ((x,yi),i = 1, Bởi định nghĩa T, ta có Tpi(x) > ^(x,y2) + K(x,y2,pi(x2)), (2.15) Tp2(x) > ^(x,yi) + K(x,yi,p2(xi)) (2.16) Với pi,p2 B(S) x S, ta giả sử |pi(x) - Tpi(x)| < |pi(x) - p2(x)| MG(PI,P2) = r max{d(pi,p2); d(pi,Tpi); d(p2,Tp2); d(pi,Tp2); (2.17) d(p2,Tp1); d(pi, T2P1); d(Tp1, T2P1); d(p2, T2P1); d(p2, T2P1) g d metric sinh chuẩn B(S) Từ (2.14), (2.16) (2.17) ta có Tp1(x) - Tp2(x) < K(x,y1;P1(x1)) - K(x, y1,p2(x1)) + " < |K(x,y1;P1(x1)) - K(x,y1;P2(x1))| + " < MG(P1,P2) + " (2.18) Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có Tp2(x) - Tp1(x) < MG(p1 ,p2)+ " (2.19) |Tp1(x) - Tp2(x)| < MG(P1,P2) + " (2.20) |Tp1(x) - Tp2(x)| < MG(P1,P2) (2.21) Từ (2.18) (2.19), ta có: Vì " > tùy ý nên Từ bất đẳng thức (2.21) (2.17) ta 2d(p1 , Tp1) < d(p1,p1) keo theo d(Tp1,Tp1) < MG(P1,P1) Vậy T ánh xạ nửa tựa co suy rộng với số r = Áp dụng Định lý 2.4.5, tồn p* B(S) cho p* = Tp* Từ suy p* nghiệm bị chặn phương trình (2.13) Vậy định lý chứng minh □ Kết luận luận văn Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số nội dung sau đây: Trình bày số kiến thức không gian metric số định lý điểm bất động Banach số mở rộng khơng gian metric đầy đủ Trình bày định lý điểm bất động ánh xạ tựa co không gian metric T- đầy đủ theo quỹ đạo (Định lý 2.2.5) Trình bày định lý điểm bất động ánh xạ tựa co suy rộng không gian metric T- đầy đủ theo quỹ đạo (Định lý 2.3.4) Trình bày định lý điểm bất động ánh xạ nửa tựa co suy rộng không gian metric T- đầy đủ theo quỹ đạo (Định lý 2.4.5) Trình bày ứng dụng vào tốn quy hoạch động (Định lý 2.5.1) Tài liệu tham khảo [1] Ciric, Lj B (1974), “Ả generalization of Banch’s contraction principle”, Proc Amer Math Soc 45, 267-273 [2] Kumam, p, Van Dung, N., Sitthithakerngkiet, K (2015), "A generalization of ciric fixed point theorems” Filomat 29(7), 1549- 1556 [3] Pant, R., Singh, S.L., Mishra, S.N (2016), “A coincidence and fixed point theorems for semi-quasi contractions”, Fixed Point Theory, 17, No.2, 449-456 [4] Pant, R., (2017), “Fixed point theorems for generalization semi-quasi contractions”, J Fixed Point Theory Appl 19 1581- 1590 [5] Popescu, o (2009), “Two fixed point theorems for generalized contractions with constants in complete metric spaces” Cent Eur J Math.7(3), 529- 538 [6] Mot, G., Perusel, A (2009), “Fixed point theory for a new type of contrative multivalued operators”, Nonlinear Anal 70, 3371- 3377 [7] Rhoades, B.E (1977), “A comparison of various definitions of contractive mappings”, Trans Amer Math Soc 226, 257- 290 [8] Singh, S.L., Mishra, S.N (2001), “Coincidence and fixed points of nonself hybrid contractions, J Math AnaL Appl 256, 486- 497 [9] Suzuki, T (2007), “A generalized Banach contraction principle that characterizes metric completeness” JProc Amer Math Soc.136(3) , 1861- 1869 ... Định lý điểm bất động ánh xạ nửa tựa co suy rộng ứng dụng 15 2.1 Không gian metric đầy đủ theo quỹ đạo 15 2.2 Định lý điểm bất động của? ?nh xạ tựa co 16 2.3 Định lý điểm bất. .. 1J Q "1 Định lý điêm bât động ánh xạ nửa tựa co suy rộng ứng dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ tựa co, nửa tựa co nửa tựa co suy rộng không gian metric... kXoo □ 1.4 Định lý điểm bất động ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.4.1 Điểm x0 X gọi điểm bất động ánh xạ T : X ! X Tx0 = x0 Định lý nguyên lý điểm bất động ánh xạ co Banach (1922) Định lý 1.4.2 Giả