Với mục đích chuẩn bị cho sinh viên sư phạm toán năng lực nghề nghiệp thông qua việc giảng dạy môn Hình học cao cấp ở đại học, bài viết này đi sâu vào nghiên cứu mối quan hệ tiềm ẩn giữa nội dung chương trình Hình học cao cấp và chương trình Hình học phổ thông hiện nay.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol 58, pp 208-216 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ GIỮA NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC CAO CẤP VÀ HÌNH HỌC PHỔ THƠNG TRONG ĐÀO TẠO SINH VIÊN TOÁN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Thị Thanh Vân Khoa Toán, Trường Đại học Hải Phịng E-mail: vandhhp@gmail.com Tóm tắt Các mơn Tốn cao cấp giảng dạy trường đại học sư phạm cung cấp tảng khoa học vững mà cịn có tiềm to lớn việc nâng cao khả sư phạm, giúp sinh viên giảng dạy tốt mơn tốn phổ thơng.Với mục đích chuẩn bị cho sinh viên sư phạm toán lực nghề nghiệp thơng qua việc giảng dạy mơn Hình học cao cấp đại học, viết sâu vào nghiên cứu mối quan hệ tiềm ẩn nội dung chương trình Hình học cao cấp chương trình Hình học phổ thơng Từ khóa: Hình học cao cấp, hình học phổ thơng, lực sư phạm Mở đầu Giáo dục tạo giá trị thực người, làm cho người hệ giá trị có lực thật để cống hiến cho xã hội Đó triết lí giáo dục thời đại Tạo sinh viên có đủ lực kiến thức kĩ sư phạm nhiệm vụ cấp thiết ngành giáo dục đặc biệt trường đại học sư phạm Trang bị kiến thức khoa học kiến thức nghề nghiệp cho sinh viên hai nhiệm vụ quan trọng, gắn bó mật thiết với Khai thác yếu tố nghiệp vụ sư phạm nội dung môn khoa học (KHCB) nâng cao khả sư phạm cho sinh viên mà giúp cho việc tiếp thu nội dung mơn KHCB dễ dàng Từ tạo cho sinh viên hứng thú động thúc đẩy học tập Với mục đích khai thác ứng dụng nội dung mơn Hình học cao cấp (HHCC) Đại học Sư phạm vào việc nâng cao lực sư phạm cho sinh viên, viết sâu vào mối quan hệ chương trình HHCC chương trình hình học phổ thông (HHPT) 208 Khai thác mối quan hệ nội dung chương trình hình học cao cấp hình học phổ thơng 2.1 Nội dung nghiên cứu Phân tích chương trình HHPT theo hướng gắn kết với HHCC 2.1.1 Các đối tượng quan hệ HHPT sử dụng làm phương tiện trực quan hình thành đối tượng quan hệ HHCC Như biết HHCC trang bị trường Đại học Sư phạm gồm: Hình học Afin, Hình học Ơclit Hình học xạ ảnh Các môn nghiên cứu đối tượng quan hệ khơng gian n chiều Trong HHPT nghiên cứu đối tượng quan hệ không gian chiều mà Tuy nhiên đối tượng quan hệ không gian chiều lại hình ảnh cụ thể, trực quan đối tượng quan hệ khơng gian n chiều, trừu tượng phức tạp Vì để sinh viên hiểu sâu sắc nội dung mới, giảng viên xuất phát từ nội dung cụ thể HHPT dùng khái quát hóa mở rộng số chiều để dẫn đến nội dung tương ứng HHCC * Ví dụ - Muốn định nghĩa, xác định, xây dựng phương trình m-phẳng không gian afin, giảng viên nên xuất phát từ định nghĩa đường thẳng, mặt phẳng, - Muốn định nghĩa phép biến đổi không gian n chiều phép đẳng cự, đồng dạng, ta xuất phát từ không gian 2, chiều, 2.1.2 Các đối tượng quan hệ HHPT sử dụng để phát triển đối tượng quan hệ thông qua hoạt động tương tự hóa theo cấu trúc Có đối tượng khác HHPT nghiên cứu nội dung HHCC, ta thấy chúng có chung cấu trúc Chẳng hạn: đường thẳng mặt phẳng mặt phẳng không gian siêu phẳng, tam giác tứ diện chung cấu trúc đơn hình, hình bình hành hình hộp trường hợp riêng m-hộp, đường tròn mặt cầu siêu cầu tương ứng mặt phẳng không gian, Như vậy, nắm cấu trúc đối tượng này, sinh viên dùng tương tự hóa xác từ tốn hình học phẳng sang tốn hình học khơng gian chiều hay n chiều * Ví dụ Từ tốn: Trong tam giác đường trung tuyến đồng quy trọng tâm tam giác, ta khái quát thành toán sau tứ diện: Trong tứ diện, đường thẳng nối đỉnh trọng tâm mặt đối diện đồng quy trọng tâm tứ diện Hay từ định lí Pitago tam giác vng khái qt thành định lí Pitago tứ diện vng * Ví dụ Bài tốn 1: Cho tam giác ABC M, N, P trung điểm cạnh Khi tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC, tỉ số Nhận xét: Tam giác 2-đơn hình, trung điểm đoạn thẳng trọng tâm đoạn 209 Nguyễn Thị Thanh Vân thẳng Ta tổng quát toán sau: Bài toán : Cho tứ diện ABCD M, N, P, Q trọng tâm mặt bên tứ diện Chứng minh tứ diện MNP Q đồng dạng với tứ diện ABCD, tỉ số Bài toán 3: Cho m-đơn hình S(P0 , P1 , , Pm ); Q0 , Q1 , , Qm trọng tâm S0 , S1 , , Sm với Si (m − 1)-đơn hình khơng chứa Pi Chứng minh S(Q0 , Q1 , , Qm ) đồng dạng với đơn hình ban đầu, tỉ số m * Ví dụ Bài tốn 1: Cho tứ diện ABCD; P, P ′ mặt phẳng chứa AB, CD song song với Q, Q′ mặt phẳng chứa AC, BD song song với R, R′ mặt phẳng chứa AD, BC song song với Chứng minh mặt phẳng cắt tạo thành hình lập phương Giải: Theo cách dựng, mặt bên hình bình hành có đường chéo nên hình chữ nhật Sử dụng định lí Pitago với tam giác vng AA′ B AAD, ta có AA′ = A′ D hay A′ BC ′ D hình vng Tương tự với mặt bên khác Nhận xét: Mọi hình hộp tương đương afin Ta chuyển tốn sang toán tương tự, tổng quát Bài toán 2: Cho tứ diện gần ABCD ′ P, P mặt phẳng chứa AB, CD song song với Q, Q′ mặt phẳng chứa AC, BD song song với R, R′ mặt phẳng chứa AD, BC song song với Chứng minh mặt phẳng cắt tạo thành hình hộp chữ nhật Bài tốn 3: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối vng góc P, P ′ mặt phẳng chứa AB, CD song song với Q, Q′ mặt phẳng chứa AC, BD song song với R, R′ mặt phẳng chứa AD, BC song song với Chứng minh mặt phẳng cắt tạo thành hình hộp có mặt bên hình thoi Bài tốn 4: Cho tứ diện ABCD P, P ′ mặt phẳng chứa AB, CD song song với Q, Q′ mặt phẳng chứa AC, BD song song với R, R′ mặt phẳng chứa AD, BC song song với Chứng minh mặt phẳng cắt tạo thành hình hộp Ứng dụng: Bài tốn 5: Cho tứ diện gần ABCD AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Tính thể tích tứ diện 210 Khai thác mối quan hệ nội dung chương trình hình học cao cấp hình học phổ thơng Nhận xét: Nếu tính thể tích cách thơng thường, học sinh khó tìm đường cao Nhưng sử dụng tốn ví dụ 4, tốn trở nên đơn giản nhiều Giải: Thể tích tứ diện thể tích hình hộp chữ nhật AB ′ CD ′ A′ BC ′ D Gọi thể tích hình hộp chữ nhật AB ′ CD ′ A′ BC ′ D V Sử dụng định lí Pitago với tam giác A′ AB, A′ AD, A′ BD, ta tìm cạnh hình hộp chữ nhật Từ có (a2 − b2 + c2 )(b2 − c2 + a2 )(c2 − a2 + b2 ) V = 2.2 Các đối tượng quan hệ sử dụng để phát triển thành đối tượng quan hệ nhờ sử dụng bất biến phép biến đổi Theo [1], Bất biến phép biến đổi tính chất khơng thay đổi qua phép biến đổi Tức tính chất a hình H bất biến nhóm biến đổi S a hình f (H), với phép biến đổi f thuộc S Bất biến xạ ảnh gồm: số chiều phẳng, cắt nhau, chéo phẳng, đường cong lớp 2, tỉ số kép Bất biến afin gồm bất biến xạ ảnh tính chất song song phẳng, tỉ số đơn, siêu mặt bậc hai Bất biến đồng dạng bất biến afin góc, trực giao Bất biến phép dời bất biến đồng dạng khoảng cách Nếu biết sử dụng bất biến cách thích hợp sinh viên sáng tạo thêm nhiều tốn * Ví dụ Xét tốn: Cho hình lập phương ABCD.A′ B ′ C ′ D ′ I trung điểm AB, J trung điểm C ′ D ′ Lấy M thuộc AD, N thuộc DB ′ cho AM = BN Chứng minh MN vng góc cắt IJ trung điểm MN Nhận xét: Hình lập phương tương đương afin với hình hộp Phép afin giữ bất biến yếu tố: trung điểm, tỉ số đơn; không giữ bất biến yếu tố lượng vng góc, khoảng cách Dựa vào điều ta tổng qt hóa xác tốn sang hình hộp Cụ thể: Cho hình hộp ABCD.A′ B ′ C ′ D ′ I trung điểm AB, J trung điểm C ′ D ′ BM AM = = k Chứng minh Lấy M thuộc cạnh AD, N thuộc cạnh DB ′ cho AD BB ′ MN cắt IJ trung điểm MN 211 Nguyễn Thị Thanh Vân Giải −→ −−→ −−→ B ′ I = B ′ B + B ′ A′ −−→ −−′ →′ −−′→′ ′ BJ =BC + BA −−→ −−→ −−→ −− → ′ B M = (1 − 2k)B ′ B + (1 − 2k)B ′ A′ − k B ′ C ′ −−′→ −−→ B N = (1 − k)B ′ B −−→ −−→ −−→ −−→ ⇒ B ′ K = (1 − k)B ′ B + ( − k)B ′ A′ − k B ′ C ′ 2 1 =0 k 1− k −k − 2 Vậy K thuộc IJ 2.3 Phân tích chương trình HHCC theo hướng khai thác ứng dụng vào HHPT 2.3.1 Các đối tượng quan hệ hình học phổ thông trường hợp riêng đối tượng, quan hệ HHCC HHCC nghiên cứu đối tượng quan hệ không gian n chiều Như vậy, thu hẹp số chiều 1, 2, 3, ta có tốn phổ thơng tương ứng * Ví dụ 6: Theo [1], Ta có khái niệm m-đơn sau: Trong không gian afin An cho m + điểm độc lập P0 , P1 , , Pm Tập hợp S(P0 , P1 , , Pm ) = −−→ M ∈ A OM = m i=0 −−→ αi OPi , m i=0 αi = 1,αi ≥ 0, ∀O ∈ A gọi m- đơn hình với đỉnh P0 , P1 , , Pm −−→ −−→ −−→ m = 1, S(P0 , P1 ) = M ∈ A OM = αOP1 + (1 − α)OP2, α ≥ 0, ∀O ∈ A đoạn thẳng P0 P1 Tương tự: m = 2: Tam giác; m = 3: Tứ diện * Ví dụ 7: Từ cơng thức tính khoảng cách phẳng dựa vào định thức Gram, ta suy trường hợp riêng: khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng chéo nhau, phổ thông 212 Khai thác mối quan hệ nội dung chương trình hình học cao cấp hình học phổ thông 2.3.2 Khai thác bất biến phép biến đổi để giải toán HHPT Về mặt nguyên tắc toán chứa bất biến phép biến đổi sử dụng phép biến đổi [3] Tơi xin đưa ứng dụng việc sử dụng phép chiếu song song với toán afin Phép chiếu song song → − Định nghĩa: Cho α α′ đường thẳng (mặt phẳng) không gian; β không gian chiều (1 chiều) Ánh xạ f : α → α′ biến điểm M thuộc α thành M ′ → − giao đường thẳng (mặt phẳng) α mặt phẳng (đường thẳng) qua M có phương β → − gọi phép chiếu song song sở α, phương β Tính chất: + Phép chiếu song song đẳng cấu afin Như bất biến afin bất biến qua phép chiếu song song + Luôn tồn phép chiếu song song biến tam giác thành tam giác đều, hình bình hành thành hình vng, elip thành đường trịn Ứng dụng phép chiếu song song giải tốn hình học phổ thơng * Ví dụ 8: Giả sử M, N, P điểm nằm cạnh AB, BC, CA tam AM BN CP giác ABC cho = = Chứng minh trọng tâm tam giác tạo AB BC CA đường thẳng AN, BP, CM trùng trọng tâm tam giác ABC Giải: Gọi π mặt phẳng chứa tam giác ABC, π ′ mặt phẳng qua BC, khác π Trong π ′ lấy điểm A′ cho tam giác A′ BC tam giác Xét phép chiếu song song từ π lên π ′ theo phương AA′ Do phép chiếu song song bảo tồn tỉ số đơn, biến tam giác ABC thành tam giác A′ BC điểm tương ứng thành điểm tam giác A′ BC cho A′ M = BN = CP Ta cần chứng minh toán tam giác A′ BC O tâm tam giác A′ BC, xét phép quay tâm O, góc quay 1200 , biến AN thành BP , BP thành CM, CM thành AN Vậy tam giác EF G có góc 600 nên tam giác biến thành qua phép quay Vậy O tâm tam giác EF G 213 Nguyễn Thị Thanh Vân 2.3.3 Khai thác tọa độ afin * Mục tiêu afin- Tọa độ afin - Trong mặt phẳng: Hệ {O; A, B} với O, A, B điểm không thẳng hàng gọi −−→ mục tiêu afin mặt phẳng Với M điểm mặt phẳng OM = −→ −−→ xOA + y OB; (x, y) gọi tọa độ điểm M với mục tiêu - Trong không gian : Hệ {O; A, B, C} với O, A, B, C điểm không đồng phẳng −−→ −→ − −→ gọi mục tiêu afin Với M điểm không gian OM = xOA + y OB + −→ z OC; (x, y, z) gọi tọa độ điểm M với mục tiêu * Ứng dụng * Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD.A′ B ′ C ′ D ′ Tìm M thuộc AC ′ ; N thuộc B ′ D ′ cho MN//A′ D → → − → Giải: Chọn hệ tọa độ afin A; − a , b ,− c ; → −−→ → −−→′ −→ − − → a = AB, b = AD, − c = AA Tìm tọa độ M, N với hệ tọa độ −−→ −−→′ AM = k.AC −−→ −−′→ B N = t.B ′ D ′ −−→ −−→ MN = m.A′ D Mà −−→ → − → − − → ′ AC = a + b + c −− → → − → B ′ D ′ = −− a + b → − −−′→ − AD = b −→ c −−→ −−→ −−→′ −−′→ MN = MA + AB + B N → → − → − → → Ta có: m( b − − c ) = (−k − t + 1)− a + (−k − t) b + (−k + 1)− c Đồng vế, ta có k= −k − t + = −k − t= m ⇔ t= −k + 1= −m m = −1 Từ xác định M, N 2.3.4 Sử dụng HHCC sáng tạo tốn HHPT - Từ định lí, tốn xạ ảnh chuyển định lí, tốn afin - Từ định lí, tốn afin chuyển sang định lí, toán xạ ảnh 214 Khai thác mối quan hệ nội dung chương trình hình học cao cấp hình học phổ thơng * Ví dụ 10: Xét tốn afin: Trong mặt phẳng cho hình bình hành ABCD, từ điểm M tùy ý AB dựng đường thẳng a cắt BC N Từ điểm Q tùy ý cạnh AD ta dựng đường thẳng b//a cắt cạnh CD P, O = MC ∩ NQ Chứng minh O, B, D thẳng hàng Chuyển toán xạ ảnh: Bổ sung vào mặt phẳng đường thẳng vô tận, ta có tốn sau: Trong mặt phẳng xạ ảnh cho tứ giác ABCD cho AD ∩ BC = I; AB ∩ CD = J Từ điểm M tùy ý AB dựng đường thẳng a cắt BC, IJ N, K Từ điểm Q tùy ý cạnh AD ta dựng đường thẳng b cắt DC, IJ P, K; O = MP ∩ NQ Chứng minh O, B, D thẳng hàng Giải toán xạ ảnh: Xét tam giác BMN tam giác DP Q: có BM ∩ DP = J; MN ∩ P Q = K; NB ∩ QD = I; I, J, K thẳng hàng.Theo định lí Đờ - dác MP, NQ, BD đồng quy; O = MP ∩ NQ nên B, O, D thẳng hàng Sáng tạo toán afin mới: Khi chọn BD làm đường thẳng vơ tận, ta có: Bài tốn 1: Trong mặt phẳng afin cho hình thang MNIJ (MJ//NI) có cạnh bên cắt K Trên hai đáy lấy điểm A, C (A ∈ MJ, C ∈ NI) cho AI//CJ Gọi Q điểm thuộc AI, KQ cắt CJ P Chứng minh MP// NQ Khi chọn BC làm đường thẳng vơ tận ta có tốn: 215 Nguyễn Thị Thanh Vân Bài tốn 2: Trong mặt phẳng afin cho hình thang BOMJ (BO//MJ) có cạnh bên cắt P Lấy điểm A thuộc MJ, AD lấy Q Đường thẳng qua M song song với OQ cắt P Q K Chứng minh KJ//AD Chọn AB làm đường thẳng vơ tận, ta có: Bài tốn 3: Trong mặt phẳng afin cho tứ giác KNQI, IQ lấy điểm D Qua D kẻ đường thẳng song song với IN cắt NQ O Qua O kẻ đường thẳng song song với KN cắt KQ P Chứng minh DP//IK Bài toán 4: Chứng minh hai tam giác có cạnh tương ứng song song đường thẳng nối đỉnh tương ứng đồng quy Bài toán đối ngẫu: Trong mặt phẳng xạ ảnh cho tứ giác ABCD; I = AC ∩ BD E, F điểm mặt phẳng cho E, I, F thẳng hàng; J = AE ∩ F C; K = ED ∩ BF Chứng minh JK, AD, BC đồng quy Kết luận Việc trang bị cho sinh viên tảng khoa học cần thiết trường đại học Vốn khoa học khơng giúp sinh viên nghiên cứu sâu chun ngành KHCB mà cịn cơng cụ sắc bén để sinh viên nâng cao lực nghề nghiệp xa chất lượng dạy học môn Tốn nhà trường phổ thơng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Mộng Hy, 2003 Hình học cao cấp Nxb Giáo dục [2] V.V Praxolop, 1997 Các toán hình học phẳng Nxb Hải phịng [3] Đào Tam, Trần Trung, 2010 Tổ chức hoạt động nhận thức dạy học mơn Tốn trường trung học phổ thơng Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội ABSTRACT The relationship between the contents of high geometry and the current geometry program which is taught to math students at the Pedagogical University The higher level mathematics that is taught at the Pedagogical University not only provides a solid scientific foundation, it also has great potential to improve teaching skills and help students become better math teachers In order to improve the professional capacities of students will will later be teaching math, this article compares the contents of High Geometry and the geometry program which is taught now 216 .. .Khai thác mối quan hệ nội dung chương trình hình học cao cấp hình học phổ thơng 2.1 Nội dung nghiên cứu Phân tích chương trình HHPT theo hướng gắn kết với HHCC 2.1.1 Các đối tượng quan hệ. .. tiện trực quan hình thành đối tượng quan hệ HHCC Như biết HHCC trang bị trường Đại học Sư phạm gồm: Hình học Afin, Hình học Ơclit Hình học xạ ảnh Các môn nghiên cứu đối tượng quan hệ không gian... cắt tạo thành hình hộp Ứng dụng: Bài toán 5: Cho tứ diện gần ABCD AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Tính thể tích tứ diện 210 Khai thác mối quan hệ nội dung chương trình hình học cao cấp hình