Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CHÍ LIÊM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CHÍ LIÊM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS Nguyễn Hữu Dư PGS TS Vũ Hoàng Linh HÀ NỘI - 2012 Mơc lơc Lêi cam ®oan Lêi cảm ơn Danh s¸ch c¸c ký hiƯu Mở đầu KiÕn thøc chuẩn bị 1.1 Định nghĩa ví dụ thang th 1.2 TÝnh kh¶ vi 1.3 TÝnh kh¶ tÝch 1.4 TÝnh håi quy 1.5 Hàm mũ thang thời gian 1.6 Phơng trình động lực tuyến tín 1.7 Tính ổn định mũ phơng trì thang thời gian 1.7.1 Kh¸i niƯm ổn định mũ 1.7.2 Tính ổn định mũ ph−¬ tÝnh hƯ sè h»ng Bài toán Cauchy cho phơng trình động lực ẩn thang thời gian 2.1 Phơng trình ®éng lùc Èn tuyÕn tÝnh 2.1.1 2.1.2 iv 2.1.3 2.2 Phơng trình động lực ẩn tuyến tính víi nhiƠu phi tu tháa m·n ®iỊu kiƯn Lipschitz 2.2.1 2.2.2 2.3 Phơng trình động lực ẩn tựa tuyến tính 2.4 KÕt luËn cđa Ch−¬ng Tính ổn định phơng trình động lực ẩn thang thời gian 3.1 Xét tính ổn định phơng trình động lực ẩn phơng pháp hàm Lyapunov 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.2 Bán kính ổn định phơng trình động lùc Èn tun tÝnh hƯ sè h»ng trªn thang thêi gian 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 KÕt ln cđa Ch−¬ng C¸c phÐp biến đổi Lyapunov định lý Floquet cho phơng trình ®éng lùc Èn tuyÕn tÝnh 4.1 Thang thêi gian tuÇn hoµn v 4.2 Các phép biến đổi Lyapunov 4.3 Định lý Floquet cho phơng trình động lực ẩn tuyế 4.4 Kết luận cđa Ch−¬ng Kết bàn luận Kết luận nghiên cứu Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo vi Danh s¸ch c¸c ký hiệu C(X, Y ) = Tập tất hàm liên tục từ X vào Y Crd(T, X) = Tập tất hàm : T X rd-liªn tơc k Crd (T, X) = TËp tÊt hàm : T X khả vi rd-liên tục CrdR(T, X) = Tập tất hàm : T X rd-liên tục hồi quy C N,rd k m ,R (T det A = §Þnh thøc cđa ma trËn A m m GL(R ) = Tập tự đẳng cấu tuyến tính không gian R inf = infimum = = Phần ảo số phức im A = Miền giá trị toán tử A K = R hay C mìn K = Tập tất m ì nma trận có phần tử thuộc K ker A = Hạch toán tử A L(X) = Tập tất toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X Ln = Nh¸nh chÝnh cđa logarithm phøc víi miỊn gi¸ trị [i, i) D() = Miền xác định hµm ϕ vii k R(T , X) = TËp tÊt hàm hồi quy, xác định T nhận giá trị X + k R (T , R) = Tập tất hàm hồi quy dơng, xác định T nhận giá trị R R+ = Tập tất số thực không âm S = S(T) = Miền ổn định mũ thang thời gian T N = Tập tất số tự nhiên N0 = Tập tất số tự nhiên khác S = Biên tập S Q = Tập tất số hữu tỷ R = Tập tất số thực rank A = Hạng ma trận A < = Phần thực sè phøc λ ρ(C, D) = B¸n kÝnh phỉ cđa cặp ma trận {C, D} (A) = Tập tất giá trị riêng ma trận A (A, B) = Tập tất nghiệm phơng trình det(A B) = S(T) = Miền ổn định mũ cña thang thêi gian T sup = suprimum T = Thang thêi gian k T = T \ {M} nÕu T có phần tử lớn M điểm cô lập trái; T trờng hợp lại Tτ = {t ∈ T : t > τ } Z = Tập tất số nguyên viii Mở ®Çu Lý thut vỊ thang thêi gian (time scale), lÇn đợc trình bày Stefan Hilger luận án tiến sĩ ông vào năm 1988 (với h−íng dÉn cđa Bernd Aulbach, xem [49]) nh»m thèng nhÊt giải tích liên tục rời rạc Việc nghiên cứu lý thuyết thang thời gian đà dẫn đến số áp dụng quan trọng, chẳng hạn nghiên cứu mô hình mật độ côn trùng, hệ thần kinh, trình biến đổi nhiệt, học lợng tử mô hình bệnh dịch Việc phát triển lý thuyết "phơng trình động lực" thang thời gian, dẫn đến kết tổng quát áp dụng cho thang thời gian hỗn hợp trờng hợp liên tục rời rạc Ta biết rằng, có nhiều kết phơng trình vi phân đợc thực dễ dàng tự nhiên cho phơng trình sai phân Tuy nhiên, có kết dễ dàng trình bày cho phơng trình vi phân lại không đơn giản cho sai phân ngợc lại Việc nghiên cứu phơng trình động lực thang thời gian cho ta nhìn sáng sủa để khắc phục tính không quán phơng trình vi phân liên tục phơng trình sai phân rời rạc Ngoài ra, điều tránh đợc việc kết đợc chứng minh hai lần, lần cho phơng trình vi phân lần khác cho phơng trình sai phân Ta lấy thang thời gian tập số thực, kết tổng quát thu đợc tơng tự với kết phơng trình vi phân thờng Nếu lấy thang thời gian tập số nguyên, kết tổng quát thu đợc tơng tự với kết phơng trình sai phân Tuy nhiên, thang thời gian có cấu trúc phong phú nên kết thu đợc tổng quát hay nhiều kết tập số thực tập số nguyên Do vậy, đặc trng thang thời gian thống mở rộng Cho đến đà có hàng chục sách hàng ngàn báo viết thang thời gian Các yếu tố giải tích thang thời gian đà đợc tác giả nghiên cứu cách sâu rộng tơng đối đầy đủ Và từ nhiều kết quen thuộc trờng hợp liên tục rời rạc đà đợc "chuyển dịch" sang thang thời gian Chẳng hạn, hệ động lực thờng thang thời gian, đà có kết sâu sắc ổn định, tính dao động, toán giá trị biên, Mặt khác, năm gần phơng trình vi phân đại số đợc quan tâm cách rộng rÃi phơng diện lý thuyết lẫn thực tế Dạng tổng quát phơng trình vi phân đại sè lµ f(t, x (t), x(t)) = 0, vµ phơng trình tuyến tính hóa có dạng Atx (t) = Btx(t) + qt, A and B hàm ma trận cho trớc Các phơng trình (1) (2) xuất nhiều toán thực tế, chẳng hạn nh mạch điện, phản øng hãa häc, hƯ thèng giao th«ng, thiÕt kÕ robot, Nếu ma trận At khả nghịch với t R, ta nhân phía trớc hai vế (2) với At1 để đợc phơng trình vi phân thờng Tuy nhiên, có t0 để At0 suy biến vài giả thiết cần phải đợc đặt Một cách để giải (2) đa khái niệm số phơng trình Dựa khái niệm này, ta nghiên cứu phơng trình (2) cách phân tích thành phơng trình vi phân thờng quan hệ đại số Về cách giải toán Cauchy phơng trình (2) ta tham khảo [46] Cùng với lý thuyết phơng trình vi phân đại số, có quan tâm khác đến phơng trình sai phân đại số v× sù xt hiƯn cđa chóng nhiỊu lÜnh vùc thực tế, nh mô hình động lực Leontiev, mô hình tăng trởng dân số Leslie, toán điều khiển tèi −u suy biÕn (xem [26, 32]) Ngoµi ra, phơng trình sai phân đại số xuất cách tự nhiên sử dụng kỹ thuật rời rạc hóa để giải phơng trình vi phân đại số phơng trình vi phân đại số phần, Vấn đề đà đợc quan tâm lớn nhà nghiên cứu [26, 46, 58] Khái niệm số phơng trình sai phân ẩn tuyến tính cã hƯ sè biÕn thiªn Anx(n + 1) = Bnx(n) + qn đợc giới thiệu [39, 64] cách giải toán giá trị ban đầu nh toán giá trị biên nhiều điểm đợc nghiên cứu [9, 11] Sau đó, khái niệm số đà ®−ỵc më réng cho tr−êng hỵp phi tun [8] f(n, x(n + 1), x(n)) = Cã mèi quan hÖ gần gũi phơng trình sai phân đại số tuyến tính phơng trình vi phân đại số tuyến tính, cụ thể là, phơng pháp Euler áp dụng cho phơng trình vi phân đại số tuyến tính có số dẫn đến phơng trình sai phân đại số tuyến tính có số (xem [9, 11]) vµ nghiƯm nhÊt cđa bµi toán giá trị ban đầu nh toán giá trị biên đợc rời rạc hóa hội tụ nghiệm toán liên tục tơng ứng Sử dụng khái niệm giải tích thang thời gian, ta viết lại phơng trình (2) (3) dới dạng Atx (t) = Btx(t) + qt, hay víi d¹ng tỉng qu¸t f(t, x víi t thc thang thêi gian T Một cách tự nhiên, câu hỏi đợc đặt là: Liệu kết đà biết phơng trình (2) hay phơng trình (3); phơng trình (1) hay phơng trình (4) đợc mở rộng thống lần lợt cho phơng trình động lực ẩn có dạng (5); (6) hay không? Đây lý để Ta tính đợc, Chọn Q = t ker At däc theo St −1 Ptcan = Vtdiag(I1, 01)Vt Ta thÊy r»ng Do det Gt = 6= 0vµ rank At = víi mäi t T, nên phơng trình có số Ta cã −1 −1 At = (Pρ(t)) (I + TtQtG Bt) + PtG Bt e = DƠ dµng kiĨm tra đợc A phơng trình với điều kiện ban đầu giải đợc Tk > 0 > §Ỉt u = (u1, u2) , u(0) = (u 1, u 2) vµ h = cos πt − NghiƯm phơng trình (4.8) với điều kiện ban đầu (4.9) ®−ỵc biĨu diƠn bëi u = eh u2 = u 101 Do đó, toán tử Cauchy phơng trình Ta nhận đợc khai triển Floquet phơng trình Atx mà không cần phải biến đổi thêm Chú ý rằng, nghiệm phơng trình với điều kiện ban đầu P(0)(x(0) x0) = cho bëi x(t) = Φ(t, 0)x 4.4 KÕt luËn Chơng Trong chơng đà mở rộng thống số kết đà biết [61], [12] [31] lần lợt cho phơng trình vi phân đại số, phơng trình sai phân đại số cho phơng trình động lực tuyến tính (thờng) thang thời gian Ngoài ra, ta sử dụng kết thu đợc để tiếp tục nghiên cứu tính ổn định phơng trình động lực ẩn nh tác giả đà làm [12, 61] Chẳng hạn, để xét tính ổn định phơng trình động lực ẩn có hệ số tuần hoàn thang thời gian tuần hoàn Atx = Btx ta sư dơng khai triĨn Floquet (4.5) vµ mét tÝnh chÊt đặc biệt ma trận R(Ã): eR(t, t0) = Z(t0 + T, t0) 102 Kết bàn luận Kết luận nghiên cứu Trong luận án, đà thu đợc kết sau đây: ã Đa khái niệm số trình bày cách giải toán Cauchy cho phơng trình động lực ẩn tuyến tính cho số lớp phơng trình động lực ẩn phi tuyến có số thang thời gian ã Đa khái niệm ổn định phơng trình động lực ẩn; sử dụng phơng pháp hàm Lyapunov để xét tính ổn định phơng trình phi tuyến có dạng: Atx = f(t, x) ã Đa số điều kiện để bán kính ổn định dơng; số điều kiện để để bán kính ổn định thực bán kính ổn định phức phơng trình ®éng lùc Èn tun tÝnh cã hƯ sè h»ng lµ ã Trình bày phép biến đổi Lyapunov; tính ổn định phơng trình động lực ẩn thực phép biến đổi Lyapunov; chứng minh định lý Floquet Lyapunov phơng trình động lực ẩn tuyến tính Sau số hớng nghiên cứu thời gian tới: ã Đa khái niệm số cao phơng trình động lực ẩn tuyến tính Giải toán Cauchy cho trờng hợp ã Đa công thức tính bán kính ổn định cho phơng trình động lực thờng nh cho phơng trình động lực ẩn tuyến tính với 103 hệ số biến thiên ã Việc xây dựng định nghĩa số mị Lyapunov cịng nh− sè mị Bohl cịng lµ mét vấn đề cần đợc nghiên cứu thêm Cho đến nay, khái niệm logarithm thang thời gian (ta hiểu nh hàm số ngợc hàm mũ thang thời gian) toán mở [23], nên việc định nghĩa số mũ Lyapunov hàm số xác định thang thời gian thông qua logarithm thang thời gian (nh trờng hợp thang liên tục rời rạc) điều cha thể ã Tính điều khiển đợc tính ổn định hóa cho phơng trình động lực ẩn toán cha đợc khai thác nhiều thang thời gian ã Nghiên cứu toán chuyển mạch phơng trình động lực ẩn tuyến tính thang thời gian Chúng hy vọng vấn đề nêu sớm đợc giải 104 Tài liệu tham khảo [ Tiếng Việt [1] E A Barbasin (1973), Mở đầu lý thuyết ổn định, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phơng trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] I G Malkin (1980), Lý thuyết ổn định chuyển động, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [4] Nguyễn Xuân Liêm (1996), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [5] Hoàng Tụy (1979), Giải tích đại,, Tập 1, 2, 3, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [ Tiếng Anh [6] R P Agarwall (2000), Difference Equations and inequalities-Theory, Methods, and Applications, second ed., Dekker, NewYork [7] C D Ahlbrandt and J Ridenhour (2003), "Floquet theory for time scales and Putzer representations of matrix logarithms", J Differ-ence Equ Appl., 9, pp 77-92 [8] P K Anh and H T N Yen (2004), "On the solvability of initial-value problems for nonlinear implicit difference equations", Adv Difference Equ., 3, pp 195-200 106 [9] P K Anh, N H Du, and L C Loi (2004), "Connections between implicit difference equations and differential-algebraic equations", Acta Math Vietnam., 29(1), pp 23-39 [10] Pham Ky Anh and Dau Son Hoang (2006), "Stability of a Class of Singular Difference Equations", International Journal of Difference Equations, 1(2), pp 181-193 [11] P K Anh and L C Loi (2006), "On discrete analogues of nonlinear implicit differential equations", Adv Difference Equ., Article ID 43092, pp 1-19 [12] P K Anh and H T N Yen (2006), "Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference systems", J Math Anal Appl., 321, pp 921-929 [13] V B Bajic (1981), "Note on Stability of Trivial Solution in The Sense of Lyapunov", Univ Beograd Publ Elektrotehn Fak Ser Math Fiz., 716-734, pp 87-90 [14] V B Bajic (1987), "Lyapunov function candidates for semi-state systems", Int J Control, 46(6), pp 2171-2181 [15] V B Bajic, D LJ Debeljkovic, B B Bogicevic and M B Jovanovic (1998), "Non-Lyapunov stability robustness consideration for discrete linear descriptor systems", IMA Journal of Mathematical Control & Information, 15, pp 105-115 [16] Z Bartosiewics, E Piotrowska and M Wyrwas (2007), "Stability, Stabilization and Observers of Linear Control Systems on Time Scales", Proceeding of the 46th IEEE Conference on Decision and Control, New Orleans, LA, USA, Dec., pp 12-14 [17] A Berman and R.J Plemmons (1979), Nonnegative Matrices in Mathematical Sciences, Acad Press, New York 107 [18] M F Bondarenko, L A Vlasenko and A G Rutkas (1999), "Periodic solutions of a class of implicit difference equations", Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodzn Tekh Nauki, 1, pp 9-14 [19] M F Bondarenko and A G Rutkas (2001), "Criteria for the deter- minacy of implicit discrete nonautonomous systems", Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodzn Tekh Nauki, 2, pp 7-11 [20] E Akin-Bohner and Y N Raffoul (2006), "Boundedness in Func- tional Dynamic Systems on Time scales", Advances in Difference Equations, 2006, pp 1-18 [21] M Bohner and A Peterson (2001), Dynamic equations on time scales: An introduction with applications, Birkh•auser, Boston [22] M Bohner and A Peterson (2003), Advances in Dynamic Equations on Time Scales, Birkh•auser, Boston [23] M Bohner (2005), "The logarithm on time scales", J Differ Equa-tions Appl., 11(15), pp 1305-1306 [24] M Bracke (2000), On stability radii of parametrized linear differential-algebraic systems, Ph.D thesis, University of Kaiser-slautern [25] A Cabada and D R Vivero (2006), "Expression of the Lebesgue -integral on time scales as a usual Lebesgue integral; application to the caculus of −antiderivatives", Math Comput Modelling, 43, pp 194- 207 [26] L S Campbell (1980), Singular Systems of Differential Equations I, II, Pitman Advanced Publishing Program, London [27] F Casas, J A Oteo, and J Ros (2001), "Floquet theory: exponential perturbative treatment", J Phys A, 34, pp 3379-3388 108 [28] S N Chow, K Lu, and J Mallet-Paret (1994), "Floquet theory for parabolic differential equations", J Differential Equations, 109, pp 147-200 [29] C Chicone (1999), Ordinary Differential Equations with Applica- tions, Springer-Verlag, New York [30] J J DaCunha (2005), "Stability for time varying linear dynamic systems on time scales", J Comput Appl Math., 176(2), pp 381-410 [31] J J DaCunha and J M Davis (2011), "A unified Floquet theory for discrete, continuous, and hybrid linear systems", J Differential Equations, 251, pp 2987-3027 [32] L Dai (1989), Singular control systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences, 118, Springer-Verlag [33] J M Davis, I A Gravagne, R J Marks II, A A Ramos (2010), "Algebraic and Dynamic Lyapunov Equations on Time Scales", 42nd South Eastern Symposium on System Theory University of Texas at Tyler, TX, USA, March 7-9 [34] A Demir (2000), "Floquet theory and non-linear perturbation anal-ysis for oscillators with differential-algebraic equations", Int J Circ Theor Appl., 28, pp 163-185 [35] T.S Doan, A Kalauch and S Siegmund (2009), "Exponential Sta- bility of Linear-Time Invariant Systems on Time Scales", Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 9, pp 37-50 [36] T.S Doan, A Kalauch, S Siegmund, and F Wirth (2010), "Stability radii for positive linear time-invariant systems on time scales", Systems & Control Letters, 59(3-4), pp 173-179 [37] N H Du (1999), "Stability radii for differential-algebraic equa- tions", Vietnam J Math., 27, pp 379-382 109 [38] Nguyen Huu Du, Vu Hoang Linh (2006), "Stability radii for linear timevarying differential-algebraic equations with respect to dy-namic perturbations", J Differential Equations, 230, pp 579-599 [39] Nguyen Huu Du, Trinh Khanh Duy and Vu Tien Viet (2007), "De-generate Cocycle with Index-1 and Lyapunov Exponents", Stochas-tics and Dynamics, 7(2), pp 1-17 [40] N H Du (2008), "Stability radii of differential-algebraic equations with structured perturbations", Systems & Control Letters, 57, pp 546-553 [41] N H Du, N C Liem, C J Chyan and S W Lin (2011), "Lya-punov Stability of Quasi-linear Implicit Dynamic Equations on Time Scales", Journal of Inequalities and Applications, Volume 2011, Article ID 979705, pp 1-27 [42] Nguyen Huu Du and Nguyen Chi Liem (2011), "Linear Transforma-tions and Floquet Theorem for Linear Implicit Dynamic Equations on Time Scales", submitted to Asian-European Journal of Mathe-matics, 18pp [43] Nguyen Huu Du, Do Duc Thuan, Nguyen Chi Liem (2011), "Sta-bility Radius of Linear Implicit Dynamic Equations with Constant Coefficients on Time Scales", Systems & Control Letters, 60, pp 596-603 [44] N T Ha, B Rejanadit, N V Sanh and N H Du (2009), "Sta-bility radii for implicit difference equations", Asian-European J of Mathematics, 2(1), pp 95-115 [45] G Floquet (1883), "Sur les e´quations differentielles line´aires a` ´ coeficients periodiques", Annales cole Norm Sup., 12, pp 47-89 [46] E E Griepentrog and R M•arz (1986), Differential-algebraic equations and their numerical treatment, Teubner, Leipzig 110 [47] G Sh Guseinov (2003), "Integration on time scales", J Math Anal Appl., 285, pp 107-127 [48] T Gard and J Hoffacker (2003), "Asymptotic behavior of natural growth on time scales", Dynamic Systems and Applications, 12( 1-2), pp 131-148 [49] S Hilger (1988), Ein Maβkettenkalkul mit Anwendung auf Zen- trumsmannigfaltigkeiten, Ph.D thesis, Universit•at W•urzburg [50] S Hilger (1990), "Analysis on measure chains - A unified approach to continuous and discrete calculus", results Math., 18, pp 18-56 [51] D Hinrichsen and A J Pritchard (1986), "Stability radii of linear systems", Systems & Control Letters, 7, pp 1-10 [52] D Hinrichsen, A J Pritchard (1986), "Stability radius for struc- tured perturbations and the algebraic Riccati equation", Systems & Control Letters, 8, pp 105-113 [53] D Hinrichsen, A Ilchmann, A J Pritchard (1989), "Robustness of stability of time-varying linear systems", J Differential Equations, 82, pp 219-250 [54] D Hinrichsen, N.K Son (1989), "The complex stability radius of discrete-time systems and symplectic pencils", Proceedings of the 28th IEEE Conference on Decision and Control, 1-3, pp 2265-2270 [55] ] J Hoffacker and C C Tisdell (2005), "Stability and Instability for Dynamic Equations on Time Scales", Computers and Mathematics with Applications, 0, pp 1-8 [56] B Jacob (1998), "A formula for the stability radius of time- varying systems", J Differential Equations, 142, pp 167-187 [57] W G Kelley, A C Peterson (2001), Difference Equations: An Introduction with Applications, 2nd Edition, Academic Press, San Diego 111 [58] P Kunkel and V Mehrmann (2006), Differential-Algebraic Equa- tions, Analysis and Numerical Solution, European Math Soc Publ House [59] V Lakshmikantham, S Sivasundaram and B Kaymakcalan (1996), Dynamic systems on measure chains, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands [60] Le Hong Lan and Nguyen Chi Liem (2010), "Stability Radius of Linear Dynamic Equations with Constant Coefficients on Time Scales", VNU Journal of Science, Mathematics - Physics, 26, pp 163-173 [61] R Lamour, R M•arz, R Winkler (1998), "How Floquet theory applies to index-1 differential algebraic equations", J Math Anal Appl., 217, pp 371-394 [62] Nguyen Chi Liem (2011), "On Initial and Boundary Value Problem for Linear Implicit Dynamic Equations on Time Scales", submitted to Acta Mathematica Vietnamica, 16pp [63] Nguyen Chi Liem, Tran Thi Anh Hoa and Nguyen Huu Du (2012), "Lyapunov Exponents for Dynamic Systems on Time Scales", sub-mitted to Mathematical and Computer Modelling, 17pp [64] L C Loi, N H Du, and P K Anh (2002), "On linear implicit non-autonomous systems of difference equations", J Difference Equ Appl., 8(12), pp 1085-1105 [65] A M Lyapunov (1892), "Proble`me ge´ne´rale de la stabilite´ de mou-vement", Annals of Mathematics Studies, 17, Princeton, NJ, 1947 (originally: Kharkov, Russian) [66] R M•arz (1998), "Criteria for the Trivial Solution of Differential Algebraic Equations with Small Nonlinearities to be Asymptotically Stable", J of Math Analy App., 225, pp 587-607 112 [67] R M•arz (2004), Projectors for matrix pencils, Humboldt University, Berlin, Germany [68] V Mehrmann, R Nabben and E Virnik (2008), "Generalisation of the Perron-Frobenius theory to matrix pencils", Linear Algebra and its Applications, 428, pp 20-38 [69] M M Milic and V B Bajic (1987), "Quanlitative Analysis of Motion Properties of Semistate Models of Large-Scale Systems", Circuits Systems Signal Process, 6(3), pp 315-334 [70] A C Peterson and C C Tisdell (2004), "Boundedness and unique-ness of solutions to dynamic equations on time scales", J Difference Equ Appl., 10(13-15), pp 1295-1306 [71] A Peterson and Y N Raffoul (2005), Advances in difference equa-tions, 2, pp 133-144, Hindawi Publishing Corporation [72] C P•otzsche (2002), "Chain rule and invariance principle on measure chains", J Comput Appl Math., 41, pp 249-254 [73] C P•otzsche, S Siegmund and F Wirth (2003), "A spectral charac-terization of exponential stability for linear time-invariant systems on time scales", Discrete and Continuous Dynamical System, 9(5), pp 11231241 [74] C P•otzsche (2004), "Exponential dichotomies of linear dynamic equations on measure chains slowly varying coefficients", J Anal Math Appl., 289, pp 317-335 [75] W J Rugh (1996), Linear System Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs [76] E L Yip and R F Sincovec (1981), "Solvability, controllability and observability of continuous descriptor systems", IEEE Trans Aut Control, AC-26(3), pp 702-706 113 ... Phơng trình động lực ẩn tựa tuyến tính 2.4 KÕt luËn cđa Ch−¬ng Tính ổn định phơng trình động lực ẩn thang thời gian 3.1 Xét tính ổn định phơng trình động lực ẩn phơng... ẩn tuyến tính cho số lớp phơng trình động lực ẩn phi tuyến thang thời gian ã Chơng nghiên cứu tính ổn định phơng trình động lực ẩn Phần đầu chơng xét tính ổn định phơng trình động lực ẩn phơng... chuẩn Euclid; chuẩn ma trận chuẩn cảm sinh từ chuẩn vector 1.7.2 Tính ổn định mũ phơng trình động lực tuyến tính hệ số Bây ta xét điều kiện ổn định mũ phơng trình autonom tuyến tính thang thời gian