Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình (Đề chính thức)

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình (Đề chính thức) đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các em học sinh, giáo viên trong quá trình ôn luyện, củng cố, đánh giá năng lực Toán của học sinh lớp 12.

SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT  Kỳ thi thứ nhất ­ Năm học 2012 – 2013 MƠN: TỐN Ngày thi 09/10/2012 (Thời gian lam bai 180 phút) ̀ ̀ Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang Câu 1 (5 điểm): x = y − 2y + Giải hệ phương trình:  y = z − 2z + z3 = x − 2x + Câu 2 (5 điểm): Cho tam giác ABC vng tại A có đường cao AH. Gọi P, Q lần lượt là tâm  đường trịn nội tiếp các tam giác ABH và ACH. Các đường thẳng AP, AQ lần lượt  cắt BC tại D và E. Chứng minh rằng đường thăng AH, DQ, EP đơng quy tai mơt ̉ ̀ ̣ ̣  điêm ̉ Câu 3 (6 điểm): Cho phương trình (ẩn x, tham số n ngun dương): x + 2x + 3x + + nx n − = a) Chứng minh rằng với mỗi số ngun dương n phương trình có 1 nghiệm  dương duy nhất, kí hiệu nghiệm đó là  x n b) Chứng minh rằng  lim x n =   Câu 4 (4 điểm): Cho tập Sn  = {1; 2; 3;…; n} với n là số  ngun dương lớn hơn 2. Có bao  nhiêu cách chia tập Sn thành ba tập con khác rỗng (hợp với nhau bằng S n và đơi một  giao với nhau bằng rỗng) sao cho mỗi tập con khơng chứa hai số ngun liên tiếp? HẾT Họ và tên thí sinh : . Số báo  danh  Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2: SỞ GD&ĐT NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ nhất ­ Năm học 2012 – 2013 MƠN: TỐN Ngày thi 09/10/2012  (hướng dẫn chấm  gồm 04 trang)                                                       Câu Đáp án Điểm �x = y − 2y + �x = (y − 1) + �3 �3 2 Ta có:  �y = z − 2z + � �y = (z − 1) + � x, y, z > � � z3 = x − 2x + z = (x − 1) + � � 5 điểm Giả sử  x = max{x; y;z} � (y ­1) = max{(x ­1) ;(y ­1) ;(z ­1) 2} y = max{x; y;z} � x = y � y = z  Vậy x = y = z Khi đó ta có phương trình:  x = x − 2x + � x − x + 2x − = � (x − 2)(x + x + 4) = �x=2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (2; 2; 2) 1,0 1,0 1,5 1,0 0,5 A 5 điểm Q P B D H E C Cách 1: ﾷ ﾷ BAH = ACH 1ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ BAE = BAH + HAE = BAH + HAC 1ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ BEA = ACH + EAC = ACH + HAC ﾷ ﾷ � BEA = EAB �  tam giác ABE cân tại đỉnh B ﾷ Mà BP là đường phân giác góc  ABE BP  là đường trung trực của  đoạn AE  � PA = PE 1,0 1,0 1,0 ﾷ 1ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ = PAH + HAE = (BAH + HAC) = BAC = 450 Mặt khác  PAE 2 � ∆PAE  vuông cân tại đỉnh P  � EP ⊥ AD Tương tự:  � DQ ⊥ AE Vậy AH, DQ, EQ là các đường cao của tam giác  ADE suy ra AH,  DQ, EP đồng quy 1,0 1,0 Cách 2:  Áp dụng tính chất tia phân giác các góc trong tam giác: PA AB QE CE HD AH EC AC = = = = ,  ,  ,  PD BD QA AC DB AB HE AH � 2,0 PA HD EC QE = AB AH AC CE = CE PD DB HE QA BD AB AH AC BD 1,5 PA HD QE =1 PD HE QA 0,5 AH, DQ, EP đồng quy (Định lí Ceva) a) 2 điểm (6 điểm) Xét  f n ( x ) = x + 2x + 3x + + nx n −         ' 2 2 n −1           f n ( x ) = + x + x + + n x Ta có  f n' ( x ) > 0 ∀x R f n ( x )  đồng biến, liên tục  trên R.  0,5 0,5 Mà  f n ( ) < 0;  f n ( 1) > 0,5 � f n ( x ) =  có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc  ( 0;1) 0,5 b) 4 điểm n −1 �1 � �1 � �1 � 3f � �= + + � �+ + n � � − �3 � �3 � �3 � n −1 n �1 � �1 � �1 � �1 � f � �= + � �+ + ( n − 1) � � + n � �− �3 � �3 � �3 � �3 �   �1 � n ( + 2n ) �1 � �1 � � 2f � �= + + � �+ + � � − n − = − �3 � 2.3n �3 � �3 � 2 n −1 �1 � ( 2n + 3) � f � �= − < 0 ∀n �N* n 4.3 �3 � �1 � Suy ra  f � �< f n ( x n )  suy ra  x n >  (do  f n ( x )  là hàm số đồng  �3 � biến trên R) 1,0 0,5 Với mọi  n N* , theo định lý Lagrange, tồn tại  cn �1 � � ;x n � sao  �3 � 1 cho:  f n (x n ) − f n ( )− = f n' (c n )(x n − ) 3 1 2n + 2n + 1 2n + � x − = < � xn − = ' n f n' (c n ) 4.3n 4.3n f n (x n ) 4.3n 0,5 1,0 (vì  f n' ( x ) > 1 ∀x �(0; +�) ) 2n + = � lim x = Mà  lim n n + n + 4.3n 1,0 4 điểm Kí hiệu S(n) là số cách chia tập S thành ba tập con khác rỗng sao cho  mỗi tập con khơng chứa hai số ngun liên tiếp.  Các khả năng xảy ra khi chia tập Sn+1 = {1; 2; 3; ; n; n+1} Khả năng 1: {n+1} khơng là một trong ba tập con của Sn+1 Ta thực hiện cách chia như  sau: Chia S n thành 3 tập con (thỏa mãn  đề bài) và bổ xung phần tử ( n + ) vào một trong hai tập khơng chứa  phần tử n. Do đó số cách chia trong trường hợp này là 2S(n) Khả năng 2: {n+1} khơng là một trong ba tập con của Sn+1 Khi đó các phần tử  Sn phải nằm trong hai tập cịn lại. Có thể  thấy  ngay chỉ  có một cách chia thỏa mãn (một tập chứa các số  chẵn và   một tập chứa các số lẻ). Do đó, số cách chia trong trường hợp này là   1 cách Vậy ta thu được công thức truy hồi: S ( n + 1) = 2S ( n ) + � S ( n + 1) + = � S ( n ) + 1� � � Đặt   u n = S ( n ) +   � u n +1 = 2u n  Vậy   ( u n )   là một cấp số  nhân có  cơng bội bằng 2 Mặt khác, ta thấy  S ( 3) =  vậy nên ta có  S ( n ) = 2n − − 1, ∀n Vậy số cách chia thỏa mãn yêu cầu bài toán là  S ( n ) = 2n −2 − 1, ∀n ­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­   1,5 1,0 0,5 1,0 SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT  Kỳ thi thứ nhất ­ Năm học 2012 – 2013 MƠN: TỐN Ngày thi 10/10/2012 (Thời gian lam bai 180 phút) ̀ ̀ Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang Câu 1 (5 điểm): Cho cac s ́ ố thực x, y, z, t thoả mãn:  x + y − 4x − 2y + = z + t − 4z − 2t + = Tim gia tri l ̀ ́ ̣ ơn nhât cua biêu th ́ ́ ̉ ̉ ức: P = (x – z)(y – t) Câu 2 (5 điểm): Chứng   minh     phương   trình     x+2 y+2 + = có   vô   số   nghiệm   nguyên  y x dương.  Câu 3 ( 5 điêm) ̉ Cho tam giác ABC nội tiếp  đường trịn tâm O, các đường cao AM, BN.  Điểm D trên cung  BC  khơng chứa A của đường trịn (O) và khác B, C. Hai đường  thẳng DA và BN cắt nhau tại Q, hai đường thẳng DB và AM cắt nhau tại P. Gọi I   là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng ba điểm M, N, I thẳng hàng Câu 4 (5 điểm): Tìm tất cả các hàm số  f : ﾷ ﾷ  thỏa mãn điều kiện: f ( x + f ( y ) ) = 4x 3f ( y ) + 6x ( f (y) ) + 4x ( f (y) ) + ( f (y) ) + f ( − x )  với mọi  x, y ﾷ HẾT Họ và tên thí sinh : . Số báo  danh  Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT SỞ GD&ĐT NINH BÌNH Kỳ thi thứ nhất ­ Năm học 2012 – 2013 MƠN: TỐN Ngày thi 10/10/2012  (hướng dẫn chấm  gồm 03 trang)                                                       Đáp án Câu 05  điểm �x + y − 4x − 2y + = Cách 1:  �2 z + t − 4z − 2t + = � Điể m � (x − 2) + (y − 1) = � (z − 2) + (t − 1) = � Đặt a = x ­ 2, b = y ­ 1, c = z ­ 2, d = t ­ 1, ta có:  P = (x − z)(y − t) = (a − c)(b − d) 0,5 a + b2 = c2 + d = (a − c)(b − d) 2(a + c )2(b + d ) = (a + c )(b + d ) =a 2+ +b+2 �c2 d2 1 P Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: (a − c)(b − d) a = −c �b = −d   2 a + c = b2 + d2 a=b= x =2+ �c = d = − y =1+ a=b=− z =2− c=d= t =1− a + b2 = c +d =4 Vậy  MaxP = 2 �x + y − 4x − 2y + = Cách 2:  �2 z + t − 4z − 2t + = � 2 � ∃α, β �R thỏa mãn:  x =2− hoặc  y =1− z =1+ t =1+ (x − 2) + (y − 1) = � � (z − 2) + (t − 1) = � 0,5 x = + 2cos α; y = + 2sin α z = + 2cos β; y = + 2sin β sin sin sin( ) 2 Đẳng thức xảy ra  � sin 2α = sin 2β = − sin(α + β) =   Khi đó: P = (x­z)(y­t) = 4 1,5 1 =8 2 0,5 π + kπ     (k, m Z ) π β = + 2mπ − (k + 1)π 0,5 α= x = 2+ y = 1+ z = 2− x      hoặc     t = 2− 2 y z 2 t 2     0,5 Vậy  MaxP = x+2 y+2 + =6 y x Xét dãy số {xn} xác định bởi công thức:  5 điểm x = 1; x1 = x n + = 6x n +1 − x n − 2  ∀n 0,5 N Ta có: {xn} tăng và  x n �N*∀n �N*   0,5 Với mọi  n N  ta có:  x n + = 6x n +1 − x n − � x n +2 + x n = 6x n +1 − 2     (1) 0,5 � 0,5  x2 ­ 2(3y­1)x + y2 + 2y = 0   (*) x n+2 + x n + x + x n + x n +1 + x n −1 + = � n +2 =   ∀n �N* x n +1 x n +1 xn 0,5 � x n + x n + x n2 + 2x n = x n2 +1 + x n +1x n­1 + 2x n +1   ∀n �N* 0,5 � x n + x n ­ x n2 +1 ­ 2x n +1 = x n +1x n­1 ­ x n2 ­ 2x n   ∀n �N * � x n + x n ­ x n2 +1 ­ 2x n +1 =  x x ­ x12 ­ 2x1 =  0  ∀n �N � x n + x n = x n2 +1 + 2x n +1  ∀n N                                           (2) Từ (1), (2) suy ra  x n , x n +  là hai nghiệm của phương trình: t ­ 2(3x n +1 ­1)t + x 2n +1 + 2x n +1 = 0  ∀n N 0,5 � x 2n ­ 2(3x n +1 ­1)x n + x 2n +1 + 2x n +1 = 0 ∀n �N Suy ra ( x n , x n +1 ) là nghiệm của phương trình (*)  ∀n Do đó ta có điều phải chứng minh 5điểm N Q H I B C P D 0,5 N 0,5 A M 0,5 Gọi H là trực tâm tam giác Tam giác ANH và BMH đồng dạng nên:  AN BM =     (1) NH MH Tam giác ANQ và BMP đồng dạng nên:  AN BM =     (2) NQ MP Từ (1) và (2) suy ra  � 1 NQ MP =    NH MH NQ MH IP =1  NH MP IQ Ba điểm M, I, N thẳng hàng (Định lí Menelaus) f ( x + f ( y ) ) = 4x 3f ( y ) + 6x ( f (y) ) + 4x ( f (y) ) + ( f (y) ) + f ( − x ) ∀ x, y R   (1) 5điểm + Nhận xét:  f ( x )  thỏa mãn yêu cầu bài toán + Xét trường hợp:  f ( x )  Đặt a = f(0) 0,5 Thay  x =  vào (1) ta được  f ( f ( y ) ) = ( f ( y ) ) + a, ∀y ﾷ                 (2) Tiếp tục thay x bởi  ( −f (x) )  vào (1) ta được 0,5 f ( f ( y ) − f (x) ) = − 4(f (x))3 f ( y ) + 6(f (x)) (f (y)) − 4f (x)(f (y)) + (f (y)) − f ( f (x) ) ∀ x, y ﾷ         � f ( f ( y ) − f ( x ) ) = ( f ( y ) − f ( x ) ) + f ( f ( x ) ) − ( f ( x ) )    ∀x, y �ﾷ   (3) 4 Từ (2) và (3) suy ra  f ( f ( y ) − f ( x ) ) = ( f ( y ) − f ( x ) ) + a   ∀x, y Giả sử  x ﾷ  thỏa mãn  f ( x ) ﾷ   (4)  Thay  y = x  vào (1) ta thu được: f ( x + f ( x ) ) − f ( − x ) = 4x 3f ( x ) + 6x ( f (x ) ) + 4x ( f (x ) ) + ( f (x ) ) ∀ x R 0,5 Vế phải là đa thức bậc ba theo biến x nên nó là hàm số có tập giá trị là  ﾷ  Vậy nên, vế trái cũng là một hàm số có tập giá trị là  ﾷ   ∀x ﾷ  đều tồn tại  u, v ﾷ  để  f ( u ) − f ( v ) = x Do đó từ (4) suy ra:  0,5 0,5 0,5 f ( x ) = f ( f ( u ) − f ( v ) ) = ( f ( u ) − f ( v ) ) + a = x + a, ∀x ﾷ 0,5 Thử lại dễ thấy:  f ( x ) = x + a, ∀ x ﾷ  (với a là hằng số) thỏa mãn (1) 0,5 Vậ y   f ( x )     f ( x ) = x + a, ∀x ﾷ   (với a là hằng số) là các hàm số  cần tìm ­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­ ... Vậy số cách chia thỏa mãn yêu cầu bài? ?toán? ?là  S ( n ) = 2n −2 − 1, ∀n ­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­   1,5 1,0 0,5 1,0 SỞ GDĐT? ?NINH? ?BÌNH ĐỀ? ?THI? ?CHÍNH THỨC ĐỀ? ?THI? ?CHỌN HỌC? ?SINH? ?GIỎI LỚP? ?12? ?THPT  Kỳ? ?thi? ?thứ nhất ­? ?Năm? ?học? ?2 012? ?–? ?2013...Họ? ?và? ?tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2: SỞ GD&ĐT? ?NINH? ?BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ? ?THI? ?CHỌN HSG LỚP? ?12? ?THPT Kỳ? ?thi? ?thứ nhất ­? ?Năm? ?học? ?2 012? ?–? ?2013 MƠN: TỐN Ngày? ?thi? ?09/10/2 012  (hướng dẫn chấm  gồm 04 trang)... Họ? ?và? ?tên thí? ?sinh? ?: . Số báo  danh  Họ? ?và? ?tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ? ?THI? ?CHỌN HSG LỚP? ?12? ?THPT SỞ GD&ĐT? ?NINH? ?BÌNH Kỳ? ?thi? ?thứ nhất ­? ?Năm? ?học? ?2 012? ?–? ?2013