ài báo này trình bày việc vận dụng hai nguyên lí cơ bản của triết học duy vật biện chứng vào dạy học Tích phân lớp 12 - THPT. Đó là nguyên lí về mối liên hệ và nguyên lí về sự phát triển. Giáo viên có thể dựa trên hai nguyên lí này hướng dẫn cách suy nghĩ tìm cách tính tích phân nhờ mối liên hệ và có thể phát triển, sáng tạo những bài toán về tính tích phân, nhằm nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol 59, No 2A, pp 168-173 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn VẬN DỤNG HAI NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC DUY VẬT BIỆN CHỨNG VÀO DẠY HỌC TÍCH PHÂN LỚP 12 Hồng Ngọc Anh, Đặng Minh Tuyến Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt Bài báo trình bày việc vận dụng hai nguyên lí triết học vật biện chứng vào dạy học Tích phân lớp 12 - THPT Đó ngun lí mối liên hệ ngun lí phát triển Giáo viên dựa hai nguyên lí hướng dẫn cách suy nghĩ tìm cách tính tích phân nhờ mối liên hệ phát triển, sáng tạo tốn tính tích phân, nhằm nâng cao hiệu dạy học chủ đề Từ khóa: Ngun lí, vật biện chứng, dạy học, tích phân Mở đầu Triết học nghiên cứu quy luật chung tự nhiên, xã hội người Bởi vậy, trình nghiên cứu khoa học khác, cần ý tới kết triết học Nghiên cứu Toán học Giáo dục Tốn học khơng phải ngoại lệ “Do khái quát kiện từ tất khoa học sở phát quy luật phát triển tự nhiên, xã hội tư duy, phép biện chứng vật sở phương pháp luận cho lĩnh vực khoa học, có phương pháp dạy học Tốn” [2; 26] Thực tiễn cho thấy, có khơng giáo viên khơng dạy có sẵn sách giáo khoa, sách tập, mà có nhiều sáng tạo dạy học Những giáo viên có uy tín cao học sinh phụ huynh học sinh, họ có lực nghệ thuật cao dạy học Việc nghiên cứu đổi mới, nâng cao chất lượng dạy học Tích phân lớp 12 THPT nhiều tác giả quan tâm [1; 3] Tuy nhiên, việc vận dụng hai nguyên lí phép biện chứng vật vào dạy học nội dung cịn kết nghiên cứu chưa quan tâm khai thác cách có hệ thống Nếu biết vận dụng hai nguyên lí triết học vật biện chứng vào dạy học mơn Tốn trường phổ thơng giáo viên có khả sáng tạo dạy học, nâng cao hiệu dạy học mơn Tốn Bài báo trình bày vận dụng hai nguyên lí triết học vật biện chứng vào dạy học Tích phân - nội dung quan trọng chương trình mơn Tốn lớp 12, THPT Liên hệ: Hồng Ngọc Anh, e-mail: ngocanhtbu2002@gmail.com 168 Vận dụng hai nguyên lí triết học vật biện chứng vào dạy học Tích phân lớp 12 Nội dung nghiên cứu 2.1 Sơ lược hai nguyên lí phép biện chứng vật: Nguyên lí mối liên hệ phổ biến nguyên lí phát triển Nguyên lí mối liên hệ phổ biến nguyên tắc lí luận xem xét vật, tượng khách quan tồn mối liên hệ, ràng buộc lẫn nhau, tác động ảnh hưởng lẫn vật, tượng hay mặt vật, tượng giới [3;24] “Nguyên lí biểu rõ thông qua sáu cặp phạm trù: Cái chung riêng; Bản chất tượng; Nội dung hình thức; Nguyên nhân kết quả; Khả thực; Tất nhiên ngẫu nhiên” [4] Nguyên lí phát triển nguyên tắc lí luận mà trong xem xét vật, tượng khách quan phải đặt chúng vào trình ln ln vận động phát triển (từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp, từ hồn thiện đến hồn thiện ) “Ngun lí biểu thơng qua ba quy luật là: Mâu thuẫn; lượng - chất; phủ định” [4] 2.2 Vận dụng nguyên lí mối liên hệ phổ biến dạy học Tích phân Khi hướng dẫn học sinh tính tích phân, ta hướng dẫn em tìm ra, phát mối liên hệ sau đây: + Phát mối liên hệ dạng toán - dạng toán gặp với dạng toán biết (quy lạ quen) Ví dụ Tính tích phân sau: J= 1 dx K = x2 (x + 1)2 1 dx x3 (x + 1)3 Giáo viên hướng dẫn học sinh phát mối liên hệ J, K với tích phân I = dx tận dụng mối liên hệ x(x + 1) 1 Nếu I tính cách phân tích = − J, K tính nhờ khai x(x + 1) x x+1 triển đẳng thức sau: x2 (x + 1) = 1 − x x+1 = −2 x2 1 − x x+1 + (x + 1)2 = x (x + 1)3 1 − x x+1 = −3 x3 x(x + 1) 1 − x x+1 − (x + 1)3 Từ việc tính tích phân J, K quy tính tích phân sau: 1 dx = ln |x| |21 = ln 2; x 1 1 dx = − |21 = ; x x 2 1 dx = − |21 = x 2x 169 Hoàng Ngọc Anh, Đặng Minh Tuyến Tương tự: 2 1 dx = ln |x + 1| |21 = ln ; x+1 1 2 dx = − x + |1 = ; (x + 1) 1 dx = − |1 = 72 (x + 1) 2(x + 1) + Phát mối liên hệ chung riêng; chất tượng; nội dung hình thức Với dạng tốn tính tích phân, thường gặp hàm số f [t(x)] Trong t(x) hàm số chứa biến số x; t(x) cho nhiều dạng, nhiều hình thức Mỗi dạng, hình thức riêng, chất việc tính tích phân chúng dựa vào chung nguyên hàm f (t) Ví dụ Tính tích phân: e3 I= dx x ln x ln(ln x) e2 Đặt t = ln(ln x) ⇒ dt = Do đó: dx; Đổi cận x = e2 ⇒ t = ln 2; x = e3 ⇒ t = ln x ln x ln I= dt ln 3 = ln t|ln ) ln = ln( t ln ln Ví dụ Tính tích phân: π I= − 2sin2 x dx (sin x + cos x)4 Biến đổi: π − 2sin2 x dx = (sin x + cos x)4 π cos2 x − sin2 x dx = (sin x + cos x)4 Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x)dx √ π Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 170 π cos x − sin x dx (sin x + cos x)3 Vận dụng hai nguyên lí triết học vật biện chứng vào dạy học Tích phân lớp 12 Ta có: √ I= 1 dt = − t 2t √ = b dt, người ta cho t a t hàm số x tính dt theo dx để toán Ngược lại, tính tích phân, học sinh phải phát hàm số t(x) để quy tính tích phân biến t Trong sách giáo khoa Giải tích 12 ta gặp khơng tốn tính tích phân phương pháp đổi biến số Về thực chất việc đổi biến, quy tích phân việc quy riêng chung, gạt bỏ hình thức lấy nội dung, tìm chất từ tượng khác Chẳng hạn như, xét nguyên hàm (tích phân khơng xác định) sin x cos xdx = sin xd(sin x) : Bản chất nguyên hàm nguyên hàm dạng xdx, sin x tượng, hình thức, x2 d(x2 ) riêng Hình thức thay đổi nhiều cách, chẳng hạn x3 dx = Các ví dụ cho thấy: với dạng tích phân ln x dx = x ln xd(ln x), dx = cos4 x (1 + tan2 x)d(tan x) Tuy nhiên, chung, riêng lại có khác biệt; ngồi phương pháp chung, tốn có phương pháp riêng Ví dụ Tính tích phân: √ √ I= dx + x2 Nhân tử số mẫu số hàm số dấu tích phân với x + √ I= √ dx √ = + x2 = ln x + + x2 √ √ x2 x+ 3+ √ √ dx = (x + + x2 ) + x2 √ b a I= + x2 ta có: √ d(x + + x2 ) √ x + + x2 √ = ln(1 + 2) Cách làm quy tích phân cho dạng tính nguyên hàm dạng I = √ x + x2 + a : √ dt áp dụng cho việc t dx √ Ta việc nhân vào tử số mẫu số lượng x2 + a √ d(x + x2 + a) √ = ln x + x + x2 + a x2 + a + C 171 Hoàng Ngọc Anh, Đặng Minh Tuyến √ Tích phân cịn có cách tính khác đặt x = √ I= dx √ = + x2 π dx = cos x π tan α, đó: d(sin x) − sin2 x π √ + sin x |0 = ln(1 + 2) = ln − sin x Với cách dạy học trên, giáo viên giúp học sinh có nhìn tồn diện tốn đặt ra, tránh máy móc, dập khn, biết nhìn nhận tốn nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác nhau, phát huy tính sáng tạo giải tốn 2.3 Vận dụng nguyên lí phát triển dạy học tích phân Ta vận dụng ngun lí dạy học tích phân sau: + Thay đổi lượng: Ta thay đổi số mũ hàm số dấu tích phân thay đổi biến x tổ hợp tuyến tính x Chẳng hạn, sau giáo viên trang bị cho học sinh nguyên hàm cos x, giáo viên có thẻ đặt vấn đề tìm nguyên hàm cos2 x, cos3 x, cos4 x, tìm nguyên hàm cos−1 x, cos−2 x, cos−3 x, Kết sau: cos x.dx = sin x + C; 1 (1 + cos 2x).dx = (x + sin 2x) + C; cos2 x.dx = 2 cos3 x.dx = (1 − sin2 x).d(sin x) = sin x − sin3 x + C; 1 cos x.dx = (1 + cos 2x) dx = [1 + cos 2x + (1 + cos 4x)].dx 4 1 sin 4x + C; = x + sin 2x + 32 1 + sin x + C; dx = d(sin x) = ln cos−1 x.dx = cos x − sin x − sin x cos−2 x.dx = dx = tan x + C; cos2 x 1 K = cos−3 x.dx = dx = d(sin x) Đặt sin x = t cos x (1 − sin2 x) 1 1 dt = dt + 1−t 1+t (1 + t)2 (1 − t)2 1 1 dt = +2 1−t + 1+t + (1 − t) (1 + t)2 2t t+1 + C = + ln t −1 t−1 Rõ ràng thay đổi só mũ hàm số cos x ta toán khác lới giải chúng khác Điều phù hợp với quy luật “lượng đổi chất đổi” Nếu ta thay biến x nhị thức bậc x, ta tốn tìm ngun hàm khác Chẳng hạn như: K= 172 Vận dụng hai nguyên lí triết học vật biện chứng vào dạy học Tích phân lớp 12 cos 2x.dx, cos 3x.dx, π π cos(x + ).dx, cos(2x + ).dx, Một cách tổng quát: Tìm I = cos(ax + b).dx, với a khác 1 Ta có I = cos(ax + b).d(ax + b) = sin(ax + b) + C a a Có thể xem hướng phát triển tốn từ chỗ chưa hồn thiện đến ngày hồn thiện Ta phát triển toán cách thay hàm số cos x nhị thức bậc cos x Chẳng hạn, ta có số nguyên hàm sau: dx; + sin x dx; + sin x Bằng cách này, giáo viên phát triển, sáng tạo nhiều toán rèn luyện kĩ tìm ngun hàm, tính tích phân cho học sinh, đồng thời khuyến khích học sinh “sáng tạo” với Kết luận Trong dạy học mơn Tốn, giáo viên có nhìn “triết học” hơn, có ý thức việc vận dụng hai nguyên lí phép biện chứng vật giúp cho học sinh thấy mối liên hệ dạng toán, thấy khuynh hướng phát triển tốn Từ hình thành phương pháp dạy - học toán vững hơn, sáng tạo nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp, Huỳnh Công Thái, 2007 Các kĩ thuật phương pháp tính Tích phân Nxb Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Bá Kim, 2011 Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb ĐHSP Hà Nội [3] Nguyễn Ngọc Long, Nguyễn Hữu Vui, 2007 Giáo trình Triết học Mác - Lê Nin Nxb Chính trị Quốc gia [4] http://wikipedia.org ABSTRACT Implications two basic principles of dialectical materialism philosophy when teaching integrals to 12th grade students This paper presents the application of two basic principles of dialectical materialist philosophy when teaching Integrals to 12th grade students The two are the principle of the relationship and the principle of the development Teachers can use these principles to guide students in how to think about relationships to find solutions to the problem and create mathematical problems for integrals 173 .. .Vận dụng hai nguyên lí triết học vật biện chứng vào dạy học Tích phân lớp 12 Nội dung nghiên cứu 2.1 Sơ lược hai nguyên lí phép biện chứng vật: Nguyên lí mối liên hệ phổ biến nguyên lí phát... x)3 Vận dụng hai nguyên lí triết học vật biện chứng vào dạy học Tích phân lớp 12 Ta có: √ I= 1 dt = − t 2t √ = b dt, người ta cho t a t hàm số x tính dt theo dx để tốn Ngược lại, tính tích phân, ... thức bậc x, ta tốn tìm ngun hàm khác Chẳng hạn như: K= 172 Vận dụng hai nguyên lí triết học vật biện chứng vào dạy học Tích phân lớp 12 cos 2x.dx, cos 3x.dx, π π cos(x + ).dx, cos(2x + ).dx,