Đang tải... (xem toàn văn)
��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC L� V�N MINH KHÆNG GIAN M�TRIC NÂN V� MËT SÈ �ÀNH LÞ �I�M B�T �ËNG Chuy¶n ng nh To¡n ùng döng M¢ sè 60 46 01 12 LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC TH�I NGUY�N 2017 c[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC L VN MINH KHỈNG GIAN MTRIC NÂN V MËT SÈ ÀNH Lị IM BT ậNG Chuyản ngnh: ToĂn ựng dửng M sè: 60.46.01.12 LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2017 c I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC L VN MINH KHỈNG GIAN MTRIC NÂN V MậT Sẩ NH Lị IM BT ậNG Chuyản ngnh: ToĂn ùng dưng M¢ sè: 60.46.01.12 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS.TS H TRN PHìèNG THI NGUYN - 2017 c Möc löc MÐ U Khổng gian mảtric nõn 1.1 M Ưu và khổng gian m¶tric nân 1.1.1 Nân khæng gian Banach 1.1.2 Khỉng gian m¶tric nân 1.2 Mởt số tẵnh chĐt và khỉng m¶tric nân 1.2.1 Sü hëi tử khổng gian mảtric nõn 1.2.2 Nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach nh lỵ im bĐt ởng khỉng gian m¶tric nân 2.1 Mët sè mð rëng cõa nguyản lỵ Ănh xÔ co 2.1.1 Nguyản lỵ Ănh xÔ co cÊi tián 2.1.2 Mởt số dÔng mð rëng kh¡c 2.2 im bĐt ởng cp cừa Ănh xÔ 2.2.1 M Ưu và im bĐt ởng cp 2.2.2 Tr÷íng hđp khỉng gian mảtric nõn Ưy ừ Kát luên Ti liằu tham kh£o 3 9 14 19 19 19 22 31 31 32 40 41 c MÐ U C¡c ành lỵ im bĐt ởng l mởt vĐn à nghiản cựu khĂ cỡ bÊn chuyản ngnh toĂn giÊi tẵch v toĂn ựng dửng ữủc bưt Ưu vợi cĂc cổng trẳnh cừa Brower, Banach, nhỳng vĐn à nghiản cựu và im bĐt ởng cừa cĂc Ănh xÔ ỡn tr, a tr c¡c khỉng gian kh¡c ng y c ng thu hót ữủc nhiÃu nh toĂn hồc v ngoi nữợc quan tƠm nghiản cựu v cõ nhiÃu ựng dửng cĂc lắnh vỹc khĂc cừa toĂn hồc: toĂn tối ữu, cĂc bi toĂn kinh tá Ta nhưc lÔi rơng, vợi X l mởt khổng gian mảtric Ưy ừ, f l mởt Ănh xÔ co, Nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach cờ in  ch rơng f cõ nhĐt mët iºm b§t ëng V· sau câ r§t nhi·u nh toĂn hồc  quan tƠm nghiản cựu, xem xt lÔi nh lỵ ny cho cĂc lợp khổng gian khĂc Nôm 2007, Guang v Zhang ([3])  giợi thiằu mởt lỵp khỉng gian mỵi, c¡c t¡c gi£ gåi l khỉng gian mảtric nõn, õ cĂc tĂc giÊ Â thay têp số thỹc nh nghắa mảtric bi mởt khổng gian Banach m trản õ  nh nghắa mởt quan hằ thự tỹ bở phên dỹa trản mởt nõn nh hữợng Trong cổng trẳnh ny cĂc tĂc giÊ Â chựng minh ữủc mởt số tẵnh chĐt tữỡng tỹ và mảtric trản mảtric nõn, c biằt l chựng minh lÔi nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach lợp khổng gian mảtric nân ¦y õ V· sau, câ nhi·u t¡c gi£ kh¡c tiáp tửc phĂt trin cĂc tẵnh chĐt cừa khổng gian mảtric nõn v cĂc nh lỵ và im bĐt ởng giúa c¡c khỉng gian n y Mưc ½ch cõa · t i l giợi thiằu lÔi mởt số kát quÊ nghiản cựu cừa cĂc tĂc giÊ thới gian gƯn Ơy và khổng gian mảtric nõn v mởt số nh lỵ và im bĐt ởng, bĐt ởng cp cừa cĂc Ănh xÔ giúa c¡c khỉng gian n y C¡c kh¡i ni»m v k¸t quÊ trẳnh by luên vôn ữủc viát dỹa trản c¡c b i b¡o [3], [5], [1], [4], [2] v [6] Ngoi phƯn m Ưu, phƯn kát luên, luên vôn gỗm chữỡng Chữỡng M Ưu và khổng gian metric nõn chúng tổi trẳnh by mởt số vĐn à cỡ bÊn và nõn, khổng gian mảtric nõn v tẵnh chĐt cõa lỵp khỉng gian n y Ngo i chóng tỉi giỵi thiằu nguyản lỵ Ănh xÔ Banach cho Ănh xÔ giỳa c¡c khỉng gian metric nân ÷đc chùng minh bði Guang v Zhang nôm 2007 Trong chữỡng nh lỵ im b§t ëng khỉng gian metric c nân, chóng tổi giợi thiằu mởt số kát quÊ và nh lỵ iºm b§t ëng v iºm b§t ëng c°p giúa c¡c khổng gian mảtric nõn ữủc cĂc tĂc giÊ Guang, Zhang, Rezapour, Hamlbarani, F Sabetghadam, H P Masiha v A H Sanatpour chựng minh thới gian gƯn Ơy Luên vôn ny ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản Dữợi sỹ hữợng dăn, ch bÊo tên tẳnh cừa thƯy giĂo PGS TS H TrƯn Phữỡng TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi thƯy TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban giĂm hiằu, Khoa ToĂn-Tin Trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  quan tƠm v giúp ù tĂc giÊ suốt thới gian hồc têp tÔi Trữớng NhƠn dp ny em cụng xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi gia ẳnh, bÔn b  luổn b¶n em, cê vơ, ëng vi¶n, gióp ï em suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn khõa luên tốt nghiằp BÊn luên vôn khổng th trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt, tĂc giÊ rĐt mong nhên ữủc sỹ ch bÊo tên tẳnh cừa cĂc thƯy cổ v bÔn b ỗng nghiằp ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2017 TĂc giÊ luên vôn Lả Vôn Minh c Chữỡng Khổng gian mảtric nõn 1.1 M Ưu và khổng gian mảtric nõn 1.1.1 Nõn khổng gian Banach Trong luên vôn ny ta luổn giÊ thiát rơng E l khổng gian Banach thỹc nh nghắa 1.1 Mởt têp lỗi P E ữủc gồi l mởt nõn E náu nâ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: P âng, P 6= {∅}, P 6= {0} ; Vỵi måi a, b ∈ R, a, b > 0, x, y ∈ P th¼ ax + by ∈ P ; Náu x P v x P thẳ x = B¥y gií ta xem x²t kh¡i ni»m quan h» thù tü tr¶n khỉng gian Banach E li¶n quan ¸n nân Cho P ⊂ E l mët nân Ta nh nghắa quan hằ thự tỹ bở phên trản E nhữ sau: x y náu v ch n¸u y − x ∈ P ; x < y n¸u x y v x 6= y; x y n¸u y − x ∈ intP, õ intP l kẵ hiằu phƯn cừa nõn P Trong luên vôn ny ta luổn giÊ thiát nõn P câ ph¦n intP 6= ∅ c M»nh · 1.1 Tø kh¡i ni»m ta d¹ d ng suy ra: Náu x y thẳ x < y Náu x y , a > th¼ ax ay nh nghắa 1.2 Nõn P ữủc gồi l : Nõn chuân tưc náu tỗn tÔi mởt hơng số K > thäa m¢n: i·u ki»n x y k²o theo kxk K kyk, vỵi måi x, y ∈ E H¬ng sè K > nhä nhĐt thọa mÂn iÃu kiằn ny ữủc gồi l hơng số chuân tưc Nõn minihedral náu sup(x, y) tỗn tÔi vợi mồi x, y E Nõn minihedral mÔnh náu mồi têp b chn trản cừa E Ãu cõ cên trản úng Nõn c náu intP 6= ∅ Nân sinh n¸u E = P − P Nõn chẵnh quy náu mồi dÂy tông b chn trản Ãu hởi tử Nghắa l náu {xn, n > 1} l d¢y thäa m¢n x1 x2 à à à y vợi y E thẳ tỗn tÔi x E thọa mÂn lim kxn xk = n−→∞ M»nh · 1.2 Måi nân ch½nh quy ·u l nân chu©n tc Chùng minh Gi£ sû P l nõn chẵnh quy E khổng phÊi l nõn chuân tưc Vợi mội n > ta chån tn, sn ∈ P cho tn − sn ∈ P v n2ktnk < ksnk Khi â, vỵi méi n > 1, °t yn = kttnk v xn = ktsnk n n Khi â xn, yn v y∞n − xn ·u thuëc P , kynk = v n < kxnk vỵi måi P n > Do chuéi kyn k l hëi tö v P õng nản tỗn tÔi y P n2 cho n=1 ∞ P y= kyn k n=1 n BƠy giớ ỵ rơng x1 x1 + 1 x x + x + x3 · · · y, 2 22 22 32 c â chuéi ∞ P x n n=1 n hëi tư v¼ P l nân ch½nh quy Do â kxn k = 0, n n2 lim mƠu thuăn Vêy P l nõn chuân tưc Mằnh à 1.3 Khổng tỗn tÔi nõn chuân tưc vợi hơng số chuân tưc K < Chựng minh Gi£ sû (X, d) l khỉng gian m¶tric nân v P l nõn chuân tưc vợi hơng số chuân tc K < Chån mët ph¦n tû kh¡c khỉng x P tũy ỵ v < < cho K < − ε Khi â (1 − ε)x x nh÷ng (1 − ε)kxk > Kkxk Ơy chẵnh l mƠu thuăn Mằnh à 1.4 vợi mội M > luổn tỗn tÔi nõn chuân tưc vợi hơng số chuân tưc K > M Chựng minh Gi£ sû M > l mët sè thüc tòy þ, °t E = ax + b : a, b ∈ R, x ∈ [1 − 1/k, 1] , â E l mët khỉng gian Banach thüc vỵi chuân sup Kẵ hiằu P = {ax + b : a, b ∈ R, a 0, b > 0} Khi õ P l mởt nõn trản E Trữợc hát ta chựng minh P l nõn chẵnh quy Gồi {anx + bn, n > 1} l mởt dÂy tông, b chn trản, tực l tỗn tÔi mởt phƯn tỷ cx + d ∈ E cho a1 x + b1 a2 x + b2 · · · cx + d c vỵi måi x ∈ [1 − 1/k, 1] Khi â {an, n > 1}, {bn, n > 1} l hai d¢y sè thüc thäa m¢n b1 b2 · · · d v a1 > a2 > · · · > c, â c¡c d¢y {an, n > 1}, {bn, n > 1} hëi tö Gi£ sû n−→∞ lim an = a, lim bn = b, â lim an x + bn = ax + b Tø â suy P l nân n−→∞ n−→∞ ch½nh quy Theo M»nh · 1.2 ta suy P l nân chu©n tc Theo Mằnh à 1.3, tỗn tÔi K > cho i·u ki»n g f k²o theo kgk Kkf k vợi mồi g, f E BƠy gií ta chùng minh K > M Ta th§y f (x) = −M x + M ∈ P, g(x) = M ∈ P v f − g ∈ P Do â g f , k²o theo M = kgk Kkf k = K M°t kh¡c, ta x²t c¡c h m sè f (x) = −(M + 1/M )x + M, g(x) = M th¼ f ∈ P, g ∈ P v f − g ∈ P Do â g f , k²o theo M = kgk Kkf k Hìn núa kgk = M Nhữ vêy v kf k = 1/M + 1/M M = kgk > M kf k = M + 1/M Nhữ vêy M kf k < kgk Kkf k, k²o theo K > M M»nh · 1.5 Trong khæng gian Banach E ta ln câ i) Vỵi méi λ ∈ R, λ > 1, luổn tỗn tÔi nõn chuân tưc vợi hằ sè K > λ c ii) Nân P ch½nh quy v ch¿ måi d¢y gi£m bà ch°n dữợi hởi tử Vẵ dử 1.1 Cho E = Rn, ta °t P = {(x1 , , xn ) : xi > 0, ∀i = 1, , n} Khi â P l nân chu©n tưc, nõn sinh, minihedral, minihedral mÔnh v c Vẵ dử 1.2 Cho D ⊆ Rn l mët tªp compact E = C (D) l khæng gian c¡c h m sè x¡c nh v liản tửc trản D Kẵ hiằu P = {f ∈ E |f (t) > 0, ∀x ∈ D } Khi â P l nân chu©n tc, nân sinh, c v minihedral khổng l nõn minihedral mÔnh, P cơng khỉng l nân ch½nh quy V½ dư 1.3 K½ hi»u E = C[0;1] l khỉng gian c¡c hm số thỹc khÊ vi cĐp trản oÔn [0; 1] vợi chuân kf k = kf k + kf k∞ , f ∈ E, â k.k∞ l chuân max Kẵ hiằu P = {f E : f (t) > 0} Dạ dng chựng minh ữủc P l mët nân Vỵi méi k > °t f (x) = x, g(x) = x2k , â g(t) f (t) vỵi måi t ∈ [0; 1], k²o theo g f Ta th§y kf k = 2, kgk = 2k + Ko theo kf k < kgk Nhữ vêy k khổng phÊi l hơng số chuân tưc cừa P v P l nõn khổng chuân tưc 1.1.2 Khổng gian mảtric nõn nh nghắa 1.3 Cho X l têp khĂc rộng v E l mët khỉng gian Banach vỵi quan h» thự tỹ bở phên ối vợi nõn P Cho h m d : c ... 2017 c Mưc lưc MÐ U Khỉng gian m¶tric nõn 1.1 M Ưu và khổng gian mảtric nõn 1.1.1 Nân khæng gian Banach 1.1.2 Khæng gian m¶tric nân 1.2 Mởt số tẵnh chĐt và khổng mảtric... khổng gian khĂc Nôm 2007, Guang v Zhang ([3])  giợi thiằu mởt lợp khổng gian mợi, cĂc tĂc giÊ gồi l khổng gian mảtric nõn, õ cĂc tĂc giÊ Â thay têp số thỹc nh nghắa mảtric bi mởt khổng gian. .. cừa khổng gian mảtric nõn v cĂc nh lỵ và im bĐt ởng giỳa cĂc khổng gian ny Mửc ẵch cừa à ti l giợi thiằu lÔi mởt số kát quÊ nghiản cựu cừa cĂc tĂc giÊ thới gian gƯn Ơy và khổng gian mảtric