Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An (Đề chính thức)

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An (Đề chính thức) phục vụ cho các bạn học sinh trong quá trình luyện thi học sinh giỏi lớp 12. Mời các em cùng tham khảo!

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12     SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Đề thức Mơn thi: TỐN (BẢNG A)  Thời gian 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1:  a) Giải phương trình:  3� x+ � log � x + �+ 2� � x− =2 b) Chứng minh phương trình:  x5 – 4x2 – 4x = 1    có đúng một nghiệm và  nghiệm đó nhận giá trị dương ( Bài 2: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:   y = x + − x ) b) Cho các số thực x; y thỏa mãn: 0  0   t   (0;  )  g(t) đồng biến trên (0;  )   g(t) > g(0) = 0  f'(t) > 0 với   t   (0;  )   f(t) đồng biến trên (0;  ) mà x   y   f(x)   f(y) suy ra đpcm ) 0.5 0.25 0.5 0.25 1.0 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 3: Trường hợp 1: Với x = 0 thì hệ có nghiệm x = y = z = 0 (3 điểm) Trường hợp 2: Với x   0 để hệ có nghiệm thì x > 0, y > 0, z > 0 Giả sử (x, y, z) là nghiệm của hệ có: 2x2 = y(1 + x2)   2xy   x   y 3y3 = z(y4 + y2 +1)   z.3y2   y   z (vì y4 + y2 + 1   3y2) 4z4 = x(z6 + z4 + z2 +1)   x.4z3   z   x (vì z6 + z4 + z2 + 1   4z3) Vậy: x   y   z   x   x = y = z Khi đó thay vào hệ ta có nghiệm: x = y = z = 1 Hệ có 2 nghiệm: x = y = z = 0 hoặc x= y = z = 1 Bài 4: a. (3đ): (C) có tâm I(1; ­2), bán kính R =  (5,5 đ)    C đối xứng với A qua I   C(0; ­4) Do  ﾷ ABC = 90 có pt đường thẳng AC là: 2x ­ y ­ 4 = 0 Có S  = 4   khoảng cách từ B đến AC là: d =  ABC 2S = AC  B   đường thẳng     AC, cách AC một khoảng bằng d  pt của   có dạng: 2x ­ y + m = 0 mà     AC   khoảng cách từ A đến   bằng d Vậy  4+m = 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 m=0 m = −8 0.25 + Với m = 0 pt của  : 2x ­ y = 0   toạ độ B là nghiệm của hệ: y = 2x � 2 ( x − 1) + ( y + ) = x=0  hoặc  � y=0 12 y=− x=− 0.5 + Với m = ­8 Pt của   : 2x­y­ 8 = 0   toạ độ B là nghiệm của hệ: y = 2x − � 2 ( x − 1) + ( y + ) = 16 x=2  hoặc  � y = −4 y=− x= 0.5 Vậy toạ độ C(0; ­ 4), toạ độ B là: hoặc (0; 0) hoặc ( − ; −                                                      hoặc (2; ­4) ho ặc ( 12 )  16 ;− ) 5 0.25 b. (2,5đ): Kẻ AH   BC, IK   BC, đặt AH = h, bán kính đường trịn nội  tiếp là r và I(x; y) y Có: h = 3r   (AB + BC + CA)r = 3BC.r A  AB + CA = 2BC   sinC + sinB = 2sinA I -3 B K H B C cot g  = 3    (*) 2 B BK C CK mà cotg = ; cot g = IK IK  cotg C x Từ (*)   BK.CK = 3IK2 (**) Do I là tâm đường trịn nội tiếp   K thuộc đoạn BC nên BK.CK = (3 + x)(3 ­ x), IK2 = y2 Thay vào (**) ta có: x2 + 3y2 = 9 Suy ra I thuộc đường cong có phương trình: x2 + 3y2 = 9  Ghi chú: Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ...SỞ GD&ĐT NGHỆ? ?AN KỲ? ?THI? ?HỌC? ?SINH? ?GIỎI TỈNH LỚP? ?12 Năm? ?học? ?2006 ­ 2007 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (Bảng A) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­... Bất đẳng thức  Xét f(t) =  Có f '(t) =  x − 6x sinx 0.5 0.5 0.5 Dựa vào bảng biến? ?thi? ?n suy ra pt: f(x) = 0 có một nghiệm duy nhất  và? ?nghiệm đó có giá trị dương   đpcm Bài 2: a. (3đ): TXĐ: D =  �...  K thuộc đoạn BC nên BK.CK = (3 + x)(3 ­ x), IK2 = y2 Thay vào (**) ta có: x2 + 3y2 = 9 Suy ra I thuộc đường cong có phương trình: x2 + 3y2 = 9  Ghi chú:? ?Học? ?sinh? ?giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa