Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Lào Cai

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Lào Cai là tài liệu bổ ích để các em ôn luyện và kiểm tra kiến thức tốt, chuẩn bị cho kì thi sắp tới.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAO CAI ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12  TRƯỜNG THPT CHUN TỔ TỐN –TIN Mơn: Tốn. Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu 1(3 điểm): Cho trước hằng số a và dãy số thực (xn) được xác định như sau:          x1 = a                    xn +1 = ln(1 + xn2 ) − 2004    ∀n N*       .   Chứng minh dãy (xn) hội tụ Câu 2 (3 điểm): Giải hệ phương trình:  x + 21 = y − + y y + 21 = x − + x Câu 3 (3 điểm):  Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:                                             a + b2 b2 + c c + a + + a+b b+c c+a 3(a + b + c )   a+b+c Câu 4 (3 điểm): Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD. Gọi E là giao điểm của AC   và BD, gọi F, G lần lượt là trực tâm tam giác AED và tam giác EBC. Gọi H là trung   điểm FG. Chứng minh  EH ⊥ AB Câu 5 (2 điểm): Cho một lục giác đều. Tại mỗi đỉnh của lục giác có một con chim  đậu. Vào cùng một lúc, tất cả  sáu con chim đều bay lên khỏi vị  trí của mình. Rồi sau  đó, cả sáu con lại đậu xuống cùng một lúc, chúng lại đậu xuống các đỉnh nhưng khơng   nhất thiết đậu xuống vị  trí cũ của mình. Chứng minh rằng tồn tại 3 con chim sao cho   tam giác tạo bởi  các đỉnh mà chúng đậu trước khi bay bằng tam giác mà chúng đậu sau  khi bay Câu 6 (3 điểm):  Tìm hàm số f(x) thoả mãn:    f ( x + y ) f ( x ) f ( y ) 2007 x + y ,    ∀x,y R Câu 7 (3 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn (O). Tiếp tuyến với (O)   tại A cắt đường thẳng BC tại D. Gọi E là tâm đường trịn qua A và tiếp xúc BC tại B,  gọi F là tâm đường trịn qua A và tiếp xúc BC tại C. Chứng minh D, E, F thẳng hàng Họ và tên thí sinh:………………………………………………… Số báo danh:………………………………………………………… Chú ý:     ­Giám thị khơng giải thích gì thêm                  ­Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAO CAI Câu ĐÁP ÁN KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TỐN 12 Nội dung Xét hàm số  f ( x) = Có :  f '( x) = x + x2 ln(1 + x2 ) − 2004, x R   0.5     , x R 0.5 Xét hàm số  g(x)=x­f(x). Ta có    g '( x) = x − x +1 > 0    ∀x R  Do đó g(x)  x2 + đồng biến trên R  Mặt khác g(0).g(­2004)