Tài liệu Chương 2. kéo (nén) đúng tâm pdf

10 Chơng 2. kéo (nén) đúng tâm I. Lực dọc v biểu đồ lực dọc Thanh bị kéo (nén) đúng tâm l thanh m trên mọi mặt cắt ngang chỉ có một thnh phần nội lực l lực dọc z N G nằm trên trục thanh. Để biết sự biến thiên của lực dọc z N G theo trục thanh, ngời ta lập một đồ thị biểu diễn, gọi l biểu đồ lực dọc . Ví dụ 2.1 : Vẽ biểu đồ lực dọc của một thanh chịu lực nh (hình 2.1a) Bi giải : 1. Xác định phản lực tại C: P 1 - P 2 - P c = 0 P c = P 1 - P 2 = 20 kN, có chiều nh hình vẽ. 2. Vẽ biểu đồ: + Xét đoạn AB: (hình 2.1b) (0 < z < 2a) Chiếu xuống trục z, ta có: 1 zZ1 FN P0== 1 z1 N P 40kN 0== > + Đoạn BC (hình 2.1c), ( aza 32 2 ) Xét cân bằng của phần phải, ta đợc: 2 zz21 FN PP0=+= Suy ra: 2 Z12 N P P 40 60 20kN 0== = < - lực nén. Tơng tự ta có thể xét các mặt cắt từ phần trái, chọn gốc toạ độ tại C (hình 2.1d). Kết quả thu đợc cũng giống nh trên. Biểu đồ nội lực nh trên hình 2.1e. Hình 2.1 11 II. ứng suất v biến dạng 1. Các giả thiết tính toán Mặt cắt ngang của thanh trớc v sau khi biến dạng vẫn luôn thẳng v vuông góc với trục thanh. Trong quá trình biến dạng các thớ dọc luôn thẳng, song song với trục của thanh v không tác dụng tơng hỗ lên nhau. 2. ứng suất Theo các giả thiết trên đợc rút ra từ thí nghiệm thì trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm có biến dạng di theo phơng trục z: = z du dz (2.1) Định luật Húc do nh khoa học Anh, Robert Hooke tìm ra năm 1660: z = E z (2.2) trong đó, hệ số tỉ lệ E đợc gọi l môđun đn hồi Young . Mặt khác, ta có: = = = zz z z FF NdFdFF = z z N F (2.3) Trong tính toán thờng viết: z z N F = (2.4) 2. Biến dạng dọc v biến dạng ngang Từ các công thức (2.2) v (2.3) suy ra: () () () z z Nz z EF z = (2.5) Biến dạng dọc tuyệt đối l: = l z 0 N ldz EF (2.6) z,n du z dz P O H ình 2.2 N z dz a) b) 12 Trờng hợp đặc biệt khi z N EF = const: z Nl l EF = ; mn zi i i i1 i1 ii Nl ll EF == = = (i = 1, 2, , n) (2.7) Biến dạng ngang (tơng đối) theo phơng ngang x hoặc y đợc kí hiệu l x hoặc y : x = y = z (2-8) trong đó l hằng số tỉ lệ, đợc gọi l hệ số Poatxông. Ví dụ 2.2. Một thanh thép di 4m (hình 2.3a) có tiết diện vuông mỗi cạnh a = 20mm chịu hai lực P 1 = 80kN ở mút A v P 2 = 20kN ở điểm giữa B. Cho biết E = 2.10 5 N/mm 2 , = 0,25. Hãy tính chuyển vị của mút thanh v biến dạng tuyệt đối của kích thớc ngang tại mặt cắt nguy hiểm. Giải: 1. Lập biểu đồ lực dọc 2. Biến dạng dọc (độ giãn) của thanh: () = + = + = + = 12 12 zz 12 z z Nl Nl 1 ll l NN 4,5mm EF EF EF Các mặt cắt nguy hiểm thuộc đoạn BC: ứng suất pháp bằng: 2 3 z 2 z N 100.10 250N / mm F400 = = = Biến dạng dọc (tơng đối) của đoạn ny bằng: z 5 250 0,00125 0,125% E 2.10 = = = = Biến dạng ngang: x = y = z = 0,25.0,00125 = 0,03125% Biến dạng tuyệt đối của mặt cắt ngang (lợng co): x a a 0,0003125.20 0,00625mm= = = Biến dạng ngang rất nhỏ so với biến dạng dọc. Hình 2. 3 13 III. Tính chất cơ học của vật liệu Tính chất cơ học của vật liệu l những tính chất vật lí thể hiện trong quá trình biến dạng dới tác dụng của ngoại lực. Thông thờng, ngời ta chia vật liệu lm hai loại: vật liệu dẻo v vật liệu giòn 1. Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo Mẫu thử hay mẫu thí nghiệm (hình 2.4). Quan hệ giữa lợng giãn l v lực kéo P đợc biểu diễn bằng biểu đồ kéo (hình 2.5). Quá trình biến dạng gồm 3 giai đoạn: Giai đoạn thứ nhất: giai đoạn tỉ lệ hay giai đoạn đn hồi OA. Giới hạn tỉ lệ hay giới hạn đn hồi tl : tl tl 0 P F = (2.9) Giai đoạn thứ hai : giai đoạn chảy dẻo . ứng suất: C C 0 P F = (2.10) đợc gọi l giới hạn chảy (dẻo) . Trên mặt mẫu sẽ thấy xuất hiện những đờng gợn nghiêng với trục thanh một góc khoảng 45 0 (hình 2.6). Giai đoạn thứ ba (giai đoạn củng cố): Hình 2.4 Hình 2.5 Đối với thép số 3: t1 = 200MN/m 2 C = 240MN/m 2 B = 420MN/m 2 14 ứng suất cực đại: B B 0 P F = đợc gọi l giới hạn bền . 2. Thí nghiệm nén vật liệu dẻo Mẫu thử thờng hình 2.8a. Biểu đồ nén (hình 2.8b) có giới hạn tỉ lệ, giới hạn chảy nhng không có giới hạn bền. 3. Thí nghiệm kéo v nén vật liệu giòn Vật liệu giòn chịu kéo rất kém, nên bị phá hỏng đột ngột ngay khi độ giãn còn rất nhỏ. Hình 2.9 - biểu đồ kéo (Pl). Khi bị nén cũng bị phá hỏng ngay khi biến dạng còn nhỏ. Vật liệu giòn chỉ có giới hạn bền: = B B 0 P F Hình 2.9 Hình 2.8 Hình 2. 7 Hình 2.6 Hiện tợng tái bền 15 IV. Thế năng biến dạng đn hồi Công của ngoại lực chuyển hoá thnh thế năng biến dạng đn hồi U: U = A U = 2 P. 2EF l = 2 z N. 2EF l (2-11) Nếu nội lực N z biến thiên từ 0 l thì có thể biểu diễn: U = 2 z 0 N dz 2EF l (2-12) Gọi u l thế năng riêng biến dạng đn hồi (thế năng tích luỹ trong một đơn vị thể tích) thì thế năng riêng đó có trị số: u=U/V Thay V = F.l v z = N z /F ta đợc u = 2 zzz 2E 2 = hoặc u = ll 2 zzz 00 dz dz 2E 2 = ll (2-13) V. Tính toán về kéo (nén) đúng tâm 1. ứng suất cho phép Hệ số an ton ứng suất cho phép []: [] 0 n 1 = (2.14) Nh vậy đối với vật liệu dẻo: [] [] n ch kn == (2-15) Đối với vật liệu giòn, vì khả năng chịu nén tốt hơn chịu kéo k B n B > , nên ta có hai ứng suất cho phép khác nhau: [] n n B n = ; [] n k B k = (2-16) Hệ số an ton n thờng lớn hơn 1 v phụ thuộc vo yêu cầu thiết kế cũng nh tầm quan trọng của công trình, chi tiết máy. 2. Ba loại bi toán cơ bản Để đảm bảo sự lm việc an ton khi thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ứng suất trong thanh phải thoả mãn điều kiện bền : [] z z N F = (2-17) Từ bất đẳng thức trên, ta có ba loại bi toán cơ bản sau đây: a. Kiểm tra bền (bi toán loại 1) Điều kiện bền của thanh: [] z max N F = (2-18) 16 Đối với các vật liệu giòn l: [] z max k N F = ; [] z min n N F = (2-19) b. Chọn kích thớc mặt cắt ngang hay thiết kế (bi toán loại 2) [] [] z min N FF= (2-20) Để đảm bảo an ton v tiết kiệm, chỉ nên chọn F xấp xỉ tỉ số N z /[] chừng 5% l đủ. c. Tải trọng cho phép (bi toán loại 3) [] [ ] zmax z NFN= (2.25) Từ điều kiện cứng của thanh, cũng dẫn đến ba loại bi toán tơng tự. VI. bi toán siêu tĩnh Trong các bi toán tĩnh định chỉ cần dựa đơn thuần vo các phơng trình cân bằng tĩnh học để xác định nội lực. Trong bi toán siêu tĩnh nếu chỉ dựa vo phơng trình cần bằng tĩnh học thì không đủ giải đợc nội lực m phải dựa thêm vo một số phơng trình bổ sung lập đợc nhờ việc xét điều kiện biến dạng của cơ hệ. Số phơng trình bổ sung gọi l bậc siêu tĩnh của cơ hệ. Ví dụ 2.3. Tìm ứng suất pháp trong các thanh EB v FC lm bằng cùng một loại vật liệu dùng để treo một thanh AD tuyệt đối cứng (hình 2.10). Các thanh treo có diện tích mặt cắt F = 12cm 2 . Giải Thay liên kết bằng các phản lực liên kết AA 1 2 Y ,Z ,N ,N GG GG ; Lập phơng trình cân bằng: A m(F) = 2aN 2 + aN 1 3aP = 0 ặ 3P = N 1 + 2N 2 (a) Hình 2. 1 0 17 Đây l bi tập toán siêu tĩnh bậc 1. Điều kiện tơng thích biến dạng (l 1 = BB, l 2 = CC, ABB ACC): l 2 = 2l 1 (b) Theo công thức (2-7) ta có: = = 12 12 NN l,l EF EF ll Thay vo biểu thức (b), dễ thấy: N 2 = 2N 1 == = = = 21 6P 6.160 192 N 192kN; N 96kN 55 2 ứng suất trong các thanh EB v FC l: 42 2 1 1 4 N 96 8.10 kN / m 80MN / m F 12.10 = = = = ; 2 = 2 1 = 160MN/m 2 Ví dụ 2.4 . Dầm tuyệt đối cứng AB đợc giữ bởi các thanh bằng thép có giới hạn chảy 2 ch 24kN / cm= . Xác định tải trọng cho phép [q]. Biết n = 1,6; E = 2.10 4 kN/cm 2 . Bi giải (hình 2.11). Lấy tổng mômen các lực đối với điểm A, ta có: 0) 2 3 2.(3.q5.N2.N)F(m 21)A( =++= (a) Phơng trình phụ tìm đợc từ điều kiện hai tam giác đồng dạng CAC~BAB , ta có: 11122 21122 lNN 2 52 l5 EF EF ll = = (b) trong đó: E 1 = E 2 = E ; F 1 = F 2 = F; l 1 = 1,8l ; l 2 = l Giải phơng trình (a) v (b) ta đợc: 12 21 84 Nq;Nq 44 44 == N 2 > N 1 . Vậy điều kiện bền phải xuất phát từ N 2 . Theo (2.25) ta có: [] = FN 2 . Tra bảng thép góc 56 ì 56 ì 5 có: F = 4,11cm 2 Do [] 2 ch 24 15kN /cm n1,6 = = = [] ì = = 4,11 15 q 44 32,3 kN / cm 84 Hình 2.11 . F.l v z = N z /F ta đợc u = 2 zzz 2E 2 = hoặc u = ll 2 zzz 00 dz dz 2E 2 = ll (2- 13) V. Tính toán về kéo (nén) đúng tâm 1. ứng suất cho phép Hệ. 0) 2 3 2. (3.q5.N2.N)F(m 21 )A( =++= (a) Phơng trình phụ tìm đợc từ điều kiện hai tam giác đồng dạng CAC~BAB , ta có: 11 122 21 122 lNN 2 52 l5 EF