Chương 2 kéo (nén) đúng tâm

1 Ch-ơng 2 kéo (nén) đúng tâm 1 Khái niệm 1-Định nghĩa: Xét 1 thanh chịu tác dụng kéo bởi 2 lực cân bằng nh- hình vẽ. P 1 P N z P 1 Dùng mặt cắt 1-1 cắt thanh, ta thấy trên mặt cắt xuất hiện nội lực cân bằng, đó là lực dọc N z . Từ đó ta có định nghĩa sau: Một thanh chịu kéo nén đúng tâm , khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ xuất hiện 1 thành phần nội lực là lực dọc N z . Trong thực tế, có nhiều tr-ờng hợp chịu kéo nén đúng tâm nh-: ống khói lò cao, tay biên, dây cáp kéo . 2-Biểu đồ nội lực: Nh- ta đã biết, nội lực xuất hiện khi kéo nén đúng tâm là lực dọc N z . Lực dọc đ-ợc quy -ớc dấu nh- sau: + Mang dấu d-ơng (+) khi h-ớng ra ngoài mặt cắt (chịu kéo). + Mang dấu âm (-) khi h-ớng vào trong mặt cắt (chịu nén). Biểu đồ nội lực là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của nội lực dọc theo chiều trục thanh. Cách vẽ: dùng ph-ơng pháp mặt cắt: - Chia thanh làm nhiều đoạn tuỳ theo vị trí đặt các lực. - Xét từng đoạn thanh: . Dùng mặt cắt cắt chia làm 2 phần, giữ lại 1 phần để khảo sát. Tại mặt cắt, đặt lực dọc có chiều giả thiết. . Lập các ph-ơng trình cân bằng và giải ra ta đ-ợc giá trị nội lực - Vẽ đồ thị biểu diễn sự biến thiên theo các giá trị đã xác định - Đề dấu và gạch gạch các đ-ờng vuông góc với đ-ờng chuẩn. Ví dụ: Vẽ biểu đồ lực dọc cho thanh chịu lực sau: 3P *Dùng mặt cắt 1-1 cắt thanh, giữ phần bên trái 2 1 P N z P 1 2 P 2P _ Ta có ph-ơng trình cân bằng: N z -P=0 cho nên N z =P (mang dấu d-ơng) N z 3P P 2 *Dùng mặt cắt 2-2, giữ phần bên phải. Ta có ph-ơng trình cân bằng: N z +3P-P=0 N z =-2P Ta có biểu đồ nh- trên hình vẽ *Nhận xét: - Nội lực không phụ thuộc vào tiết diện của mặt cắt. - Tại điểm có lực tập trung, biểu đồ có b-ớc nhảy. Giá trị b-ớc nhảy chính bằng giá trị lực tập trung. 2 ứng suất trên mặt cắt ngang 1- Thí nghiệm và giả thuyết a)Thí nghiệm : Trên mẫu thí nghiệm, ta làm nh- sau: Vạch các đ-ờng song song với trục của thanh, đặc tr-ng cho thớ dọc Vạch các đ-ờng vuông góc với trục của thanh, đặc tr-ng cho mặt cắt ngang Các đ-ờng này tạo nên l-ới hình ô vuông. Lắp mẫu vào máy và tiến hành kéo, ta 1 2 thấy: Các đ-ờng song song với trục thanh vẫn song song. Các đ-ờng vuông góc với trục 1 2 thanh vẫn vuông góc. L-ới ô vuông trở 1 2 thành l-ới hình chữ nhật. Làm nhiều lần ta vẫn đ-ợc kết quả nh- trên. Từ đó ng-ời ta đ-a ra các giả thuyết sau: 1 2 b) Giả thuyết: * Giả thuyết 1: Mặt cắt ngang tr-ớc và sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục của thanh. * Giả thuyết 2: Các thớ dọc trong quá trình biến dạng không chèn ép hoặc đẩy xa nhau. Ngoài ra ng-ời ta còn giả thiết: vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, nghĩa là tuân theo định luật Húc: E và G . 2-Thành lập công thức ứng suất pháp trên mặt cắt ngang * Dựa vào giả thuyết ta thấy: Theo giả thuyết 1, ta thấy trên mặt cắt ngang không có ứng suất pháp là vì các góc vuông vẫn bảo toàn. x N z z z y 3 Theo giả thuyết 2 ta thấy trên mặt cắt song song với trục của thanh không có ứng suất vì các thớ dọc không tác dụng lẫn nhau. Sau nay ta sẽ biêt, phân tố ở trạng thái ứng suất đơn. *Thành lập ph-ơng trình: 1 2 2 Xét một mặt cắt ngang, trên mặt cắt có lực dọc N z . Tại 1 điểm K bất kỳ dz có ứng suất pháp là z . Lấy xung dz quanh K 1 phân tố diện tích dF. Hợp nội lực trên phân tố diện tích dF là z .dF. Tổng của chúng chính là tích phân trên toàn bộ diện tích F của mặt cắt ngang. Ta có: N z = F z .dF (2-1) Ta xét quy luật biến thiên của z . Ta cắt 1 đoạn thanh có chiều dài vô cùng bé dz. Sau khi biến dạng, chiều dài đoạn thanh thay đổi thêm 1 đoạn là dz (hình vẽ). Vì mặt cắt tr-ớc và sau biến dạng vẫn song song với nhau, cho nên dz=const. Vì vậy: z dz dz =const. Theo định luật Húc thì: z z E =const Nghĩa là: ứng suất pháp trên mặt cắt ngang phân bố đều. Từ (2-1), ta có: N z = z .F hay z z N F (2-2) Dấu của -s pháp khi kéo nén, phụ thuộc vào dấu của lực dọc. Theo (2-2) thì ứng suất pháp khi kéo nén không phụ thuộc vào hình dáng của mặt cắt ngang mà chỉ phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang, và đ-ợc phân bố đều trên mặt cắt ngang, nghĩa là: tại mọi điểm trên mặt cắt ngang, ứng suất đều có giá trị nh- nhau. 2 Biến dạng 1-Biến dạng dọc: Trong khi chứng minh công thức ứng suất trên mặt cắt ngang, ta đã biết: z z dz dz E z z N EF (3-2). (Vì theo 2-2 thì z z N F ) Kết hợp với 3-2 ta có: dz N EF dz z Tích phân 2 vế ta đ-ợc: l N EF dz z l 0 (4-2) 4 Nếu trong đoạn thanh có chiều dài l có N z , E, F là hằng số thì ta có: l N l EF z (5-2) Nếu có nhiều đoạn thanh có N zi , E i , F i là hằng số thì ta có: l N l E F zi i i i i n 1 (6-2) Trong đó EF gọi là độ cứng khi kéo nén. Theo biểu thức 5.2 ta thấy dấu của biến dạng phụ thuộc vào dấu của lực dọc. Nghĩa là: - Nếu N z d-ơng(kéo) thì l cũng d-ơng(dãn) - Néu N z âm (nén) thì l cũng âm(co). 2-Biến dạng ngang: y N z N z x z Nếu gọi z là biến dạng dọc tỉ đối theo ph-ơng dọc thanh. Gọi x y, là biến dạng tỉ đối theo ph-ơng ngang, khi đó ta có quan hệ: x y z (7-2) Trong đó là hằng số của vật liệu gọi là hệ số Poát sông. Hệ số Poát-sông của 1 số vật liệu th-ờng dùng nh- sau: Thép =0,25 33,0 Đồng đen 35,032,0 Gang 27,023,0 Đá hộc 34,016,0 Nhôm 36,032,0 Bê tông 18,008,0 Đồng 34,031,0 Cao su 47,0 3 ứng suất trên mặt cắt xiên Phần trên, ta đã tìm đ-ợc giá trị và quy luật phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang vuông góc với trục của thanh. Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị và quy luật phân bố ứng suất trên mặt cắt xiên bất kỳ nào đó có pháp tuyến làm với trục thanh 1 góc . T-ởng t-ợng qua điểm A, ta tách ra một phân tố vô cùng bé mà các mặt của nó là các mặt cắt ngang và mặt cắt song song với trục của thanh có chiều dài là dx, dy, dz. Trên mặt cắt vuông góc với trục của thanh chỉ có ứng suất pháp là z Dùng một mặt cắt xiên đi qua A tách phân tố chia làm 2 phần, trên mặt cắt xiên xuất hiện các thành phần ứng suất pháp là , (hình vẽ). P P 5 Gọi diện tích mặt cắt xiên là dF thì mặt cắt ngang của phân tố là dF.cos và mặt cắt còn lại của phân tố song song trục của thanh là dF.sin . Ta viết ph-ơng trình cân bằng: Chiếu theo ph-ơng của ta có: 2 cos.0cos.cos zz dFdF Chiếu lên ph-ơng của , ta có: 2sin 2 0sin.cos z z dFdF Nh- vậy,ta thấy ứng suất trên mặt cắt xiên phụ thuộc vào vị trí của mặt cắt xiên. Trên mặt cắt ngang, ứng với o 0 thì ứng suất pháp đạt cực trị: z max Trên mặt cắt nghiêng 45 o thì ứng suất tiếp đạt cực trị có: 2 max z 4 Đặc tr-ng cơ học của vật liệu Đặc tr-ng cơ học của vật liệu là các thông số cơ bản để xác định các tính chất cơ học của vật liêụ. Để xác đinh chúng, ng-ời ta phải làm các thí nghiệm kéo nén phá hỏng mẫu vật liệu dẻo và dòn. Vật liệu dẻo là vật liệu bị phá hỏng khi biến dạng đã khá lớn. Vật liệu dòn là vật liệu bị phá hỏng khi biến dạng còn rất bé. 1-Thí nghiệm kéo phá hỏng vật liệu dẻo Mẫu thí nghiệm là một thanh nh- hình vẽ d o l o Hai đầu để kẹp vào máy để kéo. Còn phần chịu lực có kích th-ớc tiêu chuẩn là: d o =10 mm; l o =100 mm. Kẹp mẫu vào máy và tiến hành tăng lực từ từ cho đến khi mẫu bị đứt, ta thu đ-ợc biểu đồ quan hệ giữa lực tác dụng và biến dạng tuyệt đối nh- sau: 6 P P b C D P ch B P tl A O l Ta thấy biểu đồ chủ yếu gồm 3 giai đoạn. * Đoạn OA: gọi là giai đoạn tỷ lệ hay còn gọi là giai đoạn đàn hồi. Đây là 1 đoạn đ-ờng thẳng chứng tỏ lực tỉ lệ bậc nhất với biến dạng. Kết thúc giai đoạn tại điểm A ứng với P tl (tl: tỉ lệ). * Đoạn AB: Gọi là giai đoạn chảy. Chủ yếu của giai đoạn này là đ-ờng nằm ngang, chứng tỏ: lực không tăng mà biến dạng vẫn tăng. Giai đoạn chảy là giai đoạn đặc tr-ng của vật liệu dẻo. Kết thúc giai đoạn tại điểm B ứng với P ch (ch:chảy). * Đoạn BC: gọi là giai đoạn củng cố. Đây là 1 đoạn đ-ờng cong, chứng tỏ lực tăng thì biến dạng mới tăng. Kết thúc giai đoạn tại C ứng với P b (b:bền). Tại C, trên mẫu xuất hiện vết thắt tăng lên rất nhanh làm cho lực không cần tăng mà biến dạng vẫn tăng và mẫu bị đứt. * Các đặc tr-ng cơ học của vật liệu: - Giới hạn tỉ lệ: Đ-ợc xác định bằng biểu thức tl tl o P F - Giới hạn chảy: ch ch o P F - Giới hạn bền: b b o P F Đây là 3 đặc tr-ng cơ học cho tính bền của vật liệu. - Độ dãn dài vĩnh cửu tỉ đối: l l l o o 1 100. o / o - Độ thắt vĩnh cửu tỉ đối: F F F o o 1 .100 o / o Đây là 2 đặc tr-ng cho tính dẻo của vật liệu.Vật liệu càng dẻo thì 2 chỉ số trên càng lớn. 7 b ch tl (kéo vật liệu dẻo) Trong các công thức trên, thì l o , F o là chiều dài và diện tích mặt cắt của mẫu tr-ớc khi bị biến dạng; l 1 , F 1 là chiều dài và diện tích mẫu sau khi bị phá hỏng. * Biểu đồ ứng suất quy -ớc: Để xây dựng biểu đồ ứng suất quy -ớc, ng-ời ta suy ra từ biểu đồ lực-biến dạng bằng cách: chia tung độ cho diện tích F o và chia hoàmh độ cho chiều dài l o , ta đ-ợc biểu đồ ứng suất-biến dạng tỉ đối( ) nh- trên hình vẽ: T-ơng tự nh- trên, biểu đồ ứng suất quy -ớc cũng có 3 giai đoạn là: tỉ lệ, chảy, bền. Nhận xét: Mỗi 1 loại vật liệu thì chỉ có 1 biểu đồ ứng suất quy -ớc. Bỉểu đồ đ-ợc gọi là quy -ớc là vì nó đ-ợc xây dựng bằng cách coi diện tích mặt cắt ngang và chiều dài là không đổi trong quá trình biến dạng. 2-Thí nghiệm nén vật liệu dẻo Mẫu thí nghiệm nén th-ờng là hình trụ hoặc hình hộp có chiều cao không quá lớn so với chiều rộng. Khi nén vật liệu dẻo, ta cũng thu đ-ợc biểu đồ ứng suất quy -ớc nh- trên hình vẽ. So sánh với khi kéo ta thấy, thí nghiêm nén vật liệu dẻo không xác định đ-ợc giới hạn bền là vì mẫu không bị phá hỏng. Ta có nhận xét quan trọng nh- sau: So sánh vơi khi kéo ta thấy giới hạn chảy và giới hạn tỉ lệ nh- nhau, nghĩa là: ch k ch n và tl k tl n ch tl ( nén vật liệu dẻo) 8 b (kéo vật liệu dòn) b (nén vật liệu dòn) 3-Thí nghiệm kéo, nén vật liệu dòn Khi kéo nén vật liệu dòn,ta cũng thu đ-ợc biểu đồ ứng suất quy -ớc nh- trên hình vẽ. Nhận xét ta thấy: biểu đồ thu đ-ợc chỉ là 1 đoạn đ-ờng cong mà kết thúc tại giới hạn bền. Để thuận tiện cho tính toán, ng-ời ta coi 1 đoạn đ-ờng cong là 1 đoạn đ-ờng thẳng. So sánh giữa 2 biểu đồ kéo nén, ta thấy giới hạn bền của kéo nhỏ hơn rất nhiều giới hạn bền của nén. 4-Nhận xét khả năng chịu lực khi kéo, nén Dựa vào các biểu đồ trên ta có các nhận xét sau: - Vật liệu dẻo chịu cắt kém, chịu kéo nén tốt nh- nhau. - Vật liệu dòn chịu cắt tốt, nh-ng chịu kéo,nén kém. Khả năng chịu kéo kém hơn khả năng chịu nén. Đó là những nhận định rất quan trọng liên quan đến điều kiện bền sau này mà ta sẽ nghiên cứu. 5 Thế năng biến dạng đàn hồi Khi chịu kéo nén đúng tâm, thanh bị biến dạng. Nếu lực tác dụng không quá lớn, vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, nếu ta thôi lực tác dụng thì vật thể lại trở về kích th-ớc ban đầu, chứng tỏ trong thanh có tồn tại năng l-ợng nào đó gọi là thế năng biến dạng đàn hồi. Trong phần này ta sẽ nghiên cứu cách xác định: Ta đã biết trong giai đoạn đàn hồi, quan hệ giữa lực kéo và biến dạng dài là quan hệ bậc nhất (hình vẽ) 9 P N z l l Khi lực tác dụng tăng đến giá trị N z t-ơng ứng với biến dạng l thì lực sinh công chính bằng diện tích tam giác gạch gạch là A = 2 . lN z . Bỏ qua mất mát năng l-ơng do sinh nhiệt hoặc các nguyên nhân vật lý khác, thì công do ngoại lực sinh ra bằng thế năng biến dạng đàn hồi U. Vậy: A =U = 2 . lN z mà l z dz EF N l 0 Cho nên: l z EF dzN U 0 2 2 Đây là công thức tính thế năng biến dạng đàn hồi khi kéo nén Với chú ý F N z z và EF N z z , thay vào và biến đổi, ta có: l zz dzFU 0 . 2 . Nếu gọi u là thế năng biến dạng đàn hồi riêng (là thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong một đơn vị thể tích. Ta có: u 2 . zz u V U 6 ứng suất nguy hiểm, ứng suất cho phép, hệ số an toàn 1-ứng suất nguy hiểm,ứng suất cho phép * ứng suất nguy hiểm: là giá trị ứng suất nhỏ nhất mà t-ơng ứng với nó, vật liệu đ-ợc xem nh- bị phá huỷ. Ký hiệu là o Đối với vật liệu dẻo thì ứng suất nguy hiểm đ-ợc chọn bằng ch . Nh- vậy thì o k o n ch Đối với vật liệu dòn thì o b . Nh- vậy o k o n . Nh- ta đã biết, khi vật thể chịu lực thì trong lòng nó phát sinh ứng suất. Để biết có bị phá hỏng hay không ta có thể so sánh với ứng suất nguy hiểm. Nh-ng nh- vậy thì không an toàn là vì: trong thực tế nhiều khi còn có các nhân tố ta không kể đến khi sơ đồ hoá nh- gia trọng . Do vậy , ta phải so sánh với giá trị nhỏ hơn ứng suất nguy hiểm. Đó là ứng suất cho phép. * ứng suất cho phép: ký hiệu là . Ta có: 10 o n Trong đó n gọi là hệ số an toàn. n 1 . 2 Các nhân tố ảnh h-ởng đến hệ số an toàn Việc chọn hệ số an toàn có ý nghĩa thực tế rất quan trọng. Vì nếu chọn n lớn quá thì tốn kém vật liệu, nh-ng nếu bé quá thì không an toàn. Nh- vậy, hệ số an toàn không chỉ có ý nghĩa về mặt kỹ thuật mà còn có ý nghĩa rất lớn về mặt kinh tế, vì nếu chọn hệ số an toàn gia giảm một chút cũng làm thay đổi giá thành sản phẩm khá nhiều. Do đó hệ số an toàn th-ờng do nhà n-ớc quy định hay do hội đồng nhà máy quyết định. Để chọn hệ số an toàn 1 cách chính xác, nhiều khi ng-ời ta chọn hệ số an toàn theo các nhân tố ảnh h-ởng riêng rẽ. Chẳng hạn: - Điều kiện làm việc: vị trí (trong nhà, ngoài trời), khí hậu (khô, nóng, ẩm ) . - Ph-ơng pháp tính toán: Độ chính xác, ph-ơng tiện tính toán . - Mức độ gia trọng - Thời gian làm việc: gián đoạn hay liên tục - Trình độ công nghệ - Mức độ quan trọng của chi tiết hay công trình - v.v.v Hệ số an toàn đ-ợc xác định theo các nhân tố ảnh h-ởng, rồi tuỳ theo từng quan điểm mà ng-ời ta xác định hệ số an toàn chung. 9 Điều kiện bền, điều kiện cứng 1- Điều kiện bền và các bài toán tính bền Nh- ta đã biết,khi thanh chịu kéo , nén thì trong thanh xuất hiện các giá trị ứng suất khác nhau trên các mặt cắt: z z N F bởi vì nội lực và diện tích mặt cắt ngang thay đổi. Trong đó xuất hiện giá trị ứng suất chịu kéo lớn nhất gọi là ma x và giá trị chịu nén lớn nhất gọi là min . Tuỳ theo vật liệu dẻo hay dòn, mà ta có điều kiện bền nh- sau: - Vật liệu dẻo: Vì k n ch n = cho nên giữa max và min ta chọn trị tuyệt đối lớn nhất để so sánh với ứng suất cho phép. Ta có điều kiện bền: max mac , min - Vật liệu dòn:Vì bk bn cho nên k n . Vì vậy ta có điều kiện bền nh- sau: mac k min n Từ điều kiện bền, ta có 3 bài toán tính bền nh- sau: [...]... dụ sau: A 1 B 30o P=10kN 2 C N1 N2 P Ví dụ: Cho hệ thanh chịu lực nh- hình vẽ, hãy xác định kích th-ớc cho phép Biết =16KN/cm2 Giải Dùng các mặt cắt ngang cắt các thanh và thay bằng lực dọc nh- trên hình vẽ Viết ph-ơng trình cân bằng theo ph-ơng thẳng đứng và ph-ơng ngang, ta đ-ợc: P P y = P- N2 sin30o =0 x P sin 30 0 N1-N2.cos300 =0 N2= N1=N2.cos300 Thay vào ta có: N2 =2P =20 kN 11 N1 =17,3 kN Theo... sin30o =0 x P sin 30 0 N1-N2.cos300 =0 N2= N1=N2.cos300 Thay vào ta có: N2 =2P =20 kN 11 N1 =17,3 kN Theo điều kiện bền ta có: N1 17,3 F1 1,08 cm2 16 20 T-ơng tự: F2 =1 ,25 cm2 16 F1 Bài toán siêu tĩnh 6 7 -2 Trong thực tế, ta gặp phải các bài toán kéo nén, mà nếu chỉ sử dụng các ph-ơng trình cân bằng tĩnh học thì không đủ số ph-ơng trình để giải Những bài toán nhvậy gọi là bài toán siêu tĩnh Khi... sau: Xét 1 thanh chịu ngàm 2 đầu, chịu tác dụng bởi lực P (hình vẽ) RA P-RB EF 2l P l RB RB Ta chỉ có 1 ph-ơng trình cân bằng tĩnh học Đó là: RA + RB -P =0 Ph-ơng trình biến dạng: giải phóng ngàm B và ph-ơng trình đ-ợc viết trên cơ sở là chuyển vị của điểm B bằng 0 fB = AB R B l P R B 2 l =0 EF EF 2 3 Suy ra RB = P Biết RB ta đ-ợc bài toán tĩnh định giải bình th-ờng 12 ... thì đảm bảo độ bền; nếu lớn hơn thì không đảm bảo độ bền * Bài toán xác định kích th-ớc cho phép: Từ điều kiện bền, ta có: F Nz * Bài toán xác định tải trọng cho phép: từ điều kiện bền ta có Nz F 2- Điều kiện cứng và 3 bài toán tính cứng Biến dạng của thanh phải đ-ợc hạn chế và nhỏ hơn 1 giá trị cho phép mà ng-ời ta xác định đ-ợc theo các bảng tra theo yêu cầu kỹ thuật Ta có điều kiện cứng nhsau: . ngang, ta đ-ợc: P y = P- N 2 sin30 o =0 N 2 = P sin 30 0 P x N 1 -N 2 .cos30 0 =0 N 1 =N 2 .cos30 0 Thay vào ta có: N 2 =2P =20 kN 12 N 1 =17,3 kN Theo điều. đều. Từ (2- 1), ta có: N z = z .F hay z z N F (2- 2) Dấu của -s pháp khi kéo nén, phụ thuộc vào dấu của lực dọc. Theo (2- 2) thì ứng suất pháp khi kéo nén