Một số phương trình hàm cơ bản và phương pháp giải 13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ VÂN MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ VÂN MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy HÀ NỘI - 2015 L˝IC MèN Lun vôn n y ữổc ho n th nh vợi sỹ hữợng dÔn v ch bÊo tn tnh ca PGS TS Nguy„n Nhưy Nh¥n dàp n y tł ¡y lặng mnh, em xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn trƠn trồng v sƠu sc tợi PGS TS Nguyn Nhửy, ngữới thy  quan tƠm, ng viản v sỹ ch bÊo hữợng dÔn nhiằt tnh, chu Ăo nhng líi ºng vi¶n kh‰ch l» em suŁt qu¡ tr…nh l m lun vôn Em cụng xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh ca mnh n quỵ Thy Cổ gi¡o khoa To¡n Cì Tin, phỈng Sau ⁄i håc, phặng o to Trữớng i Hồc Khoa hồc Tỹ nhiản HQGHN, °c bi»t l nhœng Thƒy Cỉ gi¡o ¢ tłng gi£ng d⁄y ð lỵp PPTSC, khâa håc 2013 2015 C£m ỡn Thy Cổ  truyãn thử cho em kin thức v gióp ï em suŁt qu¡ tr…nh håc t“p ti khoa ỗng thới, em xin gòi lới cÊm ỡn tỵi t“p th” lỵp Cao Håc To¡n PPTSC, khâa håc 2013 - 2015  ng viản, giúp ù em sut quĂ trnh vit v chnh sòa lun vôn n y CuŁi cịng, em xin gßi líi c£m ìn ‚n nhng ngữới thƠn gia nh v bn b  ln ıng hº, t⁄o i•u ki»n thu“n lỉi v nhi»t t…nh gióp ï em thíi gian vła qua M°c dũ  rĐt c gng song sỹ hiu bit câ h⁄n cıa b£n th¥n v khn khŒ cıa lu“n vôn thc sắ, nản chc rng quĂ trnh nghiản cøu khỉng tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât, em r§t mong ữổc sỹ ch dy v õng gõp ỵ kin ca Thy Cổ v c giÊ quan tƠm tợi Lun vôn n y H Nºi, ng y 15 th¡ng 09 n«m 2015 Hồc viản Vụ Th VƠn Mửc lửc 0.1 Mửc ch ca ã t i lun vô 0.2 B cưc cıa lu“n v«n Mºt sŁ ph÷ìng tr…nh h m cì b£n v v‰ dư 1.1 Mºt sŁ ph÷ìng tr…nh h m 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7 1.1.8 1.1.9 1.2 C¡c v‰ dö ¡p döng Mºt v i ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr…nh h m 2.1 Ph÷ìng ph¡p °t 'n phư 2.1.1 2.1.2 2.2 Phữỡng phĂp ữa vã hằ phữ 2.2.1 2.2.2 2.3 Phữỡng ph¡p chuy”n qua g 2.3.1 C¡c v‰ dö 53 Phữỡng trnh h m vợi miãn x¡c ành l t“p c¡c sŁ tü nhi¶n 69 3.1 T…m cỉng thøc tŒng qu¡t cıa d¢y sŁ b‹ng c¡ch ữa vã cĐp s 70 3.2 Tm cổng thức tng qu tr÷ng 3.2.1 3.2.2 3.3 Mºt sŁ ph÷ìng tr…nh h m K‚t lu“n T i li»u tham kh£o M— U I C×ÌNG V PH×ÌNG TR NH H M V C U TRĨC CÕALU NV N Ph÷ìng tr…nh h m l ph÷ìng tr…nh â 'n sŁ l mºt h m sŁ n o â, vi»c gi£i ph÷ìng tr…nh h m l i t…m cĂc h m s thọa mÂn iãu kiằn ca ã b i, mỉi h m s thọa mÂn phữỡng trnh h m ÷ỉc gåi l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh h m CĐu trúc ca phữỡng trnh h m gỗm ba phƒn ch‰nh Ph÷ìng tr…nh h m cì b£n v c¡c v‰ dư Mºt v i ph÷ìng ph¡p gi£i phữỡng trnh h m Phữỡng trnh h m vợi xĂc nh l s tỹ nhiản Phữỡng trnh h m nâi chung l mºt d⁄ng to¡n khâ cıa Gi£i t‰ch nâi ri¶ng v cıa to¡n håc nâi chung Nh…n chung vi»c gi£i ph÷ìng tr…nh h m th÷íng khỉng theo mºt quy t›c tŒng qu¡t n o c£ Gi£i phữỡng trnh h m ặi họi phÊi cõ sỹ tữ s¡ng t⁄o, v“n döng mºt c¡ch linh ho⁄t c¡c ki‚n thøc ¢ håc v o tłng b i to¡n cư th” Vi»c t…m líi gi£i phư thuºc v o tłng ph÷ìng tr…nh h m cư th” v mºt v i iãu kiằn r ng buc Tuy nhiản cụng cõ nhng b i toĂn vã phữỡng trnh h m câ c¡ch gi£i gƒn giŁng nhau, câ nhœng ph÷ìng tr…nh h m cõ cĐu trúc tữỡng tỹ nhau, nhng c tr÷ng cì b£n giŁng V… th‚, ta cƒn câ mt sỹ phƠn lợp cĂc loi phữỡng h m tm phữỡng phĂp giÊi i diằn cho mỉi lợp Ti‚p theo ta cƒn s›p x‚p c¡c ph÷ìng tr…nh h m cõ th ữa ữổc vã loi cĂc phữỡng tr… nh h m ¢ kh£o s¡t b‹ng c¡ch thøc n o â Ti‚p theo nœa, l ÷a mºt sŁ kÿ thu“t °c tr÷ng ” gi£i ph÷ìng tr…nh h m CuŁi cịng giŁng nh÷ c¡c b i to¡n ” ngọ em xin nảu mt s nh hữợng giÊi ph÷ìng tr…nh h m m t⁄m gåi l ph÷ìng ph¡p C¡c ph÷ìng ph¡p n y câ ÷ỉc l nhí vi»c phƠn loi cĐu trúc phữỡng trnh h m th nh c¡c ph÷ìng tr…nh h m tŒng qu¡t câ c¡ch gi£i t÷ìng tü Ph÷ìng tr…nh h m cơng l mºt chuyản ã quan trồng thuc chữỡng tr nh toĂn cĂc trữớng THPT c biằt l cĂc trữớng chuyản CĂc b i toĂn cõ liản quan n phữỡng trnh h m cơng l c¡c b i t“p khâ, th÷íng g°p c¡c ký thi håc sinh giäi c§p quŁc gia, c§p khu vüc, c§p quŁc t‚ v c¡c ký thi Olympic to¡n sinh vi¶n.Tuy nhi¶n, cho ‚n nay, håc sinh cĂc trữớng chuyản, lợp chồn nõi riảng v ngữới l m toĂn nõi chung cặn bit rĐt t cĂc ph÷ìng ph¡p ch‰nh thŁng ” gi£i c¡c b i to¡n vã phữỡng trnh h m, thm ch b lúng túng khổng nh hữợng ữổc tip cn mt phữỡng trnh h m CĂc t i liằu vã phữỡng trnh h m cặn t v chữa cõ mt t i liằu n o tr…nh b y ƒy ı c¡c kh‰a c⁄nh cıa ph÷ìng tr…nh h m Do â, câ th” gióp hồc sinh tip cn vợi phữỡng trnh h m d d ng hìn v gi£i quy‚t ÷ỉc mºt sŁ b i toĂn vã phữỡng trnh h m l mt yảu cu ht sức cn thit nản em chồn ã t i " Mºt sŁ ph÷ìng tr…nh h m cì b£n v phữỡng phĂp giÊi " 0.1 Mửc ch ca ã t i lu“n v«n Mưc ‰ch cıa lu“n v«n l dỹa trản viằc tm hiu cĂc phữỡng trnh h m v cĂc t i liằu liản quan n phữỡng trnh h m hnh th nh nản phữỡng phĂp phƠn tch, khai thĂc cĂc d liằu, dỹ oĂn cĂc hữợng gi£i, c¡c kÿ thu“t bi‚n Œi tr¶n cì sð õ hnh th nh nản mt s phữỡng phĂp cỡ b£n ” gi£i ph÷ìng tr…nh h m 0.2 BŁ cưc cıa lu“n v«n B i lu“n v«n " Mºt sŁ ph÷ìng tr…nh h m cì b£n v ph÷ìng ph¡p gi£i " gỗm cõ: M u, chữỡng ni dung, kt lu“n v t i li»u tham kh£o Ch÷ìng Mºt sŁ ph÷ìng tr…nh h m cì b£n v c¡c v‰ dư Trong ch÷ìng n y em ÷a c¡c B i to¡n cì b£n cıa ph÷ìng tr…nh h m v c¡c nghi»m cıa b i to¡n â Câ nhi•u B i toĂn cỡ bÊn Ơy ữổc giợi thiằu ([1]) v ([2]) Nhœng b i to¡n ¢ câ líi gi£i ([1]) v ([2]), th… Lu“n v«n n y ta ch¿ sß dưng k‚t ” gi£i c¡c b i to¡n kh¡c Ch÷ìng Mºt sŁ ph÷ìng ph¡p cì b£n gi£i ph÷ìng tr…nh h m Trong ch÷ìng n y em tr…nh b y mºt sŁ d⁄ng th÷íng g°p cıa ph÷ìng tr…nh h m v mºt sŁ ph÷ìng ph¡p cì b£n ” gi£i c¡c ph÷ìng tr…nh h m v c¡c v‰ dư ¡p dưng Ch÷ìng Ph÷ìng tr…nh h m vợi miãn xĂc nh l cĂc s tỹ nhiản õ l cĂc phữỡng trnh h m m t“p x¡c ành l t“p sŁ tü nhi¶n v c¡c c¡ch gi£i kh¡c Ch÷ìng Mºt sŁ ph÷ìng tr…nh h m cì b£n v v‰ dư Trong ch÷ìng n y ta giỵi thi»u mºt sŁ B i to¡n cì b£n v c¡c v‰ dö ¡p döng Mºt sŁ B i to¡n cì b£n ¢ câ líi gi£i c¡c t i li»u quen thuºc, cö th” l t i li»u ([1]) v ([2]), th… ta s‡ khæng tr…nh b y líi gi£i m ch¿ ÷a k‚t qu£ Ti‚p theo mưc 1.2 cıa ch÷ìng, em ÷a c¡c v‰ dö cö th” ¡p döng c¡c k‚t qu£ cıa c¡c B i to¡n cì b£n n y 1.1 1.1.1 Mºt sŁ ph÷ìng tr…nh h m cì b£n B i to¡n (Ph÷ìng tr…nh h m Cauchy) X¡c ành c¡c h m f(x) li¶n tưc tr¶n R thäa mÂn iãu kiằn f(x + y) = f(x) + f(y); 8x; y R (1:1) B i to¡n n y ¢ ÷ỉc tr…nh b y t i li»u ([1]) v ([2]), Ơy em ch ữa kt quÊ Nghi»m cıa b i to¡n l f(x) = ax; 1.1.2 8a R: TŒng qu¡t B i to¡n Cho a; b Rnf0g: T…m c¡c h m f(x) x¡c nh, liản tửc trản R v thọa m Ân iãu ki»n f(ax+by) = af(x)+bf(y); 8x; y R: (1:2) Gi£i Cho x = y = thay v o (1.2) ta ÷ỉc f(0) = af(0) + bf(0) , f(0):(a + b 1) = 0: a) N‚u a + b 6= th… f(0) = Tł (1.2) lƒn l÷ỉt cho x = 0; y = ta ÷ỉc f(by) = bf(y); f(ax) = af(x); 8y R 8x R: V“y (1.2) trð th nh f(ax + by) = af(x) + bf(y) = f(ax) + f(by): Khi â trð v• b i to¡n Cauchy câ nghi»m l f(x) = cx; vỵi c R b) N‚u a + b = th f(0) l tũy ỵ Khi õ ta °t g(x) = f(x) f(0): Cho x = y = th… g(0) = f(0) f(0) = thay v o (1.2) ta ÷ỉc g(ax + by) + f(0) = a[g(x) + f(0)] + b[g(y) + f(0)] , g(ax + by) = ag(x) + bg(y): Theo k‚t qu£ tr¶n th… g(x) = cx; vỵi c R V“y f(x) = cx + d vỵi d = f(0); c R tũy ỵ Thò li thĐy f(x) = cx + d thäa m¢n Nh“n x†t 1.1 Ngo i gi£ thi‚t li¶n tưc tr¶n R cıa h m cƒn t…m phữỡng trnh h m Cauchy nu thay bng cĂc iãu kiằn khĂc nhữ B i toĂn 1.1.3 dữợi Ơy th lợp h m nhn ữổc vÔn khổng thay i 1.1.3 B i to¡n ph÷ìng tr…nh h m Cauchy khỉng câ iãu kiằn liản tửc Chứng minh rng nu h m f : R ! R thọa mÂn phữỡng trnh h m Cauchy v f(x + y) = f(x) + f(y); 8x; y R mºt c¡c i•u ki»n f li¶n tưc t⁄i mºt i”m x0 R; V‰ dư 3.15 T…m h m f x¡c ành tr¶n N v thäa m¢n: 2f(n)f(k + n) 2f(k n) = 3f(k)f(n); n N; k n f(1) = Gi£i Cho k = n = thay v o bi”u thøc (3a) ta câ 2f(0)f(0) 2f(0) = 3f(0)f(0) f (0) + 2f(0) = a) N‚u f(0) = chån n = thay v o (3a) ta câ 2f(k) = , f(k) = 0; 8k Khi â n‚u chån k = ) f(1) = mƠu thuÔn vợi (3b) 2f(1)f(k + 1) , 2f(k + 1) 2f(k 1) = 3f(k): °t uk = f(k) thay v o (3c) ta ÷ỉc 2uk+1 2uk = 3uk v u0 = f(0) = 2; u1 = f(1) = X†t ph÷ìng tr…nh °c tr÷ng 2x 3x = 0: Phữỡng trnh cõ nghiằm phƠn biằt l " x = 2: 89 x2 = Khi â 1n n un = ( ) c1 + c2 â c1; c2 l c¡c hng s tũy ỵ thuc R thọa mÂn c + c = u0 = ( V“y un = 2:( hay f(n) = ( Thß l⁄i ta thĐy h m f va tm ữổc thọa mÂn i•u ki»n • b i V“y nghi»m cıa b i to¡n l 1n f(n) = ( ) ;n2N V‰ dö 3.16 (Düa theo b¡o To¡n håc v TuŒi tr· - th¡ng 11 - SŁ 369) + T…m t§t c£ h m f : R ! + R thäa mÂn: f(f(x))+f(x) = [2015 GiÊi 32016 +(2015 + Vợi mỉi x R ta x†t d¢y Tł gi£ thi‚t ta câ un+2 + un+1 = [2015 un > 0; 8n N: Suy phữỡng trnh c trững ca dÂy l x Phữỡng trnh trản cõ nghiằm phƠn biằt l x1 = 201532016 32016 x2 = (1 + 2015 Khi â X†t kh£ n«ng x£y l ): 32016 ):2]x; 8x R: c1 + 90 N‚u c2 > th… un < vỵi n là lợn MƠu thuÔn vợi giÊ thit u n > 0: N‚u c2 < th… un < vợi n chfin lợn MƠu thuÔn vợi giÊ thi‚t u n > 0: V“y ch¿ cỈn c2 = â un = c1(2015 32016 n ) : Do â 32016 u0 = c1(2015 ) =x , c1 = x n â f(x) = (2015 2016 ) x: Thß l⁄i, h m f vła t…m ữổc thọa mÂn iãu kiằn ca ã b i Vy h m f cƒn t… ml 32016 n f(x) = (2015 3.3 ) x: Mºt sŁ ph÷ìng tr…nh h m d⁄ng kh¡c Trong phƒn n y ta s‡ ÷a mºt sŁ v‰ dư v c¡c b i to¡n v• ph÷ìng tr… nh h m m khỉng th” gi£i b‹ng cĂc phữỡng phĂp ữa vã cĐp s hay phữỡng trnh c trững V dử 3.17 (IMO 1996 ) Tm tĐt c£ h m f : N! N thäa m¢n: f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n); 8m; n N GiÊi giÊi b i toĂn trản trữợc tiản ta s‡ Cho m = n = thay v o (1) ta câ f(f(0)) = f(f(0)) + f(0) , f(0) = 0: Cho m = thay v o (1) ta ÷ỉc f(f(n)) = f(f(0)) + f(n) 91 , V“y f(n) l f(f(n)) = f(n): i”m b§t ºng cıa f vỵi måi n N: V… v“y (1) trð th nh f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) = f(m) + f(n): Ti‚p theo ta gi£ sß w N cơng l i”m b§t ºng cıa f B‹ng qui n⁄p ta s‡ ch¿ kw cơng l i”m b§t ºng cıa f; vỵi måi k N: Th“t v“y a) Vỵi k = v k = l hai trữớng hổp ta  xt trản; b) GiÊ sò kw cơng l i”m b§t ºng cıa f; th… f((k + 1)w) = f(kw + w) = f(kw + f(w)) = f(kw) + f(w) = kw + w = (k + 1)w Nản (k + 1)w cụng l im bĐt ºng V“y kw cơng l i”m b§t ºng cıa f: N‚u f câ i”m b§t ºng t⁄i Th… theo trản ta cõ f(n) = 0; 8n N Rê r ng ¥y l mºt nghi»m cıa b i to¡n M°t kh¡c, gi£ sß f câ w > 0; w N l i”m b§t ºng nhä nh§t Ta s‡ ch¿ nhœng i”m b§t ºng kh¡c câ d⁄ng kw Tht vy, giÊ sò x cụng l im bĐt ng kh¡c cıa f m x câ d⁄ng x = kw + r â r < w: Ta câ: x = f(x) = f(kw + r) = f(r + f(kw)) = f(r) + f(kw) = f(r) + kw Tł â ta câ f(r) = x kw = r Do â r cơng l i”m b§t ºng m r < w, iãu n y mƠu thuÔn vợi giÊ thit w l i”m b§t ºng nhä nh§t Do v“y r = 0; hay x = kw: Theo tr¶n ta câ f(n) l im bĐt ng vợi mồi n N nản f(n) = c nw vỵi cn N Vỵi n N ta câ bi”u di„n n = kw + r â0 r < w: Ta câ f(n) = f(kw + r) = f(r + f(kw)) = f(r) + f(kw) = crw + kw = n (cr + k)w = (cr + [w])w: 92 Th“t v“y, ta cho m = kw + r; n = lw + s vỵi r; s < w: Thay v o (1) ta câ f(m + f(n)) = f(kw + r + f(lw + s)) = f(kw + r + (cr + l)w) = crw + kw + csw + lw = f(m) + f(n) V‰ dö 3.18 ( Theo IMO 1987) Chøng minh r‹ng khæng câ h m f : N! N thäa m¢n: f(f(n)) = n + 1987; 8n N: GiÊi GiÊ sò tỗn ti h m f thọa mÂn yảu cu b i toĂn GiÊ sò 9n N cho f(n + 1) = f(n); ta ÷ỉc f(f(n + 1)) = f(f(n)) ) n + + 1987 = n + 1987 , 1988 = 1987 (vổ lỵ) â f(n + 1) 6= f(n),khi â x£y hai trữớng hổp sau b) GiÊ sò f(n + 1) < f(n), ta câ n + 1987 = f(f(n)) ) f(f(f(n))) = f(n) + 1987 ) f(n+1987) = f(n)+1987: M f(n) > f(n + 1) n¶n f(n) f(n + 1) + 1: Suy f(n) f(n+1)+1 f(n+2)+2 ::: f(n+1987)+1987: Theo (3a) ta câ f(n + 1987) b) 1987 f(n + 1987) + 1987 (vổ lỵ) GiÊ sò f(n + 1) > f(n); 8n N; hay f(n + 1) f(n) + 1; 8n N: Tł f(n + 1987) f(n + 1986) + ::: f(n) + 1987: 93 N‚u f(n + 1987) > f(n) + 1987 th… f tông nghiảm ngt nản f(f(n + 1987)) > f(f(n) + 1987) f(f(n)) + 1987: Do â n + 2:1987 > n + 2:1987 (Vổ lỵ) T (3b) ta cõ f(n + 1987) = f(n) + 1987; â c¡c dƒu b‹ng ð (3b) công x£y ra, tøc la f(n + 1) = f(n) + = f(n 1) + = :::: = f(1) + n ) f(n) = n + f(1) = n + a vỵi a = f(1) Z 1987 M f(f(n)) = n + 2a = n + 1987 ) a = 2= Z: Vy khổng cõ h m f thọa mÂn yảu cƒu cıa B i to¡n V‰ dö 3.19 ( Düa theo IMO 1987) T…m h m f : N! N thäa m¢n: f(f(n))+f(n) = 2n+3; 8n N: Gi£i Gi£ sò tỗn ti h m s thọa mÂn yảu cu b i to¡n Vỵi n = ta câ f(f(0)) + f(0) = 2:0 + ) f(0) a) N‚u f(0) = th… f(f(0)) + f(0) = 6= 3; mƠu thuÔn b) Nu f(0) = th… f(2) + = ) f(2) = M f(1) = f(f(2)) = 2:2 + f(2) = 6; tł â f(6) = f(f(1)) = 2:1 + f(1) = 2= N: V“y f(0) 6= 2: c) N‚u f(0) = t÷ìng tü ta cơng chøng minh ÷æc f(0) 6= 3: 94 d) N‚u f(0) = ta câ f(f(0)) + f(0) = ) f(1) = f(f(0)) = = + = = + 1: V f(f(1)) + f(1) = 2:1 + , f(2) = Khi â ta s‡ chøng minh h m sŁ cƒn t…m l f(n) = n + 1: Th“t v“t b‹ng ph÷ìng ph¡p qui n⁄p ta câ: Vỵi n = th… f(0) = 1: GiÊ sò khflng nh úng vợi n = k; (k N); tøc l f(k) = k + 1: Vỵi n = k + ta câ f(k+1) = f(f(k)) = 2k+3 f(k) = 2k+3 k = k+2 = (k+1)+1: V“y khflng ành óng vỵi n = k + 1, â Thß l⁄i ta thĐy h m va tm ữổc thọa mÂn yảu cu cıa • b i V“y nghi»m cıa b i to¡n l : f(n) = n + 1; n N: V‰ dư 3.20 T…m t§t c£ c¡c h m sŁ f : N ! N thäa m¢n: f(1) = f(2n) = 2f(n) 1; 8n N f(2n + 1) = 2f(n) + 1; 8n N GiÊi GiÊ sò tỗn ti h m s thọa mÂn y¶u cƒu b i to¡n Tł gi£ thi‚t ta câ f(1) = 1; f(2) = 1; f(3) = 3; f(4) = 1; f(5) = 3; f(6) = 5; f(7) = 95 7; f(8) = 1; f(9) = 3; f(11) = 7; f(12) = 9; f(13) = 11; f(14) = 13; f(15) = 15; f(16) = 1; ::: Sau t‰nh to¡n ÷ỉc mºt sŁ c¡c gi¡ trà cıa h m f(n) trản hằ cỡ sổ 10, ta vÔn chữa tm ÷ỉc qui lu“t cıa f(n) Tuy nhi¶n n‚u vi‚t h» cì sŁ ta câ f(12) = 12 = 1:2 v = f(1) = f((1)2) = 12 = 1:2 1 = f(2) = f((10)2) = (01)2 = 0:2 + 1:2 = f(3) = f((11)2) = (11)2 = 1:2 + 1:2 1 = f(4) = f((100)2) = (001)2 = 0:2 + 0:2 + 1:2 = f(5) = f((101)2) = (011)2 = 0:2 + 1:2 + 1:2 :::::: Ta th§y r‹ng: N‚u n câ bi”u di„n hằ nh phƠn l n = (a kak vợi ak = th… k f((akak 1:::a1)2) = (ak 1:::a1ak)2 = ak 1:2 + ::: + a1:2 + ak:2 Ta s‡ chøng minh nh“n x†t tr¶n b‹ng qui np Ta thĐy (*) úng vợi n 5: GiÊ sò (*) óng vỵi n = m; (m 6): Ta s‡ chøng minh (*) n = m + 1: óng vỵi a) N‚u m + l sŁ chfin, ta °t m + = 2q vỵi q = (a kak 1:::a1)2 v = (ak 1:::a101)2 = (ak 1:::a10ak)2: b) N‚u m + l sŁ l·, ta °t m + = 2q + vỵi q = (akak 1:::a1)2 v m + = 2q = (akak 1:::a11)2 Ta ÷ỉc f(m + 1) = f(2q + 1) = 2f(q) + 96 = 2(ak 1:2 k1 + ::: + a1:2 + ak:2 ) + = (ak 1:::a111)2 = (ak 1:::a11ak)2: V“y (*) óng vỵi n = m + Do â n câ bi”u di„n hằ nh phƠn l n = (akak 1:::a1)2 vợi ak = th… f((akak 1:::a1)2) = (ak 1:::a1ak)2 = ak 1:2 Thò li thĐy h m s thọa mÂn k + ::: + a1:2 + ak:2 iãu kiằn b i toĂn V dử 3.21 Tm tĐt c£ c¡c h m sŁ f : N ! N thäa m¢n: f(1) > 2 2 f(m + n ) = f (m) + f (n); 8m; n N: GiÊi GiÊ sò tỗn ti h m s thọa mÂn yảu cu b i toĂn a) Vỵi m = n = ta câ " f(0) = 2f(0 ) f(0) = , f(0) = (lo⁄i v… f(0) N ): 2 2 2 b) Vỵi n = ta câ f(m ) = f (m): Khi â f(m + n ) = f(m) + f(n) : Ta câ nh“n x†t sau: f(1) = f f(2) f(4) f(5) 2 2 f(25) = f(5 ) = f (5) = 25 = f(3 + ) f V“y 97 T÷ìng tü ta cơng t‰nh ÷ỉc f(6) = 6; f(7) = 7; f(8) = 8; f(9) = 9; f(10) = 10: V“y f(n) = n vỵi n < 10, b‹ng quy n⁄p ta s‡ chøng minh ÷ỉc f(n) = n; 8n N: Th“t v“y, gi£ sß f(k) = k vỵi k 10: Ta chøng minh f(k + 1) = k + 1: Ta th§y r‹ng (k + 1) câ d⁄ng sau 5m + r; r 4; m; r N Ta câ flng thøc sau: 2 (5m) = (4m) + (3m) 2 2 (5m + 1) + = (4m + 2) + (3m 1)2 2 2 (5m + 2) + = (4m + 1) + (3m + 2) 2 2 (5m + 3) + = (4m + 3) + (3m + 1) 2 2 (5m + 4) + = (4m + 2) + (3m + 4) Vỵi k + 2 2 f (5m) = f((5m) ) = f (4m) + f (3m) = (5m) ) f(5m) = 5m: Vỵi k + 2 2 2 f (5m) = f((5m) + ) = f((4m + 2) ) + f((3m 1) ) = f (4m) + 2 f (3m) = f (5m + 1) = (5m + 1) ) f(5m + 1) = 5m + 1: Vỵi k + 2 2 2 2 2 f (5m + 2) = f((5m + 2) + ) = f((4m + 1) ) + (3m f(5m + 2) = 5m + 2: 1) ) ) Vỵi k + = 5m + th… 2 f (5m + 3) = f((5m + 3) + ) = f((4m + 3) ) + (3m + 1) ) ) f(5m + 3) = 5m + 3: Vỵi k + = 5m + th… 2 f (5m + 4) = f((5m + 3) + ) = f((4m + 3) ) + (3m + 4) ) ) f(5m + 4) = 5m + 4: 98 V“y f(k + 1) = k + Do â f(n) = n; 8n N Thò li ta thĐy h m f thọa m Ân cĂc iãu kiằn ca ã b i 99 Kt lun Lun vôn  trnh b y v ⁄t ÷ỉc mºt sŁ k‚t qu£ sau ÷a mºt sŁ B i to¡n cì b£n cıa ph÷ìng trnh h m bao gỗm B i toĂn Cauchy v nghi»m cıa c¡c B i to¡n â, tŒng qu¡t hâa v giÊi cĂc b i toĂn õ trản cĂc miãn x¡c ành kh¡c Sau â em tr…nh b y c¡c v‰ dư sß dưng c¡c k‚t qu£ cıa c¡c B i to¡n cì b£n Tr…nh b y mºt v i ph÷ìng ph¡p cì b£n ” gi£i c¡c Phữỡng tr nh h m Mỉi phữỡng phĂp em lĐy c¡c v‰ dư ” minh håa Ch¿ c¡c d§u hiằu ca tng dng Phữỡng trnh sò dửng cĂc phữỡng phĂp cho hiằu quÊ nhĐt Trnh b y mºt v i d⁄ng kh¡c cıa Ph÷ìng tr…nh h m, cĂc phữỡng trnh h m cõ miãn xĂc nh °c bi»t l t“p sŁ tü nhi¶n oTuy nhi¶n, khuổn kh ca lun vôn thc sắ v sỹ hiu bit ca bÊn thƠn cặn hn ch, cĂc t i liằu ting Viằt vã Phữỡng trnh h m chữa cõ nhiãu nản chc chn Lun vôn cặn nhiãu thiu sõt V vy, rĐt mong ữổc sỹ gõp ỵ ca cĂc quỵ thy cổ v cĂc bn Lun vôn ữổc ho n ch¿nh hìn 100 T i li»u tham kh£o [1] Nguyn Vôn Mu, Phữỡng Trnh H m, Nh xuĐt b£n Gi¡o Dưc, 1999 [2] Nguy„n V«n M“u, T“p B i giÊng vã Phữỡng Trnh H m [3] ThS.Nguyn T i Chung - ThS NGìT Lả Ho ng Phặ Chuyản KhÊo Phữỡng Trnh H m, Nh xuĐt bÊn i hồc QuŁc Gia H Nºi, 2013 [4] Marko Radovanovic, Function Equations,The Authors and IMO com-pediu Group, 2007 [5] Function Equations, IMO maths.com 101 ... KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ VÂN MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn... PPTSC, khâa håc 2 013 2015 C£m ìn Thƒy Cỉ ¢ truy•n thư cho em ki‚n thøc v gióp ï em sut quĂ trnh hồc ti khoa ỗng thới, em xin gòi lới cÊm ỡn tợi th lợp Cao Håc To¡n PPTSC, khâa håc 2 013 - 2015 ¢ ºng... 8x ( n¶n f(x) cơng ch°n tr¶n tr¶n kho£ng ( y= x2( ; ): Do â f(x) Nh÷ng v… f(y) = f( x) = M3: f(x) M3, n¶n f(x) M3: 12 ; ): Vỵi x ( ; ); ; ) th… ; ); tøc f bà ch°n tr¶n t“p V“y f(x) cơng b chn dữợi