GIÁO ÁN BỒI DƯ ỠNG HỌC SINH GIỎI CHỦ ĐỀ I: PHÉP NHÂN ĐA THỨC NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức a) A = x 5 - 15x 4 + 16x 3 - 29x 2 + 13x tại x = 14 b) B = x 14 - 10x 13 + 10x 12 - 10x 11 + . + 10x 2 - 10x + 10 tại x = 9 c) C = 105 4 651.315 4 651 650 3. 105 1 651 1 . 315 1 2 +−− Bài 2: Cho biểu thức: M = (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) + x 2 Tính M theo a,b,c biết rằng cbax 2 1 2 1 2 1 ++= Bài 3:Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab -2 chia hết cho 3 Bài 4: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng M = N = P với: M = a(a+b)(a+c); N = b(b+c)(b+a); P = c(c+a)(c+b) I. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN B. BÀI TẬP Bài 1: 1. Chứng minh : ( a + b) 2 – (a – b) 2 = 4ab 2. Rút gọn: ( a +2) 2 – ( a + 2)(a – 2) 3. Tìm x,biết : ( 2x + 3) 2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49 4. Tìm giá trị biểu thức: ( ) ( ) 2 1 3 3 ( 3) 2( 2)( 4), 2 Q x x x x x cho x= + + + − − + − = Bài 2: 1. Rút gọn biểu thức : 2 2 (4 )(2 )(2 )A x y x y x y= + + − 2. Chứng minh: (7x + 1) 2 – (x + 7) 2 = 48(x 2 – 1) 3. Tìm x,biết : 16x 2 - (4x – 5) 2 = 15 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x 2 + 2x + 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 A B A AB B A B A AB B A B A B A B A B A A B AB B A B A A B AB B A B A B A AB B A B A B A AB B • + = + + • − = − + • − = − + • + = + + + • − = − + − • + = + − + • − = − + + GIÁO ÁN BỒI DƯ ỠNG HỌC SINH GIỎI Bài 3: 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào m: 2 2 (2 5) (2 5) 40A m m= − − + + 2. Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp là một số lẻ 3. Rút gọn biểu thức : P = (3x +4) 2 – 10x – (x – 4)(x +4). 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x 2 – 4x +5. Bài 4: 1. Chứng minh rằng: (x – y) 2 – (x + y) 2 = - 4xy 2. Chứng minh: (7n – 2) 2 – (2n – 7) 2 luôn luôn chia hết cho 9, với mọi n là giá trị nguyên 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x 2 + 6x +1. 4. Chứng minh rằng nếu (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 Bài 5: 1. CMR: nếu a + b + c = 2p thì b 2 + c 2 + 2bc – a 2 = 4p(p – a). 2. CMR nếu a 2 + b 2 + c 2 = ab +bc + ca thì a = b = c. 3. Tìm x,y biết : x 2 + y 2 – 2x + 4y + 5 = 0. Bài 6: 1. Chứng minh : (a + b) 3 – 3ab(a +b) = a 3 + b 3 2. Tính x 3 + y 3 ,biết x + y = 3 và xy = 2 3. Cho a + b = 1.Chứng minh : a 3 + b 3 = 1 – 3ab. Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) x 2 - 2x -1 b) 4x 2 + 4x + 5 Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) 2x - x 2 - 4 b) -x 2 - 4x * HD: đưa các biểu thức đã cho về dạng A 2 hoặc -A 2 Ví dụ: a)A= x 2 - 2x -1= ( x – 1 ) 2 – 2 ≥ - 2 ⇒ MaxA = -2. Dấu “ =’’xảy ra ⇔ x=1 HS làm các phần khác tương tự Bài 9: Cho x - y = 7. Tính: a) x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy +37 b) x 2 (x + 1) - y 2 (y - 1) + xy -3xy(x - y + 1) – 95 • HD: Rút gọn từng biểu thức làm xuất hiện x-y • VD: a, x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy +37 = x 2 +2x+y 2 -2y-2xy +37 = (x 2 +2xy+y 2 ) +(2x-2y ) +37 = ( x-y) 2 + 2( x-y) +37 = 49 +14 +37 = 100 Bài10: 2 GIÁO ÁN BỒI DƯ ỠNG HỌC SINH GIỎI Cho x + y = a; x 2 + y 2 = b; x 3 + y 3 = c Chứng minh: a 3 - 3ab + 2c = 0 * Lưu ý mối liên hệ x 2 + y 2 = ( x+y) 2 – 2xy x 3 +y 3 = ( x+y) (x 2 + y 2 – xy) a 3 - 3ab + 2c = (x + y) 3 - 3(x + y)( x 2 + y 2 ) +2(x 3 + y 3 ) = x 3 +y 3 +3x 2 y+ 3xy 2 - 3x 3 -3xy 2 -3x 2 y -3y 3 + 2x 3 + 2y 3 = 0 Bài 11: Cho x 2 + y 2 = 1. Chứng minh rằng biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x, y 2( x 6 + y 6 ) - 3( x 4 + y 4 ) Bài 12: Cho x + y = 2; x 2 + y 2 = 10. Tính giá trị của biểu thức x 3 + y 3 Bài 11,12 Làm tương tự bài 10 Bài 13: 1. Chứng minh : (a – b) 3 + 3ab(a - b) = a 3 + b 3 2. Rút gọn: (x – 3) 3 – (x + 3) 3 . 3. Cho a - b = 1.Chứng minh : a 3 - b 3 = 1 + 3ab. Bài 14:Chứng minh biểu thức luôn dương: a) A= 3816 2 ++ xx b) 85 2 +−= yyB Bài 15: Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau: a) 16 2 −+= xxM b) 3510 2 −−= yyN Bài 16: Thu gọn: a) ( ) ( )( ) 121212 42 +++ . . . . . ( ) 6432 212 −+ b) ( ) ( )( ) 4422 353535 +++ . . . . . ( ) 2 35 35 128128 6464 − ++ CH Ủ Đ Ề II: CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 3 GIÁO ÁN BỒI DƯ ỠNG HỌC SINH GIỎI 4 . a 3 - b 3 = 1 + 3ab. Bài 14:Chứng minh biểu thức luôn dương: a) A= 381 6 2 ++ xx b) 85 2 +−= yyB Bài 15: Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau: a) 16 2. . . ( ) 6432 212 −+ b) ( ) ( )( ) 4422 353535 +++ . . . . . ( ) 2 35 35 1 281 28 6464 − ++ CH Ủ Đ Ề II: CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 3