chuyen de phuong trinh vo ty

Tailieumontoan.com  Nguyễn Công Lợi PHƯƠNG PHÁP VÀ KỸ THUẬT XỬ LÝ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Nghệ An, tháng nm 2019 Website:tailieumontoan.com LờI NóI ĐầU Phng trỡnh l chủ đề quan trọng chương trình mơn tốn trường THCS THPT Trong năm gần đầy tốn phương trình thường xuất đề thi vào lớp 10 THPT, lớp 10 khiếu tốn kì thi học sinh giỏi cấp với độ khó ngày cao Với mong muốn tạo tài liệu thể phương pháp giải phương trình với hướng tiếp cận, đưa phương pháp tư phép suy luận để tìm lời giải cách tối ưu Cũng chia sẻ số kình nghiệm giải hệ phương trình Vì soạn tài liệu ”Một số chủ đề phương trình vơ tỷ tốn THCS” Nội dung tài liệu gơng chương + Chương I Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ + Chương II Một số toán phương trình vơ tỷ Trong chương I, chúng tơi trình bày theo chủ đề tương ứng dạng phương trình điển hình viết theo phần Nội dung phương pháp chung: Trình bày phương pháp chung để giải số dạng phương trình điển hình Một số tập mẫu: Trình bày số tốn từ mức dễ đến khó với bước phân tích tìm lời giải trình bày lời giải cách xác khoa học Các tập tự luyện: Trình bày hệ thống tập tự giải cho chủ đề với hy vong giúp bạn đọc củng cố lại vấn đề tiếp cận Với cách viết đặt bạn đọc vào vị trí người giải, lối suy nghĩ phân tích tốn cách tự nhiên đảm bảo tính khoa học, hy vọng tài liệu thức có ích cho bạn đọc chinh phục toán phương trình vơ tỷ Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Mặc dù chúng tơi thực cố gắng dành nhiều tâm huyết để hoàn thiện sách với hiệu cao nhất, song sai sót điều khó tránh khỏi Chúng tơi mong đóng góp ý kiến bạn đọc để chúng tơi hồn thiện sách tốt Chúng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới đồng nghiệp cung cấp số tài liệu lời giải hay để sách thêm phần phong phú Xin chân thành cảm ơn Nhóm tác giả Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Mục Lục Trang Lời nói đầu Phƣơng pháp Phƣơng pháp nâng lũy thừa Cơ sở phƣơng pháp Ví dụ minh họa Phƣơng pháp Phƣơng pháp phân tích thành phƣơng trình tích 26 Cơ sở phƣơng pháp 26 Một số kĩ phân tích thành phƣơng trình tích 26 Kĩ 1: Sử dụng đẳng thức 26 Kĩ 2: Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử 37 Kĩ 3: Sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai 53 Phƣơng pháp Phƣơng pháp sử dụng đại lƣợng liên hợp 63 Cơ sở phƣơng pháp 63 Một số kĩ sử dụng đại lƣợng liên hợp 64 Kĩ 1: Nhân thêm lượng liên hợp 64 Kĩ 2: Tách biểu thức thành tích biểu thức liên hợp 74 Kĩ 3: Một số kĩ thuật sử lý sau nhân liên hợp 80 Phƣơng pháp Phƣơng pháp đặt ẩn phụ giải phƣơng trình vơ tỷ 95 Cơ sở phƣơng pháp 95 Một số kĩ đặt ẩn phụ 95 Kĩ 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình ẩn 95 Kĩ 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình tích 109 Kĩ 3: Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 126 Kĩ 4: Đặt ẩn phụ đưa phương trình hệ phương trình 130 Kĩ 5: Đặt ẩn phụ đưa phương trình giải 161 Phƣơng pháp Phƣơng pháp đánh giá giải phƣơng trình vơ tỷ 167 Cơ sở phƣơng pháp 167 Một số kĩ đánh giá giải phƣơng trình vơ tỷ 167 Kĩ 1: Làm chặt miền nghiệm để giải phương trình vơ tỷ 167 Kĩ 2: Sử dụng đẳng thức đưa phương trình tổng lũy thừa bậc chẵn 175 Kĩ 3: Kĩ sử dụng bất đẳng thức cổ điển 179 Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com BÀI TẬP RÈN LUYỆN CÁC PHƢƠNG PHÁP Bài tập rèn luyện phƣơng pháp nâng lên lũy thừa 191 Hƣớng giải tập phƣơng pháp nâng lên lũy thừa 193 Bài tập rèn luyện phƣơng pháp phân tích thành phƣơng trình tích 207 Hƣớng dẫn giải tập phƣơng pháp phân tích thành phƣơng trình tích 210 Bài tập rèn luyện phƣơng pháp phân sử dụng đại lƣợng liên hợp 234 Hƣớng dẫn giải tập phƣơng pháp sử dụng đại lƣợng liên hợp 237 Bài tập rèn luyện phƣơng pháp đặt ẩn phụ giải phƣơng trình vơ tỷ 266 Hƣớng dẫn giải tập phƣơng pháp đặt ẩn phụ giải phƣơng trình vơ tỷ 271 Bài tập rèn luyện phƣơng pháp đánh giá giải phƣơng trình vơ tỷ 311 Hƣớng dẫn giải tập phƣơng pháp đánh giá giải phƣơng trình vơ tỷ 314 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Phƣơng pháp PHƢƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA Trong tốn phương trình vơ tỷ phép nâng lên lũy thừa biến đổi tự nhiên đẹp riêng Có lúc phương pháp sử dụng trực tiếp gián tiếp mục đích tìm nghiệm phương trình vơ tỷ Những tốn sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa phương trình thuộc dạng phương trình chứa đẳng thức Điều quan trọng phép nâng lên lũy thừa ta thu phương trình tương đương hay phương trình hệ Để biến đổi phương trình ta cần kiểm tra dấu hai vế phương trình xem có dấu hay khơng, ta định phương trình thu phương trình tương đương hay phương trình hệ I Một số dạng phƣơng trình  g  x     f  x   g  x    f  x    f  x   g  x   Dạng  Dạng g  x    f x  g x   f  x   g  x    Dạng  Dạng  Dạng f  x  g  x  f  x  g x f  x   g  x   f  x   g  x  f  x  g  x  h  x Phương pháp chung f  c    + Bước Tìm điều kiện xác định phương trình việc giải hệ g  x    h  x   + Bước Bình phương hai vế phương trình đưa phương trình dạng F  x  G x Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com + Bước Giải phương trình F  x   G  x  kiểm tra thỏa mãn nghiệm tìm với điều kiện xác định phương trình để kết luận  Dạng f  x  g  x  h  x Phương pháp chung + Bước Lũy thừa bậc ba hai vế phương trình f  x   g  x   3 f  x  g  x  + Bước Biến đổi phương trình ý đến   3 f  x   g  x   h  x  ta f x  g x  h x 3 f  x  g  x  h  x   h  x   f  x   g  x  + Bước Tiếp tục lũy thừa bậc ba hai phương trình 27.f  x  g  x  h  x   h  x   f  x   g  x   Dạng f  x   g  x   h  x   r  x  Trong xẩy trường hợp sau: + f  x  g  x   h  x  r  x  + f  x  u  x   g  x  r  x  + f  x  g  x  h  x  r  x Phương pháp chung + Nếu có f  x  g  x   h  x  r  x  sử dụng phép biến đổi tương đương  f  x  g  x    h  x  r  x      + Nếu có f  x  u  x   g  x  r  x  sử dụng phép biến đổi hệ  f  x  u x    g x  r x      + Nếu có f  x   g  x   h  x   r  x  sử dụng phép biến đổi tương đương  f  x  g  x    h  x  r  x      Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com II Một số ví dụ minh họa Ví dụ Giải phương trình 3x2  69x  27  x2  96x  Phân tích lời giải Điều kiện xác định phương trình 3x2  69x  27  0; x2  96x   Phương trình cho có dạng f  x   g  x  , ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa Chú ý với điều kiện xác định tìm ta biến đổi phương trình sau 3x  69x  27  x  96x   3x  69x  27  x  96x  x  x    2x  27x  25    x  1 2x  25       x  25 2x  25     25  Kết hợp với điều kiện xác định phương trình ta tập nghiệm S  1;   2 Nhận xét  Lời giải ta sử dụng phép biến đổi tương đương phương trình sau tìm điều kiện xác định cho phương trình  Có thể thực biến đổi tương đương phương trình mà không cần đặt điều kiện xác định cách 3x  69x  27  x   2 3x  69x  27  x  96x   x  96x     x  25 3x  69x  27  x  96x    + Thực tế ta không cần phải viết lúc hai điều kiện 3x2  69x  27  0; x2  96x   lúc phép biến đổi trên, mà cần viết hai điều kiện được, chẳng hạn x2  96x    3x2  69x  27  x  96x    2  3x  69x  27  x  96x  Chú ý việc chọn điều kiện phép biến đổi phụ thuộc vào thuận tiện cho qua trình kiểm tra lại lời giải cho tốn ngắn gọn Ví dụ Giải phương trình x3  x2   3x  Phân tích lời giải Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Phương trình dụ có dạng nên ta sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa Chú ý hai điều kiện x3  x2   0; 3x   điều kiện 3x   đơn giản Lại nhẩm số giá trị đặc biệt ta x  nghiệm Do đo ta trình bày lời giải cho phương trình sau 3x   3x   x  x   3x     2 x  x   3x  x  x  3x   3x   x   3x   x      x   x  2 x  x   1       x       Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  1;    Ví dụ Giải phương trình x  x  1  x2  7x Phân tích lời giải Phương trình có dạng nên ta hướng đến sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa Khi nâng lên lũy thừa ta phương trình có bậc 3, nhiên nhận thấy x  nghiệm phương trình nên ta dễ dàng phân tích phương trình bậc Ta trình bày lời giải sau x  7x  x  7x  x  x  1  x  7x    x x  2x   x  x   x  x  1  x  x    x  7x  x   x  7x  x       x   33 x x  3x    33      x       Nhận xét  Trong hai điều kiện x  x  1  0, x2  7x  việc chọn điều kiện x2  7x  phép nâng lên lũy thừa hồn tồn hợp lí  Một số sai lầm thường gặp biến đổi phương trình ví dụ + Vội vàng phát nhân tử biến đổi phương trình mà chưa đặt điều kiện Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  x  x  1  x2  7x  x   Để thực tách  x  1   x7   x2  7x  x x  cần có điều kiện x  Muốn ta ta tìm x  x  12   x  điều kiện xác định phương trình trước  x  7x  + Tìm điều kiện x  lại vội vàng khai x  x  1  x2  7x  x  x  1  x x  Ta biết với biểu thức dạng biểu thức đưa dấu A.B2 khai phải lấy dấu giá trị tuyệt đối cho A.B2  B A Với điều kiện x  ta chưa xác định  x  1 mang dấu nên khai ta cần lấy dấu giá trị tuyệt đối x  x  1  x x  Ví dụ Giải phương trình 2x   3x  Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ phương trình dạng f  x   g  x  nên ta sử dụng biến đổi nâng lên lũy thừa để giải Ta thấy vế trái ln khơng âm, vế phải phương trình âm phương trình vơ nghiệm Do ta ch biến đổi nâng lên lũy thừa phương trình có điều kiện 3x   Khi hai vế khơng âm bình phương ta thu phương trình tương đương  x  3x   x   2x   3x       2x   3x    9x  4x  x      Vậy tập nghiệm phương trình S   ;    Nhận xét  Trong qua trình nâng lên lũy thừa ta cần đặt điều kiện 3x   mà khơng cần phải có thêm điều kiện 2x   , nâng lên lũy thừa 2x    3x  1 đảm bảo cho điều kiện 2x   Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 177 Website:tailieumontoan.com Nhận xét Bản chất phương trình ab2  c2  a  x  4; b  x   2; c  2x   Ví dụ Giải phương trình 2x2  x   2x 2x   x  Lời giải Phương trình cho tương đương với Điều kiện xác định phương trình x  2x  x   2x 2x   x    2x  2x 2x   x   x        x 2x   2x     x3 2  0x    2x    x3 2  0   x 2x   0 2x       x1 x    x3 2 0    Thử lại x  thỏa mãn phương trình ban đầu Kết luận nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình  x  1 3x    2x  1  x  x2  9x  Lời giải Điều kiện xác định phương trình  x  Phương trình cho tương đương với  x  1 3x     x  1 3x   x    2x  1  x    2x  1  x  2x      x  1       x  1 3x   3x     2x  1  x  2  x    3x    2  x 1     x 1  x    Thử lại ta thấy x  nghiệm phương trình Kết luận S  1  3x     2x  1   Ví dụ Giải phương trình x2  11x  18   x    x  x  Lời giải Điều kiện xác định phương trình x  1 Phương trình cho tương đương với x   x    x2  10x  16   x   x        x    x  2 x   x       x   0    x   x        x    x  2  x4 2  0  x    x     x0 x   x     0 Thử lại thấy thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm x = Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 178 Website:tailieumontoan.com Ví dụ Giải phương trình 12x2  16x   24x3  12x2  6x  x2  x  8x4  9x2  x Lời giải Điều kiện xác định phương trình 24x3  12x2  6x  0; x2  x  0; 8x4  9x2  x  Phương trình cho tương đương với P  12x2  16x   24x3  12x2  6x  x2  x  8x4  9x2  x   Ta có 6x  24x3  12x2  6x  4x  2x     4x  4x  4x  4x   4x  4x 4x  4x   8x  9x  x  8x   Từ ta P      6x  4x  2x    2 4x  4x   8x  6x  4x2  2x    4x  4x     4x  4x   8x   0  6x  4x  2x    1  Suy 1  4x  4x   4x  4x    x    4x  4x   8x  Kết hợp với điều kiện xác định ta x  1 nghiệm Nhận xét Bản chất phương trình a  b2  c2  a  6x  4x2  2x  1; b   4x2  4x; c  4x  4x   8x  Ví dụ Giải phương trình 3x  x  4 x 1 x2  x  Lời giải Điều kiện xác định phương trình x  Phương trìnhđã cho tương đương với  x  4  3  x x2  x  x1  x 2 4  x  x    x  1  x 0   x  x2  x    2   x   x 1   2  0   x2  x    x  1   4 x   x  x2  x   x  2   4  x 0 0  x1 x x2  x  x    Vậy phương trình cho có nghiệm x  Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 179 Website:tailieumontoan.com Ví dụ Giải phương trình  x  4 x  1 4x x5    2x   x  x 1 Lời giải Điều kiện xác định phương trình  x  Phương trình cho tương đương với  x  4 x  1  x  x  1   x  2 x  x 2 1 Đặt a  x  2; b   x  a  0; b   Khi ta có a  b2  Phương trình cho trở thành  ab2  2a    ab2 a    2a  b  b 2 1 b  b a 1  a   a b  ab2  2b  2b   2a b  2a b  2a          a  a b  2a b  b  2b   b  ab  a  a     a  b  1   b     a  a  a  a  a     a   b  1   a    a    2 Do a  0; b  nên từ phương trình ta b   a      x  1   x2 1   x  Do ta   x    x      Vậy phương trình cho có nghiệm x   Nhận xét ua ví dụ ta thấy phần chất phương trình phân tích dạng tổng lũy thừa bậc chẵn Để phát đẳng thức ta cần có biến đổi tinh tế phương trình để làm xuất đại lượng dạng 2ab Từ có phương án nhóm hạng tử thích hợp để làm xuất đẳng thức đáng Kỹ sử dụng bất đẳng thức kinh điển a Bất đẳng thức Cauchy Dạng tổng quát Cho x1 ,x2 ,x3 , ,xn số thực khơng âm ta có: Dạng 1: x1  x2   xn n  x1 x2 xn n Dạng 2: x1  x2   xn  n n x1 x2 xn Dạng 3:  x1  x   x n     x1 x x n n   n Dấu đẳng thức xảy ch x1  x2   xn Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 180 Website:tailieumontoan.com Một số dạng đặc biệt n n2 n3 Điều kiện x, y  x, y, z  Dạng xy  xy xyz  xyz Dạng xy    xy   Dạng     xyz    xyz        x  y   x1  y1    x  y  z   x1  y1  z1    x, y    x, y, z   xy xyz Đẳng thức xẩy b Bất đẳng thức Bunhiacopxki Dạng tổng quát Cho hai dãy số tùy ý a1 ; a ; a ; ; a n b1 ; b2 ; b3 ; ; bn Khi ta có:  Dạng 1: a12  a 22   a 2n Dạng 2: a  b  a 22   a n2 2   b22   b2n  a1b1  a b2   a n bn   b   b22   b2n  a1b1  a b2   a n bn Dấu đẳng thức xảy dạng dạng là: Dạng 3: a  a 22   a n2  b Dấu đẳng thức xảy dạng là: a1 a a    n b1 b2 bn   b22   b2n  a1b1  a b2   a n bn a1 a a    n  b1 b2 bn Một số dạng đặc biệt n3 n2 a    b2 x2  y2   ax  by  Tác giả: Nguyễn Công Lợi a    b2  c2 x2  y2  z2   ay  by  cz  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 181 Website:tailieumontoan.com a   a   a  b2 x2  y2  ax  by a  b2 x2  y2  ax  by Đẳng thức xẩy 2 a b  x y      b2  c x2  y2  z2  ay  by  cz  b2  c x2  y2  z2  ay  by  cz Đẳng thức xẩy a b c   x y z c Một số bất đẳng thức khác   + x2  y2  2xy; x2  y2   x  y  ;  x  y   x  y 3x  y + x  y  xy  2 2 + x2  y2  z2  xy  yz  zx   + x2  y2  z2   x  y  z    xy  yz  zx  Thông thường phương trình vơ tỷ áp dụng bất đẳng thức kinh điển thương dành cho đối tượng học sinh giỏi, dựa kiến thức vốn có kinh nghiệm xử lý bất đẳng thức học sinh Trong nội dung chúng tơi trình bày ví dụ với mức đội từ dễ đến khó để em hiểu kỹ kỹ sử dụng bất đẳng thức giải phương trình vơ tỷ Ví dụ Giải phương trình x   10  x  x2  12x  40 Phân tích lời giải Để ý vế phải phương trình ta thấy đánh giá vế trái x2  12x  40   x     Như x   10  x  xem phương trình giải Thử vài giá tri đặc biệt ta thấy phương trình có nghiệm x  Khi ta thấy x   10  x  để ý đến chiều bất đẳng thức cần đánh giá ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki + Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  4x2 x2 x2   x       4  x   10  x    10  x   10  x    10  x  14  x   4 + Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 182 Website:tailieumontoan.com  x   10  x   1    x   10  x   16  2 x   10  x  Đến ta có lời giải cho phương trình sau Lời giải Điều kiện xác định phương trình  x  10 + Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có  x   x   10  x  10  x    x   10  x   4 4 x    x  Dấu xảy ch  10  x    Mà x2  12x  40  x2  12x  36    x     , dấu bàng xẩy x   x   10  x  Từ ta  x  12x  40  Như để phương trình xẩy ta bất đẳng thức đồng thời xẩy dấu Kết hợp với điều kiện xác định ta suy x  nghiệm phương trình + Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  x   10  x   1    x   10  x   16  2 x   10  x  x   10  x  x  Dấu xẩy ch   Mà x2  12x  40  x2  12x  36    x     , dấu bàng xẩy x   x   10  x  Từ ta  x  12x  40  Như để phương trình xẩy ta bất đẳng thức đồng thời xẩy dấu Kết hợp với điều kiện xác định ta suy x  nghiệm phương trình Nhận xét Ta sử dụng bổ đề sau để giải phương trình: Với a  0; b  , ta ln có ab a  b Áp dụng bổ đề ta  a  b   a  b  2   a  b  a  b2  x   10  x   x   10  x   Đến trình bày lời giải hồn tồn hai lời giải Ví dụ Giải phương trình Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi x2  x   x  x2   x2  x  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 183 Website:tailieumontoan.com Phân tích lời giải Nhận thấy phương trình có nghiệm x  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có      Như ta có x2  x   x2  x x  x  1   2 x  x   x  x2  2 x  x  1   2 2 x x xx 2 x2  x   x  x2     x 1 2     Như ta cần chứng minh x2  x   x  hay ta  x  1  , đánh giá nên ta có lời giải cho tốn Lời giải x  x   Điều kiện xác định phương trình  x  x   Vì x2  x   x  x2   nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai số không âm ta      Cộng theo vế ta   x2  x   x2  x  2 x  x   x  x2  2 x  x  1   2  x  x  1   x2  x   x  x2   x2  x x  x2    x 1 2 Mà ta lại có  x  1   x2  x   x  Do ta có x2  x   x  x2   x2  x  Kết hợp với phương trình ta suy dấu đẳng thức đánh giá xẩy hay x  Thử lại ta thấy x  nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình 2x    2x  3x2  12x  14 Lời giải 2x    x Điều kiện xác định phương trình  2 5  2x    + Lời giải Ta có 3x2  12x  14  x2  4x     x     Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 184 Website:tailieumontoan.com Đẳng thức xảy x  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số không âm ta 1 2x    2x    12  2x    2x    Đẳng thức xảy ch 2x    2x  x  Kết hợp với phương trình ta suy dấu bất đẳng thức xẩy Thử vào phương trình ta x  nghiệm phương trình + Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có 1 2  2x  3    2x   2x 23    2x 2x    x  Đẳng thức xảy ch   2x     Mà ta lại có 3x2  12x  14  x2  4x     x     Đẳng thức xảy x  Kết hợp với phương trình ta suy dấu bất đẳng thức xẩy Thử vào phương trình ta x  nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình x2  2x   2x2  x   3x  3x2 Lời giải  2x  x  Điều kiện xác định phương trình   3x  3x    Ta có x2  2x    x  1   , đẳng thức xảy x  Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2x2  x   3x  3x2  1    12 2x2  x   3x  3x   4x  2x Mà ta lại có  4x  2x2    x  1  Do ta 2x2  x   3x  3x2  Đẳng thức xảy 2x2  x   3x  3x2 Kết hợp với phương trình cho ta suy bất đẳng thức đồng xẩy ra, tức x  Thử vào phương trình ta x  nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình x   3x    x  12 Lời giải Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 185 Website:tailieumontoan.com Điều kiện xác định phương trình   x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  x7  x    x  3   3x    x   3x    x  12  3x    3x  1   4  x    x    x   x   3x    x  12 Như bất đẳng thức xẩy dấu Mà ta lại có hay ta x  Thử lại vào phương trình cho ta x  nghiệm Nhận xét Ta đánh giá phương trình bất đẳng thức Bunhiacopxki sau  Từ ta x   3x   20  4x    x   3x   20  4x   144 x   3x    x  12 Ví dụ Giải phương trình   3x2   x2  x  x x2   7x  x  Phân tích lời giải Nhận thấy x  1 nghiệm phương trình Vế trái phương trình có chứa nhiều phức tạp nên ta nghĩ đến sử dung bất đẳng thức để đánh giá phương trình Để ý x  1 ta có 3x2   x2  x  x2  nên ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá vế trái  Hay ta 3x2   x2  x  x x2    1   x 3x   x  x  x  1 2 3x2   x2  x  x x2      x 2 2  2   5x2  x  Lại thấy x  1 x2   5x2  x ta có đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy sau Để ý ta thấy    x  5x  x  Từ ta    x2   5x  x    7x x2  3x2   x2  x  x x2   7x  x  Đến ta giải phương trình cho Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 186 Website:tailieumontoan.com Lời giải 3x   Điều kiện xác định phương trình  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki x  x  ta có  3x2   x2  x  x x2    1   x 3x   x  x  x  1 2 x 3x2   x2  x  x x2   Hay ta 2 2  2   5x2  x Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có x2   5x  x 7x2  x  2 2 x  5x  x   2 2 2 x   5x  x 7x  x  Do ta x2  5x2  x                    3x2   x2  x  x x2   7x  x  Do suy  2  3x   x  x  x  1 Như kết hợp với phương trình cho ta có  2 5x  x  x      Thay x  1 vào phương trình ta thấy thỏa mãn.Vậy phương trình cho có nghiệm x  1 Ví dụ Giải phương trình 6x  x2   x   4  x  6x 3x  x3  30 Phân tích lời giải Nhận thấy x  nghiệm phương trình Để ý ta thấy   x  x   , điều làm ta nghĩ đến đánh giá theo bất đẳng thức 6x  x2   Cauchy ab  ab , ý x  ta có  x  x  , có nghĩa đánh giá xẩy dấu Để ý tiếp ta lại thấy  x  x   nên ta có đánh giá x2  4x    x    x  2  x    x   Như với bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki ta có đánh giá 4   x  x     x 2 x     6x  x     x   4  x  x    x  2  x    x      Tác giả: Nguyễn Công Lợi  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 187 Website:tailieumontoan.com Như kết hợp với phương trình cho ta cần đánh giá chiều 6x 3x  27  x3 Tuy nhiên ý đến dấu xẩy x  ta có 6x 3x  27.x3  27  x3 Đến ta có lời giải cho tốn Lời giải Điều kiện xác định phương trình  x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 4   x  x     x 2 x    6x  x     3 6x 3x  27.x  27  x 4  x    x  x    x  2  x    x       Khi cộng theo vế bất đẳng thức ta 6x  x2   x   4  x  6x 3x  x3  30 Kết hợp với phương trình cho suy dấu bất đăng thức đồng thời xẩy ra, hay ta x  Kết hợp với điều kiện xác định ta x  nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình  x2  x2   x2   x 2x2 Lời giải  2  x   Điều kiện xác định phương trình    x  2  12  x x2 2  x   x     4  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  2 x  x  x         2x 4 x 2x 2x  Từ ta  x2   x2  15 x    Như để phương trình có nghiệm ta x 2x2 cần có 2  x2 15 x x  1 1 x 1 5   2    1            x  x x x 2  x 2 Thay x  vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x  Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 188 Website:tailieumontoan.com x1  Ví dụ Giải phương trình  x1  x2  x 2 1    Lời giải x 1  x 2  Điều kiện xác định phương trình x  Khi ta có x1  Phương trình cho tương đương với   x1  x2 x 2 1 Đặt a  x  1; b  x   a  b   Khi phương trình trở thành a   3  a  b  b  1  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta a  a  b  b  1 ab b1 b 1   1 1  2  a  b  b  1 Kết hợp với phương ta a  b  b1  2  a  b  b  1 a   x     x  Từ suy   b   x   Thay vào phương trình cho ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm x  Ví dụ 10 Giải phương trình 3x   x   x   x2    1  x   x  33 x Lời giải Điều kiện xác định phương trình  x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  3x  3x    3x  1     3x   x   x    x    x  3  x    3x    x  Dấu bất đẳng thức xẩy ch  x     Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có x   x2   x   x    x   Dấu xẩy ch x  Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Suy Website:tailieumontoan.com   x 5 x 1  3x   x  1 Do   x  3  2  x  3 2  x  3 x 5 x 1  Để phương trình cho có nghiệm   x   x   33 x   x  2 1  x    1 x     x   x   x    Thay x  vào phương trình cho ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm 1  x  Hay ta   x  Ví dụ 11 Giải phương trình  x    3x  3x  10   x2  4x   10  6x   3x  Lời giải Điều kiện xác định phương trình   x  Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 3 có 10  6x   3x  10  6x   1  6x     18  2  10  6x   6x  x  1 1  Từ ta 10  6x   3x   10  10  6x   3x  10 x  4x  x  4x   Suy 2 10  6x   3x  Dấu xẩy ch   Ta cần chứng minh  x   x2  4x  1  3x  3x  10    x  Ta có 3 x  4x    x    3x  3x  10  x  2x  29   x    3x    x     x    3x  1  3x   x    3x Như ta  x    3x  3x  10   0 x2  4x  Kết hợp với phương trình suy dấu bất đẳng thức đồng thời xẩy Do ta có x  1 , thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm x  1 Ví dụ 12 Giải phương trình Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi   x2 4x  2  2x     x 16x 4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 190 Website:tailieumontoan.com Lời giải 0 x2  x    2y  x  4x  x  Đặt y  , ta có hệ phương trình  2x 2   2x    1 y  x2  2 Từ hệ phương trình ta  2x  2x       y  4y   x  x  1  2x   x    2x  2x    Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  2 2 1          x x x x   2 Như ta có  2x  2x        x  x  Điều kiện xác định phương trình  2x  0;           2 Mặt khác ta có y4  4y     y  1  y  1      Kết hợp với phương trình cho ta suy bất đẳng thức đồng thời xẩy dấu bằng, ta có   2x  x  x  4x   1 y   x        x  1  x x   2x  x ;     2  x  2x   x  2 x  Thay x  1 vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x  1 TỔNG KẾT  Qua ví dụ ta thấy phân tích cần có chủ đích tư thường gặp giải phương trình phương pháp đánh giá Mặt khác qua ví dụ ta thấy sức mạnh phương pháp đánh giá giải phương trình vơ tỷ  Tuy nhiên với phương trình vơ tỷ ta thường chọn phương pháp khác để xử lý thay phương pháp đánh giá Với phương trình có cấu trúc thực đặc biệt ta thường nghĩ đến đánh giá để xử lý tốn Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 191 Website:tailieumontoan.com BÀI TẬP TỰ LUYỆN: PHƢƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA Bài Giải phương trình sau: a) x 1  x 1 b) x2  2x   x2  4x   Bài Giải phương trình 3x   x   x Bài Giải phương trình x   3x   Bài Giải phương trình x 1  x   Bài Giải phương trình x   x  3x  Bài Giải phương trình x  10  x  Bài Giải phương trình 3x  15  3x  8x  Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC ... tốn sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa phương trình thu? ??c dạng phương trình chứa đẳng thức Điều quan trọng phép nâng lên lũy thừa ta thu phương trình tương đương hay phương trình hệ Để biến... trình hệ Để biến đổi phương trình ta cần kiểm tra dấu hai vế phương trình xem có dấu hay khơng, ta định phương trình thu phương trình tương đương hay phương trình hệ I Một số dạng phƣơng trình...  x  96x    2  3x  69x  27  x  96x  Chú ý việc chọn điều kiện phép biến đổi phụ thu? ??c vào thu? ??n tiện cho qua trình kiểm tra lại lời giải cho tốn ngắn gọn Ví dụ Giải phương trình x3