ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NÔNG THỊ PHƯƠNG DẠY TOÁN THEO HƯỚNG TIẾP CẬN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC Ở LỚP 10 THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NÔNG THỊ PHƯƠNG DẠY TOÁN THEO HƯỚNG TIẾP CẬN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC Ở LỚP 10 THPT Ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 8140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đào Thái Lai THÁI NGUYÊN 2020 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của PGS.TS Đào Thái Lai và nhiều thầy, cô giáo. Những kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả Nông Thị Phương ii LỜI CẢM ƠN Luận văn “Dạy toán theo hướng tiếp cận phát triển năng lực biểu diễn toán học ở lớp 10 THPT” hoàn thành là kết quả quá trình học tập và nghiên cứu của tác giả cùng với sự hướng dẫn tận tình của nhiều thầy cô, sự giúp đỡ của bạn bè, đồng nghiệp. Trước hết, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Đào Thái Lai, người đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn này. Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô khoa toán trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Đồng thời, tác giả xin được gửi lời biết ơn đến quý tác giả của các công trình, bài báo, luận văn, luận án mà tác giả dùng làm tài liệu nghiên cứu, tham khảo cho luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình và bạn bè đã luôn động viên, tạo điều kiện, giúp đỡ về mọi mặt để hoàn thành luận văn này. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý và sửa chữa. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến, góp ý của các thầy giáo, cô giáo và bạn bè, đồng nghiệp. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020 Tác giả Nông Thị Phương iii MỤC LỤC Lời cam đoan ........................................................................................................i Lời cảm ơn...........................................................................................................ii Mục lục ............................................................................................................iii Danh mục chữ viết tắt.........................................................................................iv Danh mục bảng....................................................................................................v Danh mục hình....................................................................................................vi MỞ ĐẦU.............................................................................................................1 1. Lí do chọn đề tài ..............................................................................................1 2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................4 3. Giả thuyết khoa học.........................................................................................4 4. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................4 5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................4 6. Phạm vi nghiên cứu .........................................................................................5 7. Cấu trúc luận văn.............................................................................................5 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................6 1.1 Quan niệm về năng lực, năng lực toán học ...................................................6 1.1.1 Năng lực......................................................................................................6 1.1.2 Năng lực toán học.......................................................................................8 1.2 Năng lực biểu diễn toán học ..........................................................................9 1.2.1 Biểu diễn toán học ......................................................................................9 1.2.2 Biểu diễn toán học trong môn toán THPT ...............................................17 1.2.3 Đặc điểm của biểu diễn toán học trong sách giáo khoa toán 10 ..............19 1.2.4 Năng lực biểu diễn toán học .....................................................................27 1.2.5 Các mức độ, thành tố của năng lực biểu diễn toán học............................28 1.2.6 Ảnh hưởng của năng lực biểu diễn toán học đối với kết quả học tập môn toán của học sinh THPT..................................................................30 1.3 Ngôn ngữ toán học.......................................................................................32 iv 1.3.1 Ngôn ngữ, ngôn ngữ toán học ..................................................................32 1.3.2 Ngôn ngữ toán học trong sách giáo khoa toán 10 ....................................36 1.3.3 Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học.......................................................38 1.4 Mối quan hệ giữa năng lực BDTH với năng lực sử dụng NNTH và năng lực GTTH ................................................................................................39 1.4.1 Mối quan hệ giữa năng lực BDTH và năng lực sử dụng NNTH .............39 1.4.2 Mối quan hệ giữa năng lực BDTH và năng lực GTTH............................40 1.5 Đặc điểm nhân cách, trí tuệ và hoạt động học tập của HS lớp 10...............41 1.5.1 Đặc điểm nhân cách, trí tuệ của học sinh lớp 10......................................41 1.5.2 Đặc điểm hoạt động học tập của học sinh lớp 10.....................................42 1.6 Khảo sát thực trạng vấn đề phát triển năng lực BDTH trong dạy học toán 10 ở trường THPT ...........................................................................43 1.6.1 Mục đích khảo sát.....................................................................................43 1.6.2 Đối tượng khảo sát....................................................................................43 1.6.3 Nội dung khảo sát.....................................................................................43 1.6.4 Phương pháp khảo sát...............................................................................43 1.6.5 Kết quả khảo sát .......................................................................................43 1.7 Kết luận chương 1........................................................................................47 Chương 2. BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN 10 THPT.....49 2.1 Định hướng đề xuất các biện pháp phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh trong dạy học toán 10 THPT.........................................49 2.2 Biện pháp phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh trong dạy học toán 10 THPT .....................................................................................51 2.2.1 Biện pháp 1: Tổ chức cho HS các hoạt động nhận biết, hiểu và sử dụng đúng các dạng biểu diễn về các đối tượng, quan hệ và các bước biến đổi toán học .......................................................................................51 v 2.2.2 Biện pháp 2: Tổ chức cho HS các hoạt động liên kết, biến đổi hoặc tạo ra BDTH trong quá trình tư duy để biểu diễn và biểu diễn để tư duy. .........64 2.2.3 Biện pháp 3: Xây dựng và tổ chức các hoạt động học tập theo hướng tăng cường các hoạt động BDTH..............................................................72 2.3 Kết luận chương 2........................................................................................82 Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.......................................................84 3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm ..................................................................84 3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm ..................................................................84 3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm...............................................................100 3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm...................................................................101 3.4.1 Đánh giá định tính ..................................................................................101 3.4.2 Đánh giá định lượng ...............................................................................102 3.5 Kết luận chương 3......................................................................................105 KẾT LUẬN.....................................................................................................107 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................108 PHỤ LỤC .......................................................................................................112 vi DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ HS Học sinh GV Giáo viên BDTH Biểu diễn toán học GTTH Giao tiếp toán học SGK Sách giáo khoa SBT Sách bài tập NNTN Ngôn ngữ tự nhiên NNTH Ngôn ngữ toán học THCS Trung học cơ sở THPT Trung học phổ thông CTGD Chương trình giáo dục PISA Programme for International Student Assessment (Chương trình đánh giá học sinh quốc tế) NCTM Hội giáo viên Toán Hoa Kỳ vii DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1: Xét dấu nhị thức f(x) = ax + b....................................................... 11 Bảng 1.2: Khối lượng của nhóm cá mè thứ 1................................................ 18 Bảng 1.3: Khối lượng của nhóm cá mè thứ 2................................................ 19 Bảng 1.4: Bảng minh họa định lí dấu của tam thức bậc hai.......................... 31 Bảng 1.5 ....................................................................................................... 32 Bảng 1.6: Ý kiến của GV về việc bồi dưỡng năng lực BDTH cho HS......... 43 Bảng 1.7: Nhận xét của GV về khả năng hiểu và sử dụng NNTH trong BDTH của HS lớp 10 .................................................................... 44 Bảng 1.8: Tự nhận xét của hs lớp 10 về khả năng hiểu và sử dụng NNTH trong BDTH................................................................................... 44 Bảng 1.9: GV đánh giá về khả năng sử dụng bdth trong học tập.................. 45 Bảng 1.10: GV nhận xét về việc sử dụng bdth trong giờ học toán.................. 46 Bảng 2.1: Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch được ở nông trường T..................................................................................................... 66 Bảng 2.2: Bảng phân bố tần số, tần suất khối lượng của 30 củ khoai tây..... 67 Bảng 2.3: Bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp khối lượng của 30 củ khoai tây. ................................................................................................. 68 Bảng 2.4: Phân tích đại lượng........................................................................ 75 Bảng 3.1: Kết quả của hai lớp trước thực nghiệm....................................... 103 viii DANH MỤC HÌNH, BIỂU ĐỒ Hình 1.1: Minh họa nội dung định lí dấu nhị thức f(x)=ax+b bằng đồ thị............11 Hình 1.2: Minh họa biểu diễn bằng hình vẽ..................................................13 Hình 1.3: Minh họa biểu diễn bằng công cụ hỗ trợ.......................................14 Hình 1.4: Biểu diễn không tiêu chuẩn...........................................................16 Hình 1.5: Minh họa biểu diễn bên ngoài.......................................................17 Hình 1.6: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 3x 2y = 7.............................................................................................21 Hình 1.7: Minh họa tập nghiệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.................22 Hình 1.8: Biểu diễn hình học miền nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2x + y ≤ 3...........................................................................22 Hình 1.9: (Nguồn: SBT Đại số 10) ...............................................................24 Hình 1.10: (Nguồn: SBT Đại số 10) ...............................................................24 Hình 1.11: Minh họa miền nghiệm bằng Graph..............................................27 Hình 1.12: Minh họa hình học dấu tam thức bậc hai ......................................31 Hình 1.13: (Nguồn: SBT Đại số 10) ...............................................................34 Hình 1.14: Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt .........................................38 Hình 2.1 .......................................................................................................56 Hình 2.2: Cổng parabol của trường Đại học Bách khoa Hà Nội ..................56 Hình 2.3 .......................................................................................................57 Hình 2.4 .......................................................................................................58 Hình 2.5 .......................................................................................................60 Hình 2.6 .......................................................................................................62 Hình 2.7 .......................................................................................................63 Hình 2.8 .......................................................................................................64 Hình 2.9 .......................................................................................................68 Hình 2.10 .......................................................................................................68 Hình 2.11 .......................................................................................................68 ix Hình 2.12 ...........................................................................................................69 Hình 2.17 .......................................................................................................75 Hình 2.18: .......................................................................................................78 Hình 2.19 .......................................................................................................79 Hình 2.20: .......................................................................................................79 Hình 2.21: Bản đồ tư duy mẫu ........................................................................81 Hình 3.2 .......................................................................................................87 Hình 3.1 .......................................................................................................87 Hình 3.3 .......................................................................................................89 Hình 3.4: Sơ đồ cây tóm tắt kiến thức...........................................................95 Hinh 3.5 .......................................................................................................98 Hình 3.6 .......................................................................................................98 Biểu đồ 2.1: Kết quả khảo sát khối lượng khoai tây tại nông trường T ..........69 Biểu đồ 2.2: Biểu thị sản lượng khai thác và nuôi trồng thủy sản của Việt Nam năm 2015 – 2018 (đơn vị: triệu tấn). 22..........................77 Biểu đồ 3.1: Tỷ lệ % kết quả học tập môn Toán của HS...............................101 Biểu đồ 3.2: Kết quả cả hai lớp trước thực nghiệm.......................................103 Biểu đồ 3.3: Kết quả của HS hai lớp sau khi thực nghiệm............................104 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong bối cảnh hiện nay, Việt Nam có nhiều biến đổi sâu sắc về mọi mặt: chính trị, kinh tế, văn hóa, xã hội, giáo dục,... Điều này đã đặt ra những thách thức không nhỏ đối với nước ta. Để đảm bảo phát triển bền vững, nhiều quốc gia đã không ngừng đổi mới giáo dục để nâng cao chất lượng nguồn nhân lực, trang bị cho các thế hệ tương lai nền tảng tri thức vững chắc và năng lực thích ứng cao trước mọi biến động. Đổi mới giáo dục đã đang trở thành nhu cầu cấp thiết của nhiều quốc gia trong đó có Việt Nam. Hội nghị lần thứ 8 Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa XI) đã thông qua nghị quyết số 29NQTW ngày 4 tháng 11 năm 2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế; Quốc hội đã ban hành nghị quyết 882014QH13 ngày 28 tháng 11 năm 2014 về đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông góp phần đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Mục tiêu mới được nghị quyết này quy định: “Đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông nhằm tạo sự chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mĩ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh”. Chương trình giáo dục phổ thông môn toán (Ban hành kèm Thông tư số 322018TTBGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo) đã xác định mục tiêu chung và một trong số đó là: “Hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học”. 5 2 Niss Mogens đã xác định năng lực toán phổ thông gồm 8 năng lực thành phần: tư duy toán học, giải quyết vấn đề, mô hình hóa, suy luận, biểu diễn, kí hiệu và hình thức hóa, giao tiếp, công cụ và phương tiện. Niss Mogens cũng xác định năng lực giao tiếp toán học và năng lực biểu diễn toán học thuộc cụm năng lực sử dụng ngôn ngữ và các công cụ toán học dựa trên hình ảnh “Bông hoa năng lực” 2. Chương trình québec xác định biểu diễn toán học là tiêu chí trong thang đo mức độ năng lực giao tiếp bằng ngôn ngữ toán học 42. Dự thảo chương trình giáo dục phổ thông mới của Việt Nam xác định biểu diễn toán học cùng với nói, viết là những kĩ năng cụ thể của năng lực giao tiếp. Nhiều chương trình toán học phổ thông khác cũng thường xem biểu diễn toán học là một phần của giao tiếp toán học: Chương trình Michigan (1998), Chương trình New Jessy (1996),...(2, 39). Theo OECD, biểu diễn là một năng lực cơ bản và rất quan trọng cho hiểu biết toán học 41. Tác giả Vũ Thị Bình quan niệm: “Năng lực biểu diễn toán học là khả năng hiểu, sử dụng, lựa chọn, tạo ra và chuyển đổi các biểu diễn toán học để suy nghĩ, ghi nhớ, mô tả, giải thích, lập luận, kết nối và trao đổi các ý tưởng trong giải quyết các vấn đề toán học” 2. Vận dụng tốt năng lực biểu diễn toán học sẽ giúp học sinh nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra dưới các dạng cụ thể khác nhau, có thể đơn giản và dễ hiểu hơn. Sử dụng được hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,...) kết hợp với ngôn ngữ thông thường trong trình bày, thảo luận, tranh luận các vấn đề toán học với người khác. Biểu diễn toán học không chỉ là công cụ, phương tiện giúp học sinh suy luận, tư duy, phát huy khả năng sáng tạo toán học mà biểu diễn toán học còn góp phần phát triển khả năng giao tiếp toán học cho học sinh. Sử dụng biểu diễn toán học phù hợp, chính xác sẽ giúp quá trình giao tiếp toán học được hiệu quả. Vai trò quan trọng của năng lực biểu diễn toán học trong việc dạy và học toán là không thể phủ nhận. Do đó, đã có nhiều nhà nghiên cứu, các tác giả cả 3 trong và ngoài nước nghiên cứu về vấn đề phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh. Nghiên cứu của nhà tâm lý học nhận thức Mĩ J. Bruner đã chỉ ra có ba hình thức biểu diễn một chủ đề: qua hành động, qua hình ảnh và qua các kí hiệu ngôn ngữ, mệnh đề, định lí toán học...Clark Paivio khẳng định có hai hệ thống biểu diễn bằng lời nói và bằng hình ảnh. Lesh, Landau và Hamilton chỉ ra năm loại biểu diễn: những kinh nghiệm đời sống thực, các mô hình thao tác, hình ảnh hoặc sơ đồ, lời nói, biểu tượng viết. Tadao xác định 5 dạng biểu diễn trong quá trình dạy học toán: biểu diễn thực tế; biểu diễn bằng mô hình thao tác được; biểu diễn minh họa bằng hình ảnh; biểu diễn bằng ngôn ngữ; biểu diễn bằng kí hiệu. Tác giả Trần Vui trong nghiên cứu của mình đã khẳng định vai trò của biểu diễn trực quan động và lợi ích khi sử dụng trong dạy học toán 2. Luận án tiến sĩ của Vũ Thị Bình (2016) đã nghiên cứu lí luận biểu diễn toán học và thực trạng bồi dưỡng năng lực biểu diễn toán học trong dạy học môn toán cho học sinh THCS, tập trung vào học sinh lớp 6, lớp 7. Trong đó, tác giả đã đề xuất các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực biểu diễn toán học cho học sinh trong dạy học môn toán lớp 6, lớp 7. Và còn nhiều công trình nghiên cứu về năng lực biểu diễn toán học khác. Trong thực tiễn dạy học môn toán ở trường phổ thông, giáo viên thì chưa dành nhiều sự quan tâm cho việc phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh còn học sinh thì thường chỉ tập trung chú ý vào việc tìm ra kết quả mà chưa chú trọng vào việc biểu diễn chính xác các ký hiệu toán học, mối quan hệ giữa các đại lượng và cách trình bày, lập luận cho logic, chặt chẽ, khoa học. Để học tốt môn toán THPT, học sinh cần có trí tưởng tượng phong phú, óc sáng tạo, khả năng lập luận, diễn đạt theo cả ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Chính vì vậy, việc phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh THPT là rất cần thiết và cần thực hiện ngay từ lớp đầu cấp – lớp 10. Đã có nhiều nghiên cứu cả trong và ngoài nước về vấn đề phát triển năng lực biểu diễn toán học trong dạy học môn toán cho học sinh nhưng vấn đề phát triển năng lực biểu diễn toán học trong dạy học môn toán cho học sinh lớp 10 4 đến hiện tại vẫn chưa có. Đối với môn toán ở cấp THPT, học sinh phải học các kiến thức sâu và rộng hơn cấp THCS. Đặc biệt là phần hình học không gian là phần gây nhiều khó khăn cho học sinh. Lớp 10 là lớp đầu cấp THPT, nội dung môn toán 10 là nền tảng để giúp học sinh học tốt môn toán ở các lớp sau. Chính vì vậy, tôi muốn đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh trong dạy học môn toán lớp 10 THPT. Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài: Dạy toán theo hướng tiếp cận phát triển năng lực biểu diễn toán học ở lớp 10 THPT. 2. Mục đích nghiên cứu Đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh trong dạy học môn toán ở lớp 10 THPT. 3. Giả thuyết khoa học Trong dạy học toán 10 ở trường THPT, nếu giáo viên chú ý rèn luyện và phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh trên cở sở vận dụng các hoạt động biểu diễn toán học đặc thù cùng với các biện pháp sư phạm thích hợp sẽ nâng cao được kết quả học tập môn toán cho học sinh. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về cơ sở lí luận của ngôn ngữ toán học, năng lực toán học, năng lực biểu diễn toán học. Nghiên cứu về vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán học trong sách giáo khoa toán 10 THPT. Thực trạng việc bồi dưỡng, phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh trong dạy học toán 10 ở trường THPT. Đề xuất các biện pháp bồi dưỡng năng lực biểu diễn toán học cho học sinh trong dạy học toán 10 THPT. Thực hiện thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính hiệu quả, tính khả thi của các biện pháp đã đề xuất. 5. Phương pháp nghiên cứu 5 Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu, thu thập, chọn lọc và tổng hợp thông tin, nội dung thích hợp về cơ sở lí luận của năng lực, năng lực biểu diễn toán học. Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy học, sách giáo khoa,.... Phương pháp nghiên cứu quan sát, điều tra, phỏng vấn: Quan sát, điều tra thực trạng hình thành và phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh trong dạy học môn toán lớp 10 THPT. Xin ý kiến của giáo viên giảng dạy, các chuyên gia, nhà nghiên cứu về vấn đề nghiên cứu của đề tài. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá được tính hiệu quả, tính khả thi của đề tài. 6. Phạm vi nghiên cứu Tập trung vào xem xét BDTH trong mạch nội dung Số và Đại số. 7. Cấu trúc luận văn Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn. Chương 2: Biện pháp bồi dưỡng năng lực biểu diễn toán học cho học sinh trong dạy học toán 10 THPT. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 6 Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Quan niệm về năng lực, năng lực toán học 1.1.1 Năng lực Ngày nay, có nhiều quan niệm về năng lực trên phạm vi thế giới và cả trong nước. Trong từng lĩnh vực, tình huống, ngữ cảnh cụ thể mà “năng lực” được quan niệm khác nhau. Trong từ điển tiếng việt, năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó hoặc phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một công việc nào đó với chất lượng cao. Theo triết học, năng lực của con người là sản phẩm của sự phát triển xã hội. Năng lực hiểu theo nghĩa rộng là những đặc tính tâm lý của cá thể điều tiết hành vi của cá thể và là điều kiện sống của cá thể ... Theo nghĩa đặc biệt thì năng lực là toàn bộ những đặc tính tâm lý của con người khiến cho nó thích hợp với một hình thức hoạt động nghề nghiệp nhất định đã được hình thành trong lịch sử 25. Theo tâm lý học, năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả tốt. Năng lực không phải là một thuộc tính tâm lý xuất sắc nào đó mà nó là tổ hợp các thuộc tính tâm lý của cá nhân. Năng lực vừa là tiền đề vừa là kết quả của hoạt động; là điều kiện cho hoạt động đạt kết quả nhưng đồng thời năng lực cũng phát triển ngay trong chính hoạt động ấy 25. Trong khoa học xây dựng và phát triển chương trình giáo dục, “Năng lực có thể định nghĩa như là một khả năng hành động hiệu quả bằng sự cố gắng dựa trên nhiều nguồn lực. Những khả năng này được sử dụng một cách phù hợp, bao gồm tất cả những gì học được từ nhà trường cũng như những kinh nghiệm, những 7 kĩ năng, thái độ và sự hứng thú ngoài ra còn có những nguồn bên ngoài...” (CTGD Qúebec của Canada); đó là “Một khả năng hành động hiệu quả hoặc là sự phản ứng thích đáng trong các tình huống phức tạp nào đó” (CTGD của New Zealand); “Là những kiến thức, kĩ năng và các giá trị được phản ánh trong thói quen suy nghĩ và hành động của mỗi cá nhân, thói quen, tư duy và hành động kiên trì, liên tục có thể giúp một người trở nên có năng lực, với ý nghĩa làm một việc gì đó trên cơ sở có kết thúc, kĩ năng và các giá trị cơ bản” (CTGD của Indonesia). Theo Vũ Thị Bình (2016), tác giả Xavier Roegiers khẳng định: Năng lực là sự tích hợp các kĩ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loại tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do những tình huống này đặt ra. Quan niệm về năng lực của tác giả Xavier Roegiers gần với giáo dục học. Hiểu theo nghĩa: năng lực là tập hợp các kĩ năng (các hoạt động) tác động lên các nội dung trong một tình huống có ý nghĩa đối với học sinh. Theo Lương Việt Thái (2012), quan niệm về năng lực thích hợp trong bối cảnh phát triển CTGD phổ thông theo định hướng phát triển năng lực người học: năng lực là sự kết hợp một cách linh hoạt và có tổ chức kiến thức, kĩ năng với thái độ tình cảm, giá trị, động cơ cá nhân,...nhằm đáp ứng hiệu quả một yêu cầu phức hợp của hoạt động trong bối cảnh nhất định. (Theo quan niệm trong CTGD phổ thông của Qúebec – Canada) Đỗ Tiến Đạt và nhóm nghiên cứu cũng đã chỉ ra: Nội hàm của khái niệm năng lực là khả năng thực hiện, là phải “biết làm”, biết giải quyết vấn đề đặt ra trong cuộc sống và trong học tập chứ không chỉ “biết gì” 16. Tuy nhiên, phải biết, phải hiểu cộng thêm ý thức và thái độ mới biết hành động có hiệu quả. Tuy hiện nay có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực nhưng nhìn chung qua một số nghiên cứu cả trong và ngoài nước, đặc biệt là theo nghiên cứu của tác giả Vũ Thị Bình (2016) và tác giả Hoàng Hòa Bình (2015), quan niệm về năng lực đều có sự thống nhất về một số điểm sau: 8 1. Năng lực là thuộc tính cá nhân 2. Được hình thành, bộc lộ và thể hiện qua hoạt động cụ thể nào đó 3. Đảm bảo hoạt động có hiệu quả, đạt kết quả như mong muốn. Trong CTGD phổ thông 20184 của nước ta: Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,...thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể. Đây cũng là quan niệm về năng lực phù hợp với hướng nghiên cứu của luận văn. 1.1.2 Năng lực toán học Năng lực toán học được khởi xướng và lôi kéo sự chú ý, nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu,... ngay từ đầu thế kỉ XX. Nghiên cứu về năng lực toán học được nhiều nhà tâm lý học, toán học, giáo dục toán học cả trong và ngoài nước nghiên cứu, công bố như công trình nghiên cứu của nhà tâm lý học E. L. Thorndike, V. A. Krutexki, T. A. Khinchin, Nguyễn Hữu Châu, Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, Trần Luận,... Tuy nhiên cho đến nay, Năng lực toán học cũng giống như năng lực đều là một khái niệm chưa được thống nhất. Qua nhiều công trình nghiên cứu về năng lực toán học của HS phổ thông ở nước ta, nhiều công trình nghiên cứu đều sử dụng hoặc là dựa trên quan niệm trong nghiên cứu của V.A.Krutexki: “Những năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập toán và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn khoa học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực Toán học” 2. 9 Sự thay đổi và phát triển của xã hội nói chung và đặc biệt là sự thay đổi trong mục tiêu giáo dục đã dẫn đến quan niệm về năng lực toán học cũng có nhiều thay đổi cho thích hợp hơn. Theo PISA 2015: “Năng lực toán học là khả năng của một cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ), và giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh. Nó bao gồm quá trình suy luận toán học, sử dụng các khái niệm, phương pháp, công cụ để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng” 2. Như vậy, có thể hiểu đơn giản năng lực toán học là khả năng vận dụng vốn kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề gặp phải trong học tập nói chung, trong môn toán nói riêng và trong thực tiễn cuộc sống. Theo Dự thảo CTGD phổ thông tổng thể (2018), các năng lực toán học cần hình thành và phát triển cho HS bao gồm các thành phần cốt lõi như sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện toán học. Trong đó, đặc biệt năng lực giao tiếp được xác định: “Là khả năng sử dụng ngôn ngữ nói, viết và biểu diễn toán học để làm thuyết trình và giải thích làm sáng tỏ vấn đề toán học”, từ đó có thể thấy năng lực biểu diễn không được coi là năng lực độc lập. Trong CTGD phổ thông 20184, mục tiêu của cả CTGD THCS và THPT đều xác định giúp HS phát triển những phẩm chất, năng lực cần thiết. Về năng lực thì một trong các năng lực cốt lõi cần phát triển cho HS là năng lực toán học: kiến thức, thao tác tư duy, sử dụng công cụ. 1.2 Năng lực biểu diễn toán học 1.2.1 Biểu diễn toán học Trong Từ điển từ và ngữ Việt Nam, biểu diễn: “Ghi bằng hình vẽ hoặc kí hiệu”; “Diễn tả bằng kí hiệu hoặc hình vẽ” (Từ điển Lạc Việt); “Diễn tả bằng công thức hoặc hình vẽ” (Một số trang từ điển trực tuyến). 10 NCTM (2000) thì cho rằng: “Biểu diễn được hiểu là một tổ chức các hình ảnh, kí hiệu (dấu hiệu trên giấy,hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, đồ thị, phác thảo hình học, các phương trình). Theo tác giả Vũ Thị Bình (2016), BDTH là việc sử dụng, sắp xếp các thuật ngữ, kí hiệu, hình ảnh (sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ, đồ thị, dấu hiệu trên giấy, phác thảo hình học,...) hay các đối tượng cụ thể hàm chứa nội dung toán học để mô tả, tượng trưng hoặc đại diện cho một đối tượng, quan hệ hay một quy trình toán học. BDTH gồm các biểu diễn trên các đối tượng thực (các đối tượng, quan hệ trong cuộc sống tự nhiên – xã hội), các biểu diễn trực quan (sử dụng các sơ đồ, biểu, bảng, các hình ảnh cụ thể,...) và các biểu diễn ngôn ngữ (các thuật ngữ, công thức, kí hiệu toán học,...). Trong nhiều công trình nghiên cứu của các nhà giáo dục, nhà toán học,...nhiều tác giả không nói đến thuật ngữ “BDTH” nhưng lại nhấn mạnh đặc biệt đến ngôn ngữ sơ đồ, ngôn ngữ ký hiệu, ngôn ngữ đồ thị,...khi nói đến NNTH và đặc biệt nhấn mạnh vấn đề rèn luyện cho HS nắm vững các thuật ngữ toán học, ký hiệu toán học, phiên dịch xuôi ngược từ ngôn ngữ hàng ngày sang NNTH. Như với tác giả Nguyễn Bá Kim từ góc độ vận dụng quá trình hoạt động trong dạy học môn Toán đã xem xét mối quan hệ giữa nội dung môn Toán và hoạt động của HS và nêu ra hoạt động ngôn ngữ là một trong năm dạng hoạt động chủ yếu. Tác giả đã xem xét phương trình như dãy kí hiệu hay xét phương trình như một mệnh đề. Tác giả Hoàng Chúng (1978) thì đề cao vai trò của NNTH trong phát triển tư duy chính xác ở HS, gián tiếp coi NNTH là thuật ngữ và ký hiệu toán học. Theo tác giả Lê Văn Hồng (2013): “Trong công trình nghiên cứu của Phạm Văn Hoàn khi mô tả sự khác biệt giữa NNTH và ngôn ngữ tự nhiên có thể xem là đã coi NNTH là ngôn ngữ được xây dựng từ các ký hiêu toán học”. Và còn nhiều tác giả khác như Hà Sĩ Hồ, Đinh Thị Thảo, Trần Ngọc Bích,...hầu hết đều xác định đặc điểm của NNTH là ngôn ngữ sử dụng ký hiệu toán học, là ngôn ngữ viết là chủ yếu 16. 11 BDTH và NNTH có mối quan hệ chặt chẽ mật thiết với nhau tương tự như mối quan hệ giữa lời nói và ngôn ngữ. Theo tác giả Vũ Thị Bình (2016), NNTH là phương tiện giao tiếp, là công cụ để tư duy dưới dạng vật chất tiềm tàng, còn biểu diễn là phương tiện, công cụ ở dạng hiện thực hóa, tức là dạng hoạt động, gắn liền với những nội dung toán học cụ thể. Ví dụ 1.1: Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất trong SGK đại số 10, trang 89: Nhị thức f(x) = ax+b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng (−
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NÔNG THỊ PHƯƠNG DẠY TOÁN THEO HƯỚNG TIẾP CẬN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC Ở LỚP 10 THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NƠNG THỊ PHƯƠNG DẠY TỐN THEO HƯỚNG TIẾP CẬN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC Ở LỚP 10 THPT Ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 8140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đào Thái Lai THÁI NGUYÊN - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hồn thành hướng dẫn, giúp đỡ tận tình PGS.TS Đào Thái Lai nhiều thầy, cô giáo Những kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nơng Thị Phương i LỜI CẢM ƠN Luận văn “Dạy toán theo hướng tiếp cận phát triển lực biểu diễn toán học lớp 10 THPT” hoàn thành kết trình học tập nghiên cứu tác giả với hướng dẫn tận tình nhiều thầy cô, giúp đỡ bạn bè, đồng nghiệp Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Đào Thái Lai, người tận tình hướng dẫn suốt q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy khoa tốn trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên quan tâm tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Đồng thời, tác giả xin gửi lời biết ơn đến quý tác giả cơng trình, báo, luận văn, luận án mà tác giả dùng làm tài liệu nghiên cứu, tham khảo cho luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình bạn bè động viên, tạo điều kiện, giúp đỡ mặt để hoàn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót cần góp ý sửa chữa Tác giả mong nhận ý kiến, góp ý thầy giáo, giáo bạn bè, đồng nghiệp Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Nông Thị Phương ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục chữ viết tắt iv Danh mục bảng v Danh mục hình vi MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Giả thuyết khoa học 4 Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Quan niệm lực, lực toán học 1.1.1 Năng lực 1.1.2 Năng lực toán học 1.2 Năng lực biểu diễn toán học 1.2.1 Biểu diễn toán học 1.2.2 Biểu diễn tốn học mơn tốn THPT 17 1.2.3 Đặc điểm biểu diễn toán học sách giáo khoa toán 10 19 1.2.4 Năng lực biểu diễn toán học 27 1.2.5 Các mức độ, thành tố lực biểu diễn toán học 28 1.2.6 Ảnh hưởng lực biểu diễn toán học kết học tập mơn tốn học sinh THPT 30 1.3 Ngơn ngữ tốn học 32 iii 1.3.1 Ngôn ngữ, ngơn ngữ tốn học 32 1.3.2 Ngơn ngữ tốn học sách giáo khoa toán 10 36 1.3.3 Năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn học 38 1.4 Mối quan hệ lực BDTH với lực sử dụng NNTH lực GTTH 39 1.4.1 Mối quan hệ lực BDTH lực sử dụng NNTH 39 1.4.2 Mối quan hệ lực BDTH lực GTTH 40 1.5 Đặc điểm nhân cách, trí tuệ hoạt động học tập HS lớp 10 41 1.5.1 Đặc điểm nhân cách, trí tuệ học sinh lớp 10 41 1.5.2 Đặc điểm hoạt động học tập học sinh lớp 10 42 1.6 Khảo sát thực trạng vấn đề phát triển lực BDTH dạy học toán 10 trường THPT 43 1.6.1 Mục đích khảo sát 43 1.6.2 Đối tượng khảo sát 43 1.6.3 Nội dung khảo sát 43 1.6.4 Phương pháp khảo sát 43 1.6.5 Kết khảo sát 43 1.7 Kết luận chương 47 Chương BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN 10 THPT 49 2.1 Định hướng đề xuất biện pháp phát triển lực biểu diễn toán học cho học sinh dạy học toán 10 THPT 49 2.2 Biện pháp phát triển lực biểu diễn toán học cho học sinh dạy học toán 10 THPT 51 2.2.1 Biện pháp 1: Tổ chức cho HS hoạt động nhận biết, hiểu sử dụng dạng biểu diễn đối tượng, quan hệ bước biến đổi toán học 51 iv 2.2.2 Biện pháp 2: Tổ chức cho HS hoạt động liên kết, biến đổi tạo BDTH trình tư để biểu diễn biểu diễn để tư 64 2.2.3 Biện pháp 3: Xây dựng tổ chức hoạt động học tập theo hướng tăng cường hoạt động BDTH 72 2.3 Kết luận chương 82 Chương THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 84 3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 84 3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 84 3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 100 3.4 Kết thực nghiệm sư phạm 101 3.4.1 Đánh giá định tính 101 3.4.2 Đánh giá định lượng 102 3.5 Kết luận chương 105 KẾT LUẬN 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO 108 PHỤ LỤC 112 v DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ HS Học sinh GV Giáo viên BDTH Biểu diễn toán học GTTH Giao tiếp toán học SGK Sách giáo khoa SBT Sách tập NNTN Ngôn ngữ tự nhiên NNTH Ngơn ngữ tốn học THCS Trung học sở THPT Trung học phổ thơng CTGD Chương trình giáo dục PISA Programme for International Student Assessment (Chương trình đánh giá học sinh quốc tế) NCTM Hội giáo viên Toán Hoa Kỳ vi DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1: Xét dấu nhị thức f(x) = ax + b 11 Bảng 1.2: Khối lượng nhóm cá mè thứ 18 Bảng 1.3: Khối lượng nhóm cá mè thứ 19 Bảng 1.4: Bảng minh họa định lí dấu tam thức bậc hai 31 Bảng 1.5 32 Bảng 1.6: Ý kiến GV việc bồi dưỡng lực BDTH cho HS 43 Bảng 1.7: Nhận xét GV khả hiểu sử dụng NNTH BDTH HS lớp 10 44 Bảng 1.8: Tự nhận xét hs lớp 10 khả hiểu sử dụng NNTH BDTH 44 Bảng 1.9: GV đánh giá khả sử dụng bdth học tập 45 Bảng 1.10: GV nhận xét việc sử dụng bdth học toán 46 Bảng 2.1: Khối lượng 30 củ khoai tây thu hoạch nông trường T 66 Bảng 2.2: Bảng phân bố tần số, tần suất khối lượng 30 củ khoai tây 67 Bảng 2.3: Bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp khối lượng 30 củ khoai tây 68 Bảng 2.4: Phân tích đại lượng 75 Bảng 3.1: Kết hai lớp trước thực nghiệm 103 vii DANH MỤC HÌNH, BIỂU ĐỒ Hình 1.1: Minh họa nội dung định lí dấu nhị thức f(x)=ax+b đồ thị 11 Hình 1.2: Minh họa biểu diễn hình vẽ 13 Hình 1.3: Minh họa biểu diễn công cụ hỗ trợ 14 Hình 1.4: Biểu diễn khơng tiêu chuẩn 16 Hình 1.5: Minh họa biểu diễn bên 17 Hình 1.6: Biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn 3x 2y = 21 Hình 1.7: Minh họa tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn 22 Hình 1.8: Biểu diễn hình học miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn 2x + y ≤ 22 Hình 1.9: (Nguồn: SBT Đại số 10) 24 Hình 1.10: (Nguồn: SBT Đại số 10) 24 Hình 1.11: Minh họa miền nghiệm Graph 27 Hình 1.12: Minh họa hình học dấu tam thức bậc hai 31 Hình 1.13: (Nguồn: SBT Đại số 10) 34 Hình 1.14: Giá trị lượng giác góc đặc biệt 38 Hình 2.1 56 Hình 2.2: Cổng parabol trường Đại học Bách khoa Hà Nội 56 Hình 2.3 57 Hình 2.4 58 Hình 2.5 60 Hình 2.6 62 Hình 2.7 63 Hình 2.8 64 Hình 2.9 68 Hình 2.10 68 Hình 2.11 68 viii Phụ lục BÀI KIỂM TRA TRƯỚC THỰC NGHIỆM Câu 1: Cho hình vẽ mơ tả đồ thị vận tốc v (m/s) theo thời gian t (s) xe lộ trình ngắn 45s a) Vận tốc xe giây thứ 10 bao nhiêu? b) Vận tốc tối đa (m/s) xe quãng đường là: A.20 B 25 C 30 D 35 c) Viết biểu thức vận tốc v theo thời gian khoảng thời gian từ [5; 15] d) Tính độ dài quãng đường mà xe di chuyển từ lúc người lái đạp chân phanh để giảm tốc độ ? Nêu phương pháp giải trình bày lời giải Câu 2: Cho hình vẽ sau: a) Đặt đề phù hợp với hình vẽ b) Nêu phương pháp giải c) Trình bày lời giải Phụ lục ĐỀ KIỂM TRA SAU THỰC NGHIỆM Câu 1: Cho quỹ đạo chuyển động sau: a) Đặt đề toán theo quỹ đão cho (gợi ý: cho tìm) b) Hãy tìm hàm số bậc hai mơ tả quỹ đạo chuyển động Nêu phương pháp giải trình bày lời giải Câu 2: Cho đồ thị hàm số sau, cho biết: Điểm A B đồ thị có tọa độ ? Tìm thêm số điểm thuộc đồ thị ? Đồ thị hàm số: Câu 3: Bài toán cầu Gateshead Millennium (Anh) Cầu Gateshead Millennium (Anh) cầu có dạng parabol bề lõm quay xuống Giả sử lập hệ tọa độ Oxy cho chân cầu qua gốc O (x y(m)) chân cầu bên vị trí có tọa độ (162; 0) Biết điểm A thân cổng có tọa độ (10; 43) Hãy tính tọa độ điểm cao cầu Phụ lục BIỂU DIỄN TOÁN HỌC TRONG MỘT SỐ NỘI DUNG CỦA ĐẠI SỐ 10 Chương 1: Mệnh đề Tập hợp Mệnh đề: (mệnh đề chưa biến, phủ định mệnh đề, mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, hai mệnh đề tương đương) Có hai cách đưa mệnh đề, GV nên rèn luyện cho HS cách biểu diễn thứ để HS dễ dàng tìm mệnh đề chứa biến, phủ định mệnh đề, mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, hai mệnh đề tương đương C1: (Dùng NNTN) C2: (Dùng NNTH) Ví dụ: Cách Cách P: “a số nguyên” P: 𝑎 ∈ ℤ P: “ABC tam giác đều” P: ∆𝐴𝐵𝐶; 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶; 𝐴̂ = 𝐵̂ = 𝐶̂ = 600 Kí hiệu ∀ ∃: rèn luyện cho HS cách chuyển đổi hai biểu diễn, HS thành thạo làm tập chuyển đổi từ NNTN sang NNTH với thuật ngữ, kí hiệu xác Ví dụ: NNTN: “Có số nguyên nhỏ 0” NNTH: ∃ 𝑛 ∈ ℤ: 𝑛 < Các tập 5, SGK Đại số 10 Tập hợp: Các cách xác định tập hợp: C1: liệt kê phần tử C2: tính chất đặc trưng cho phần tử Ví dụ: 1) Tập số tự nhiên chia hết cho nhỏ 20 C1: A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} C2: A= {𝑥 ∈ ℕ/ x < 20, x⋮3} 2) Tập hợp B nghiệm phương trình 2x2-5x+3=0 gồm có phần tử C1: B = {x∈ ℝ/2x2-5x+3=0} C2: B= {1; } Tập hợp con: Cách biểu diễn Cách biểu diễn Cách biểu diễn Tập hợp A tập A ⊂ 𝐵 hợp tập hợp B Tập hợp số ℤ ⊂ ℚ nguyên tập tập hợp số hữu tỉ Các phép toán tập hợp Giao hai tập hợp Cách biểu diễn thứ 1: tập hợp C gồm phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B gọi giao A B Cách biểu diễn thứ 2: C = A∩B Cách biểu diễn thứ 3: Hợp hai tập hợp Cách biểu diễn thứ 1: tập hợp C gồm phần tử thuộc A thuộc B gọi hợp A B Cách biểu diễn thứ 2: C = A∪B Cách biểu diễn thứ 3: Hiệu hai tập hợp Cách biểu diễn thứ 1: tập hợp C gồm phần tử thuộc A không thuộc B gọi hiệu A B Cách biểu diễn thứ 2: C = A∖B = {x/x∈ 𝐴 𝑣à 𝑥 ∉ 𝐵} Cách biểu diễn thứ 3: Phần bù hai tập hợp Cách biểu diễn thứ 1: Khi B⊂A A∖B gọi phần bù B A Cách biểu diễn thứ 2: CAB Cách biểu diễn thứ 3: Các tập hợp số Biểu diễn mối quan hệ tập hợp số C1: C2: ℕ∗ ⊂ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ Các tập hợp thường dùng ℝ Cách biểu diễn thứ Cách biểu diễn thứ Khoảng từ a đến b Cách biểu diễn thứ (a;b)={x∈ ℝ/𝑎 < 𝑥 < 𝑏} Khoảng từ a đến +∞ (a;+ ∞)={x∈ ℝ/𝑎 < 𝑥} Khoảng từ -∞ đến b (- ∞; b)={x∈ ℝ/𝑥 < 𝑏} Đoạn từ a đến b [a; b]={ x∈ ℝ/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Nửa khoảng từ a đến [a; b)={ x∈ ℝ/𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} b Qua số cách biểu diễn trên, HS rèn luyện dễ dàng hoàn thiện tập xác định tập hợp biểu diễn tập hợp trục số tập 1, 2, SGK Đại số 10 trang 18 Chương 2: Hàm số bậc bậc hai Cách cho hàm số( tương ứng cách biểu diễn) C1: Hàm số cho bảng C2: Hàm số cho biểu đồ C3: Hàm số cho công thức Sự biến thiên hàm số: Với khái niệm hàm số đồng biến khoảng (a; b), GV đưa nhiều cách biểu diễn để HS rèn luyện ngôn ngữ, sử dụng kí hiệu lựa chọn cách phù hợp cho thân C1: hàm số f(x) gọi đồng biến khoảng (a; b) với x x2 thuộc khoảng (a; b): 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) C2: hàm số f(x) gọi đồng biến khoảng (a; b) ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑥1 ≠ 𝑥2 → 𝑓(𝑥2 ) 0, xuống a < Chiều biến thiên hàm số bậc hai Nội dung định lí biểu diễn NNTH bảng, đồ thị, Tùy vào đặc điểm HS, GV lựa chọn cách biểu diễn toán học phù hợp Chương 3: Phương trình Hệ phương trình Đối với nội dung phương trình, hệ phương trình, BDTH sử dụng chủ yếu nêu định nghĩa phương trình, hệ phương trình minh họa, biểu diễn tập nghiệm phương trình, hệ phương trình Tập nghiệm phương trình biểu diễn qua tập hợp, qua dạng công thức, kí hiệu tốn học, qua bảng hay đồ thị Ví dụ: định nghĩa hệ phương trình bậc ba ẩn theo NNTH: Hệ phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1 {𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3 Trong x, y, z ba ẩn; chữ lại hệ số Mỗi ba số (xo; yo; zo) nghiệm ba phương trình hệ gọi nghiệm hệ phương trình Ví dụ: giải phương trình √3 − 𝑥 + 𝑥 = √3 − 𝑥 + ta nghiệm x=1 hay tập nghiệm phương trình tập A={1} Ví dụ: Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn: 3x - 2y = Cách biểu diễn 1:Tập nghiệm A ={(x; y)/ 3x - 2y = 7} Cách biểu diễn 2: X -2 -1 Y -13/2 -5 -7 -2 -1/2 Cách biểu diễn 3: Bên cạnh đó, dạng phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối chuyển đổi thành dạng biểu diễn tương đương giúp HS dễ dàng giải tìm nghiệm phương trình 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) Ví dụ trường hợp |𝑓(𝑥)|=g(x) chuyển thành [−𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)=−𝑔(𝑥) trường hợp |𝑓(𝑥)|=-g(x) chuyển thành [−𝑓(𝑥)=−𝑔(𝑥) Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình NNTH sử dụng nhiều nêu nội dung định nghĩa, khái niệm bất đẳng thức, bất phương trình bất đẳng thức hệ quả, bất đẳng thức tương đương, bất đẳng thức cô – si hệ quả, khái niệm bất phương trình ẩn, hệ bất phương trình ẩn, Các tính chất BĐT tóm tắt biểu diễn bảng: Dấu nhị thức bậc Định lí dấu nhị thức bậc phát biểu dạng biểu diễn ngôn ngữ, kí hiệu: Nhị thức f(x)=ax+b có giá trị dấu với hệ số a x lấy giá trị −𝑏 khoảng ( 𝑎 ; +∞), trái dấu với hệ số a x lấy giá trị khoảng (-∞; −𝑏 Minh họa bảng: Minh họa trục số Minh họa đồ thị Bất phương trình bậc hai ẩn – Hệ bất phương trình bậc hai ẩn 𝑎 ) Bất phương trình bậc hai ẩn, hệ bất phương trình bậc hai ẩn thường có vơ số nghiệm nên để mơ tả nghiệm chúng người ta thường sử dụng BDTH, cụ thể biểu diễn hình học Ví dụ: Miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn 2x + y ≤ Cách 1: A = {M(x0; y0)|2𝑥0 + 𝑦0 ≤ 3} Cách 2: biểu diễn hình học Dấu tam thức bậc hai Định lí dấu tam thức bậc hai (SGK Đại số 10, trang 101) Đầu tiên định lí phát biểu dạng biểu diễn ngơn ngữ, kí hiệu: Cho f(x) = ax2 + bx +c (a ≠0), ∆ = b2 – 4ac Nếu ∆ < f(x) ln dấu với hệ số a, với x ∈ ℝ Nếu ∆ = f(x) ln dấu với hệ số a, trừ x = − 𝑏 2𝑎 Nếu ∆ > f(x) dấu với hệ số a x < x1 x > x2, trái dấu với hệ số a x1 < x < x2 x1, x2, (x1 < x2) hai nghiệm f(x) Minh họa bảng: f(x) = ax2 + bx +c (a ≠0), ∆ = b2 – 4ac ∆0 −𝑏 2𝑎 f(x) dấu với a f(x) trái dấu với a Trong đó: x1, x2, (x1 < x2) hai nghiệm f(x) Minh họa hình học: (SGK Đại số, trang 102) x < x1 x > x2 x1 < x < x2 Chương 5: Thống kê Trong chương này, BDTH sử dụng chủ yếu thống kê, trình bày số liệu thu thập để giải tối ưu yêu cầu tốn Các số liệu thu thập biểu diễn bảng phân bố tần số tần suất (tùy theo yêu cầu bài), biểu diễn biểu đồ hình cột hay đường gấp khúc, biểu đồ hình quạt, tùy vào lực toán học thân mà HS có lựa chọn biểu diễn phù hợp để giải u cầu tốn nhanh xác Ví dụ: cho bảng chiều cao 36 HS (SGK ĐS 10, trang 111) 158 152 156 158 168 160 170 166 161 160 172 173 150 167 165 163 158 162 169 159 163 164 161 160 164 159 163 155 163 165 154 161 164 151 164 152 Yêu cầu: nêu nhận xét chiều cao 36HS Đa số HS có chiều cao bao nhiêu? Để giải yêu cầu bài, HS cần xử lí số liệu cách lập bảng tần số tần suất ghép lớp Từ bảng, nhiều HS đưa kết để dễ dàng nên vẽ biểu đồ tần suất hình cột Ngồi ra, cịn tốn xử lí số liệu dạng phần trăm hay cho bảng phân bố tần số, tần suất, tùy yêu cầu ta cần chọn cách biểu diễn phù hợp dạng đường gấp khúc, biểu đồ hình cột, biểu đồ quạt, Như tập 2, SGK ĐS 10, trang112 Chương 6: Cung góc lượng giác Công thức lượng giác NNTH sử dụng nhiều nêu nội dung khái niệm đường tròn định hướng, cung lượng giác, góc lượng giác, BDTH cung lượng giác: 25𝜋 C1: Cung lượng giác AM có số đo - 25𝜋 ↷ C2: sđ 𝐴𝑀 =- C3: Biểu diễn đường tròn lượng giác Giá trị lượng giác cung Cách 1: Biểu diễn sử dụng kí hiệu tốn học sin 𝛼 = ̅̅̅̅ 𝑂𝐾 ; cos 𝛼 = ̅̅̅̅ 𝑂𝐻; tan 𝛼 = sin 𝛼 cos 𝛼 (cos 𝛼 ≠ 0); cot 𝛼 = cos 𝛼 sin 𝛼 (sin 𝛼 ≠ 0) ↷ ̅̅̅̅ = 𝑦; 𝑂𝐻 ̅̅̅̅ = 𝑥; M=(x;y) = 𝛼 ; 𝑂𝐾 𝐴𝑀 Cách 2: Biểu diễn ngôn ngữ Trong đó:sđ Trên đường trịn lượng giác cho cung ↷ ↷ có sđ = 𝛼 𝐴𝑀 𝐴𝑀 Tung độ y = ̅̅̅̅ 𝑂𝐾 điểm M gọi sin 𝛼 ̅̅̅̅ điểm M gọi cos 𝛼 Hoành độ x = 𝑂𝐻 Nếu cos 𝛼 ≠ 0, tỉ số sin 𝛼 cos 𝛼 gọi tang 𝛼 kí hiệu tan 𝛼 (người ta cịn dùng kí hiệu tg 𝛼) Nếu sin 𝛼 ≠ 0, tỉ số cos 𝛼 sin 𝛼 gọi côtang 𝛼 kí hiệu cot 𝛼 (người ta cịn dùng kí hiệu cotg 𝛼) Cách 3: Biểu diễn hình vẽ minh họa BDTH tan 𝛼 hay cot 𝛼: tan 𝛼 = sin 𝛼 cos 𝛼 (cos 𝛼 ≠ 0); cot 𝛼 = ̅̅̅̅; cot 𝛼 = 𝐵𝑆 ̅̅̅̅ Tan 𝛼 = 𝐴𝑇 cos 𝛼 sin 𝛼 (sin 𝛼 ≠ 0) ... phát triển lực biểu diễn toán học cho học sinh dạy học mơn tốn lớp 10 THPT Giả thuyết khoa học Trong dạy học toán 10 trường THPT, giáo viên ý rèn luyện phát triển lực biểu diễn toán học cho học. .. triển lực biểu diễn tốn học cho học sinh dạy học mơn tốn lớp 10 THPT Xuất phát từ lí trên, tơi chọn nghiên cứu đề tài: Dạy tốn theo hướng tiếp cận phát triển lực biểu diễn toán học lớp 10 THPT. .. PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN 10 THPT 49 2.1 Định hướng đề xuất biện pháp phát triển lực biểu diễn toán học cho học sinh dạy học toán 10 THPT 49