Dãy số và các bài toán liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ ĐỨC VIỆT DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ ĐỨC VIỆT DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội, Năm 2014 Lời nói đầu Dãy số chuyên đề quan trọng chương trình tốn THPT Các tốn liên quan đến dãy số thường tốn khó, thường gặp kì thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp tỉnh, thành phố, quốc gia, khu vực quốc tế Các dạng toán dãy số phong phú đa dạng nên khó phân loại hệ thống hóa thành chuyên đề riêng biệt Nội dung mục tiêu luận văn : “ Dãy số toán liên quan “ hệ thống lại số phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số, chứng minh tồn giới hạn dãy số, tìm giới hạn dãy số, ứng dụng dãy số việc giải số tốn liên quan thơng qua ví dụ minh họa tổng quát hóa kết đơn giản Bố cục luận văn gồm chương Chương I.Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát dãy Chương trình bày khái niệm, cơng thức tính chất cấp số cộng , cấp số nhân ,công thức tổng quát dãy, số dạng tốn tìm số hạng tổng qt dãy sử dụng tính chất cấp số cộng, cấp số nhân số toán liên quan đến cấp số cộng cấp số nhân Chương II.Giới hạn dãy Chương trình bày khái niệm, tính chất giới hạn dãy số hệ thống ví dụ minh họa chứng minh tồn giới hạn dãy số, tìm giới hạn dãy số Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số Chương III Các toán số học dãy Chương trình bày tốn liên quan đến số học dãy số kì thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố Olympic 30/4 thông qua ví dụ minh họa Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Vũ Đỗ Long Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, giáo Khoa Tốn-Cơ-Tin học Semina Phương pháp tốn sơ cấp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội nhận xét góp ý cho luận văn Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè ln quan tâm, động viên cổ vũ tọa điều kiện để tác giả hồn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng nghiêm túc trình học tập nghiên cứu khoa học, song q trình thực khơng tránh khỏi sơ suất Vì vậy, tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 21 tháng 10 năm 2014 Mục lục Lời nói đầu Lời cảm ơn Chương I Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát dãy 1.1 Khái niệm 1.1.1Cấp số cộng 1.1.2Cấp số nhân 1.1.3Công thức tổng quát c 1.1.4Cách xác định dãy số 1.1.5Dãy số đơn điệu tăng 1.1.6Dãy số bị chặn 1.1.7Dãy số tuần hoàn 1.1.8Dãy số dừng 1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thứ số dạng dãy số đặc biệt 1.3 Các toán cấp số cộng, cấp số nhân Chương II Giới hạn dãy 2.1 Khái niệm 2.2 Một số phương pháp tính giới hạn dãy 2.2.1 Phương pháp sử dụn 2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp 2.2.3 Phương pháp sử dụn 2.3.4 Phương pháp so sán 2.3.5 Phương pháp sử dụn Chương III Các dạng toán khác dãy số 3.1 Bài toán số học dãy số 3.2 Ứng dụng dãy số vào tốn tính tổng số hạng 3.3 Ứng dụng dãy số vào toán phép đếm 3.4 Bài toán bất đẳng thức dãy số Kết luận Tài liệu tham khảo Chương I Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát dãy 1.1 Khái niệm 1.1.1 Cấp số cộng Định nghĩa 1: Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d , nghĩa u n cấp số cộng n 2,un un d Số d gọi công sai cấp số cộng Định lý : Nếu cấp số cộng un có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức un u1 n d , n Định lý 2: Trong cấp số cộng, số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa u uk u k1 k 1, k Định lý 3: Cho cấp số cộng u n u1 u2 un Khi đó: , đặt Sn Sn 1.1.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1:Dãy số (hữu hạn vô hạn) u n cấp số nhân n 2, un un 1.q Số q gọi công bội cấp số nhân Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức un u1.qn , n Định lý 2: Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu cuối) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk2 uk 1.uk 1, k (hay uk uk 1.uk ) Định lý 3: Cho cấp số nhân u n Đặt S n Chú ý: Nếu q cấp số nhân u1,u1, ,u1, Khi 1.1.3 Cơng thức tổng qt dãy Định nghĩa 1: Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương * gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: Mỗi giá trị hàm số u gọi số hạng dãy số u1 … un Dãy số thường viết dạng khai triển u1,u2 , ,un , Mỗi hàm số u xác định tập M 1, 2, , m với m * gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1,u2 , ,um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối 1.1.4 Cách xác định dãy số Cách 1: Cho dãy số công thức số hạng tổng quát n VD: Cho dãy số u n với un 3n Cách 2: Cho dãy số hệ thức truy hồi (hay cho dãy số quy nạp) u1 VD: Cho dãy số un : un 2un 1, n 1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng un , n gọi dãy đơn điệu không giảm un un , n Dãy số u n gọi dãy đơn điệu tăng un Dãy số u n u n un u u n đượ un , n gọi dãy đơn điệu không tăng un un , n Dãy số u n gọi dãy đơn điệu giảm un Dãy số u n 1.1.6 Dãy số bị chặn M gọi dãy số bị chặn m gọi dãy số bị chặn M ,m Dãy số u n gọi dãy số bị chặn Dãy số u n Dãy số u n : un M , n : un m, n : m un M , n 1.1.7 Dãy số tuần hoàn gọi dãy số tuần hồn với chu kì k un Dãy số u n k un , n 1.1.8 Dãy số dừng Dãy số u n gọi dãy số dừng n0 : un c, n n0 ( c số, gọi số dừng ) 1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát số dạng dãy số đặc biệt Ví dụ 1.1 u1 Xác định công thức tổng quát dãy un : un 3un 1, n Giải: Trong toán ta gặp khó khăn dãy u n khơng phải cấp số cộng hay cấp số nhân để ta áp dụng trực tiếp công thức số hạng tổng qt Nếu khơng có xuất vế trái dãy u n cấp số nhân với cơng bội q Ta tìm cách làm chuyển dãy u n cấp số nhân un k un k k 3k k un Đặt: un 3un k 3k Dãy cấp số nhân với công bội q v1.qn 3n v Vậy u n Bài toán 1.1 Xác định công thức tổng quát dãy un : Giải: Trường hợp 1: a un u1 n d Trường hợp 2: a Ta đặt un dãy u n x0 n u1 x b nên cấp số cộng có cơng sai d n 1b k a un k un aun k ak Ta phân tích b k ak k Khi đó: un a.un un Đặt: Dãy cấp số nhân có cơng bội q a Vậy u v n Kết 1.1: Dãy un : u1 x0 có cơng thức số hạng tổng qt un n miền an Mặt khác với đoạn miền an chia miền thành miền nên số miền có thêm n Do ta có an an n 1, n Ta phân tích n k n Cho n 0, n an an 1 n2 22 n, n Ví dụ 3.14: Trong khơng gian cho n mặt phẳng, khơng có ba mặt phẳng có điểm chung đơi giao Hỏi n mặt phẳng chia không gian thành miền Giải Gọi an số miền n mặt phẳng tạo thành Ta có a1 Ta xét mặt phẳng thứ n (gọi P ), P cắt n mặt phẳng cho theo n giao tuyến bị n mặt phẳng chia thành n phần, đồng thời phần thuộc miền an Mặt khác với phần miền an chia miền thành miền nên số miền có thêm n Do ta có an an n 1, n an 1 n 2 n, n Nhận xét: Ta có tốn tương tự sau Trong mặt phẳng cho n đường tròn, khơng có ba đường trịn có hai điểm chung đường trịn đơi cắt hai điểm chung phân biệt Hỏi n đường tròn chia mặt phẳng thành miền ? Bằng cách lập luận ta đến toán xác định công thức tổng quát dãy an : a1 2; an an 2n, n Tính toán đến kết quả: an n2 n 2, n 3.4Bài toán bất đẳng thức dãy số Ví dụ3.15(Đề Olympic 30/4/2011) 88 Cho dãy số un xác định sau: Chứng minh rằng: Giải Ta có uk k uk k kk k k 22 k k 2k 1 u k k Do u1 u2 uk u u u Vậy u u Khi k 2010 Ví dụ3.16 (Đề Olympic 30/4/2011) Giả sử dãy số an a 2n 2010 an k n Chứng minh a Giải Đặt b n * b n Ta có (1) an 2n 2010 k n 2n 2010 k n ak k n ak Ta chứng minh bn Khi n Vì an bị chặn nên có số M thỏa mãn bn M 100000 , ta có 3n M Khi thay M M lặp lại trình m ta bn Suy bn 0, n 100000 Từ (1) (2) ta suy bn 0, n 100000 Ta ý (1) rằng, với n N 1,bn M lần, với số m , (2) bN (Vì bN b N Điều có nghĩa bn 0, n 1,2,3, M Vậy an n , n 1,2,3, Ví dụ 3.17 (Đề Olympic 30/4/2012) Cho hai dãy số thực xn , yn xác định bởi: x y x n yn Chứng minh rằng: Giải xn yn 3, n 90 Đặt zn Mà z2 x1 nên zn Do xn yn xn z n xn xn 1, n x Từ xn2 xn n xn 2xn xn y n Vì x n 2xn 1 xn2 3xn xn Vậy xn yn 3, n xn yn Ví dụ3.18 (Đề Olympic 30/4/2014) Chứng minh dãy v lim v 2014 n n Giải Xét dãy un Nhận xét un 0, n Ta dễ chứng minh biến đổi tương đương: Vậy dãy un Ta có un 2.4 Ta dễ dàng chứng minh quy nạp Do un 1, n 2014, n Vậy dãy tăng bị chặn nên hội tụ Theo chứng minh ta có dãy un hội tụ un lim u n lim n n Ví dụ3.19 (Đề Olympic 30/4/2013) a n Cho dãy số an : a Chứng minh 45 a1000 Giải 45,1 Từ giả thiết ta suy dãy an an an hay an dãy tăng Ta chứng minh 45 an a2 a2 Ta có n n1 Suy a2 1000 Ta chứng minh an 45,1 a2 a2 Ta có n a a n1 a2 n 25 1000 Ví dụ3.20 (Đề Olympic 30/4/2013) Cho dãy số x Chứng minh rằng: Giải Ta có xn 1 xn xn x1 Mà x nên dãy xn dãy tăng n 1 x x Do ta cần chứng minh 92 x n1 22 n1 Ta chứng minh (1) phương pháp quy nạp Với n (1) Giả sử (1) với n k tức 22k Ta có xk xk Hơn x xk 1 22k 1.22k k1 xk 22 k xk xk 1 22k 22k x k 93 Kết luận Luận văn Dãy số toán liên quan tập trung nhiên cứu vấn đề sau: Trình bày hệ thống số kiến thức cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát dãy, giới hạn dãy Hệ thống hóa tổng qt hóa số dạng tốn tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy Đó tốn: Tìm số hạng tổng qt dãy số với phương pháp đổi biến để quy toán cấp số cộng cấp số nhân quen thuộc, sử dụng biến đổi lượng giác, áp dụng phương pháp sai phân, phương pháp quy nạp, nguyên lý kẹp, phương pháp sử dụng tính đơn điệu dãy số hàm số Trình bày số tốn số học có liên quan đến dãy số chứng minh số phương, tìm phần ngun, phép tốn chia hết, tìm phần dư phép chia, tốn tính tổng, phép đếm tổ hợp chỉnh hợp Mặc dù cố gắng, thời gian có hạn lực cá nhân cịn hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong nhận góp ý kiến quý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn ! 94 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn, 2008, Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, NXB Giáo dục [2] Phan Huy Khải, 2009, Chuyên đề số học dãy số, NXB Giáo dục [3] Tuyển tập đề thi Olympic Toán Trung học phổ thơng Việt Nam (1990-2006), NXB Giáo dục [4] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, Phương pháp sai phân, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [5] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2012, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm [6] Nguyễn Văn Mậu, 2003, Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục [7] Nguyễn Tất Thu, 2008-2009, Chuyên đề hội giảng Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số, lưu hành nội [8] Phạm Thành Luân, 2001, 1001 toán dãy số, NXB Đà Nẵng [9] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2014, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm [10] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2011, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm [11] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2013, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm 95 ... III Các dạng toán khác dãy số 3.1 Bài toán số học dãy số 3.2 Ứng dụng dãy số vào tốn tính tổng số hạng 3.3 Ứng dụng dãy số vào toán phép đếm 3.4 Bài toán bất đẳng thức dãy số ... : “ Dãy số toán liên quan “ hệ thống lại số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát dãy số, chứng minh tồn giới hạn dãy số, tìm giới hạn dãy số, ứng dụng dãy số việc giải số tốn liên quan. .. chứng minh tồn giới hạn dãy số, tìm giới hạn dãy số Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số Chương III Các tốn số học dãy Chương trình bày toán liên quan đến số học dãy số kì thi học sinh giỏi