Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2018-2019 - Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Thuận (Đề chính thức)

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2018-2019 - Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Thuận (Đề chính thức) giúp các em củng cố lại kiến thức trước khi bước vào kì thi chọn học sinh giỏi sắp tới. Mời các bạn và các em học sinh cùng tham khảo!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Ngày thi: 18/10/2018 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (6,0 điểm) a) Cho x y số thực thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy  y x  xy  y b) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x3  x  3mx  m có hai điểm cực trị nằm khác phía trục hồnh Bài (5,0 điểm) a) Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  biết u1  un1  2un  5, n * b) Cho dãy số   thỏa mãn v1  2vn , n * Chứng minh , vn1  2018  2018vn vn1  , n * Bài (4,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 xy  x  y  1  x  y    x y y   x   x y  x Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC hai đường cao BE, CF cắt H Các đường tròn  O1  ,  O2  qua A theo thứ tự tiếp xúc với BC B, C Gọi D giao điểm thứ hai  O1   O2  a) Chứng minh đường thẳng AD qua trung điểm cạnh BC; b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC , HD đồng quy HẾT Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM Bài a Nội dung t2  t 1 x , với t   t  t 1 y 2 t  t 1 Xét hàm số f (t )  với t  t  t 1  f (  t)  2t   Tính f (t)  ,   t  (t  t  1) t   Bảng biến thiên Suy giá trị nhỏ P , khơng có giá trị lớn Ta có P  Điểm 6,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 b Tập xác định D   y '  x  x  3m u cầu tốn  Phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn y  x1  y  x2   Phương trình y  có hai nghiệm phân biệt   m  (*) Khi đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2   x 1 Ta có y     y   m  1 x  3 Do y1  y  x1   2  m  1 x1 y2  y  x2   2  m  1 x2 y  x1  y  x2     m  1 x1.x2   x1.x2   m   m  Kết hợp với điều kiện (*) ta có m  thỏa mãn toán a n   , ta có un 1  2un   un 1    un   * 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 5,0 0,5 Đặt wn  u n  5, n   * Khi wn 1  wn , n  * Do  wn  cấp số nhân có w1  u1   7, công bội q  0,5 0,5 Suy wn  w1.q n 1  7.2 n 1 , n  * 0,5 Vậy un  7.2 n 1  5, n  * 0,5 Chứng minh  0, n  * 2vn 2vn   , n  * (1) Khi 1   2108vn 2018.vn 2018 0,5 b 1,0 Mặt khác, n  * , ta có 2vn  2018vn3 1  2018vn  vn1      0  2018vn2  2018vn2  2018vn2 1,0 2 xy  x  y  1  x  y  2 2  x y y   x   x y  x Điều kiện xy  (1) 4,0 (2) 0,25 Ta có x   x  0, x   nên y  không thỏa mãn (2) Do y  Suy x  khơng thỏa mãn (1) Nếu x, y âm (1) vơ lí Do x, y dương Suy (2)  x   x  y y   x 1     y y   y (3) x x x    t 0,5 0,25   0, t  t2 1 Suy f (t ) đồng biến  0;   0,5 1 Do (3)  f    f  y    y  xy  x x Thay xy  vào phương trình (1) ta 0,5 2  x  y  1  x  y   x  1   y  1   x  y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1;1 a 0,25  Xét hàm số f (t )  t t   t khoảng  0;   Ta có f (t )  t   0,5 Gọi I giao điểm AD BC Ta có IB  IA.ID  IC Suy IB  IC Do I trung điểm BC Hay đường thẳng AD qua trung điểm I BC 0,5 0,5 0,25 5,0 0,25 0,75 0,25 0,25 b A E F H D I B C K   BDC  Suy tứ giác BHDC nội tiếp Chứng minh BHC Chứng minh AFHD nội tiếp Chứng minh EF , BC , HD đồng qui 1,0 1,0 1,5 ...  t  (t  t  1) t   Bảng biến thi? ?n Suy giá trị nhỏ P , giá trị lớn Ta có P  Điểm 6,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 b Tập xác định D   y '  x  x  3m Yêu cầu toán  Phương trình y '  có hai nghiệm... 1 Suy f (t ) đồng biến  0;   0,5 1 Do (3)  f    f  y    y  xy  x x Thay xy  vào phương trình (1) ta 0,5 2  x  y  1  x  y   x  1   y  1   x  y  Vậy hệ phương