Phân tích trội trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- LÊ ĐỨC NHIÊN PHÂN TÍCH TRỘI TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- LÊ ĐỨC NHIÊN PHÂN TÍCH TRỘI TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin cám ơn Viện nghiên cứu cao cấp toán tạo điều kiện cho em trình bày seminar xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thành viên nhóm seminar hệ động lực trường KHTN có góp ý quý báu để em hoàn luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2016 Học viên Lê Đức Nhiên Mục lục Lời mở đầu Chương Tích phân Lebesgue thang thời gian 1.1 Khái niệm thang thời gian 1.2 Độ đo thang thời gian 1.3 Hàm D đo 12 1.4 Tích phân Lebesgue thang thời gian 17 Chương Mặt phẳng phức Hilger hàm mũ thang thời gian 22 2.1 Mặt phẳng phức Hilger 22 2.1.1 Số phức Hilger 22 2.1.2 Phép toán với số phức Hilger 25 2.1.3 Phép biến đổi trụ 28 2.2 Hàm mũ thang thời gian 28 Chương Phân tích trội thang thời gian 34 3.1 Tính khả quy phân tích trội thang thời gian 36 3.2 Đặc trưng phân tích trội theo tính nhị phân mũ thang thời gian 41 Tài liệu tham khảo 50 LỜI MỞ ĐẦU Khái niệm phân tích trội hệ động lực đa tạp compact chủ đề thu hút nhiều nhà toán học quan tâm Cho đến nay, ta hiểu rõ tính phân tích trội trường hợp đa tạp compact hai chiều E R Pujals M Sambarino năm 2009 [8] Vào năm 1982, K J Palmer định nghĩa khái niệm phân tích trội hay tính tách mũ (là mở rộng tính nhị phân mũ) cho hệ phương trình tuyến tính không ô - tô - nôm không gian Banach hữu hạn chiều có số kết quan trọng tìm mối liên hệ tính phân tích trội tính nhị phân mũ Sau đó, vào năm 1984, Palmer chứng minh tương đương tính khả quy vững với tính phân tích trội G Papaschinopoulos đưa kết tương tự cho trường hợp sai phân tuyến tính Trong luận văn này, em trình bày lại số kết thang thời gian mở rộng kết Palmer đặc trưng phân tích trội thang thời gian, từ suy tính mở hệ có phân tích trội thang thời gian chứng minh tồn phân tích cực tiểu Nội dung luận văn gồm chương: Chương dành cho việc trình bày lại khái niệm độ đo tích phân Lebesgue thang thời gian với khái niệm định nghĩa G S Guiseinov Chương trình bày lại mặt phẳng phức Hilger hàm mũ thang thời gian Chương nêu đặc trưng tính phân tích trội cho hệ tuyến tính khơng ô - tô - nôm theo tính nhị phân mũ thang thời gian Nội dung luận văn thuyết trình seminar VIASM chi tiết hóa Preprint [17] Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2016 Học viên Lê Đức Nhiên Chương Tích phân Lebesgue thang thời gian 1.1 Khái niệm thang thời gian Trong phần này, lí thuyết thang thời gian trình bày với đa số kí hiệu dùng theo Bohner Peterson [19] Định nghĩa 1.1.1 Thang thời gian tập đóng khác rỗng đường thẳng thực Do đó, thân R, Z, N, hZ h số dương hay hợp khoảng đóng [0; 1] [ [2; 3] [ [8; 9] ví dụ thang thời gian Trong Q, C tập khơng đóng tập số thực, ví dụ n : n = 1; 2; : : : , không thang thời gian Trong suốt luận văn này, ta kí hiệu thang thời gian T Dưới ba toán tử thang thời gian T gồm toán tử tiến, toán tử lùi hàm graininess Định nghĩa 1.1.2 Cho T thang thời gian Lấy t T ta định nghĩa toán tử tiến s : T ! T s (t) := inf fs T : s > tg; toán tử lùi r : T ! T định nghĩa r (t) := sup fs T : s < tg: Trong định nghĩa này, ta đặt inf 0/ = sup T (có nghĩa s (t) = t T có maximum t) sup 0/ = inf T (có nghĩa r (t) = t T có minimum t), 0/ kí hiệu tập rỗng Nếu s (t) > t, ta nói t lập phải, r (t) < t ta nói t lập trái Điểm vừa cô lập phải, vừa cô lập trái gọi điểm cô lập Cũng vậy, t < sup T s (t) = t, t gọi trù mật phải, t > inf T r (t) = t t gọi trù mật trái Điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái gọi điểm trù mật Định nghĩa 1.1.3 Hàm m : T ! [0; ¥) xác định m(t) := s(t) t gọi hàm graininess Định nghĩa 1.1.4 Hàm f : T ! R gọi rd liên tục liên tục điểm trù mật phải tồn giới hạn trái điểm trù mật trái k k Định nghĩa 1.1.5 Cho hàm số f : T ! R lấy t T Ở đây, T hàm xác k k định T = T f mg T có điểm cực đại cô lập trái m T = T trường D hợp ngược lại Khi ta định nghĩa f (t) số (nếu tồn tại) thoả mãn với e > tồn lân cận U t (nghĩa U = (t d ;t + d ) \T với d > 0) cho D [ f (s (t)) f (s)] f (t) [s (t) D Ta gọi f (t) đạo hàm Delta c Nếu f có đạo hàm Delta vớ k hàm xác định T k Định lý 1.1.1 (xem [19]) Giả sử f ; g : T ! R hàm khả vi t T Khi đó: (i) Tổng hàm f g: f + g : T ! R hàm khả vi t với D ( f + g) = f (ii) D D (t) + g (t): Với số a bất kì, a f : T ! R hàm D khả vi t với (a f ) (t) = a f D (t): (iii) Tích hàm khả vi f g : T ! R hàm khả vi t với D ( f g) = f D D (t)g (t) + f (s (t))g (t) = f D D (t)g (s (t)) + f (t)g (t): (iv) Nếu f (t) f (s (t)) 6= 0, hàm khả vi với f (v) Nếu g (t)g (s (t)) 6= 0, 1.2 Độ đo thang thời gian Mục tiêu mục trình bày lại độ đo delta (D) thang thời gian, suy rộng độ đo Lebesgue đường thẳng thực Về bản, cách xây dựng lí thuyết độ đo T giống với cách xây dựng độ đo Lebesgue R Với cách xây dựng này, độ đo delta điểm cô lập phải T bước nhảy tiến điểm Cho T thang thời gian bất kì, ta kí hiệu L tập nửa khoảng T có dạng [a; b) = ft T : a t < b; a; b Tg: Khi a = b, nửa khoảng tập rỗng Trên tập L, ta định nghĩa hàm tập m : L ! [0; +¥] biến nửa khoảng [a; b) thành độ dài chúng, nghĩa m ([a; b)) = b a: Hàm tập m độ đo L Thật vậy, m ([a; b)) = b a b a, 43 Cố định H thỏa mãn H > + x p (t) m(t) H; i =H H 1 < a (3.2.16) Mặt khác, jX(t)PiX (t)j jX(t)PiX (s)jjX(s)PiX (t)j cho B(t) hàm ma trận liên tục thỏa mãn sup jB(t)j < d hệ D x = [A(t) + B(t)]x (n1; : : : ; nk)- phân tích trội thang thời gian Chứng minh Theo định lí 3.2.1, tồn hàm tách tích phân p1(t); D x = [A(t) pi(t) + B(t)]x nhị phân mũ Cho nên, D x = [A(t) + B(t)]x (n1; : : : ; nk)- phân tích trội (t (t; s) K K 2e Lặp lại chứng minh ta thu K e : : : ; pk(t) cho với i = 1; : : : ; k hệ (3.2.15) nhị phân mũ Do tính mở hệ nhị phân mũ thang thời gian nên hệ + pH ;i i i pH 45 Hệ 3.2.2 Cho a1(t); : : : ; an(t) hàm vô hướng thực, bị chặn K liên tục T Khi đó, hệ đường chéo D x = ai(t)xi (i = 1; : : : ; n); (n1; : : : ; nk)- phân tích trội thang thời gian ai(t) xếp lại cho a j1 ; : : : ; a jk tách tích phân thang thời gian, j1; : : : ; jk thỏa mãn n1 + + ni < n0 = 0) Chứng minh Trước hết, ta chứng minh điều kiện đủ Cho Vi Ta xét nghiệm xi(t) = (xi1(t); : : : ; xin(t)) (3.2.19) với xi(t0) Vi, x với i = 1; : : : ; k Bằng tính tốn trực tiếp, ta thu Điều nghĩa phương trình (3.2.19) có phân tích trội Tiếp theo, ta chứng minh điều kiện cần phương pháp quy nạp theo n Trường hợp n = hiển nhiên Giả sử điều kiện cần với số nguyên nhỏ n, ta cần chứng minh điều kiện cần với n Thật vây, hệ (3.2.19) phân tích trội, theo Định lí 3:2:1, tồn hàm tách tích phân p1(t); : : : ; pk(t) cho với i = 1; : : : ; k hệ D xi = (ai(t) p j(t))xi i = 1; : : : ; n có nhị phân mũ với số chiều không gian ổn định n + + nk n tương ứng với phép chiều Pj Ta đánh số lạifai(t)g = cho i ImPj = (x1; : : : ; xn) : xi = if n j < i n j Do đó, jX(t)PJ X (s)j Me a (t; s) 46 X(t) ma trận nghiệm hệ (3.2.20) Chọn j = 1, từ (3.2.21) m(t) a , ta có t xm(t)(a Z s Tương tự cho không gian không ổn định, ta có t xm(t)(p Z s Do đó, < i n1 n1 < j n s t ta có t Z s Với < i n1, j = 2; : : : ; k từ đẳng thức cuối ta có t Z xm(t)(ai(t)) xm(t)(p j(t))Dt d + ( j 1)b s Do ImP1 không gian ổn định hệ (3.2.20) nên với j = 2; : : : ; k hệ D xi = (ai(t) p j(t))xi i = n1 + 1; : : : ; n: có nhị phân mũ với chiều không gian ổn định n + + n j Theo định lí (3.2.1), hệ (3.2.22) (n2; : : : ; nk)- phân tích trội Theo giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh Hệ 3.2.3 Cho A(t) hàm ma trận tam giác trên, regressive, bị chặn liên tục nửa trục thực Khi (3.0.1) (n1; : : : ; nk)- phân tích trội hệ đường chéo tương ứng phân tích trội Chứng minh Theo Bylov [1, p 605], hệ tam giác (3.0.1) đồng dạng động lực với nhiễu hệ chéo đủ nhỏ Sử dụng tính roughness phân tích trội thang thời gian (Hệ 3.2.1) dẫn đến điều phải chứng minh Hệ 3.2.4 Xét nửa trục hệ tam giác khối ( D y = A(t)y +C(t)z : D z = B(t)z x 47 Khi (3.2.23) (n1; : : : ; nk)- phân tích trội hệ ( zD = B(t)z D y = A(t)y (n1; : : : ; nk)- phân tích trội Chứng minh Chứng minh tương tự Nhận xét [15, p 339] sử dụng Hệ 3.2.3, ta suy điều phải chứng minh Sử dụng định lí 3.2.1, hệ trên, ta thu hệ phân tích cực tiểu thang thời gian Hệ 3.2.5 Ta xét hệ (3.0.1), A(t) xác định nửa trục, (n1; : : : ; nk)-phân tích trội thang thời gian với phân tích V1 Vk Khi với phân tích khác W1 Wk phân tích trội phương trình (3.0.1) i = 1; : : : ; k; ta có (i) Khi J = [0; +¥)T;W1Wi = V1Vi, (ii) Khi J = ( ¥; 0]T;WiWk = ViVk n Hệ 3.2.6 Giả sử V1 Vk phân tích cực tiểu E tương ứng với hệ (3.0.1) thang thời gian Khi W1 Wl phân tích cực tiểu k = l với i = 1; : : : ; k; (i) Khi J = [0; +¥)T;W1Wi = V1Vi, (ii) Khi J = ( ¥; 0]T;WiWk = ViVk, (iii) Khi J = ( ¥; +¥)T;Vi = Wi 48 KẾT LUẬN Đóng góp khóa luận bao gồm: 1.Trình bày lại tích phân Lebesgue thang thời gian 2.Trình bày lại mặt phẳng phức Hilger, phép biến đổi trụ hàm mũ thang thời gian 3.Định nghĩa phân tích trội thang thời gian số tính chất mối quan hệ với nhị phân mũ, tính mở hệ phân tích trội tồn phân tích cực tiểu Đây kết viết Preprint [17] suy rộng kết trước cho trường hợp vi phân lên thang thời gian 49 Tài liệu tham khảo [1] B F Bylov (1966), "Almost reducible systems", Siberian Math J., 7, 600-625 [2] C Potzscheă (2004), "Exponential dichotomies of linear dynamic equations on measure chains under slowly varying coefficients", J Anal Math Appl., 289, 317-335 [3] C D Aliprantis and O Burkinshaw (1998), "Principles of Real Analysis", Academic Press, San Diego [4] Cabada and Vivero (2004), "Expression of the Lebesgue D Integral on Time Scales as a Usual Lebesgue Integral", Elsevier, 4, pp.291-310 [5] Cohn (1997), "Measure Theory", Birkhuse, Boston [6] Craven (1982), "Lebesgue Measure and Integral", Pitmann Publishing, Edin-burgh [7] E Akin-Bohner, M Bohner and F Akin (2005), "Pachpatte inequalities on time scales", J Inequal Pure Appl Math., no 1, pp 23 [8] Enrique R Pujals and Martín Sambarino (2009), "On the dynamics of domi-nated splitting", Annals of Mathematics, 169 , 675– 740 [9] G Papaschinopoulos (1986), "Exponential separation, exponential di-chotomy, and almost periodicity of linear difference equations", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 120 , 276–287 [10] G S Guiseinov and B Kaymakcalan (2002), "Basics on Riemann Delta and Nabla Integration on Time Scales", J Difference Equations Appl., No 8, pp 1001-1017 50 [11] G S Guiseinov (2003), "Integral on Time Scales", Elsevier Academic Press, No 285, pp 107-127 [12] G S Guiseinov and Bohner (2003), "Riemann and Lebesgue Integration", Advances in Dynamic Equations on Time Scales, pp 117-163 [13] H L Royden (2010), "Real analysis", China Machine Press [14] K J Palmer (1982), "Exponential dichotomy, integral separation and diago-nalizability of linear systems of ordinary differential equations", Journal of Differential Equations, 43 , 184– 203 [15] K J Palmer (1982), "Exponential separation, exponential dichotomy and spectral theory for linear systems of ordinary differential equations", Journal of Differential Equations, 46 , 324– 345 [16] K J Palmer (1984), "An ordering for linear differential systems and a char-acterization of exponential separation in terms of reducibility", Journal of Differential Equations, 53 , 67–97 [17] L H Tien and L D Nhien (2015), "Dominated Splitting for Dynamic Equa-tions on Time Scales", Preprint, VIASM [18] M Carter and V B Brunt (2000), "The Lebesgue-Stieltjes Integral", Springer - Verlag, NewYork [19] M Bohner and A Peterson (2001), "Dynamic equations on time scales: an introduction with applications", Birkhauseră Boston, Inc [20] M Bohner and A Peterson (2003), "Advances in dynamic equations on time scales", Birkhauseră Boston, Inc [21] N H Du and L H Tien (2007), "On the exponential stability of dynamic equations on time scales", J Math Anal Appl., 331, 1159 1174 [22] T Rzezuchowski (2005), "A Note on Measures on Time Scales", Demonstra-tio Mathematica, Vol.38, No pp 79 - 84 [23] W A Coppel (1987), "Dichotomies in Stability Theory", Springer-Verlag 51 ... trình bày lại số kết thang thời gian mở rộng kết Palmer đặc trưng phân tích trội thang thời gian, từ suy tính mở hệ có phân tích trội thang thời gian chứng minh tồn phân tích cực tiểu Nội dung... 28 2.2 Hàm mũ thang thời gian 28 Chương Phân tích trội thang thời gian 34 3.1 Tính khả quy phân tích trội thang thời gian ... Định 1.4 Tích phân Lebesgue thang thời gian Trong phần này, tích phân Lebesgue thang thời gian (hay gọi tắt tích phân D Lebesgue) xây dựng dựa độ đo delta Từ đó, ta đưa số tính chất tích phân D