Phân tích trội trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- LÊ ĐỨC NHIÊN PHÂN TÍCH TRỘI TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- LÊ ĐỨC NHIÊN PHÂN TÍCH TRỘI TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin cám ơn Viện nghiên cứu cao cấp toán tạo điều kiện cho em trình bày seminar xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thành viên nhóm seminar hệ động lực trường KHTN có góp ý quý báu để em hoàn luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2016 Học viên Lê Đức Nhiên Mục lục Lời mở đầu Chương Tích phân Lebesgue thang thời gian 1.1 Khái niệm thang thời gian 1.2 Độ đo thang thời gian 1.3 Hàm ∆− đo 12 1.4 Tích phân Lebesgue thang thời gian 17 Chương Mặt phẳng phức Hilger hàm mũ thang thời gian 22 2.1 Mặt phẳng phức Hilger 22 2.1.1 Số phức Hilger 2.1.2 Phép toán với số phức Hilger 2.1.3 Phép biến đổi trụ 22 25 28 2.2 Hàm mũ thang thời gian 28 Chương Phân tích trội thang thời gian 34 3.1 Tính khả quy phân tích trội thang thời gian 36 3.2 Đặc trưng phân tích trội theo tính nhị phân mũ thang thời gian 41 Tài liệu tham khảo 50 LỜI MỞ ĐẦU Khái niệm phân tích trội hệ động lực đa tạp compact chủ đề thu hút nhiều nhà toán học quan tâm Cho đến nay, ta hiểu rõ tính phân tích trội trường hợp đa tạp compact hai chiều E R Pujals M Sambarino năm 2009 [8] Vào năm 1982, K J Palmer định nghĩa khái niệm phân tích trội hay tính tách mũ (là mở rộng tính nhị phân mũ) cho hệ phương trình tuyến tính không ô - tô - nôm không gian Banach hữu hạn chiều có số kết quan trọng tìm mối liên hệ tính phân tích trội tính nhị phân mũ Sau đó, vào năm 1984, Palmer chứng minh tương đương tính khả quy vững với tính phân tích trội G Papaschinopoulos đưa kết tương tự cho trường hợp sai phân tuyến tính Trong luận văn này, em trình bày lại số kết thang thời gian mở rộng kết Palmer đặc trưng phân tích trội thang thời gian, từ suy tính mở hệ có phân tích trội thang thời gian chứng minh tồn phân tích cực tiểu Nội dung luận văn gồm chương: Chương dành cho việc trình bày lại khái niệm độ đo tích phân Lebesgue thang thời gian với khái niệm định nghĩa G S Guiseinov Chương trình bày lại mặt phẳng phức Hilger hàm mũ thang thời gian Chương nêu đặc trưng tính phân tích trội cho hệ tuyến tính không ô - tô - nôm theo tính nhị phân mũ thang thời gian Nội dung luận văn thuyết trình seminar VIASM chi tiết hóa Preprint [17] Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2016 Học viên Lê Đức Nhiên Chương Tích phân Lebesgue thang thời gian 1.1 Khái niệm thang thời gian Trong phần này, lí thuyết thang thời gian trình bày với đa số kí hiệu dùng theo Bohner Peterson [19] Định nghĩa 1.1.1 Thang thời gian tập đóng khác rỗng đường thẳng thực Do đó, thân R, Z, N, hZ h số dương hay hợp khoảng đóng [0, 1] ∪ [2, 3] ∪ [8, 9] ví dụ thang thời gian Trong Q, C tập không đóng tập số thực, ví dụ n1 : n = 1, 2, , không thang thời gian Trong suốt luận văn này, ta kí hiệu thang thời gian T Dưới ba toán tử thang thời gian T gồm toán tử tiến, toán tử lùi hàm graininess Định nghĩa 1.1.2 Cho T thang thời gian Lấy t ∈ T ta định nghĩa toán tử tiến σ : T → T σ (t) := inf {s ∈ T : s > t} , toán tử lùi ρ : T → T định nghĩa ρ (t) := sup {s ∈ T : s < t} Trong định nghĩa này, ta đặt inf 0/ = sup T (có nghĩa σ (t) = t T có maximum t) sup 0/ = inf T (có nghĩa ρ (t) = t T có minimum t), 0/ kí hiệu tập rỗng Nếu σ (t) > t, ta nói t cô lập phải, ρ (t) < t ta nói t cô lập trái Điểm vừa cô lập phải, vừa cô lập trái gọi điểm cô lập Cũng vậy, t < sup T σ (t) = t, t gọi trù mật phải, t > inf T ρ (t) = t t gọi trù mật trái Điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái gọi điểm trù mật Định nghĩa 1.1.3 Hàm µ : T → [0, ∞) xác định µ(t) := σ (t) − t gọi hàm graininess Định nghĩa 1.1.4 Hàm f : T → R gọi rd−liên tục liên tục điểm trù mật phải tồn giới hạn trái điểm trù mật trái Định nghĩa 1.1.5 Cho hàm số f : T → R lấy t ∈ Tκ Ở đây, Tκ hàm xác định Tκ = T − {m} T có điểm cực đại cô lập trái m Tκ = T trường hợp ngược lại Khi ta định nghĩa f ∆ (t) số (nếu tồn tại) thoả mãn với ε > tồn lân cận U t (nghĩa U = (t − δ ,t + δ ) ∩ T với δ > 0) cho [ f (σ (t)) − f (s)] − f ∆ (t) [σ (t) − s] ≤ ε |σ (t) − s| với s ∈ U Ta gọi f ∆ (t) đạo hàm Delta f t Nếu f có đạo hàm Delta với t ∈ Tκ f gọi khả vi Tκ f ∆ hàm xác định Tκ Định lý 1.1.1 (xem [19]) Giả sử f , g : T → R hàm khả vi t ∈ Tκ Khi đó: (i) Tổng hàm f g: f + g : T → R hàm khả vi t với ( f + g)∆ = f ∆ (t) + g∆ (t) (ii) Với số α bất kì, α f : T → R hàm khả vi t với (α f )∆ (t) = α f ∆ (t) (iii) Tích hàm khả vi f g : T → R hàm khả vi t với ( f g)∆ = f ∆ (t) g (t) + f (σ (t)) g∆ (t) = f ∆ (t) g (σ (t)) + f (t) g∆ (t) (iv) Nếu f (t) f (σ (t)) = 0, hàm khả vi với f f (v) Nếu g (t) g (σ (t)) = 0, f g 1.2 ∆ (t) = − f ∆ (t) f (t) f (σ (t)) f hàm khả vi t với g ∆ f ∆ (t) g (t) − f (t) g∆ (t) (t) = g (t) g (σ (t)) Độ đo thang thời gian Mục tiêu mục trình bày lại độ đo delta (∆) thang thời gian, suy rộng độ đo Lebesgue đường thẳng thực Về bản, cách xây dựng lí thuyết độ đo T giống với cách xây dựng độ đo Lebesgue R Với cách xây dựng này, độ đo delta điểm cô lập phải T bước nhảy tiến điểm Cho T thang thời gian bất kì, ta kí hiệu L tập nửa khoảng T có dạng [a, b) = {t ∈ T : a ≤ t < b, a, b ∈ T} Khi a = b, nửa khoảng tập rỗng Trên tập L, ta định nghĩa hàm tập m : L → [0, +∞] biến nửa khoảng [a, b) thành độ dài chúng, nghĩa m ([a, b)) = b − a Hàm tập m độ đo L Thật vậy, m ([a, b)) = b − a ≥ b ≥ a, ∞ m ∞ [ai , bi ) = ∑ m ([ai , bi )) với [ai , bi ) khoảng rời nhau, i=1 i=1 m(0) / = m ([a, a)) = a − a = với a ∈ T Định nghĩa 1.2.1 Cho E tập T Ta gọi I j ∈ L ( j = 1, 2, ) phủ E E ⊂ I j , lúc m∗ (E) = inf ∑ m(I j ) gọi độ đo j j E, infimum lấy theo phủ E Định nghĩa 1.2.2 Tính chất P có liên quan tới điểm t ∈ T gọi ∆−hầu khắp nơi (∆−h.k.n) tập E tập điểm mà P sai thỏa mãn m∗ (E) = Độ đo nhận giá trị không âm vô Bởi vậy, trường hợp tổng quát, ta có ≤ m∗ (E) ≤ ∞ Trong trường hợp không tồn phủ tập E, ta quy ước m∗ (E) = ∞ Định nghĩa 1.2.3 Tập E ⊂ T gọi ∆−đo với nửa khoảng I ∈ L m∗ (I) = m∗ (I ∩ E) + m∗ (I ∩ E c ) E c = T − E Mệnh đề cho ta thêm tính chất tập ∆−đo thang thời gian Mệnh đề 1.2.1 Nếu E tập ∆−đo m∗ (A) = m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c ) ∀A ⊂ T Chứng minh Graven 1982 [6] Mệnh đề 1.2.2 Họ tất tập ∆−đo (kí hiệu A) T σ −đại số Chứng minh Với E ∈ A, trước tiên, ta cần chứng minh E c ∈ A Thật vậy, ta có m∗ (A ∩ (E c )c ) + m∗ (A ∩ E c ) = m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c ) = m∗ (A) với A ⊂ T, E c ∈ A Với E1 E2 hai tập rời thuộc A Ta chứng minh E1 ∪ E2 thuộc A Thật vậy, với A ⊂ T ta có m∗ (E1 ∪ E2 ) < m∗ (A ∩ (E1 ∪ E2 )) + m∗ (A ∩ (E1 ∪ E2 )c ) Theo tính cộng tính độ đo ngoài, ta thu m∗ (E1 ∪ E2 ) < = = m∗ ((A ∩ E1 ) − E2 ) + m∗ ((A ∩ E1 ) ∩ E2 ) +m∗ ((A − E1 ) ∩ E2 ) + m∗ ((A − E1 ) − E2 ) m∗ (A ∩ E1 ) + m∗ (A − E1 ) m∗ (A) Do đó, m∗ (E1 ∪ E2 ) = m∗ (A ∩ (E1 ∪ E2 )) + m∗ (A ∩ (E1 ∪ E2 )c ) Do R(t) = S−1 (t)X(t) nên R(t) ma trận nghiệm phương trình y∆ = B(t)y (3.1.6) Bằng tính toán trực tiếp, ta thu B(t) = R∆ (t)R−1 (t) B(t) giao hoán với P Ta xét phương trình B(t) − BT (t) u có ma trận nghiệm U(t) với U(t0 ) = I t0 ∈ T Do ma trận hệ số Hermitian chéo nên U(t) ma trận Unitary Ta có U(t) giao hoán với P (∀t ∈ TK ) (do BT (t) giao hoán với PT = P) Với phép đổi biến y = U(t)z biến (3.1.8) thành (3.1.5) C(t) = (U σ )−1 B + BT U Hermitian giao hoán với P với t ∈ T Ta có phép đổi biến u∆ = x(t) = T (t)z(t) (trong T (t) = S(t)U(t)) biến nghiệm (3.0.1) thành nghiệm (3.1.5) thỏa mãn 3.1.1 với √ |T (t)| ≤ |S(t)|.|U(t)| ≤ |T −1 (t)| ≤ |U −1 (t)|.|S−1 (t)| ≤ |X(t)PX −1 (t)|2 + |X(t)(I − P)X −1 (t)|2 Vì X(t)PX −1 (t) bị chặn nên phép biến đổi T (t) T −1 (t) bị chặn Mệnh đề chứng minh ✷ Trong trường hợp này, ta nói (3.0.1) khả quy với phân tích V1 ⊕V2 n− không gian Euclid E n , V1 ảnh P V2 hạt nhân P Bằng quy nạp, ta có hệ (3.0.1) đồng dạng động lực với hệ (3.0.2) có dạng chéo khối diag (B1 (t), , Bk (t)), Bi (t) có cấp ni ni ≥ 1, ∑ki=1 ni = n , tồn phép chiếu bù P1 , , Pk tương ứng với hạng n1 , , nk cho X(t)Pi X −1 (t) bị chặn với i = 1, , k Trong trường hợp ta nói (3.0.1) khả quy với phân tích V1 ⊕ · · · ⊕Vk E n , Vi ảnh Pi Trước chứng minh định lí chương này, ta cần đưa nguyên lí quy nạp thang thời gian (xem [19]) 37 Mệnh đề 3.1.2 (Nguyên lí quy nạp thang thời gian) Cho t0 ∈ T giả sử {S(t) : t ∈ [t0 , ∞)T } ( [t0 , ∞)T = [t0 , ∞) ∩ T) họ mệnh đề thỏa mãn (i) Mệnh đề S(t0 ) (ii) Nếu t ∈ [t0 , ∞) cô lập phải S(t) đúng, S(σ (t)) (iii) Nếu t ∈ [t0 , ∞) trù mật phải S(t) đúng, tồn lân cận U t cho S(s) với s ∈ U ∩ (t, ∞)T (iv) Nếu t ∈ (t0 , ∞)T trù mật trái S(s) với s ∈ [t0 ,t)T , S(t) Khi S(t) với t ∈ [t0 , ∞) Định lý 3.1.1 Nếu (3.0.1) (n1 , , nk )− phân tích trội V1 ⊕ · · · ⊕ Vk phân tích tương ứng E n , |A(t)| ≤ β với t ∈ T Khi hệ khả quy với phân tích tương ứng Chứng minh Trước tiên, ta xi xi+1 (t) ≥ eβ (t, s)∆, + |xi (s)| |xi+1 (s)| (3.1.7) ∆ = K −1 [e−α (t, s)]−1 − t, s ∈ T Thật vậy, (3.0.1) có phân tích trội, ∃K ≥ 1, < α < cho với i = 1, , k − |xi (t)||xi+1 (s)| ≤ Ke−α (t, s) (s ≤ t) |xi (s)||xi+1 (t)| với xi (t) nghiệm (3.0.1) với xi (t0 ) = in Vi Ta có ước lượng x(t) xi+1 (t) + |x(s)| |xi+1 (t)| |xi+1 (t)| |xi (t)| − |xi+1 (s)| |xi (s)| |xi (t)| |xi+1 (t)||xi (s)| = −1 |xi (s)| |xi+1 (s)||xi (t)| |xi (t)| ≥ K −1 [e−α (t, s)]−1 − |eA (s,t)xi (t)| ≥ eβ (t, s)∆ ≥ 38 Tiếp theo, ta chứng minh xi (s) xi (t) xi+1 (t) xi+1 (s) ≤ eβ (t, s) + + |xi (s)| |xi+1 (s)| |xi (s)| |xi+1 (s)| (3.1.8) Sử dụng Mệnh đề (3.2.1), phần (i), (iii), (iv) [1] Giả sử (3.1.8) với t ∈ T điểm cô lập phải, ta có xi (σ (t)) xi+1 (σ (t)) + |xi (s)| |xi+1 (s)| eA (σ (t), s)xi (s) eA (σ (t), s)xi+1 (s) + |xi (s)| |xi+1 (s)| xi (t) xi+1 (t) ≤ |(I + µ(t)A(t))| + |xi (s)| |xi+1 (s)| xi (s) xi+1 (s) ≤ (1 + µ(t)β ) eβ (t, s) + |xi (s)| |xi+1 (s)| xi (s) xi+1 (s) =eβ (σ (t), s) + |xi (s)| |xi+1 (s)| = Do đó, (3.1.8) với t ∈ T Ta chứng minh hệ (3.0.1) (n1 + · · · + ni , ni+1 + nk )− phân tích trội với phân tích tương ứng(V1 ⊕ · · · ⊕Vi ) ⊕ (Vi+1 ⊕ · · · ⊕Vk ) Thật vậy, từ (3.1.7) (3.1.8) ta có xi (s) xi+1 (s) + ≥ ∆ |xi (s)| |xi+1 (s)| Sử dụng bất đẳng thức |x| x y ≤ 2|x + y| + |x| |y| (xem Palmer [1]), ta thu |xi (s)| ≤ 2∆−1 |xi (s) + xi+1 (s)| ∀s ∈ Tκ (3.1.9) Ta cố định t0 cho ∆ > Theo tính phân tích trội, ta thu ước lượng K −1 |xi (t)| (|xi (s)| + |xi+1 (s)|) |xi (s)| |xi (t)| |x | |xi (s)| i+1(s) |xi (t)||xi+1 (s)| ≤ |xi (t)| + K −1 |xi+1 (t)| |xi (s)||xi+1 (t)| ≤ |xi (t)| + e−α (t, s)|xi+1 (t)| ≤ |xi (t)| + |xi+1 (t)| |xi+1 (t)| ≤K (|xi (s)| + |xi+1 (s)|) |xi+1 (s)| ≤ K −1 |xi (t)| + K −1 39 Theo (3.1.9), ta có K −1 |xi (t)| (|xi (s)| + |xi+1 (s)|) |xi (s)| |xi (t)| (|xi (s) + xi+1 (s)|) |xi (s)| ≤ |xi (t)| + |xi+1 (t)| ≤ 4∆−1 |xi (t) + xi+1 (t)| ≤ K −1 Vì vậy, −1 |xi (t)| |xi (t) + xi+1 (t)| K ∆ ≤ |xi (s)| |xi (s) + xi+1 (s)| (3.1.10) Bằng cách làm tương tự, ta có |xi (t) + xi+1 (t)| ≤ |xi (t)| + |xi+1 (t)| xi+1 (t) ≤K (|xi (s)| + |xi+1 (s)|) xi+1 (s) |xi+1 (t)| ≤ 4K∆−1 |xi (s) + xi+1 (s)| |xi+1 (t)| Từ suy |xi (t) + xi+1 (t)| |xi+1 (t)| ≤ 4K∆ |xi (s) + xi+1 (s)| |xi+1 (s)| (3.1.11) Đặt K = 4K∆−1 , từ (3.1.10), cho i = k − ta thu |xk−2 (t)||xk−1 (s) + xk (s)| |xk−2 (t)||xk−1 (s)| ≤ 4K∆−1 ≤ KK e−α (t − s) |xk−2 (s)||xk−1 (t) + xk (t)| |xk−2 (s)||xk−1 (t)| từ (3.1.11) với i = ta có |x1 (t) + x2 (t)||x3 (s)| |x2 (t)||x3 (s)| ≤ 4K∆−1 ≤ KK e−α (t − s) |x1 (s) + x2 (s)||x3 (t)| |x2 (t)||x3 (t)| Do đó, ta thấy (3.0.1) (V1 ⊕V2 ,V3 , ,Vk−2 ,Vk−1 ⊕Vk )− phân tích trội Lặp lại cách làm trên, ta có với i = 1, , k − (3.0.1) (V1 ⊕ · · · ⊕Vi ,Vi+1 ⊕ · · · ⊕Vk )− phân tích trội Cuối cùng, sử dụng (3.1.9) ta thu |x1 (t) ≤ Ki |x1 (t) + x2 (t)| (3.1.12) x1 (t0 ) ∈ V1 ⊕ · · · ⊕Vi x2 (0) ∈ Vi+1 ⊕ · · · ⊕Vk Lấy Pi phép chiếu với ảnh Vi ker V1 ⊕ Vi−1 ⊕Vi+1 ⊕ · · · ⊕Vk Khi ξ E n cho (P1 + · · · + Pi )ξ = (Pi+1 + · · · + Pk )ξ = từ (3.1.12) ta có |X(t)(P1 + · · · + Pi )ξ | ≤ Ki |X(t)ξ | 40 Thay ξ = X −1 (t)η ta có với t i = 1, , k |X(t)(P1 + · · · + Pi )X −1 (t)| ≤ Ki Do đó, X(t)Pi X −1 (t) hàm bị chặn với i, nghĩa (3.0.1) khả quy với phân tích tương ứng ✷ Sử dụng kết tính khả quy trên, ta thu kết hệ (n1 , , nk )− phân tích trội Hệ 3.1.1 Hệ (1) (n1 , , nk )− phân tích trội tồn phép chiếu bù với rank Pi = ni số K ≥ 1, α > cho |X(t)Pi X −1 (s)||X(s)Pi+1 X −1 (t)| ≤ Ke−α (t, s) (3.1.13) với t, s ∈ T, s ≤ t, i = 1, , k − Chứng minh Chứng minh tương tự Định lí [15] 3.2 Đặc trưng phân tích trội theo tính nhị phân mũ thang thời gian Để chứng minh kết chương này, ta cần tổng quát hóa khái niệm hàm cận (cận dưới) Palmer [9] thang thời gian Định nghĩa 3.2.1 Cho V1 ⊕ ⊕Vk phân tích E n P1 ⊕ · · · ⊕ Pk phép chiếu tương ứng Khi hàm ξµ(t) (p(t)) ∈ R gọi hàm cận (tương ứng hàm cận dưới) Vi tương ứng với phương trình (3.0.1) tồn số Ki ≥ cho với s ≤ t |X(t)Pi X −1 (s)| ≤ Ki e p (t, s) tương ứng |X(s)Pi X −1 (t)| ≤ Ki e p (t, s) ξµ(t) (P(t)) = µ(t) ln (1 + µ(t)p(t)) với σ (t) > t với σ (t) = t p(t) Mệnh đề 3.2.1 Giả sử (3.0.1) khả quy với phân tích V1 ⊕ · · · ⊕ Vk P1 , , Pk phép chiếu tương ứng Khi đó, với i = 1, , k H > 0, hàm −1 ξµ(t) p+ log |X(t + H (t))Pi X −1 (t)| H,i (t) = H 41 −1 log |X(t)Pi X −1 (t + H (t))| ξµ(t) p− H,i−1 (t) = −H tương ứng hàm cận hàm cận Vi Trong t ∈ TK H (t) = inf {K ∈ R : t + K ∈ T, K ≥ H} Chứng minh Cố định s ξ E n cho Pi X −1 (s)ξ = Chọn p(t) cho ξµ(t) (p(t)) = ln |X(t)Pi X −1 (s)ξ | ∆ t ⇔ log |X(t)Pi X −1 (s)ξ ||X(s)Pi X −1 (s)ξ |−1 = ξµ(τ) (p(τ)) ∆τ s ⇔ ⇔ |X(t)Pi X −1 (s)ξ ||X(s)Pi X −1 (s)ξ |−1 = e p (t, s) |X(t)Pi X −1 (s)ξ | ≤ Me p (t, s) Do ξµ(t) (p(t)) hàm cận (3.0.1) Đặt t+H (t) ξµ(t) (pH (t)) = H ξµ(τ) (p(τ)) ∆τ t Ta xét thang thời gian thỏa mãn ước lượng t ξµ(t) (p(t)) − ξµ(t) (pH (t)) ∆τ ≤ ||p||.|H| ∀t, s ∈ Tκ s Từ (3.2.14) ta thu |X(t)Pi X −1 (s)| t ≤ M exp ξµ(τ) (p(τ)) ∆τ s t = M exp s ξµ(τ) (p(τ)) − ξµ(τ) (pH (τ)) ∆τ t exp s ξµ(τ) (pH (τ)) ∆τ ≤ K e pH (t, s) Vì thế, ξµ(t) (pH (t)) hàm cận (3.0.1) 42 (3.2.14) Ta ξµ(t) (pH (t)) ≤ ξµ(t) p+ H,i (t) Thật vậy, t+H (t) ξµ(t) (pH (t)) = H −1 ξµ(τ) (p(τ)) ∆τ t t+H (t) = H −1 ln |X(τ)Pi X −1 (s)ξ | ∆ ∆τ t −1 = H log |X(t + H (t))Pi X −1 (t)||X(t)Pi X −1 (s)ξ |−1 ≤ H −1 log |X(t + H (t))Pi X −1 (t)| ≤ ξµ(t) p+ H,i (t) Do ξµ(t) p+ H,i (t) hàm cận hệ (3.0.1) Chứng minh hàm cận làm tương tự ✷ Định nghĩa 3.2.2 Các hàm bị chặn, rd−liên tục regressive p1 (t), , pk (t) gọi tách tích phân thang thời gian tồn số β ≤ γ > cho t ξµ(τ) (pi+1 (τ)) − ξµ(τ) (pi τ) ∆τ ≥ β + γ(t − s) s với s,t ∈ T, s ≤ t i = 1, , k − Định lý 3.2.1 Hệ (3.0.1) thang thời gian T thỏa mãn µ(t) < α1 (n1 , , nk )− tách mũ tồn hàm tách tích phân p1 (t), , pk (t) cho với i = 1, , k hệ x∆ = (A(t) pi (t)I) x (3.2.15) có nhị phân mũ với số chiều không gian ổn định tương ứng n1 + · · · + ni Chứng minh Ta giả sử (3.0.1) (n1 , , nk )− phân tích trội tương ứng với phân tích V1 ⊕ · · · ⊕ Vk P1 , , Pk phép chiếu tương ứng Theo Mệnh đề (3.2.1) ta có |X(t)Pi X −1 (s)| ≤ Ki e p+ (t, s) H,i tương ứng |X(s)Pi X −1 (t)| ≤ Ki e 43 (t, s) p− H,i−1 Cố định H thỏa mãn H > log K i = k − 1, theo (3.2.1) ta có α − ξµ(t) p+ H,i (t) − ξµ(t) pH,i (t) = H −1 log (|X(t + H (t))Pi X(t)||X(t)Pi+1 X(t + H (t))|) ≤ H −1 log (Ke−α (t + H (t),t))  t+H (t) = H −1 log K + ξµ(τ) (−α)∆τ  t t+H (t)   ≤ H −1 log K +  −α∆τ  t α cho B(t) hàm ma trận liên tục thỏa mãn sup |B(t)| < δ hệ x∆ = [A(t) + B(t)]x (n1 , , nk )- phân tích trội thang thời gian Chứng minh Theo định lí 3.2.1, tồn hàm tách tích phân p1 (t), , pk (t) cho với i = 1, , k hệ (3.2.15) nhị phân mũ Do tính mở hệ nhị phân mũ thang thời gian nên hệ x∆ = [A(t) pi (t) + B(t)]x nhị phân mũ Cho nên, x∆ = [A(t) + B(t)]x (n1 , , nk )- phân tích trội 45 Hệ 3.2.2 Cho a1 (t), , an (t) hàm vô hướng thực, bị chặn liên tục TK Khi đó, hệ đường chéo x∆ = (t)xi (i = 1, , n) , (3.2.19) (n1 , , nk )- phân tích trội thang thời gian (t) xếp lại cho a j1 , , a jk tách tích phân thang thời gian, j1 , , jk thỏa mãn n1 + · · · + ni−1 < ji ≤ n1 + · · · + ni với i = 1, , k (trong n0 = 0) Chứng minh Trước hết, ta chứng minh điều kiện đủ Cho Vi = (x1 , , xn ) : x j = j ≤ ni−1 j > ni Ta xét nghiệm xi (t) = (xi1 (t), , xin (t)) (3.2.19) với xi (t0 ) ∈ Vi , xij (t) = ea j (t,t0 )ξ j ni−1 < j ≤ ni trường hợp ngược lại với i = 1, , k Bằng tính toán trực tiếp, ta thu |xi (t)||xi+1 (s)| ≤ |xi (s)||xi+1 (t)| Mni ni+1 e−α (t, s) Điều nghĩa phương trình (3.2.19) có phân tích trội Tiếp theo, ta chứng minh điều kiện cần phương pháp quy nạp theo n Trường hợp n = hiển nhiên Giả sử điều kiện cần với số nguyên nhỏ n, ta cần chứng minh điều kiện cần với n Thật vây, hệ (3.2.19) phân tích trội, theo Định lí 3.2.1, tồn hàm tách tích phân p1 (t), , pk (t) cho với i = 1, , k hệ xi∆ = (ai (t) p j (t)) xi i = 1, , n (3.2.20) có nhị phân mũ với số chiều không gian ổn định n1 + · · · + nk tương ứng với phép chiều Pj Ta đánh số lại{ai (t)}ni=1 cho ImPj = (x1 , , xn ) : xi = if n j−1 < i ≤ n j Do đó, |X(t)PJ X −1 (s)| ≤ Me 46 α (t, s) (3.2.21) X(t) ma trận nghiệm hệ (3.2.20) Chọn j = 1, từ (3.2.21) µ(t) ≤ , ta có α t ξµ(τ) (ai (τ)) − ξµ(τ) (p1 (τ))∆τ ≤ δ − s α (t − s) (0 < i ≤ n1 ) Tương tự cho không gian không ổn định, ta có t ξµ(τ) (p1 (τ)) − ξµ(τ) (a j (τ))∆τ ≤ δ − s α (t − s) (n1 < i ≤ n) Do đó, < i ≤ n1 n1 < j ≤ n s ≤ t ta có t ξµ(τ) (a j (τ)) − ξµ(τ) (ai (τ))∆τ ≥ −2δ + α(t − s) s Với < i ≤ n1 , j = 2, , k từ đẳng thức cuối ta có t ξµ(τ) (ai (τ)) − ξµ(τ) (p j (τ))∆τ ≥ δ + ( j − 1)β − s α + ( j − 1)γ α(t − s) Do ImP1 không gian ổn định hệ (3.2.20) nên với j = 2, , k hệ xi∆ = (ai (t) p j (t)) xi i = n1 + 1, , n (3.2.22) có nhị phân mũ với chiều không gian ổn định n1 + · · · + n j Theo định lí (3.2.1), hệ (3.2.22) (n2 , , nk )- phân tích trội Theo giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh Hệ 3.2.3 Cho A(t) hàm ma trận tam giác trên, regressive, bị chặn liên tục nửa trục thực Khi (3.0.1) (n1 , , nk )- phân tích trội hệ đường chéo tương ứng phân tích trội Chứng minh Theo Bylov [1, p 605], hệ tam giác (3.0.1) đồng dạng động lực với nhiễu hệ chéo đủ nhỏ Sử dụng tính roughness phân tích trội thang thời gian (Hệ 3.2.1) dẫn đến điều phải chứng minh Hệ 3.2.4 Xét nửa trục hệ tam giác khối y∆ = A(t)y +C(t)z z∆ = B(t)z 47 (3.2.23) Khi (3.2.23) (n1 , , nk )- phân tích trội hệ y∆ = A(t)y z∆ = B(t)z (3.2.24) (n1 , , nk )- phân tích trội Chứng minh Chứng minh tương tự Nhận xét [15, p 339] sử dụng Hệ 3.2.3, ta suy điều phải chứng minh Sử dụng định lí 3.2.1, hệ trên, ta thu hệ phân tích cực tiểu thang thời gian Hệ 3.2.5 Ta xét hệ (3.0.1), A(t) xác định nửa trục, (n1 , , nk )phân tích trội thang thời gian với phân tích V1 ⊕ · · · ⊕Vk Khi với phân tích khác W1 ⊕ · · · ⊕ Wk phân tích trội phương trình (3.0.1) i = 1, , k, ta có (i) Khi J = [0, +∞)T ,W1 ⊕ · · · ⊕Wi = V1 ⊕ · · · ⊕Vi , (ii) Khi J = (−∞, 0]T ,Wi ⊕ · · · ⊕Wk = Vi ⊕ · · · ⊕Vk Hệ 3.2.6 Giả sử V1 ⊕ · · · ⊕ Vk phân tích cực tiểu E n tương ứng với hệ (3.0.1) thang thời gian Khi W1 ⊕ · · · ⊕Wl phân tích cực tiểu k = l với i = 1, , k, (i) Khi J = [0, +∞)T ,W1 ⊕ · · · ⊕Wi = V1 ⊕ · · · ⊕Vi , (ii) Khi J = (−∞, 0]T ,Wi ⊕ · · · ⊕Wk = Vi ⊕ · · · ⊕Vk , (iii) Khi J = (−∞, +∞)T ,Vi = Wi 48 KẾT LUẬN Đóng góp khóa luận bao gồm: Trình bày lại tích phân Lebesgue thang thời gian Trình bày lại mặt phẳng phức Hilger, phép biến đổi trụ hàm mũ thang thời gian Định nghĩa phân tích trội thang thời gian số tính chất mối quan hệ với nhị phân mũ, tính mở hệ phân tích trội tồn phân tích cực tiểu Đây kết viết Preprint [17] suy rộng kết trước cho trường hợp vi phân lên thang thời gian 49 Tài liệu tham khảo [1] B F Bylov (1966), "Almost reducible systems", Siberian Math J., 7, 600625 [2] C P¨otzsche (2004), "Exponential dichotomies of linear dynamic equations on measure chains under slowly varying coefficients", J Anal Math Appl., 289, 317-335 [3] C D Aliprantis and O Burkinshaw (1998), "Principles of Real Analysis", Academic Press, San Diego [4] Cabada and Vivero (2004), "Expression of the Lebesgue ∆−Integral on Time Scales as a Usual Lebesgue Integral", Elsevier, 4, pp.291-310 [5] Cohn (1997), "Measure Theory", Birkhuse, Boston [6] Craven (1982), "Lebesgue Measure and Integral", Pitmann Publishing, Edinburgh [7] E Akin-Bohner, M Bohner and F Akin (2005), "Pachpatte inequalities on time scales", J Inequal Pure Appl Math., no 1, pp 23 [8] Enrique R Pujals and Martín Sambarino (2009), "On the dynamics of dominated splitting", Annals of Mathematics, 169 , 675–740 [9] G Papaschinopoulos (1986), "Exponential separation, exponential dichotomy, and almost periodicity of linear difference equations", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 120 , 276–287 [10] G S Guiseinov and B Kaymakcalan (2002), "Basics on Riemann Delta and Nabla Integration on Time Scales", J Difference Equations Appl., No 8, pp 1001-1017 50 [11] G S Guiseinov (2003), "Integral on Time Scales", Elsevier Academic Press, No 285, pp 107-127 [12] G S Guiseinov and Bohner (2003), "Riemann and Lebesgue Integration", Advances in Dynamic Equations on Time Scales, pp 117-163 [13] H L Royden (2010), "Real analysis", China Machine Press [14] K J Palmer (1982), "Exponential dichotomy, integral separation and diagonalizability of linear systems of ordinary differential equations", Journal of Differential Equations, 43 , 184–203 [15] K J Palmer (1982), "Exponential separation, exponential dichotomy and spectral theory for linear systems of ordinary differential equations", Journal of Differential Equations, 46 , 324–345 [16] K J Palmer (1984), "An ordering for linear differential systems and a characterization of exponential separation in terms of reducibility", Journal of Differential Equations, 53 , 67–97 [17] L H Tien and L D Nhien (2015), "Dominated Splitting for Dynamic Equations on Time Scales", Preprint, VIASM [18] M Carter and V B Brunt (2000), "The Lebesgue-Stieltjes Integral", Springer - Verlag, NewYork [19] M Bohner and A Peterson (2001), "Dynamic equations on time scales: an introduction with applications", Birkh¨auser Boston, Inc [20] M Bohner and A Peterson (2003), "Advances in dynamic equations on time scales", Birkh¨auser Boston, Inc [21] N H Du and L H Tien (2007), "On the exponential stability of dynamic equations on time scales", J Math Anal Appl., 331, 1159 - 1174 [22] T Rzezuchowski (2005), "A Note on Measures on Time Scales", Demonstratio Mathematica, Vol.38, No pp 79 - 84 [23] W A Coppel (1987), "Dichotomies in Stability Theory", Springer-Verlag 51 [...]... nghĩa tích phân Cauchy trên thang thời gian thông qua khái niệm nguyên hàm Sau đó, tích phân Riemann và ∆−Lebesgue cũng được xây dựng tương tự trên T bởi Guseinov và Bohner để mở rộng lớp hàm khả tích trên thang thời gian Người ta cũng chỉ ra rằng nếu hàm khả tích ∆−Lebesgue thì cũng là khả tích Riemman và khả tích Cauchy trên thang thời gian 21 Chương 2 Mặt phẳng phức Hilger và hàm mũ trên thang thời gian. .. vậy, fn hội tụ đều trên T tới f Định lí được chứng minh 1.4 ✷ Tích phân Lebesgue trên thang thời gian Trong phần này, tích phân Lebesgue trên thang thời gian (hay gọi tắt là tích phân ∆−Lebesgue) được xây dựng dựa trên độ đo delta Từ đó, ta đưa ra một số tính chất cơ bản của tích phân ∆−Lebesgue tương tự như tích phân Lebesgue trong giải tích thực Định nghĩa 1.4.1 Cho E ⊂ T là tập ∆−đo được và S : T... nghĩa tích phân Lebesgue trên thang thời gian của các hàm đo được không âm và một số tính chất quen thuộc được suy rộng lên thang thời gian Định nghĩa 1.4.2 Cho E ⊂ T là tập ∆−đo được và f : T → [0, +∞] là hàm ∆−đo được Khi đó tích phân Lebesgue của f trên E được xác định bởi f (s)∆s = sup S(s)∆s E E trong đó supremum lấy theo các hàm đơn giản không âm S mà S ≤ f trên T Định lý 1.4.1 (Bổ đề Beppo Levi trên. .. rằng f là khả tích Lebesgue trên E nếu có ít nhất một trong hai tích phân f + (s)∆s hoặc f − (s)∆s hữu hạn Lúc đó, ta định nghĩa tích phân Lebesgue của E E f trên E bởi E f − (s)∆s f + (s)∆s − f (s)∆s = E E Tương tự như tích phân Cauchy, ta cũng có một số tính chất cơ bản của tích phân ∆−Lebesgue được nêu trong định lí dưới đây 19 Mệnh đề 1.4.2 Cho f , g là hai hàm khả tích Lebesgue trên tập E là ∆−đo... f + g là khả tích Lebesgue trên E, b) a f (s)∆s = a E c) f (s)∆s, E ( f (s) + g(s))∆s = E f (s)∆s + E g(s)∆s, E d) Nếu f (t) ≤ g(s) với mọi t ∈ E, khi đó f (s)∆s ≤ g(s)∆s E E Chứng minh Royden 2010 [13] Nhận xét 1.4.1 Tích phân Lebesgue trên đường thẳng thực cùng nhận giá trị bằng nhau trên các khoảng I = [a.b], (a, b], [a, b) hoặc (a, b) Tuy nhiên, tích phân Lebesgue trên thang thời gian tổng quát... Beppo Levi trên thang thời gian) Cho { fn } là dãy các hàm khả tích Lebesgue trên tập ∆−đo được E thỏa mãn fn ≤ fn+1 (∆ − h.k.n) với mọi n ∈ N và lim fn (s)∆s < ∞ Khi đó, tồn tại hàm khả tích Lebesgue f sao cho n→∞ E fn ↑ f fn (s)∆s ↑ và E f (s)∆s E Chứng minh Aliprantis và Burkinshaw 1998 [3] ✷ Định lý 1.4.2 (Bổ đề Fatou trên thang thời gian. ) Cho { fn }n∈N là dãy hàm khả tích Lebesgue trên tập E là... mũ trên thang thời gian được đưa ra trong chương này nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu tính phân tích trội của hệ tuyến tính không ô - tô - nôm trong Chương 3 2.1 Mặt phẳng phức Hilger Để định nghĩa hàm mũ trên thang thời gian, Hilger đã đưa ra khái niệm mặt phẳng phức Hilger (1988) mà trong đó, các phép toán được xây dựng với các số phức Hilger được suy rộng cho phép toán đối với hàm mũ tổng quát trên. .. lý 1.4.4 (Định lí hội tụ bị chặn) Cho g là hàm khả tích Lebesgue trên E và { fn } là dãy các hàm ∆−đo được thỏa mãn | fn (t)| ≤ g(t) trên E và f (t) = lim fn (t) ∆ − h.k.n Khi đó f (t)∆t = lim E fn (t)∆t E Chứng minh Aliprantis và Burkinshaw 1998 [3] Tiếp theo, ta định nghĩa tích phân Lebesgue cho hàm bất kì trên thang thời gian và các tính chất tích phân Định nghĩa 1.4.3 Cho E ∈ T là tập ∆−đo được và... được chứng minh ✷ Định lí thác triển Caratheodory phát biểu rằng cho trước độ đo m trên nửa vành, ta có thể mở rộng thành độ đo ngoài m∗ và từ đó xác định một σ −đại số A Ta gọi µ∆ là hạn chế của m∗ lên các tập ∆−đo được, lúc đó µ∆ là độ đo trên thang thời gian T Dưới đây là một số tính chất của độ đo trên thang thời gian Mệnh đề 1.2.3 (Định lí về dãy đơn điệu) Cho {En } là dãy tập đơn điệu tăng (hay... Cho T là thang thời gian rời rạc (tất cả các điểm thuộc T là điểm cô lập) và mọi hàm f xác định trên T Khi đó f là ∆−đo được Chứng minh Do thang thời gian là rời rạc nên tập f −1 ([−∞, α)) là hợp của các tập chỉ có một phần tử do đó f là ∆−đo được ✷ Nhận xét 1.3.1 Nếu f là hàm chỉ xác định trên tập con của T gồm các điểm cô lập thì f là ∆−đo được Hay nói cách khác, hàm f |SR là hàm ∆−đo được trên SR