SKKN một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn đại số 8

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI MÃ SKKN: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MƠN ĐẠI SỐ Lĩnh vực : Toán Cấp học: Trung học sở NĂM HỌC 2017- 2018 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU Trang 1/ Lí chọn đề tài Trang 2/ Mục đích nghiên cứu Trang 3/ Nhiệm vụ nghiên cứu Trang 4/ Pham vi đối tượng nghiên cứu Trang 5/ Phương pháp nghiên cứu Trang PHẦN II: NỘI DUNG Trang CHƯƠNG I: Cơ sở lý luận thực tiễn Trang 1/ Cơ sở lý luận Trang 2/ Cơ sở thực tiễn Trang CHƯƠNG II: Các biện pháp Trang 1/ Những giải pháp đề tài Trang 2/ Các phương trình thường gặp Trang 3/ Các dạng bất phương trình thường gặp Trang 16 PHẦN III: KẾT LUẬN Trang 25 Tài lệu tham khảo Trang 27 1/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số PHẦN I : MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Bộ mơn Tốn học coi mơn chủ lực nhất, vận dụng phục vụ rộng rãi đời sống ngày Bởi trước hết Tốn học hình thành em học sinh tính xác, hệ thống, khoa học, logic tư cao,… chất lượng dạy học tốn trường THCS nâng cao có nghĩa em học sinh tiếp cận với tri thức khoa học đại, có ý nghĩa giàu tính nhân văn nhân loại Đổi chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin dạy học, đổi phương pháp dạy học toán trường THCS làm tích cực hoạt động tư học tập học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo, … nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kỹ vận dụng kiến thức cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế sống Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng tập giải phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, trọng tâm chương trình đại số lớp 8, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng phức tạp Vì để giúp học sinh nắm khái niệm phương trình bất phương trình, giải thành thạo dạng toán yêu cầu cần thiết người giáo viên Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp (các lớp giảng dạy), việc giải phương trình bất phương trình khơng q khó, nhiều học sinh mắc phải sai lầm khơng đáng có, giải phương trình bất phương trình nhiều sai sót, rập khn máy móc chưa làm được, chưa nắm vững cách giải, vận dụng kỹ biến đổi chưa linh hoạt vào dạng toán phương trình bất phương trình Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng mơn tốn nên thân chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình ” Mục đích nghiên cứu: Rèn kỹ giải phương trình bất phương trình cho học sinh lớp Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu nội dung dạy học phương trình bất phương trình bậc trường THCS 2/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số - Tìm hiểu mạch kiến thức phương trình bất phương trình mà em học - Điều tra thực trạng học toán trường THCS Phạm vi đối tượng nghiên cứu: - Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh lớp trường THCS năm học 2017 - 2018 - Đề tài có ý tưởng phong phú, đa dạng, nên thân nghiên cứu qua ba dạng phương trình “phương trình đưa dạng ax + b = 0, phương trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu, bất phương trình bậc ẩn” chương trình tốn hành Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan - Nghiên cứu qua thực tế giải tập học sinh - Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra - Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập đối tượng học sinh - Phương pháp mà sử dụng để nghiên cứu chủ yếu phương pháp thực nghiệm sư phạm 3/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số PHẦN II: NỘI DUNG Chương : Cơ sở lý luận thực tiễn 1.Cơ sở lý luận Với phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học đại, bùng nổ công nghệ thông tin, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin dạy học quản lý giáo dục, tồn cầu hóa nay, tạo điều kiện thuận lợi cho giáo dục đào tạo nước ta trước thời thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển mạnh mẽ giáo dục đào tạo trước hết luôn đảm nhận vai trò quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Hiện ngành Giáo dục tích cực xây dựng nhiều chương trình hành động, đa dạng hóa loại hình học tập, việc đẩy mạnh sử dụng công nghệ đại dạy học quản lý biện pháp trình đổi giáo dục theo hướng tích cực phù hợp với xu Để đáp ứng mục tiêu giáo dục cách toàn diện cho học sinh, đường nâng cao có hiệu chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Muốn trước hết giáo viên người định hướng giúp đỡ học sinh lĩnh hội kiến thức cách chủ động, rèn luyện tính tự học, tính cần cù, siêng năng, chịu khó, … tạo điều kiện khơi dạy lòng ham học, u thích mơn, phát huy tư sáng tạo học sinh, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Học Tốn khơng phải học sách giáo khoa, không làm tập cách giải Thầy, Cơ đưa mà q trình nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, khai thác tổng quát vấn đề rút cách giải hay, điều bổ ích Do dạng tốn giải phương trình bất phương trình mơn đại số đáp ứng yêu đầy đủ yêu cầu này, tảng, làm sở để em học tiếp chương trình sau này, giải bất phương trình, chương trình lớp sau này, … Tuy nhiên, lý sư phạm khả nhận thức học sinh đại trà nên đề tài đề cập đến số dạng toán phương pháp giải thơng qua ví dụ cụ thể Vấn đề đặt làm để học sinh giải dạng phương trìnhvà bất phương trình cách nhanh chóng xác Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kỹ quan sát, nhận 4/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình môn Đại số xét, đánh giá, đặc biệt kỹ phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ giải phương trình, kỹ vận dụng vào thực tiễn Tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp để giúp học sinh học tập tốt môn 2.Cơ sở thực tiễn Về học sinh: Còn nhiều hạn chế tính tốn, kỹ quan sát nhận xét, nhận dạng phương trình biến đổi thực hành giải toán yếu kém, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, chây lười học tập, ỷ lại, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, tự ý thức học tập, trông nhờ vào kết người khác Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập khác, em thường lúng túng, khơng tìm hướng giải thích hợp Về giáo viên: Chưa thật định hướng, xây dựng, giúp đỡ học sinh thói quen học tập lòng u thích môn học, chưa xây dựng phương pháp học tập tốt kỹ giải toán cho học sinh, dạy học đổi chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin Về phụ huynh: Chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập nhà Giữ mối liên lạc với nhà trường chưa thường xuyên, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết học tập em khơng có 5/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số Chương II Các biện pháp Những giải pháp đề tài  Đề tài đưa giải pháp sau: - Sắp xếp dạng phương trình bất phương trình theo mức độ - Xây dựng phương pháp giải theo dạng phương trình bất phương trình - Sửa chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán - Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kỹ giải phương trình bất phương trình - Tìm tòi cách giải hay, khai thác toán a) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức + Phương pháp giải phương trình đưa dạng ax + b = + Phương pháp giải phương trình tích + Phương pháp giải phương trình chứa ẩn mẫu +Bất phương trình dạng: (hoặc , , ) b) Đối với học sinh đại trà: Phát triển tư duy, kỹ giải phương trình phương trình + Phát triển kỹ giải dạng phương, khai thác toán.(nâng cao) + Đưa cách giải hay, sáng tạo, cho dạng phương trình bất phương trình thường gặp Các phương trình thường gặp a Củng cố kiến thức phương trình  Phương trình đưa dạng ax + b = (hoặc ax = c)  Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc: Phương pháp chung: - Thực bỏ dấu ngoặc - Thực phép tính hai vế chuyển vế đưa phương trình dạng ax = c  Chú ý: Nếu a ≠ 0, phương trình có nghiệm x = c a Nếu a = 0, c ≠ 0, phương trình vơ nghiệm Nếu a = 0, c = 0, phương trình có vơ số nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình: – (x – 6) = 4(3 – 2x) (BT-11c)-SGK-tr13) Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm 6/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số Giải: – (x – 6) = 4(3 – 2x) ⇔ – x + = 12 – 8x ⇔ – x + 8x = 12 – 11 ⇔ 7x = ⇔ x= Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = – x (2) (BT-17f)-SGK-tr14) Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm Lời giải sai: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (x – 1) – (2x – 1) = – x x – – 2x – = – x (bỏ dấu ngoặc sai) x – 2x – x = – (chuyển vế không đổi dấu) –2x = (sai từ trên) x = – = (tìm nghiệm sai) Sai lầm học yếu thường gặp là: Thực bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử dấu ngoặc Thực chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử chuyển vế Tìm nghiệm sai: số vế phải trừ số vế trái Lời giải đúng: (2) ⇔ x – – 2x + = – x ⇔ x – 2x + x = ⇔ 0x = Vậy phương trình cho vơ nghiệm Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh: Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn ý cách tìm nghiệm phương trình  Dạng 2: Phương trình chứa mẫu số: Phương pháp chung: - Thực quy đồng mẫu hai vế khử mẫu, đưa phương trình dạng - Thực cách giải dạng Ví dụ 3: Giải phương trình: x −1 x −1 x −1 + − =2 (3) (ví dụ Sgk-tr12) Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm Lời giải sai: x −1 x −1 x −1 + − =2 7/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số 3( x − 1) + 2( x − 1) − x − 12 = (sai hạng tử thứ ba) 6 ⇔ 3( x − 1) + 2( x − 1) − x − = 12 (sai từ trên) ⇔ x = 18 (sai từ trên) ⇔ ⇔ x = 4,5 (sai từ trên) Sai lầm học là: Sai lầm cách đưa dấu trừ phân thức lên tử thức chưa x −1 x −1 x −1 + − =2 3( x − 1) + 2( x − 1) − ( x − 1) 12 ⇔ = 6 ⇔ x − + x − − x + = 12 Lời giải đúng: ⇔ x = 16 ⇔ x = Vậy: S = { } Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ phân thức lên tử xuống mẫu tử mẫu phân thức đa thức  Chú ý: Ở ví dụ học sinh giải theo cách khác sau:   Cách 1: (3) ⇔ ( x − 1)  + − ÷ = 2 1  Cách 2: Đặt t = x -1  (3) ⇔ ⇔ ( x − 1) = ⇔ x −1 = ⇔ x = t t t + − =2 ⇔ 3t + 2t − t = 2.6 ⇔ t =3 Vậy: S = { } ⇒ x −1 = ⇔ x = Ví dụ 4: Giải phương trình: 2+ x − 2x − 0,5 x = + 0, 25 Vậy: S = { } (4) (BT-18b)-SGK-tr14) Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm Cách giải 1: (4) ⇔ 4(2 + x) − 20 ×0,5 x = 5(1 − x) + 20 ×0, 25 ⇔ + x − 10 x = − 10 x + ⇔ 4x = ⇔ x = 0,5 Vậy: S = { 0,5 }  Ở ví dụ học sinh giải theo cách khác sau: Cách 2: Chuyển phương trình phân số 8/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số (4) ⇔ + x x 1− 2x + x x 1− x 2+ x ⇔ − = + ⇔ − = = 4 2 Cách 3: Chuyển phương trình số thập phân (4) ⇔ 0, ×(2 + x) − 0,5 x = 0, 25 ×(1 − x) + 0, 25 ⇔ 0, + 0, x − 0,5 x = 0,5 − 0,5 x ⇔ 0, x = 0,1  Phương trình tích Phương pháp chung: Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x) … = 0, với A(x), B(x), C(x) biểu thức Cách giải: A(x).B(x).C(x) … = ⇔ A(x) = B(x) = C(x) =  Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x) … = Ta thường biến đổi sau: Bước 1: Đưa phương trình dạng tích - Chuyển tất hạng tử sang vế trái vế phải - Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử Bước 2: Giải phương trình tích nhận kết luận Ví dụ 5: Giải phương trình (3x – 2)(4x + 5) = (BT- 21a)-Sgk-tr17) Lời giải: (3x – 2)(4x + 5) = ⇔ 3x – = 4x + = ⇔ 3x = 4x = – ⇔ x = x = − 5   ; −    Vậy S =   Chú ý: Ở ví dụ Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau:  x=  3 x − = (3x – 2)(4x + 5) = ⇔   4 x + = x = −  * Tuy nhiên giải toán ta thường gặp phải phương trình bắt buộc ta phải biến đổi để đưa phương trình cho phương trình tích Ví dụ 6: Giải phương trình x2 – x = –2x + (6) (BT-23b)-Sgk-tr17) - Trong ví dụ học sinh thông thường biến đổi sau: 9/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số (10) ⇔ x2 + x + + 2x2 − 4( x − 1) = ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) ⇒ 3x2 + x – = 4x – ⇔ 3x2 – 3x = ⇔ 3x(x – 1) = 3 x = x = ⇔ ⇔   x −1 = x = Vậy S = { } b Phát triển tư kỹ giải phương trình Ví dụ 11: Giải phương trình x− 3x − 3− x 5x − = − x +1 15 (Sách Bổ trợ-Nâng cao) - Đối với tập gợi ý cách giải: Thực quy đồng khử mẫu hai lần Lần 1: Mẫu chung 15 Lần 2: Mẫu chung 10 3x − − 3x = 15 x − − 15 x + 15 ⇔ 10 x − 2(3 x − 4) = −5(9 − x) + 150 (học sinh giải tiếp) x +1 x + x + x + + = + Ví dụ 12: Giải phương trình (12) Hướng dẫn: (11) ⇔ x − - Thông thường học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu sau: Cách 1: (12) ⇔ 56.( x + 1) + 63.( x + 2) = 72.( x + 3) + 84.( x + 4) ⇔ 56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336 ⇔ 37x = –370 ⇔ x = –10 Vậy S = { − 10 } - Với cách giải ta khơng thể khai thác tốn này, đơi gặp phải tốn có mẫu lớn học sinh lúng túng, việc quy đồng khó khăn Do giáo viên cần định hướng cách giải hay hơn, sở ta rút cách giải tổng quát cho tập có dạng tương tự Ta có nhận xét: Nhận thấy phân thức có tính chất đặc biệt sau: x + + = x +10 Tử thức cộng mẫu thức phân thức x + + = x + 10 x + + = x + 10 phân thức x + + = x + 10 Khi ta có cách giải sau: 13/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số  Phương pháp thêm vào hai vế phương trình cho hạng tử: x +1 x+2 x+3 x+4         + ÷+  + 1÷ =  + 1÷+  + 1÷ Cách 2: (12) ⇔          ⇔ x + 10 x + 10 x + 10 x + 10 + = + 1 1 1 ⇔ ( x + 10)  + − − ÷ = 9 6 ⇔ x + 10 = ⇔ x = –10 Vậy S = { − 10 } - Với cách giải ta có cách giải tổng qt cho tốn tương tự Do giáo viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng qt tốn, sở ta đề xuất tập có dạng tương tự, phức tạp -Khai thác toán: * Thay mẫu 9; 8; 7; mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có toán hay sau: 1) x +1 x + x + x + + = + 2009 2008 2007 2006 * Thay đổi tử mẫu ta có tốn hay sau: x −1 x − x − x − + + + = x + 2006 2011 2012 2013 2014 x +1 x + x + x + 2009 x + 2010 + + + + + = −2010 3) 2010 2009 2008 x −1 x−2 x−3 x−4 +1+ +1+ + 1+ + = x + 2006 + Hướng dẫn: 2) 2011 2012 2013 2014 2) x + 2010 x + 2010 x + 2010 x + 2010 ( x + 2010) + + + − =0 2011 2012 2013 2014 x +1 x + x + x + 2009 x + 2010 + + + + + = −2010 3) 2010 2009 2008 x + 2011 x + 2011 x + 2011 x + 2011 x + 2011 ⇔ + + + + + =0 2010 2009 2008 ⇔  Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử: Ví dụ 13: Giải phương trình (x + 2)(2x2 – 5x) – x3 = (13) (Sách Bổ trợNâng cao) Gợi ý phân tích: Chuyển số vế trái, nhóm x3 Hướng dẫn: (13) ⇔ (x + 2)(2x2 – 5x) – (x3 + 8) = ⇔ (x + 2)(2x2 – 5x) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 14/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số ⇔ (x + 2)(2x2 – 5x – x2 + 2x – 4) = ⇔ (x + 2)(x2 + x – 4x – 4) = ⇔ (x + 2)(x + 1)(x – 4) = (học sinh giải tiếp) - Trong tập giáo viên cần củng cố học sinh phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh nhắc lại “Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác” để đưa dạng tích mà em học Bài tốn tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1b2 = ac Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b  Chú ý trường hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = a – b + c = Ví dụ 14 Giải phương trình ( x − 1)( x − 2) + ( x − 3)( x − 1) = ( x − 2)( x − 3) (BT.31.b/23) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ (14) ⇒ 3(x – 3) + 2(x – 2) = x – (học sinh giải tiếp) - Với tập việc giải phương trình em dễ dàng Nhưng vấn đề việc giải mà việc nhìn nhận tốn góc độ khác, khía cạnh khác việc giải phương trình lý thú -Khai thác toán: * Bài toán (14) tốn phức tạp sau: 1) Ta có: (14) ⇔ + = x − 3x + x − x + x − x + * Ta có tốn tương tự sau: 2) ( x − 1)( x − 2)( x − 3) + ( x − 1)( x − 2)( x − 4) + ( x − 1)( x − 3)( x − 4) + ( x − 2)( x − 3)( x − 4) = 1 1 1 3) ( x − 1)( x − 2) + ( x − 2)( x − 3) + ( x − 3)( x − 4) + ( x − 4)( x − 5) + ( x − 5)( x − 6) = 10 (*) 1 1 1 Hướng dẫn: ( x − 1)( x − 2) = x − − x − ; ( x − 2)( x − 3) = x − − x − ; … (*) ⇔ 1 − = x − x − 10 15/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số  Phương pháp đặt ẩn phụ: x Ví dụ 15: Giải phương trình x − 3x + − + = (15) (Sách Bổ trợ-Nâng cao) x2 - Đối với tập học sinh thực quy đồng khử mẫu việc giải phương trình vơ khó khăn (phương trình bậc 4) Vì giáo viên cần hướng dẫn học sinh có cách nhìn tổng qt tìm hướng giải thích hợp Giải: ĐKXĐ: x ≠ 1 1 − 3( x + ) + = Đặt x + = y ⇒ x + = y − 2 x x x x Phương trình trở thành y – 3y + = ⇔ (y – 1)(y – 2) =0 ⇔ y = y = Khi x + = ⇔ x2 – x + = (vô nghiệm) x x + = ⇔ x2 – 2x + = ⇔ (x – 1)2 ⇔ x = (nhận) x (15) ⇔ x + Vậy S = { } Các dạng bất phương trình thường gặp Định nghĩa : Bất phương trình dạng: (hoặc , , ) a b hai số cho, a ≠ 0, gọi bất phương trình bậc ẩn Hoạt động Trong bất phương trình sau, cho biết bất phương trình khơng bất phương trình bậc ẩn: a) 2x - < 0; b) 0.x + > 0; c) 5x - 15 ≥ 0; d) x2 > ĐA: Bất phương trình d) Hai quy tắc biến đổi bất phương trình Quy tắc chuyển vế Từ liên hệ thứ tự phép cộng, ta có quy tắc sau (gọi quy tắc chuyển vế) để biến đổi tương đương bất phương trình: 16/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số Khi chuyển vế hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta phải đổi dấu hạng tử VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: a) x - < 18; b) 3x > 2x + (có biểu diễn tập nghiệm trục số) Lời giải a) Ta có: x - < 18 x < 18 + (Chuyển vế -5 đổi dấu thành 5) x < 23 Vậy tập nghiệm bất phương trình b) Ta có: 3x > 2x + x > 3x - 2x > 5(Chuyển vế 2x đổi dấu thành -2x) Vậy tập nghiệm bất phương trình Tập nghiệm biểu diễn trục số sau: Hoạt động Giải bất phương trình sau: a) x + 12 > 21; b) -2x > -3x - Quy tắc nhân với số Từ liên hệ thứ tự phép nhân, ta có quy tắc sau (gọi quy tắc nhân) để biến đổi tương đương bất phương trình: Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: • Giữ nguyên chiều bất phương trình số dương; • Đổi chiều bất phương trình số âm • VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: a) 0,5x < 3; biểu diễn tập nghiệm trục số) 17/27 b) (có Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số Lời giải a) Ta có: 0,5x < 0,5x.2 < 3.2 x < (Nhân hai vế với 2) Vậy tập nghiệm bất phương trình S= b) Ta có: (Nhân hai vế với -4 đổi chiều) x > -12 Vậy tập nghiệm bất phương trình Tập nghiệm biểu diễn trục số sau: Hoạt động Giải bất phương trình sau (dùng quy tắc nhân): a) 2x < 24; b) -3x < 27 Hoạt động Giải thích tương đương: a) x + < x - < 2; b) 2x < - -3x > Giải bất phương trình bậc ẩn VÍ DỤ Giải bất phương trình 2x - < biểu diễn tập nghiệm trục số Lời giải Ta có: 2x - < 2x < (Chuyển -3 sang vế phải đổi dấu) 2x:2 < 3:2 (Chia hai vế cho 2) x < 1,5 18/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số Vậy tập nghiệm bất phương trình trục số Hoạt độngbiểu diễn Giải bất phương trìnhsau: -4x - < biểu diễn tập nghiệm trục số Hướng dẫn: Làm tương tự ví dụ 3, lưu ý nhân hai vế với số âm CHÚ Ý: Để cho gọn trình bày, ta có thể: • Khơng ghi câu giải thích; • Khi có kết x < 1,5 (ở ví dụ 3) coi giải xong viết đơn giản: "Nghiệm bất phương trình 2x - < x < 1,5" VÍ DỤ Giải bất phương trình -4x + 12 < Lời giải Ta có: -4x + 12 < 12 < 4x 12:4 < 4x : < x Vậy nghiệm bất phương trình x > Giải bất phương trình đưa dạng bậc ẩn VÍ DỤ Giải bất phương trình 3x + < 5x - Lời giải Ta có: 3x + < 5x - 3x - 5x < -5 - -2x < 12 -2x : (-2) > -12 : (-2) x > Vậy nghiệm bất phương trình x > Hoạt động Giải bất phương trình -0,2x - 0,2 > 0,4x - Ta có -0,2x-0.4x > 0.2 –  -0.6x > -1,8 19/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số x< −1,8 = => x < −0, BÀI TẬP Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm bất phương trình nào? (Kể ba bất phương trình có tập nghiệm) a) b) Kiểm tra xem giá trị x = -2 có nghiệm bất phương trình sau khơng: a) b) Tập nghiệm bất phương trình Tập hợp tất nghiệm bất phương trình gọi tập nghiệm bất phương trình Giải bất phương trình tìm tập nghiệm bất phương trình VÍ DỤ Tập nghiệm bất phương trình x > tập hợp số lớn 3, tức tập hợp Để dễ hình dung, ta biểu diễn tập hợp trục số hình vẽ sau: (Trong hình vẽ trên, tất điểm bên trái điểm điểm bị gạch bỏ) Hoạt động Hãy cho biết vế trái, vế phải tập nghiệm bất phương trình x > 3, bất phương trình < x phương trình x = 20/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số VÍ DỤ Bất phương trình x ≤ có tập nghiệm tập hợp số nhỏ 7, tức tập hợp sau: Tập hợp biểu diễn trục số (Trong hình vẽ trên, điểm bên phải điểm bị gạch bỏ điểm giữ lại) Hoạt động Viết biểu diễn tập nghiệm bất phương trình sau trục số khác nhau: a) x ≥ -2 Hướng dẫn: Trên trục số, gạch bỏ điểm bên trái điểm -2 dấu "/" giữ lại điểm -2 dấu "[" b) x < Hướng dẫn: Trên trục số, gạch bỏ điểm bên phải điểm dấu "/" gạch bỏ điểm dấu ")" Bất phương trình tương đương Bất phương trình x > bất phương trình < x có tập nghiệm Người ta gọi hai bất phương trình có tập nghiệm hai bất phương trình tương đương dùng kí hiệu " " để tương đương VÍ DỤ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Kiểm tra xem giá trị x = nghiệm bất phương trình bất phương trình sau đây: b) -4x > 2x a) 2x + < 9; c) - x > 3x - 12 + 5; Viết biểu diễn tập nghiệm trục số bất phương trình sau: b) x ≤ c) x > a) x < 4; d) x ≥ -2; -3; Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm bất phương trình nào? (Chỉ cần nêu bất phương trình) a) 21/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số b) c) d) Trên vài ví dụ điển hình giúp em học sinh giải khúc mắc trình giải phương trình bất phương trình Vì thời gian có hạn nên khơng sâu vào số phương trình bất phương trình khác phương trình bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,vv…  Kết Kết áp dụng kỹ giải phương trình góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà Kết kiểm tra giải phương trình thống kê, đánh giá qua lớp 8, HKI năm học 2017 – 2018 sau: a) Chưa áp dụng giải pháp Kết khảo sát Thời gian học kỳ I Khảo sát (chưa áp dụng giải pháp) TS HS 37 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 15 40,54% - Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích, nhận dạng phương trình, kỹ thu gọn, chuyển vế, biến đổi sai sót dấu, chưa áp dụng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, b) Áp dụng giải pháp Lần 1: Kết khảo sát Thời gian học kỳ I Kết áp dụng giải pháp (lần 1) TS HS 37 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 25 67,56% - Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm dạng phương trình, kỹ biến đổi hợp lý, việc vận dụng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, phân tích đa thức thành nhân tử có hiệu quả, biết nhận xét đánh giá tốn trường hợp, trình bày hợp lý Lần 2: Kết khảo sát (kiểm tra tiết) Thời gian học kỳ I TS 22/27 Trung bình trở lên Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số Kết áp dụng giải pháp (lần 2) HS Số lượng Tỉ lệ (%) 37 31 83,78% - Nhận xét: Học sinh nắm vững dạng phương trình, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào yếu tố quan trọng, đặc điểm phương trình, linh hoạt biến đổi vận dụng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, trình bày giải hợp lý có hệ thống, số học sinh q yếu, chưa thực tốt Học sinh hứng thú, tích cực tìm hiểu kỹ phương pháp giải, phân loại dạng tốn, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kỹ xử lý nhanh tốn có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều tốn - Tóm lại: Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ dạng phương trình, đặc điểm cách giải cho dạng phương trình Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm cách giải phương trình, vận dụng rèn luyện kỹ thực hành theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập phương trình xếp theo mức độ nhận thức học sinh Bên cạnh giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài tốn học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo học sinh học toán - Một số ý Để thực tốt kỹ giải phương trình bất phương trình học sinh, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, Cần xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, phân tích nhận dạng phương trình, tìm phương trình có dạng đặc biệt, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tòi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác - Lưu ý giải phương trình, học sinh cần nhận xét:  Quan sát đặc điểm phương trình: Nhận xét quan hệ biểu thức trong phương trình từ đưa cách biến đổi thích hợp 23/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số  Nhận dạng phương trình: Xét xem phương trình cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp cho phù hợp dạng phương trình  Kinh nghiệm biến đổi phương trình bất phương trình: Khi thu gọn hai vế phương trình, bất phương trình, biến có số mũ từ hai trở lên ta cố gắng tìm cách chuyển phương trình dạng phương trình tích Khi biến đổi phương trình,bất phương trình nhận thấy hai vế phương có nhân tử chung đẳng thức ta nên sử dung đặt nhân tử chung đẳng thức Khi khử mẫu hai vế phương trình, bất phương trình ta cần lưu ý phương trình hệ phương trình ban đầu ta dùng dấu suy Khi biến đổi phương trình , bất phương trình cần ý tính chất đặc biệt tử mẫu phương trình từ suy cách phân tích hợp lý nhóm, tách, thêm bớt, đặt ẩn phụ, … cho thích hợp PHẦN III : KẾT LUẬN  Bài học kinh nghiệm Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kinh nghiệm sau: 24/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số  Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, khuyết điểm, cần rèn luyện học sinh kỹ thực hành theo trình tự bước giải phương trình, bất phương trình Từ học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt cách giải phương trình, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung sách giáo khoa  Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm dạng phương trình , bất phương trình phương pháp giải cho dạng, rèn kỹ biến đổi, linh hoạt việc vận dụng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, luyện tập khả tự học, gợi say mê hứng thú niềm vui học tập, kích thích khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức  Đối với học sinh giỏi: cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hóa vấn đề, tương tự hóa vấn đề để việc giải phương trình , bất phương trình tốt Qua tập học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách tòan diện cho q trình tự nghiên cứu em  Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh q trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập mơn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tạo hứng thú niềm vui học tập  Hướng phổ biến áp dụng Đề tài triển khai phổ biến áp dụng rộng rãi chương trình đại số lớp 8, cho năm học sau  Hướng nghiên cứu phát triển Đề tài nghiên cứu tiếp tục phương pháp giải khác, phương pháp giải phương trìnhvà bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, việc vận dụng giải phương trình vào tốn thực tế Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp, kinh nghiệm thân hạn chế, chăc chắn khơng tránh khỏi sai sót Rất mong thầy đồng nghiệp giúp Tôi xin chân thành cảm ơn! 25/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số 26/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại số - NXB Giáo dục Bài tập Đại số 8- NXB Giáo dục Một số vấn đề phát triển đại số - NXB Giáo dục Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Đại số - NXB Giáo dục Toán bồi dưỡng học sinh giỏi THCS-NXB ĐHSP Hà Nội Phương pháp dạy học mơn tốn - NXB Giáo dục Tuyển tập 250 toán bồi dưỡng học sinh giỏi toán cấp hai-NXB trẻ TPHCM Đại số sơ cấp tậo II-NXB Giáo dục 1978 162 toán chọn lọc cấp II-NXB trẻ 1997 27/27 ... Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số 26/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại số - NXB Giáo dục Bài tập Đại số 8- ... có 5/27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình môn Đại số Chương II Các biện pháp Những giải pháp đề tài  Đề tài đưa giải pháp sau: - Sắp xếp dạng phương trình bất phương trình. .. 18/ 27 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mơn Đại số Vậy tập nghiệm bất phương trình trục số Hoạt độngbiểu diễn Giải bất phương trìnhsau: -4x - < biểu diễn tập nghiệm trục số