Tổng hợp 10 đề tuyển sinh lớp 10 môn toán (chuyên) năm 2020 – 2021 tập 4

ịà ùũ ùũ íá ắÃfô ơá'ẵ ăứ ¨ õ ï÷ ø ¨ Ð ã õ ï ¨ ă ợ ợữ ă ù ă ă é ọ ốũ ợũ íá ứữ ó ợ ỡ ơcá ẽ ó ứùữ ứợữ õ ï ° ° ïø ỵ² õ ï õ ỵ² ùữ ứỡữũ ịà ợũ ẹăĐ ;à òồ ị j ơđ*ẵ ááũ èd ăằơÃnơữũ ợũ Ã}à áe á)4ạ ơđdá ứẳữ ổ Đ ó ă ỡ ứ ờó ữ ê đắ ứé ữ ổ Đ ó ợăợ ũ ứẳữ ê ứé ữồò ê ị z )/ơ ádá ẵáÃhô êô:ạ ạ>ẵ ẵ+ ò ê ị òịị ò ắtạ ùở ẵợ ăợ Đ Đ ă ó ớăĐ ũ ăĐ ợ Đ ăớ ó ớăĐ ịà ớũ ùũ Ã}à á)4ạ ơđdá ứ ăừớừ ợũ íá'ạ Ãá á)4ạ ơđdá ăợ ạà ơđ@ ẵ+ ũ ;à ăù ăợ ạà ơđ@ á< áyơũ ứợ ăữứờ ợă ùữ ă ứ ợă ùớữ ó ợổ ùữợ ó ứ ă w ư8 ữ ô: ẵ> ạáÃe ê2à ;à ăù ăợ ụ ơd ăợ ứẹữ ê ứẹ ữ ịà ỡũ ò ê ị ẹ t ạà ứẹ ữ òị ụ êm ẵẵ ơÃh ơôĐh ể íồ ể ĩ ứẹữ ứ íồ ĩ ĩ ứẹ ữ òí ê òĩ ơđ? ứẹ ữ z )/ơ ơ|à ê ứ ê àá:ạ ơđ.ạ ê2à ò íĩ ê ẵsơ áô ơ|à ì ũ ùũ íá'ạ Ãá ơ' ạÃẵ ịíì 5à ơÃh ê ì ịĩ ó ịì òĩũ ợũ íá'ạ Ãá ì ớũ íá'ạ Ãá àáà ể ũ òị íĩ ịà ởũ ùũ èd ơyơ ẵ} ẵẵ ạà ơđ@ ạôĐj ẵ+ ă ê Đ ơá< ~ ợợù ăợ ợĐ ợ ợợứợăĐ Đữ ó ợợợổ ợũ íá ăồ Đồ Ư ắ ư8 ơá$ẵ ẳ)4ạụ ơd ạà ơđ@ á< áyơ ẵ+ ắÃfô ơá'ẵ ợăợ ăĐ ợĐ ợ ợĐ ợ ĐƯ ợƯ ợ ợƯ ợ Ưă ợăợ ó ừ ổ ă Đ ợƯ Đ Ư ợă Ư ă ợĐ ịà ùũ íá'ạ Ãá đtạ ư8 Đ ó ứ ợ ợ ùữ ă ợợù ô: ạá@ẵá ắÃh ê2à ;à ạà ơđ@ ẵ+ ơá ư8 ũ ịà ợũ Ã}à á)4ạ ơđdá ỡ ăợ ó ợ ợ ă ợ ă ũ ịà ớũ èd ẵẵ ư8 ơ$ áÃj ẵá ợ ùố ợợ ư8 ẵácá á)4ạũ ịà ỡũ íá ádá ơáạ òịíĩ ứòị íĩ ẵũ ècáẵáÃiô ẵ ẵ+ ádá ơáạũ òí ó ố ẵồ ịĩ ó ịà ởũ íá'ạ Ãá đtạ ê2à ;à ư8 ơá$ẵ ắồ ẵồ ẳồ ằ ô: ẵ>ổ ợ ắợ ẵợ ẳợ ằợ ịà ờũ íá á)4ạ ơđdá ăợ ă ó èd ẵẵ ạà ơđ@ ẵ+ ứắ ẵ ẳ ằữổ ă w ư8ồ ơá ư8 ơá< ~ ó ỡũ ăù ăợ ẵá ăù ó ăợ ăợợ ũ ịà ộũ á< 5ơ ơđôạ ơ{ ô:à ẳ|Đ ơđl ẵ:Ãũ ềhô 7à áz ô ạÃ} ôĐf ê0 ơád ưm ẵ> ơáj áz ô & ẵá ẵẵ ẵáôụ ẵ? hô 7à áz ô ạÃ} ù ôĐf ê0 ơád ẵẵ ẵáô ưm ẵ> ơáj ù áz ôũ ỉ a − b2 a = Đặt  ⇒ = x+4 2x2 − x + > b = Khi phương trình trở thành a − b2 a+b = ⇔ 2(a + b) = (a − b)(a + b) ⇔ a − b = (do a + b > 0) Do 2x2 + x + − 2x2 − x + = ⇔ 2x2 + x + = + 2x2 − x + ⇔ x2 + x + = + x2 − x + + 2x2 − x +  x ≥ −2 ⇔ 2x2 − x + = x + ⇔  2 4(2 x − x + 1) = x + x +  x ≥ −2 x =   x ≥ −2  x = ⇔ ⇔  ⇔ x = x x − = 8   x =     8 Vậy S = 0;   7 b  y − xy = x − x + 1(1)   y = x + x − x + 1(2)  y − x = 3x −  y = x − Từ phương trình (1) ta có ( y − x) = (3 x − 1) ⇔  ⇔  y − x =1 − x  y =1 − x Với = y x − , thay vào (2) ta (4 x − 1) = x + x − x + ⇔ x − x + x = ⇔ x( x − x + 7) = 0⇒ y = −1 x = x =  ⇔ ⇔  x =1 ⇒ y =3  x − 8x + =  x = ⇒ y = 27 Với y = − x , thay vào (2) ta (1 − x) =x3 + x − x + ⇔ x3 + x + x =0 ⇔ x( x + x + 3) =0  x = ⇒ y =1 x = ⇔ ⇔  x =−1 ⇒ y =3  x + 4x + =  x =−3 ⇒ y =7 S Vậy = Câu 3: {(0;1), (0; −1), (1;3), (7; 27), (−1;3), (−3;7)} (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < BC < CA) nội tiếp đường tròn ( O ) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt ( O ) A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O ) B1 Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt ( O ) C1 Chứng minh đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với BC , CA, AB đồng quy Hướng dẫn giải A H B M A1 K O C Gọi H trực tâm tam giác ABC OH cắt đường thẳng qua A1 , vng góc với BC điểm K Gọi M trung điểm AA1 OM ⊥ AA1 Suy OM ⊥ BC Mặt khác, tứ giác AHKA1 hình thang AH  A1 K nên ta có OM đường trung bình, kéo theo O trung điểm HK hay nói cách khác, đường thẳng qua A1 , vng góc với BC qua điểm đối xứng với trực tâm H tam giác ABC qua O Rõ ràng điểm bình đẳng với B, C nên hai đường qua B1 , C1 vng góc với CA, AB qua K Vì nên ta có đường thẳng đề đồng quy K Câu 4: a) b) Câu 5: a) (2,0 điểm) a + b2 ( a − b) a) Cho số thực a, b Chứng minh rằng: ≥ ab + a + b2 + 2 b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = b − a + + a b Hướng dẫn giải a + b2 ( a − b) Cho số thực a, b Chứng minh rằng: ≥ ab + a + b2 + 2 Ta có: 2 a − b) a − b) a − b) ( ( ( a + b2 ≥ ab + 2 ⇔ ≥ 2 2 a +b +2 a +b +2 21  ⇔ (a − b)  − 2 ≥0  a +b +2 Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = b − a + + a b 20 20 20 Ta có: −a ≥ b − nên Q = b − a + + ≥ b + b − + + + = 2b − + 3−b b a b 3−b b 20 20 + 7b − 18 = 16 = (3 − b) + + 7b + − 18 ≥ ( − b ) 3−b b 3−b b ⇒ Qmin = 16 20  5 ( − b ) = 3−b Dấu xảy  1⇒a= ⇒b= 7b =  b (2,0 điểm) Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC , CA D, E , F Kẻ đường kính EJ đường trịn ( I ) Gọi d đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng JD cắt d , BC L, H a) Chứng minh: E , F , L thẳng hàng b) JA, JF cắt BC M , K Chứng minh: MH = MK Hướng dẫn giải Ta có JE đường kính ( I ) nên = 90° tam giác HDE vuông D JDE L A T J Chú ý BD = BE , tiếp tuyến F kẻ từ B đến ( I ) nên BD = BH (tính chất D I trung tuyến ứng với cạnh huyền) Do tam giác BHD cân B H B E M C Vì AL  BH nên hai tam giác ADL BDH đồng dạng, kéo theo ADL cân A hay AL = AD = AE  = FCE  , mà hai tam giác ALF , CEF cân có góc đỉnh Vì AL  CE nên LAF  , kéo theo L, F , E thẳng hàng nên chúng đồng dạng Suy  AFL = CFE K b) Kéo dài JF cắt d T tương tự câu a, ta có T , D, E thẳng hàng Câu 6: AT = AD = AF = AL AL AJ AT Theo định lý Thales với d  BC = = , mà AT = AL nên MH = MK MH JM MK Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn 3x − y = Hướng dẫn giải x Ta có = y + = ( y + 1)( y − y + 1) Do đó, tồn số tự nhiên u , v cho 3u  y + =  3v  y − y + = Vì y + > nên 3u > hay u ≥ Rút = y 3u − , thay vào phương trình dưới, ta có (3u − 1) − (3u − 1) + = 3v hay 32u − ⋅ 3u + = 3v ⇔ 32u −1 − 3u + = 3v −1 Vì vế phải ngun nên ta phải có v − ≥ hay v ≥ Tuy nhiên, v − > 3v −1 chia hết cho 3, vế trái không chia hết cho 3, vơ lý Do đó, v = hay y2 − y +1 = ⇔ y2 − y = Giải y = Thay vào đề bài, ta 3x = y + = nên x = Vậy nên tất nghiệm phương trình cho ( x, y ) = (2; 2) HẾT CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2020 Mơn thi: Tốn (Dùng riêng cho thí sinh thi vào chuyên Toán, chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài (2,0 điểm) 2= x3 3= y3 z3  Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện:  x + y + z =+ 12 + 16  xyz >  Tính giá trị biểu thức P = 1 + + x y z Bài (2,0 điểm) Xét phương trình bậc hai ax + bx + c = (1) Trong a, b, c số nguyên dương Biết điều kiện sau thỏa mãn: phương trình (1) có nghiệm; số a 2020b chia hết cho 12; số c + chia hết cho c + Hãy tìm giá trị lớn tổng a + b + c Bài (2,0 điểm) Tìm số nguyên a nhỏ cho bất đẳng thức x + x − x + a ≥ với số thực x Bài (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ) có AB > BC Một đường trịn qua hai đỉnh A, C tam giác ABC cắt cạnh AB, BC hai điểm K , N (O ) (K, N khác đỉnh tam giác ABC ) Giả sử đường tròn đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt giao điểm thứ hai M với M khác B Chứng minh rằng: a) Ba đường thẳng BM , KN , AC đồng quy điểm P b) Tứ giác MNCP nội tiếp c) BM − PM = BK ⋅ BA − PC ⋅ PA Bài (1,0 điểm) Cho hai số A, B có 2020 chữ số Biết số A có 1945 chữ số khác bao gồm 1930 chữ số bên trái 15 chữ số bên phải, số B có 1945 chữ số khác bao gồm 1930 chữ số bên trái 24 chữ số bên phải Chứng minh ƯCLN ( A; B ) số có không 1954 chữ số - HẾT - LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài Từ giả thiết thứ nhất, ta suy x, y, z ba số dấu Mà xyz > nên ba số x, y, z số dương Bây giờ, đặt 2= x3 3= y 4= z k (k > 0) ta có: 1 1 x3 y z 2x + 3y + 4z = + + = k + +  x y z x y z Mà: + 12 + 16= 4k 4k 4k + 3 + 3= x y z 1 1 4k  + +  x y z Do đó, giả thiết thứ hai tốn viết lại thành Từ đây, ta dễ dàng suy P = 1 1 k  + +=  x y z 1 1 4k  + +  x y z 1 1 + + = x y z Bài Từ giả thiết, ta suy a, b số có chữ số Vì c + chia hết cho c + nên (c + 3)(c − 3c + 9) − (c + 3) = 24 chia hết cho c + ( ) Do phương trình (1) có nghiệm nên biệt thức khơng âm, tức b − 4ac ≥ ( 3) Do a 2020b chia hết cho 12 nên b chia hết cho a + b + chia hết cho 4 Do b chia hết cho b nguyên dương nên b = b = • Với b = , ta có ac ≤ (do (3)) a + chia hết cho (do (4)) Kết hợp với (2), ta tìm cặp (a; c) thỏa mãn (1;1), (1;3) (4;1) • Với b = , ta có ac ≤ 16 (do (3)) a chia hết cho (do(4)) Kết hợp với (2), ta tìm cặp (a; c) thỏa mãn (3;1), (3;3), (3;5), (6;1) (9;1) So sánh kết quả, ta thấy a + b + c lớn 18, đạt khi= a 9,= b c = Bài Cho x = 23 23 , ta a − Mà a số nguyên nên a ≥ ≥ , tức a ≥ 16 16 Mặt khác, với a = , ta có x + x − x + 2= x + 2( x − 1) ≥ 0, ∀x ∈  Vậy a = số nguyên nhỏ thỏa mãn yêu cầu đề Bài a) Vì tam giác ABC khơng cân A nên AC , KN cắt nhau, AC , BM phải cắt Gọi P giao điểm BM AC Ta có ∠CPM = ∠APB = 180o − ∠ABP − ∠BAP = (180o − ∠KBM ) + (180o − ∠CAK ) − 180o = ∠MKN + ∠CNK − 180o = 360o − ∠CNM − 180o = 180o − ∠CNM Suy tứ giác CNMP nội tiếp Từ đây, với ý tứ giác ACNK , ABMC nội tiếp, ta có ∠CNP = ∠CMP = ∠CAB = ∠CAK = ∠BNK Mà hai góc CNP BNK vị trí đối đỉnh nên ba điểm K , N , P thẳng hàng Vậy AC , BM KN đồng quy P b) Theo câu a), ta chứng minh tứ giác MNCP nội tiếp c) Gọi ( I ),( J ) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC , BKN ∠BKN = ∠NCA Mà hai góc vị trí so le Vẽ tiếp tuyến Bx, By theo thứ tự ( J ),(O ) Ta có ∠xBN = nên ta có Bx  AC Mà JB ⊥ Bx nên BJ ⊥ AC Tương tự, ta có ∠YBA = ∠BCA = ∠NCA = ∠BKN nên By  KN , dẫn đến BO ⊥ KN Mặt khác, theo tính chất đường nối tâm hai đường trịn vng góc với dây cung chung, ta có OI ⊥ BM , IJ ⊥ KN OI ⊥ AC Do BJ  OI (cùng vng góc với AC ) OB  IJ (cùng vng góc với KN ) nên tú giác BOIJ hình bình hành Hệ OJ qua trung điểm BM (tính chất đường trung trực), nên OJ chứa đường trung bình tam giác BIM Suy OJ  IM , mà OJ ⊥ BM nên IM ⊥ BM Kẻ tiếp tuyến BS CP đến đường trịn ( I ) hình vẽ Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông BIM PIM , BIS PIT , ta có BM − PM = ( BI − IM ) − ( PI − IM ) = BI − PI = ( BS + IS ) − (( PT + IT ) Mà IS = IT nên BM − PM =BS − PT (1) Dễ thấy cặp tam giác BSA BKS , PAT PTC đồng dạng (g-g), ta suy BS= BA ⋅ BK , PT= PC ⋅ PA (2) Từ (1) (2), ta suy BM − PM = BA ⋅ BK − PC ⋅ PA Bài Từ giả thiết, ta suy A= 1090 ⋅ a + b B= 1090 ⋅ c + d với a, c hai số có 1930 chữ số, b số có 15 chữ số d có 24 chữ số Đặt x = ƯCLN ( A; B ) ta có aB − cA chia hết cho x , thức ad − bc chia hết cho x Ta chứng minh ad − bc khác Thật vậy, giả sử ad = bc , ta có Do a c hai số có 1930 chữ số nên (1) c d = a b c 101930 < = 10 Trong đó, d số có 24 chữ số b số có 15 a 101929 d 1023 d c chữ số nên > 15 > 10 Suy > 10 > , mâu thuẫn Vậy ad − bc ≠ b 10 b a Vì ad − bc khác nên từ (1), ta suy ad − bc ≥ x Mặt khác, ta lại có • • ad < 101930 ⋅1024 = 101954 , tức ad có khơng q 1954 chữ số bc < 101930 ⋅1015 = 101945 b, tức bc có khơng q 1945 chữ số Do đó, với ý ad − bc < max {ad , bc} , ta suy ad − bc số ngun dương có khơng q 1954 chữ số, từ x số có khơng q 1954 chữ số (đpcm) - HẾT - THCS.TOANMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN THÁI BÌNH NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN THI: TỐN Dành cho thí sinh thi chun Tốn - Tin Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ịà ùũ ùũ íá ắÃfô ơá'ẵ é ó ứă ợữợ ũ èd ư8 ơ$ áÃj ă ăừợ ă ù é ẵ> ạà ơđ@ ư8 ẵácá á)4ạũ ợũ íá é ứăữ íá'ạ Ãá đtạ é ứăữ àá:ạ ẵ> ạáÃe ạôĐjũ é ứữ ó ợùồ é ứùữ ó ộổ ịà ợũ ă ùũ Ã}à á)4ạ ơđdáổ ă ù ó ớă ù ăừợ ợũ Ã}à áe á)4ạ ơđdáổ ăợ ăĐ ă ăĐ ớĐ ợ ùợĐ ó ùợ ă ờĐ ó ịà ớũ íá ạÃẵ òịí ẵ> òị ọ òí ê òí ọ ịí z )/ơ ơ|à é ê ẽ ứẹồ ẻữồ ạÃ} ư% ịồ í ò òị ẵsơ òí ê ịí òí ẵsơ òị ê ịí z )/ơ ơ|à ể ê ề ũ ùũ íá'ạ Ãá đtạ ẹểổẹề ó ẻợ ợũ ểồ ềồ éồ ẽ ớũ ẵáÃhô êô:ạ ạ>ẵ ẵ+ ị ò ịể ề ê íé ẽ ẵsơ áô ơ|à ê è ụ ạ;à ỉ ádá è ũ íá'ạ Ãá đtạ ỉ ịà ỡũ Ã} ư% á)4ạ ơđdá ợăợ ợă ù ắ ó ẵ> áà ạáÃe ạôĐj ứê2à ụ ắ z )/ơ ơá ư8ữũ íá'ạ Ãá đtạ ợ ắợ ợ ư8 ạôĐj ê àá:ạ ẵáà áhơ ẵá ũ ịà ởũ íá ẵẵ ư8 ơá$ẵ ẳ)4ạ ắồ ẵ ắ ẵ ó ỗũ èd ạà ơđ@ áyơ ẵ+ ắÃfô ơá'ẵổ ắ ắẵ ẵ ï Ì ã õ õ ỉ í¿ õ ì¾ õ ởẵ ớắ ỡẵ ớẵ ỡ ởắ ắứ ợẵữứắ ợẵữ THCS.TOANMATH.com THCS.TOANMATH.com K THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn thi: TỐN Dành cho thí sinh dự thi vào lớp chuyên Toán - Tin Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC ịà ùũ ể ó ợă ù ăớ ù ù ă ù ổ ù ăừỡ ăừ ăừù ê2à ă ă ờó ùồ ă ờó ỗũ ùũ ẻ-ơ ạ; ắÃfô ơá'ẵ ể ũ ể áv ạà ơđ@ ạôĐj ẳ)4ạũ ợũ èd ạà ơđ@ ẵ+ ă ịà ợũ òứợồ ùữ ê ơ| ùũ ù ũ ợ ợăợ ùộ á{ ắÃeơ ăù ăợ ơá< ~ ăợù ăợợ ó ũ ỡ ợũ èd ẵẵ ạà ơđ@ ẵ+ ởữă ợ ó ứ ơá ư8ữ ẵ> áà ạáÃe ịà ớũ ùũ Ã}à á)4ạ ơđdá ởăợ ợũ Ã}à áe á)4ạ ơđdá ợă ă ăợ ăợ ứợă ùữ ởăợ ợă ùó ợ ăợ Đ ỡ ó ợ ăợ Đ Đừợó ịà ỡũ ùũ íá ádá êô:ạ òịíĩ ơ{ ẹồ ẵ|á ũ ể ì ể ê ơÃh ă-ẵ ê2à ịí ơ|à ị ă-ẵ ê2à íĩ ơ|à ĩ ứìữ ứệữ ứữ ẹị ứể àáẵ ẹ ê ị ữũ ệ ể ê ơÃh ềũ òồ ềồ ịồ íồ ĩ ứắữ ợũ íá ạÃẵ ể ềé êô:ạ ẵ{ ơ|à ểụ ể ề ó ĩ ơáô5ẵ ẵ|á ể ề ơáô5ẵ ẵ|á ềé ẵá ẵáô êà ạÃẵ ềĩ ắtạ ợũ èd ạà ơđ@ áyơ ẵ+ ẳÃe ơcẵá ạÃẵ ềĩ ịà ởũ íá ắ ắữớ ỡắ ù ù ừ ợợắ ùừ ùừắ ùợũ íá'ạ Ãá đtạ ợợùổ THCS.TOANMATH.com S GIO DC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: Tốn (Chun) Ngày thi: 15/7/2020 Đề thức (Có 01 trang) Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ BÀI Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = a2 − a 2a + a 2(a − 1) ( với a > 0, a ≠ ) − + a + a +1 a a −1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P  x − + =  y+3  Giải hệ phương trình:  4 x − − =  y+3 Câu (2,0 điểm) Cho phương trình: x − 5mx − 4m = ( với m tham số) a) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm b) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thì: x12 + 5mx2 + m + 14m + > Câu (2,0 điểm) a) Một Robot thiết kế thẳng, quay góc 900 sang phải sang trái Robot xuất phát từ vị trí A thẳng 2m quay sang trái thẳng 3m , quay sang phải thẳng 5m đến đích vị trí B Tính khoảng cách đích đến nơi xuất phát Robot b) Cho hai số a, b thỏa mãn a > b > a.b = Chứng minh: a + b2 ≥2 a −b Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AD, BE cắt H Kéo dài BE , AO cắt đường tròn (O) F M a) Chứng minh ∆HAF cân b) Gọi I trung điểm BC Chứng minh ba điểm H , I , M thẳng hàng AH = 2OI c) Khi BC cố định, xác định vị trí A đường trịn (O) để DH DA lớn Câu (1,0 điểm) a) Cho xy + yz + xz = xyz ≠ Chứng minh rằng: yz xz xy + + = x2 y z b) Cho n số nguyên dương Biết 2n + 3n + hai số phương Chứng minh n chia hết cho 40 Hết KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN Năm học : 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN CHUN (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Hướng dẫn Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P Điểm a2 − a 2a + a 2(a − 1) − + a + a +1 a a −1 1.1 (1,0đ) a ( a − 1) a (2 a + 1) 2( a − 1)( a + 1) Với a > 0, a ≠ ⇒ P = − + a + a +1 a a −1 0,25 a ( a − 1)(a + a + 1) − (2 a + 1) + 2( a + 1) = a − a + a + a +1 0,25 P= b) Tính giá trị nhỏ P 1 3   a −  + ≥ (Với ∀a > 0, a ≠ ) P = a − a += 2 4  Vậy giá trị nhỏ P = a = 4 0,25 0,25   x −1 + y + =  Giải hệ phương trình:  4 x − − =  y+3 1.2 x ≥ Điều kiện:   y ≠ −3 0,25 = u x −1 u+v =  2= u  Đặt  (thỏa mãn) ⇔ (điều kiện u ≥ ) ⇒  −1 4u − 3v = v =  v = y+3  0,5  x −1 =  x=2  (thỏa mãn) Vậy HPT có nghiệm (2; −4) ⇒ ⇔ y = − = −  y+3  0,25 Phương trình: x − 5mx − 4m = a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm 0,25 Ta có:= ∆ 25m + 16m 2.a (1,0đ)  m=0  m = − 16 25  Để phương trình có nghiệm kép ∆ = ⇔ 25m + 16m = ⇔  5m = 5m 16 nghiệm kép x1 = x2 = +) m = − = − 25 x= +) m = nghiệm kép x= 0,25 0,25 0,25 b) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 x12 + 5mx2 + m + 14m + > 2.b (1,0đ) PT có nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì= ∆ 25m + 16m > 0,25 x12 − 5mx1 − 4m =0 ⇔ x12 =5mx1 + 4m x1 + x2 = 5m 0,25 Xét P = x12 + 5mx2 + m + 14m + = 5mx1 + 4m + 5mx2 + m + 14m + 0,25 = 5m( x1 + x2 ) + m + 18m + = 26m + 18m + Suy P = 25m + 16m + m + 2m + = ∆ + (m + 1) > (vì ∆ > ) Đpcm 0,25 a) Một Robot thiết kế thẳng, quay góc 900 sang phải sang trái Robot xuất phát từ vị trí A thẳng 2m quay sang trái thẳng 3m , quay sang phải thẳng 5m đến đích vị trí B Tính khoảng cách đích đến nơi xuất phát Robot Học sinh vẽ hình minh họa B 0,25 3.a (1,0đ) A Kẻ AC ⊥ BC hình vẽ: B 0,25 A C Ta có:= AC 7;= BC 0,25 ⇒ AB = + 33 = 58 Vậy khoảng cách đích đến nơi xuất phát Robot 58 0,25 a + b2 b) Chứng minh: ≥ 2 Với a > b > a.b = a −b Vì a.b =1 ⇒ a + b ( a − b) + = =(a − b) + a −b a −b ( a − b) Do a > b > ⇒ (a − b) + 3.b (1,0đ) 2 ≥ (a − b) = 2 (BĐT AM-GM) ( a − b) ( a − b) Dấu xẩy khi: (a − b) = ⇔ a− = a Vậy 0,25 0,25 ⇔ ( a − b) = ⇔ a − b = ( a − b)  2+ a = 2⇔  2− a =  (t / m) ⇒ b= ( Loai ) a + b2 = a ≥ 2 Dấu xẩy a −b 0,25 6− 2 6+ = ;b 6− 2 0,25 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AD, BE cắt H Kéo dài BE , AO cắt đường tròn (O) F M a) Chứng minh ∆HAF cân Vẽ hình đến câu 4.a F A E 4.a (1,0đ) H B 0,25 O D C I M 4.b (1,0đ) ) Ta có:  AHF =  ACB (cùng phụ với DAE Lại có  ACB =  AFB (cùng chắn cung AB ) 0,25   AFB   AHF cân Suy AHF A b) Gọi I trung điểm BC Chứng minh ba điểm H , I , M thẳng hàng AH = 2OI Ta có BH / / CM (cùng vng AC ), HC / / BM (cùng vuông AB ) ⇒ BHCM hình bình hình Mà I trung điểm BC ⇒ I trung điểm HM ⇒ ba điểm H , I , M thẳng hàng 0,25 0,25 ⇒ OI đường trung bình ∆AHM ⇒ AH = 2OI c) Khi BC cố định, xác định vị trí A đường trịn (O) để DH DA lớn   AFB   BHD   ACB   DAC  DBH (g g) Theo câu ta có AHF 4.c (1,0đ) 5.a (0,5đ) Suy DA DB   DA.DH  DB.DC DC DH 0,25 0,25 0,25 0,25  BD  CD   BC  Ta có DB.DC    DB.DC         Dấu xẩy BD  DC Vậy để DH DA lớn A điểm cung lớn BC yz xz xy a) Cho xy + yz + xz = xyz ≠ Chứng minh rằng: + + = x y z 1 + += x y z Chứng minh nếu: a + b + c = ⇒ a + b3 + c3 = 3abc Vì: xy + yz += xz 0; xyz ≠ ⇒ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Áp dụng cơng thức ta có: 1 1 1 + + = ⇒  + + = x y z x y z xyz 1 1 yz xz xy xyz Lại có: + + =  3+ 3+ =  (Đpcm) x y z2 y z3  x b) Cho n số nguyên dương Biết 2n + 3n + hai số phương Chứng minh n chia hết cho 40 0,25 Đặt 2n + = x ⇒ x lẻ ⇒ 2n =( x − 1)( x + 1) x − 1; x + chẵn ⇒ n chẵn 5.b (0,5đ) Đặt 3n + 1= y ⇒ y lẻ (do n chẵn) 3n = ( y − 1)( y + 1)8 y − 1; y + hai số chẵn liên tiếp mà (3;8) = ⇒ n8 (1) Ta có số phương chia cho dư hoặc Mặt khác x + y = 5n + ⇒ x , y chia cho dư Nên n = ( 3n + 1) − ( 2n + 1) = (y − x )5 (2) Từ (1), (2) (5;8) = 1 ⇒ n 40 Đpcm (Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa) 0,25 0,25 ... suy ad − bc ≥ x Mặt khác, ta lại có • • ad < 101 930 ? ?102 4 = 101 9 54 , tức ad có khơng q 19 54 chữ số bc < 101 930 ? ?101 5 = 101 945 b, tức bc có khơng q 1 945 chữ số Do đó, với ý ad − bc < max {ad , bc}... chữ số nên (1) c d = a b c 101 930 < = 10 Trong đó, d số có 24 chữ số b số có 15 a 101 929 d 102 3 d c chữ số nên > 15 > 10 Suy > 10 > , mâu thuẫn Vậy ad − bc ≠ b 10 b a Vì ad − bc khác nên từ... chia hết cho 40 Hết KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN Năm học : 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN CHUN (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu