Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THU BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THU BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - Năm 2013 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính ổn định hệ phương trình vi p 1.1.1 1.1.2 1.2 Khái niệm bán kính ổn định Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc 2.1 Giới thiệu 2.2 Toán tử input-output 2.3 Tính chất bán kính ổn định 2.4 Cực đại hóa bán kính ổn định thơn Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục 3.1 Giới thiệu 3.2 Toán tử input-output 3.3 Các tính chất bán kính ổn định Tài liệu tham khảo i Lời nói đầu Vào cuối kỉ XIX mà Lyapunov cơng bố cơng trình "Bài tốn tổng quát tính ổn định chuyển động" (The General Problem of Stability of Motion in 1892) đánh dấu nghiên cứu cách có hệ thống lý thuyết ổn định trở thành phận quan trọng lý thuyết nghiên cứu định tính phương trình vi phân Đến nay, kỷ trơi qua, tốn ổn định hệ phương trình vi phân lĩnh vực tốn học nghiên cứu sôi thu nhiều thành tựu rực rỡ lý thuyết lẫn áp dụng lĩnh vực khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, y học Trong tốn liên quan đến tính ổn định tốn nghiên cứu ổn định vững đóng vai trị đặc biệt quan trọng cho phép ta nghiên cứu tính ổn định cấu trúc Vì thế, năm 1986, D.Hinrichsen A.J.Pritchard đưa khái niệm goi bán kính ổn định Khái niệm hình thành hướng nghiên cứu mớivà thu hút ý nhiều nhà tốn học tính thời ứng dụng toán kinh tế- kỹ thuật Tuy nhiên phần lớn cơng trình nghiên cứu dựa giả thiết hệ phát triển môi trường không biến đổi, tức hệ số tham gia vào phương trình hàm tất định Điều rõ ràng khơng phù hợp với thực mơi trường xét ln ln biến động Do việc tính đến yếu tố ngẫu nhiên tham gia vào phát triển mơ hình quan trọng cần thiết Trên ý tưởng vậy, Luận văn này, chúng tơi muốn nghiên cứu bán kính ổn định hệ chịu tác động yếu tố ngẫu nhiên dạng ồn trắng Các công thức tính bán kính ổn định đưa chương II chương III Các nội dung Luận văn dựa báo [1, 2] Luận văn chia làm chương: Chương I: Các kiến thức chuẩn bị Nội dung chương đưa số khái niệm tính ổn định, bán kính ổn định số cơng thức tính bán kính ổn định phức phương trình vi phân phương trình sai phân có chịu nhiễu chưa biết có cấu trúc biết Chương II: Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc Chương chủ yếu dựa nội dung báo [1] Trong chương này, chúng tơi giải tốn bán kính ổn định m phân tích ngẫu nhiên với hệ thời gian rời rạc kĩ thuật MỤC LỤC định thang kiểm tra tốn tối ưu hóa thơng tin phản hồi đầu động học, cụ thể tốn m tổng hợp Chương III: Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục Chương chủ yếu dựa nội dung báo [2] Trong chương này, giải tốn bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Hữu Dư Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi tới thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn khóa 2010- 2012, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ, dẫn nhiệt tình suốt khóa học thời gian làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới anh, chị, em học viên đồng khóa em sinh viên năm cuối khoa Tốn-Cơ-Tin trường giúp đỡ nhiệt tình để tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Hà nội,ngày tháng .năm 2013 Học viên Nguyễn Thị Thu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân Chúng dẫn vào mục vài khái niệm định nghĩa lý thuyết ổn định 1.1.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân-sai phân thường Xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên dx(t) = f (x(t)); x(0) = x0; t R hệ phương trình sai phân d xt+1 = f (xt ); x(0) = x0 R ; t N n x(t) D R ký hiệu véctơ trạng thái hệ, D tập mở bao chứa trạng thái n ban đầu x(0) f : D ! R hàm liên tục D Giả sử với điều kiện ban đầu x(0), nghiệm hệ (1.1) tồn [0; ¥) Ngồi f có trạng thái cân xe, tức f (xe) = Trạng thái cân hệ gọi ổn định Lyapunov, với e > 0, tồn d = d (e) > cho, kx(0)xek < d kx(t) xek < e; với t Trạng thái cân hệ gọi ổn định tiệm cận xe ổn định Lyapunov limkx(t) xek = tồn d1 > cho kx(0) xek < d1 t!¥ Trạng thái cân hệ gọi ổn định mũ xe ổn định tiệm cận tồn a; b ; d > cho kx(0) xek < d kx(t) xek akx(0) xeke bt ; với t Chương Kiến thức chuẩn bị Ta giải thích sơ ý nghĩa định nghĩa sau: Tính ổn định Lyapunov trạng thái cân nghĩa cho trước khoảng cách e > 0, nghiệm xuất phát khoảng cách "đủ gần" với trạng thái cân (trong khoảng d từ điểm cân bằng) nghiệm mãi "đủ gần" với điểm cân (trong khoảng cách định e) Chú ý điều với e > tùy ý Ổn định tiệm cận nghĩa không ổn định Lyapunov mà xuất phát đủ gần cịn phải hội tụ tới trạng thái cân Ổn định mũ nghĩa nghiệm không hội tụ, mà thực tế hội tụ nhanh tốc độ biết akx(0) bt xeke Trong trường hợp tổng quát ta sử dụng phép đổi gốc tọa độ, ta hồn tồn giả thiết trạng thái cân xe = 0: 1.1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân-sai phân ngẫu nhiên Chúng ta xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ: dx(t) = a(x(t))dt + s(x(t))dw(t); n n n n thỏa thỏa mãn a( ; ) : R ! R s( ; ) : R ! R hàm liên tục cịn W (t) q trình Wiener chiều Chúng ta giả thiết với điều kiện ban đầu x(0) cho, hệ phương trình thỏa mãn điều kiện tồn nghiệm x(t) nghiệm kéo dài khoảng [0; ¥) Chúng không đưa cụ thể điều kiện Độc giả quan tâm xem cơng thức (3.32) [7, Định lí 3.4] Ngồi giả thiết thêm a(0) = 0; s(0) = 0; 8t 0: Với giả thiết này, hệ (1.2) có nghiệm tầm thường x(t) Tương tự, xét hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên xn+1 = f (xn; xn); d với xn trình ngẫu nhiên nhận giá trị không gian metric Y f : R Y ! d R hàm đo Với điều kiện ban đầu x(0), nghiệm x(n) hệ (1.3) tồn N giải phương pháp quy nạp Chúng ta giả thiết thêm fn(y) = hệ (1.3) có nghiệm tầm thường x(n) Theo mục trên, khái niệm ổn định thường gặp lý thuyết ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên phát biểu sau: Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm tầm thường x(t) = phương trình vi phân ngẫu nhiên gọi Ổn định theo xác suất (với t t0) với e > d > tồn số r cho t > t0 jx0j r: P fjx(t; w;t0; x0))j > eg < d : Chương Kiến thức chuẩn bị Ổn định tiệm cận theo xác suất ổn định theo xác suất với e > tồn r = r(e) cho, jx0j r P fjx(t; w;t0; x0))sj > eg ! 0; t ! ¥: p ổn định (p > 0), với e > tồn r > cho: p E jx(t; w;t0; x0)j < e t t0 jx0j < r: p ổn định tiệm cận, p ổn định với giá trị jx0j đủ nhỏ: E p jx(t; w;t0; x0)j ! t ! ¥: Ổn định theo nghĩa rộng ổn định với x0; e > d > 0, tồn T = T (x0; e; d ) cho: P fjx(t; w;t0; x0))j > eg < d ; với 8t > T: p ổn định mũ tồn số A > a > cho: E jx(t; w;t0; x0)j p p A jx0j :e a(t t0) : ổn định xác suất (hay ổn định hầu chắn) lim P fsup jx(t; x0; x)j > d g = jx0j!0 với d > 0: n ổn định tiệm cận hầu chắn ổn định với xác suất với x0 R ta có: n o lim x(t; x P t Từ định nghĩa suy Nhận xét 1.1.2 i) Từ bất đẳng thức Chebyshev, ta có ổn định (tiệm cận) nghiệm tầm thường tính p với giá trị p > ổn định (tiệm cận) với giá trị < q < p suy q ổn định theo xác suất ii) Chúng ta lấy ví dụ điều ngược lại khơng đúng, tức nghiệm phương trình p ổn định (tiệm cận) với giá trị p không q ổn định (tiệm cận) với q > p: iii) Tính chất p ổn định tiệm cận với p = gọi ổn định tiệm cận bình phương trung bình Chương Kiến thức chuẩn bị 1.2 Khái niệm bán kính ổn định Trong năm gần khái niệm bán kính ổn định chủ đề quan tâm đáng kể Bán kính ổn định, giới thiệu Hinrichsen Pritchard Chúng ta biết hệ phương trình vi phân dx(t) = Bx(t) ổn định tiệm cận s(B) C = fz C : Rez < g Vì phổ ma trận phụ thuộc liên tục theo chuẩn nên D có chuẩn nhỏ hệ dx(t) = (B + D)x(t) ổn định tiệm cận Câu hỏi đặt D phá vỡ tính ổn định hệ Ngưỡng chuẩn nhiễu thực hay phức kDk cho tính ổn định phương trình bị phá vỡ gọi bán kính ổn định hệ (1.5) Chúng ta phát biểu xác tốn Giả sử xét hệ (1.5) Cho D ma trận cấp n l E ma trân cấp q n Xét phương trình chịu nhiễu có cấu trúc dx = (B + DSE)x; S ma trận nhiễu chưa biết Các ma trận D; E biết chúng xác định "cấu trúc" nhiễu Khi theo [5], bán kính ổn định phức cho 1 max kE(tI B) Dk t : (1.7) 2iR Nếu phương trình ban đầu phương trình sai phân xn+1 = Bxn với nhiễu có cấu trúc dạng xn+1 = (B + DSE)xn; ta có cơng thức tính bán kính ổn định phức max kE(wI w 2C:jwj=1 B) Dk : (1.9) dãy ngẫu nhiên (w(t))t2N thỏa mãn giả thiết Khi đó, mệnh đề sau đúng: 29 Chương Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc i)Tồn điều tiết ổn định åK dạng (2.60) cho (2.67) tồn + S; R Hn (K) với S R cho: N A SA i=1 ASA " SA R i=1 N åliAi0 SAi0 R A i=1 ii) Tồn DK K m p cho hệ N x(t + 1) = (A + BDKC)x(t) + åA ix(t)wi(t) i=1 + l ổn định tồn S Hn (K); S cho (2.68) (2.69) thay R R iii) Tồn điều khiển thông tin ngược (feedback) trạng thái tĩnh, điều kiện ổn định cần đủ để hệ với thời gian liên tục với ồn phụ thuộc trạng thái (với C = In ) đưa Willems and Willems (1976) 30 Chương Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục 3.1 Giới thiệu Cho (W; F; P) không gian xác suất đầy đủ trình Wiener (w j(t)) R (W; F; P) Xét hệ ngẫu nhiên: N >dx(t) = Ax(t)dt + å < >x(0) = x : D jDj(Rx(t))dw j(t) j=1 (3.1) Chúng ta xem (3.1) hệ chịu nhiễu ngẫu nhiên tương ứng với hệ tuyến tính thời gian rời rạc: dx(t) = Ax(t)dt Họ cặp ma trận D ; R nhiễu phi tuyến chưa biết Dj; j 2 H0: E(w j(t)) = E(w j(t)wk(s)) = 0; j 6= k; s 6= t j; k N; E(w j(t)) = l jt; l j R+; j N; H1: (Ft )t họ lọc tiêu chuẩn tạo Ft = s( w j(s); s t; j N ), giả thiết x0 F0 đo được, E kx0k < ¥, x0 độc lập với w j(t); j N; t 0; nn qn H2: A K ; K = R K = C; s(A) C = fl C : Rel < 0g; R K ; n l D j ; j N; j2K q l H3: Dj : K ! K j ; j N liên tục Lipschitz Dj(0) = 0: m - Trên K ; m N lấy chuẩn Euclide - Độ lớn Dj đo chuẩn Lipschitz: q Dj = in f g j 0; y; yˆ K : Dj(y) 31 Dj(yˆ) g j ky yˆkKq Chương Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục D = (D1;D2;:::;DN) : " k # x(t); t [0; T ]: RT E kx(t)k dt < ¥ Trong chương chúng tơi giải tốn bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục thông qua khái niệm toán tử inputoutput chương 2 Định nghĩa 3.1.2 Hệ (3.1) gọi L ổn định với x0 thỏa mãn H1 có: Z T E kx(t)k dt < ¥: : Định nghĩa 3.1.3 Bán kính ổn định hệ (3.1) với cấu trúc đa nhiễu ngẫu nhiên rK A; (D j)j2N ; R = in f kDk; (3:1) không L ổn định : Ta rút công thức tính rK 3.2 Tốn tử input-output Với giả thiết H0 H3, nghiệm (3.1) thỏa mãn phương trình: x(t) = e At Zt N x0 + å j=1 ởđây tích phân hiểu theo nghĩa Itơ Cũng giống trường hợp tất định, tốn tử input-output đóng vai trò quan trọng Ta đặt: lN K ); l h i h i V = L 0; ¥; L2(W; K ) ::: L 0; ¥; L2(W; q H = L [0; ¥; L2(W; K )]; định nghĩa L : V ! H bởi: Z Chúng ta có kết sau: 32 t N Chương Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục Định lý 3.2.1 Giả sử có H0 H3 kDk < kLk ; L xác định (3.3), hệ (3.1) L ổn định Chứng minh Từ (3.2), ta có: x(t) = e At x0 + å j=1 , Rx(t) = Re At e Zt D jDj (Rx(s))dw j(s) N Zt N A(t s) x0 + å j=1 Đặt y(t) = Rx(t); y0(t) = Re At x0, (3.4) viết sau: y(:) = y0(:) + L(D1(y); :::; DN (y)) (:): Nhưng với y; yˆ H; kL(D1(y); :::; DN (y))(:) L(D1(yˆ); :::; DN (yˆ))(:)kH kLkkD1(y)(:) D1(yˆ)(:); :::; DN (y)(:) DN (yˆ)(:)kV kk N L å Vì (3.5) có nghiệm y(:) H theo định lí đảo Bây xác định: x(t) = e At x0 + å j=1 N Zt A(t s) e D jDj (y(s))dw j(s);t > 0: n Khi dễ thấy x(:) thỏa mãn (3.1), từ x(:) L [0; ¥; L2(W; K )] hệ (3.1) L ổn định Ta có hệ trực tiếp định lí trên: rK A; (D j)j2N ; R kLk : Ta chứng minh đẳng thức (3.6) Nhưng trước chứng minh điều ta mơ tả kLk qua tốn điều khiển tối ưu sau: N dx(t) = Ax(t)dt + å j=1 D jv j(t)dw j(t) < > x(0) = x0 > : Jr (x0; v) = Z 33 Chương Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục Mệnh đề 3.2.2 Với giả thiết H0 Jr (0; v) 0; Chứng minh Từ (3.7) với x0 = ta có: N Zt Do đó: Rx(t) = (Lv)(t); v = (v1; :::; vN ) Jr (0; v) = Vì vậy: Jr (0; v) với v V r kLk 1: Bây suy cơng thức tính kLk Mệnh đề 3.2.3 Giả sử giả thiết H0 H2 cho Pr = Pr K phương trình Lyapunov: nn giải Pr A + A Pr + r R R = 0: Khi đó: kLk = sup r > : Il j l jD j Pr D j Chứng minh Tính tốn đơn giản cho ta: N Jr (0; v) = å v j(:); Il j 0; j N l jD j Pr D j j=1 đó: Jr (0; v) 0,với v V r l Khi (3.10) suy từ mệnh đề Chú ý 3.2.4 i) Thực r l0 điều khiển tối ưu với toán (3.7),(3.8) v(:) = Jr x0 ( ii) ; ) = in f J Theo định lí Plancherel: k L 34 Chương Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục 3.3 Các tính chất bán kính ổn định Định lý 3.3.1 Giả sử H0 H3 đúng, L xác định (3.3) Pr xác định (3.9), đó: rK(A; (D j)j2N ; R) = kLk = sup r > : Il j với K R K C: l jD j Pr D j 0; j N ; Chứng minh Ta rằng: rK kLk Giả sử rằng: kLk 6= 0; l0 = kLk cho hệ (3.1) không L ổn định Lấy r = l0 + Đặt Dk(y) = r kykxk; Dj(y) = 0; j 6= k, kDk = kDkk = r < l0 + e Hệ (3.1) có dạng: Giả sử hệ L2 ổn định, có thỏa mãn H1 Nhưng lại có: Vì vậy: E Do đó: Z ¥ E kRx(t)k điều mâu thuẫn với (3.12) Vậy hệ (3.1) khơng ổn định r K < l0 + e với e > 35 Chương Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục Chú ý 3.3.2 i)Thực bán kính ổn định thực phức xác định qua chuẩn toán tử input-output ngạc nhiên xem xét kết tất định ii) Sự không ổn định D xây dựng chứng minh định lí khơng tuyến tính Ta khơng u cầu (3.11) tuyến tính D thừa nhận Tuy nhiên trường hợp đặc biệt D i = R = IKn (l = li = q = n) A tạo nửa nhóm thu hẹp, nửa nhóm (3.11) với D tuyến tính iii) Khơng khó để phân tích mở rộng với cấu trúc nhiễu dạng: N å j=1 D jDj(R jx(t))dw j(t) iv)Từ bán kính ổn định đặc trưng qua (3.7), (3.8), mong muốn bán kính ổn định tối ưu với "feedback" 36 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: - Trình bày khái niệm định nghĩa tính ổn định phương trình vi phân-sai phân thường, tính ổn định phương trình vi phân-sai phân ngẫu nhiên, định nghĩa cơng thức tính bán kính ổn định số hệ tất định Luận văn trình bày chứng minh chi tiết kết bán kính ổn định hệ phương trình vi phân thời gian rời rạc, thơng qua khái niệm tốn tử input-output đánh giá cận chứng minh dấu bất đẳng thức xảy Các kết dựa báo số [1] mục tài liệu tham khảo luận văn Tác giả trình bày chứng minh chi tiết bổ đề dùng báo Luận văn trình bày bán kính ổn định hệ phương trình vi phân thời gian rời rạc, thơng qua khái niệm tốn tử input-output đánh giá cận đến chứng minh dấu bất đẳng thức xảy Các kết dựa báo số [2] mục tài liệu tham khảo luận văn Tác giả trình bày chứng minh chi tiết bổ đề dùng báo Nội dung Luận văn phát triển theo nhiều hướng khác Ở ta xét toán ổn định L2 Nếu ta xét toán ổn định không gian Lp với p > điều đáng quan tâm Mặt khác đặt vấn đề đưa cơng thức tính bán kính ổn định cho hệ chịu nhiễu Markov, tức nghiên cứu bán kính ổn định hệ dx = A(x (t))x(t); x (t) q trình Markov nhận khơng q đếm trạng thái Việc nghiên cứu bán kính ổn định hệ chuyển đổi Markov dx(t) = A(x (t))x(t)dt + s(x (t))x(t)dWt ; toán thú vị 37 Tài liệu tham khảo [1] A.El.Bouhtuori, D Hinrichsen, & A.J Pritchard (2000), Stability radii of discrete-time stochastic systems with respect to blockdiagonal perturbation, Automatica, 36, 1033-1040 [2] A.El.Bouhtuori, & A.J Pritchard (1992 ), Stability radii of linear systems with respect to stochastic perturbations, Systems & control letters, 19, 29-33 [3] Morozan, T (1983), Stabilization of some stochastic discrete-time control systems, Stochastic analysis and applications 1, 89-116 [4] Morozan, T (1997), Stability radii of some discrete-time systems with independent random parameters, Stochastic analysis and applications 15, 375386 [5] D Hinrichsen, & A.J pritchard (1990), Stability radii of systems with stochastic uncer-tainty and their optimization by output feedback.SIAM Joural control 34, 19721998 [6] D Hinrichsen, & Son N.K (1991), Stability radii of linear discrete-time systems and symplectic pencils International Journal of Robust and Nonlinear control, 1, 7997 [7] R Khasminskii (2011), Stochastic stability of differential equations 38 ... kính ổn định số cơng thức tính bán kính ổn định phức phương trình vi phân phương trình sai phân có chịu nhiễu chưa biết có cấu trúc biết Chương II: Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên. .. Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính ổn định hệ phương trình vi p 1.1.1 1.1.2 1.2 Khái niệm bán kính ổn định Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc 2.1 Giới thiệu... trên, khái niệm ổn định thường gặp lý thuyết ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên phát biểu sau: Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm tầm thường x(t) = phương trình vi phân ngẫu nhiên gọi Ổn định theo xác