Một số dạng bài toán tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VIỆT HÙNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VIỆT HÙNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN TỔ HỢP Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VŨ LƯƠNG Hà Nội 2013 Mục lục LỜIMỞĐẦU Các toán tập hợp 1.1 Một số ví dụ 1.2 Bài tập đề nghị Các toán phép đếm 2.1 Tóm tắt lý thuyết 2.2 Một số ví dụ 2.3 Sử dụng phép đếm để chứng 2.4 Bài tập đề nghị Các toán số tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị 3.1 Chứng minh hệ thức s 3.2 Nhị thức Newton toán t 3.3 Nhị thức Newton số phức 3.4 Sử dụng đạo hàm, tích phân v đẳng thức tổ hợp 3.5 Bài tập đề nghị Một số toán tổ hợp nâng cao 4.1 Các toán sử dụng quan hệ 4.2 Các toán sử dụng song án 4.3 Phương pháp quỹ đạo 4.4 Một số dạng toán khác i Các toán sử dụng nguyên lý Dirichlet 5.1 Nguyên lý Dirichlet 5.2 Các ví dụ 5.3 Bài tập đề nghị KẾTLUẬN TÀILIỆUTHAMKHẢO Lời mở đầu iii LỜI MỞ ĐẦU Các toán tổ hợp xuất cách thường xuyên đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế chúng xem dạng tốn khó phần lớn học sinh Hẳn phải đau đầu trước toán tổ hợp Đặc điểm tốn tổ hợp khơng cần đến nhiều cơng thức cồng kềnh hay phức tạp mà để giải chúng chủ yếu dựa vào tư nhạy bén Thêm vào tính trừu tượng dễ gây nhầm lẫn cho Chính lẽ mà nhiều nước giới họ đưa nội dung tốn tổ hợp vào chương trình mơn toán từ sớm cho lớp Trung học sở Cịn nước ta chưa đưa vào sách giáo khoa thống cho học sinh Trung học sở, loại toán thường sử dụng (như thách thức đáng kể nhất) cho kì thi học sinh giỏi thi vào trường chuyên, lớp chọn Chọn đề tài "Một số dạng tốn tổ hợp" chúng tơi lường trước khó khăn phải đối mặt Luận văn khơng có tham vọng trình bày cách đầy đủ hệ thống tất dạng toán tổ hợp (vì chúng vốn đa dạng phong phú) mà trình bày số kĩ mang tính kinh nghiệm để giải loại tốn Những lý thuyết trình bày sách giáo khoa, chúng tơi khơng nêu lại mà trình bày số công thức chưa thực phổ biến, sau sâu vào ví dụ để minh họa cho dạng toán phương pháp mà chúng tơi muốn nói đến Các ví dụ tốn chọn lọc cách cẩn thận từ nhiều nguồn tham khảo khác nhau, có số chúng tơi tự đưa Luận văn gồm chương Tuy nhiên cần phải nói thêm phân chia mang tính tương đối ý thức chủ quan tác giả mà thơi tốn học khơng có thực rõ ràng danh giới phần, phân môn khác Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Nguyễn Vũ Lương, người thầy tơi Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến giúp đỡ to lớn Những sai xót, khiếm Lời mở đầu iv khuyết điều khó tránh khỏi lỗi thuộc cá nhân tác giả Chúng mong nhận thơng cảm lời nhận xét, góp ý từ phía thầy, bạn bè đồng nghiệp Hà Nội, tháng năm 2013 Nguyễn Việt Hùng Chương Các tốn tập hợp 1.1 Một số ví dụ Ví dụ (Cơng thức tính lực lượng hợp tập hợp) Với n tập hợp hữu hạn tùy ý A1, A2, , An ta có đẳng thức n |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An| = |Ai| − i=1 − |Ai ∩ Aj | + 1≤i n) phải tồn (ít nhất) lồng chứa ngun nhỏ khơng nhỏ n (ví dụ ⌈ Chứng minh Chúng ta sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử khơng có lồng chứa từ lồng vượt Điều mâu thuẫn với giả thiết có tất m thỏ Vậy điều giả sử xảy 77 5.2 Các ví dụ Nguyên tắc Dirichlet phát biểu dạng tương tự khác sau Mệnh đề Nếu đoạn thẳng độ dài 1, đặt số đoạn thẳng có tổng độ dài lớn có hai số đoạn thẳng có điểm chung Mệnh đề Nếu đường trịn bán kính 1, đặt số cung có tổng độ dài lớn 2π có hai số cung có điểm chung Mệnh đề Nếu hình diện tích 1, đặt số hình có tổng diện tích lớn 2π có hai số hình có điểm chung Nhận xét 14 Mặc dù phát biểu đơn giản nguyên lý Dirichlet lại có ứng dụng bất ngờ hiệu nhiều lĩnh vực Ưu điểm nguyên lý cho phép khẳng định tồn đối tượng có tính chất mà khơng cần mơ hình cụ thể 5.2 Các ví dụ Chúng ta bắt đầu toán đơn giản sau Ví dụ 92 Xét tập hợp M = {1, 2, , 9} Với tập X M, ta kí x Chứng minh hiệu S(X) tổng phần tử thuộc X, tức S(X) = x∈X số 26 tập X M với |X| ≤ 3, tồn hai tập A B cho S(A) = S(B) LỜI GIẢI Ta chia tập X M thỏa mãn |X| ≤ vào lồng, lồng chứa tập có tổng phần tử Do ≤ S(X) ≤ 24 nên có tất 25 lồng Mà lại có 26 tập hợp, nên theo nguyên tắc Dirichlet phải tồn hai tập A, B thuộc lồng Tức tồn hai tập A, B cho S(A) = S(B) Ví dụ 93 Cho tập X = {1, 2, , 99 } Chứng minh số 51 phần tử X, ln có hai phần tử có tổng 100 5.2 Các ví dụ LỜI GIẢI Ta chia tập X thành cặp rời (1, 99), (2, 98), , (50, 50) Vì có 50 cặp 51 phần tử nên phải tồn hai phần tử thuộc cặp Hai phần tử thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 94 Trong giao lưu, người bắt tay người khác Chứng minh có hai người có số lần bắt tay LỜI GIẢI Giả sử giao lưu có n người Gọi x i số lần bắt tay người thứ i (1 ≤ i ≤ n) Ta có ≤ xi ≤ n − ∀i nên tồn k, m cho xk = xm Nhận xét 15 Điểm mấu chốt lời giải tốn có sử dụng nguyên lý Dirichlet phải nhìn đối tượng "thỏ" đối tượng "lồng" Ví dụ tốn cổ điển phần nhỏ lớp rộng tốn dạng Turan Ví dụ 95 Chứng minh người ln tìm người đơi quen đơi không quen LỜI GIẢI Để cho đơn giản, ta phát biểu lại tốn sau: Cho điểm hai điểm nối với đoạn thẳng tô hai màu xanh đỏ Chứng minh ta tìm tam giác có ba cạnh màu B C D A Ta gán nhãn cho điểm A, B, C, D, E, F Từ điểm A có đoạn thẳng AB, AC, AD, AE, AF Vì đoạn tô hai màu nên 5.2 Các ví dụ theo nguyên lý Dirichlet, tồn ba đoạn tơ màu Khơng tính tổng quát, giả sử đoạn AB, AC, AD chúng tô màu xanh Nếu tồn đoạn thẳng ba đoạn BC, CD, DB tơ màu xanh tốn chứng minh (giả sử BC tô màu xanh tam giác ABC thỏa mãn) Nếu ba đoạn BC, CD, DB tơ màu đỏ tam giác ABD thỏa mãn Vậy toán chứng minh trọn vẹn Ví dụ 96 Cho tập X = {1, 2, , 81 } Chứng minh phần tử tùy ý X, ln có hai phần tử a, b cho √ √ < a − b ≤ √ LỜI GIẢI Xét phần tử x 1, x2, x3 X Ta có ≤ xi ≤ Chia đoạn [1, 3] thành hai đoạn rời [1, 2] [2, 3] Theo nguyên lý Dirichlet ba √ √ √ số x1, x2, x3 phải có hai số thuộc vào đoạn Giả sử hai số √ √ a, b a, b hai số thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ 97 Cho bảng vng gồm n × n vng Mỗi vng điền số 0, 1, Chứng minh không tồn bảng vuông mà tổng ô hàng ngang, cột dọc đường chéo số khác hoàn toàn LỜI GIẢI Tổng số hàng, cột đường chéo có giá trị nhỏ có giá trị lớn 2n Ta có tất 2n + tổng (do có n hàng, n cột đường chéo) mà có 2n + giá trị (từ tới 2n) nên theo nguyên lý Dirichlet phải có hai tổng có giá trị Bài tốn chứng minh Ví dụ 98 Một bà mẹ chiều con, ngày cho kẹo Để hạn chế, tuần bà cho không 12 kẹo Chứng minh số ngày liên tiếp bà mẹ cho tổng số 20 kẹo LỜI GIẢI Xét 11 tuần liên tiếp Gọi S(n) tổng số kẹo mà bà mẹ cho tính đến ngày thứ n (1 ≤ n ≤ 77) Xét 154 số sau: S (1), S(2), , S(77), S(1) + 20, S(2) + 20, , S(77) + 20 5.2 Các ví dụ Vì ngày bà mẹ cho kẹo nên S (n) ≥ n ≥ 1, tuần bà cho không 12 nên S (n) ≤ S(77) ≤ 11.12 = 132 Dễ thấy S(k) = S(m), ∀k = m Mặt khác, có 154 số nhận khơng 132 giá trị nên tồn hai số Nghĩa tồn k, m cho S(k) = S(m)+20 hay S(k) − S(m) = 20 Vậy kể từ ngày thứ m + đến ngày thứ k bà mẹ cho 20 kẹo LỜI GIẢI Xét 21 ngày liên tiếp kể từ ngày Gọi S(n) tổng số kẹo mà bà mẹ cho tính đến ngày thứ n (1 ≤ n ≤ 21) Rõ ràng S (m) = S(n), ∀m = n ≤ S(n) ≤ 3.12 = 36 Vì có 21 số nên tồn m > n (1 ≤ m, n ≤ 21) cho S(m) ≡ S(n) (MOD 20) Nhưng < S(m) − S(n) < 36 nên suy S (m) − S(n) = 20 Như vậy, kể từ ngày thứ n + đến ngày thứ m, bà mẹ cho 20 kẹo Ví dụ 99 (Việt Nam, 2004) Cho tập hợp A = {1, 2, , 16} Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho tập gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a, b mà a2 + b2 số nguyên tố LỜI GIẢI Nếu a, b chẵn a2 + b2 hợp số Do tập X A có hai phần tử phân biệt a, b mà a + b2 số nguyên tố X khơng thể chứa số chẵn Suy k ≥ Ta chứng tỏ k = giá trị nhỏ thỏa mãn yêu cầu Điều có nghĩa với tập X gồm phần tử A ln tồn hai số phân biệt a, b mà a2 + b2 số nguyên tố Để chứng 5.2 Các ví dụ minh khẳng định này, ta chia tập A thành cặp hai phần tử phân biệt a, b mà a2 + b2 số nguyên tố, ta có tất cặp (1, 4), (2, 3), (5, 8), (6, 11), (7, 10), (9, 16), (12, 13), (14, 15) Theo nguyên lý Dirichlet phần tử X phải có hai phần tử thuộc cặp ta có điều phải chứng minh Ví dụ 100 Trong không gian cho 2n + điểm phân biệt (n > 2) Biết ba điểm số 2n + điểm có hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ (đơn vị độ dài) Chứng minh có n + điểm số 2n + điểm cho nằm hình cầu bán kính LỜI GIẢI Gọi A, B hai điểm xa Nếu AB < hình cầu tâm A (hoặc B) bán kính chứa tất điểm lại Nếu AB ≥ với điểm C số 2n − điểm lại (C khác A B) ln có AC < BC < (theo giả thiết) Tức C thuộc hình cầu (A, 1) thuộc hình cầu (B, 1) Vì có tất 2n − điểm hai hình cầu nên theo ngun lý Dirichlet phải có với tâm hình cầu chứa chúng thỏa mãn yêu cầu đề Ví dụ 101 (Thi HSG QG lớp 9, 1995) Trong hình vng có độ dài cạnh 4, cho trước 33 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Người ta √ vẽ đường trịn bán kình có tâm điểm cho Hỏi có hay khơng ba điểm số điểm cho thuộc vào phần chung ba hình trịn có tâm ba điểm LỜI GIẢI Ta chia hình vng cho thành 16 hình vng nhỏ cạnh đường thẳng song song với cạnh hình vng Vì có 33 điểm nên theo ngun lý Dirichlet tồn vuông nhỏ Ba điểm thỏa mãn yêu cầu đề Ví dụ 102 (Thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP HN, 1993) Cho 40 số nguyên dương a1, a2, , a19 b1, b2, , b21 thỏa mãn ≤ a1 < a2 < < a19 ≤ 200 ≤ b1 < b2 < < b21 ≤ 200 Chứng minh tồn bốn số a i, aj , bk, bl (1 ≤ i, j ≤ 19, ≤ k, l ≤ 21) cho < aj , bk < bl aj − = bl − bk 5.2 Các ví dụ LỜI GIẢI Xét tổng có dạng a i + bj Có tất 19.21 = 399 tổng Các tổng nhận giá trị từ đến 400 Nếu tổng nhận đủ 399 giá trị từ đến 400 a1 = b1 = a19 = b21 = 200 ta có điều phải chứng minh Nếu tổng không nhận đủ 399 giá trị từ đến 400 phải tồn hai tổng (theo nguyên lý Dirichlet) ta có điều phải chứng minh Ví dụ 103 (Czech, 1998) Cho X tập hợp gồm 14 số nguyên dương phân biệt Chứng minh có số nguyên dương k ≤ có hai tập k− phần tử {a1, a2, , ak}, {b1, b2, , bk} rời X cho LỜI GIẢI Xét C14 phần tử tập rõ ràng không vượt nên phải thuộc vào số 2600 nửa khoảng Ví dụ 104 Chứng minh từ số thực ta chọn hai số x, y cho ≤ LỜI GIẢI Ta kí hiệu số thực (đánh số lại cần) Khi tồn số với αi ∈ − khoảng − π : Vì có số mà lại có đoạn nên phải tồn hai số, giả sử α ≤ β, thuộc đoạn Thế ta có π 0≤β−α≤ 5.3 Bài tập đề nghị Do π 0≤TAN(β−α)≤TAN6 hay ≤ Như tồn hai số x = TAN β, y = TAN α thỏa mãn đề Ví dụ 105 Chứng minh với a, b, c > ta ln có 2 a + b + c + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca) LỜI GIẢI Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 a + 2abc − 2a(b + c) + b + c − 2bc ≥ 2 (a − 1) + 2a(b − 1)(c − 1) + (b − c) ≥ Bất đẳng thức (b − 1)(c − 1) ≥ Trong ba số a − 1, b − 1, c − phải tồn hai số không âm khơng dương (theo ngun lý Dirichlet) Khơng tính tổng quát, giả sử hai số b − c − (do a, b, c có vai trị nhau) Như có điều phải chứng minh 5.3 Bài tập đề nghị Bài 61 Cho tập X = {1, 2, , 1000} Chứng minh số 501 phần tử X ln có hai phần tử nguyên tố Bài 62 Chứng minh số 39 số tự nhiên liên tiếp tìm số mà tổng chữ số chia hết cho 11 Bài 63 Cho tập X = {1, 2, , 200} Chứng minh với tập A X có số phần tử 101 tồn hai phần tử mà phần tử bội phần tử Bài 64 Trong hình vng cạnh (đơn vị dài) có 101 điểm phân bố tùy ý Chứng minh có điểm nằm hình trịn bán kính 1/7 5.3 Bài tập đề nghị Bài 65 (Thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP HN, 1993) Cho số nguyên phân biệt n1, n2, n3, n4, n5 Chứng minh tích (n1−n2)(n1−n3)(n1−n4)(n1−n5)(n2−n3)(n2−n4)(n2−n5)(n3−n4)(n3−n5)(n4−n5) chia hết cho 288 Bài 66 Bên tam giác cạnh (đơn vị độ dài) đặt điểm tùy ý Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ 1/2 Bài 67 Các nút tờ giấy kẻ caro vô tận tô hai màu Chứng minh tồn hai đường thẳng nằm ngang hai đường thẳng đứng mà giao chúng điểm có màu Bài 68 Bên hình vng cạnh đặt số đường trịn có tổng độ dài 10 Chứng minh ln tìm đường thẳng cắt số đường trịn cho Bài 69 Chứng minh từ số thực phân biệt chọn hai số a b cho √ a−b 0< < 2−1 Bài 70 Chứng minh số thực dương khơng nhỏ ln có hai số a, b cho (a − 1)(b ab Kết luận Kết luận Luận văn trình bày số dạng toán thường gặp tổ hợp Cùng với việc phân chia thành dạng, chúng tơi trình bày kĩ điển hình kinh nghiệm việc xử lý tốn Luận văn gồm chương Trong chương, trước tiên trình bày cơng thức, lý thuyết có tính chất cơng cụ việc giải tốn Các cơng thức khơng đề cập đến sách giáo khoa thông thường Sau phần lý thuyết quan trọng nhiều ví dụ minh họa Đây hầu hết tập sưu tầm, tuyển chọn cách cần thận từ nhiều nguồn tài liệu khác Nhiều số đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào trường chuyên lớp chọn Tư tưởng xuyên suốt luận văn tập trung sâu vào phân tích lời giải toán cụ thể Tác giả “gửi gắm” nhiều kĩ (có kinh nghiệm) lời giải Vì người đọc cần xem xét kĩ toán cụ thể thấy tầm quan trọng chúng Phần cuối chương đưa vào nhiều tập (từ mức độ trung bình khó) để bạn đọc tự thử sức nhằm củng cố khắc sâu thêm sau đọc xong chương Cụ thể chương sau: Chương Các toán tập hợp Tập hợp khái niệm quan trọng tốn học, xuất hầu hết lĩnh vực, đặc biệt tổ hợp Tác giả cho dạng toán cần phải tìm hiểu học tổ hợp Trọng tâm chương “công thức bao hàm loại trừ” Công thức công cụ đắc lực giúp giải nhiều tốn khó tập hợp liên quan đến tập hợp Chương Các toán phép đếm Chương trình bày vế hai vấn đề: Một kĩ giải toán số hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp Hai sử dụng phương pháp đếm hai cách để chứng minh toán đẳng thức tổ hợp Đây phương pháp hay độc đáo mà qua hiểu thêm ý nghĩa số hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp Khơng thế, Kết luận cách người ta cịn sang tạo đẳng thức tổ hợp đẹp khó Chương Các tốn số tổ hợp, chỉnh hợp hốn vị Chương trình bày bốn vến đề: Một kĩ giải tốn có liên quan tổ hợp số học Hai kết hợp nhị thức Newton tốn tổng tổ hợp Trong đề cập đến nhiều toán hệ số nhị thức, tốn tính (hoặc thu gọn) tổng hữu hạn Đây nội dung bản, có ích cho học sinh giáo viên vấn đề ôn, luyện thi đại học Có loại tổng tổ hợp khó mà phải sử dụng đồng thời nhị thức Newton công cụ số phức Đây nội dung phần ba chương Trọng tâm chương phần bốn Trong phần tác giả trình bày cách xây dựng đẳng thức tổ hợp việc phối hợp đạo hàm, tích phân nhị thức Newton Có thể tốn mà tác giả đưa không hồn tồn tác giả tự xây dựng Điều cần thiết giáo viên dạy toán Chương Các toán tổ hợp nâng cao Đây phần khó luận văn Ở tác giả trình bày ba phương pháp hiệu để xử lý tổ hợp khó Đó phương pháp sử dụng quan hệ truy hồi, tốn điển hình phương pháp phải kể đến “Bài toán tháp Hà nội”một tốn cổ điển có ý nghĩa lịch sử Phương pháp sử dụng song ánh (hay phương pháp tương ứng 11) là kĩ đầy hiệu lực bất n gờ nhiều tình hóc búa Rèn luyện trau dồi kĩ cần thiết nhiên khó địi hỏi nhiều kinh nghiệm lẫn thông minh Một phương pháp quỹ đạo hay độc đáo Nếu nghiên cứu kĩ khơng có cơng cụ tốt để giải tốn mà cịn sáng tạo toán tương tự Cuối chúng tơi có trình bày số tốn dạng khác như: nguyên lý cực hạn, rời rạc, bất biến, tơ màu, Đó dạng tốn hay khó tổ hợp Chương chương cuối luận văn, chúng tơi dành để trình bày ngun lý đặc biệt quan trong tổ hợp Đó nguyên lý tiếng mang tên nhà toán học người Đức Dirichlet Nguyên lý có nhiều Kết luận tên gọi khác có phát biểu tưởng chừng đơn giản, ứng dụng khơng nhỏ chút nào, bất ngờ Điều phần thể toán cụ thể mục này, đọc cảm nhận Với chương nhiều vấn đề phong phú, luận văn làm tài liệu tham khảo cho học sinh việc rèn luyện, nâng cao khả học mảng tốn khó tổ hợp Đồng thời sử dụng để làm giảng Có số nội dung luận văn tác giả trình bày giảng cho học sinh trường THPT Chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN Những hướng nghiên cứu tiếp theo: có điều kiện phát triển đề tài nữa, tập trung vào số phương pháp kĩ như: phương pháp tô màu, nguyên lý bất biến nửa bất biến, nguyên lý cực hạn, phương pháp hàm sinh tốn hình học tổ hợp Nói chung dạng tốn khó, địi hỏi phải đầu tư nhiều thời gian, sức lực trí tuệ Tài liệu tham khảo Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1 ] Các giảng Toán khối THPT Chuyên ToánTin, ĐHKHTN, ĐHQGHN [2 ] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp Toán rời rạc, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2008 [3 ] Phan Huy Khải, Các phương pháp giải toán sơ cấp Giải tíchTổ hợp 12 , Nhà xuất Hà Nội, 2002 [4 ] Phạm Minh Phương, Một số chuyên đề toán tổ hợp, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2010 [5 ] Tạp chí tốn học tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục [6 ]Các tài liệu sưu tầm từ internet: Mathscope.org Tiếng Anh [7 ] Titu Andreescu, Zuming Feng, A Path to Combinatorics for Undergrad uates Counting Strategies, Birkhauser, 2004 [8 ] Jiri Herman, Radan Kucera, Jaromir Simsa, Counting and Configura tions, SpingerVerlag, 2003 ... 2.4 Bài tập đề nghị Bài 17 Có số nguyên dương nhỏ 1000.000 mà tổng chữ số 19 Bài 18 a) Có xâu nhị phân chứa tám số mười số sau số thiết phải số b) Có xâu nhị phân chứa năm số mười bốn số sau số. .. tài "Một số dạng toán tổ hợp" lường trước khó khăn phải đối mặt Luận văn khơng có tham vọng trình bày cách đầy đủ hệ thống tất dạng toán tổ hợp (vì chúng vốn đa dạng phong phú) mà trình bày số. .. tập đề nghị Một số toán tổ hợp nâng cao 4.1 Các toán sử dụng quan hệ 4.2 Các toán sử dụng song án 4.3 Phương pháp quỹ đạo 4.4 Một số dạng toán khác i Các toán sử dụng nguyên lý