Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 12 năm học 2018-2019 – Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ (Đề chính thức)

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 12 năm học 2018-2019 – Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ (Đề chính thức) sẽ tích lũy kinh nghiệm làm bài và biết cách phân bổ thời gian hợp lý trong từng câu hỏi, vượt qua kì thi với kết quả như mong đợi.

SỞ GD&ĐT CẦN THƠ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT ĐỀ CHÍNH THỨC CẤP THÀNH PHỐ LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 Ngày thi : 27/02/2019 MƠN: TỐN Đề thi có 02 trang Thời gian: 180 phút Họ tên: SBD: Câu 1: (3 điểm) Cho hàm số y  x  8mx  16m  m   m  R  có đồi thị  C  điểm H  0;1 Tìm tất giá trị m để đồ thị  C  có ba cực trị A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Câu 2: (2 điểm) Một xe khách chất lượng cao từ Cần thơ đến Hà Nội chở nhiều 50 hành khách chuyến Theo tính tốn nhà xe, xe chở k khách giá tiềm mà Câu 3: 3k   khách phải trả tuyến đường 180   trăm đồng Tính số hành khách   chuyến xe cho tổng số tiền thu từ hành khách nhiều Tính số tiền (4 điểm) Giải phương trình sau: a) log x  x   log 1  x   x   x  x  b) cos x  cos x  6sin x.cos x   sin x  cos x   sin x  sin x Câu 4: 2 ( điểm) a) Một xe ô tô chạy với vận tốc v0 (m/s) người lái xe đạp phanh Kể từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   4t  v0 (m/s), t (tính giây) khoảng thời gian kể từ lúc người lái xe đạp phanh Tính vận tốc v0 , biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn tơ cịn chạy tiếp quãng đường dài mét b) Một lớp học trường đại học có 60 sinh viên, có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp học Tính xác suất để sinh viên chọn không học ngoại ngữ Biết trường dạy hai ngoại ngữ tiếng Anh tiếng Pháp Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BAD  120 Biết đường thẳng AA, AB, AC tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 60 Gọi M , N trung điểm BB, CC a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D b) Tính khoảng cách AD mặt phẳng Câu 6:  DMN  (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn tâm I Gọi E , M trung điểm cạnh AB BC ; điểm F D tương ứng hình chiếu vng góc A B đường thẳng BC AI a) Chứng minh ME đường trung trực đoạn thẳng DF 9 8 b) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết M  2; 1 , D  ;   đường thẳng 5 5 AC có phương trình x  y   Câu 7: Câu 8: (2 điểm) Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho loại sản phẩm Theo yêu cầu lãnh đạo nhà máy, hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vng có dạng hình trụ Biết hộp sữa tích 1dm Hãy giuýp lãnh đạo nhà máy thiết kế hộp sữa cho vật liệu sử dụng làm bao bì (1 điểm) Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú Thuận chung phòng ký túc xá trường trung học phô thông Một hôm, người quản lý ký túc xá đến phòng năm học sinh để xác định lại hộ nhà học sinh Vì học sinh giỏi tốn nên học sinh khơng trả lời trực tiệp mà nói với người quản lý ký túc xá sau: - Tính: “Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ” - Nghĩa: “Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Tuấn Ơ Mơn” - Tuấn: “Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt” - Phú: “Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều” - Thuận: “Nhà em Ninh Kiều cịn nhà bạn Tính Thốt Nốt Em giúp người quản lý ký túc xá xác định hộ nhà học sinh Biết câu trả lời học sinh có phân phần sai đồng thời địa phương địa hộ khâu học sinh - HẾT - SỞ GD&ĐT CẦN THƠ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ CHÍNH THỨC CẤP THÀNH PHỐ LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 Câu 1: (3 điểm) Cho hàm số y  x  8mx  16m  m   m  R  có đồi thị  C  điểm H  0;1 Tìm tất giá trị m để đồ thị  C  có ba cực trị A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Lời giải TXĐ: D  ; y  x3 16mx  4x  x  4m  x  y     x  4m  C  có cực trị m  (1) Không tính tổng quát, giả sử điểm cực trị hàm số A  0;16m2  m  1 ,     B m ;1  m , C 2 m ;1  m       AH  0; m  16m2  ; BC 4 m ;0 ; CH m ; m ; AB m ;  16m   0 4 m   m  16m    AH BC    Do H trực tâm tam giác ABC nên  2 m m  m  16m   CH AB  m   lo¹i   (Do kết hợp với điều kiện (1))  4m 16m    m   nhËn   Vậy m  giá trị cần tìm (2 điểm) Một xe khách chất lượng cao từ Cần thơ đến Hà Nội chở nhiều 50 hành khách chuyến Theo tính tốn nhà xe, xe chở k khách giá tiềm mà Câu 2: 3k   khách phải trả tuyến đường 180   trăm đồng Tính số hành khách   chuyến xe cho tổng số tiền thu từ hành khách nhiều Tính số tiền Lời giải   Số tiền thu chuyến xe : T  k 180  k  ;  k  50     Gọi T k  k  180  k      2   Bài tốn trở thành : Tìm k để T k  k  180  k  đạt GTLN, với  k  50        Ta có : T  k  180  k   180  k         k  120  0; 50 T' k     k  40    Bảng biến thiên: Vậy: Số tiền thu nhiều xe chở 40 hành khách số tiền thu 576000 trăm đồng ( 57.600.000 đồng) Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a) log x  x   log 1  x   x   x  x  b) cos x  cos x  6sin x.cos x   sin x  cos x   sin x  sin x 2 Lời giải a) Điều kiện: x  log x  x   log 1  x   x   x  x  Ta có:  log3 x  x   log3 1  x   x   x  x   log3 x  x   x  x   log3 1  x    x Xét hàm số f  t   log3 t  t , t  Ta thấy f '  t   đồng biến  t  Do đó: f  *   t  Suy hàm số f  t  t ln  x  x   f 1  x   x  x    x nên phương trình * tương đương  1  x  x  với phương trình: x  x    x    x  2    x  x   1  x   x2  x   Vậy phương trình cho có nghiệm x  b) Ta có: cos2 x  cos x  6sin x cos x  sin x  cos x   sin x  sin x  cos x  cos x  3sin x   sin x  sin x  sin x   cos x  2sin x   sin x  sin x  cos x  sin x 2    sin x  sin   x  3  Câu 4:    2    x  k 2 x x  k      x       x   k 2  x  2  k 2     3   2 2 ;x  k 2 với  k   Vậy phương trình cho có nghiệm: x   k 3 ( điểm) a) Một xe ô tô chạy với vận tốc v0 (m/s) người lái xe đạp phanh Kể từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   4t  v0 (m/s), t (tính giây) khoảng thời gian kể từ lúc người lái xe đạp phanh Tính vận tốc v0 , biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn ô tơ cịn chạy tiếp qng đường dài mét b) Một lớp học trường đại học có 60 sinh viên, có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp học Tính xác suất để sinh viên chọn không học ngoại ngữ Biết trường dạy hai ngoại ngữ tiếng Anh tiếng Pháp Lời giải v0 ô tô dừng v0 v0 v02 4 hẳn Khi tơ quảng đường s    4t  v0  dt   2t  v0t    m  0 a) Với vận tốc chuyển động chậm dần v  t   4t  v0 , sau thời gian Theo yêu cầu tốn, tơ chạy thêm qng đường  m  , ta có phương trình: v0  v02 8  v0  8 Vì ban đầu vận chuyển động có vận tốc, sau hãm phanh, ta chọn v0   m/s  b) Cách 1: Sử dụng biểu đồ ven hình vẽ bên Như lớp học đại học cho có 10 học sinh khơng học ngoại ngữ Ta xét phép thử: Chọn học sinh số 60 học sinh lớp học Số khả xảy phép thử n     C602 Xét biến cố A : Chọn học sinh không học ngoại ngữ Như điều kiện thuận lợi biến cố A chọn học sinh 10 học sinh không học ngoại ngữ Do n  A  C102 Suy xác suất để chọn học sinh không học ngoại ngữ P  A  n  A C102   n    C60 118 Cách 2: Gọi A, P, K tập hợp sinh viên học tiếng Anh, học tiếng Pháp khơng học ngoại ngữ Khi n  A  P  K   60 n  A  40 , n  P   30 , n  A  P   20 Ta có n  A  P  K   n  A  n  B   n  K   n  A  P   n  A  K   n  P  K   n  A  P  K  Nên 60  40  30  n  K   20     n  K   10 Gọi X biến cố “ sinh viên chọn không học ngoại ngữ” 2 Ta có n     C60 , n  X   C10 Do P  X   Câu 5: n  X  C10   n    C60 118 (4,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BAD  120 Biết đường thẳng AA, AB, AC tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 60 Gọi M , N trung điểm BB, CC a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D b) Tính khoảng cách AD mặt phẳng  DMN  Lời giải A' D' C' B' M B A N H C E a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' F D Gọi H hình chiếu A'  ABC  , đường thẳng A ' A, A ' B, A ' C hợp với mặt phẳng  ABCD  góc 600 nên H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Do đáy ABCD hình thoi BAD  120 nên ABC tam giác đều, suy điểm H trực tâm, trọng a a  tâm ABC  AH  3   AH   ABCD  Do    AA   ABCD   A  góc A ' A với mặt phẳng  ABCD  góc AAH  AAH  60 A ' HA vuông H  A ' H  HA.tan 600  a 3a Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' là: V  S ABCD A ' H  a2 a3 a  b) Tính khoảng cách đường thẳng AD mặt phẳng  D ' MN  Cách 1: Gọi E  A ' M  AB, F  D ' N  DC  EF / / BC / / AD B,C trung điểm đoạn AE, DF Ta có d  AD,  D ' MN    d  A,  A 'E F    d  H ,  A 'E F   Vì AH  B C nên AH  EF hay HF  EF  d  H ,  A 'EF   chiều cao h tam giác A ' HF , 2a , A' F  A ' H  a, HF  2.HA  Xét A ' HF vuông H  h   2a  a 21 A ' H  HF  a       2 HA '.HF 2a  A' F Vậy d  AD,  D ' MN    d  A,  A' EF    3 2a 3a d  H,  A' EF     2 7 Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho I  O  0;0;0  , B   ;0;0  , C  ; 0;  ,   2  a  a   a   a  H  0; ;0  , A  0; ;0  , A  0; ; a  2        a a  a a  Do AA  BB  CC   B   ;  ; a  , C   ;  ; a  3   2   a  BC  AD  D  a; ; a     a  3a a a  a a MN   a;0;0   a 1;0;0   ai, MD   ; ;  9; 3;3  m   2 6    Véc tơ pháp tuyến Mặt phẳng  DMN     n  i; m   0; 3;  DMN  có phương trình y  3z  3a  Vì AD song song với MN nên AD song song với  DMN  Ta có d  AD,  DMN    d  A,  DMN    Câu 6: 3a (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn tâm I Gọi E , M trung điểm cạnh AB BC ; điểm F D tương ứng hình chiếu vng góc A B đường thẳng BC AI a) Chứng minh ME đường trung trực đoạn thẳng DF 9 8 b) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết M  2; 1 , D  ;   đường thẳng 5 5 AC có phương trình x  y   Lời giải a) Ta có BFA  BDA  90 , suy tứ giác ABFD nội tiếp đường trịn tâm E , đường kính AB Mặt khác IEB  IDB  IMB  90 , suy ngũ giác BEIDM nội tiếp đường trịn đường kính BI Từ ta có DEM  DBM  DBF ( chắn cung DM ) Mà góc DBF  DEF ( số đo góc tâm nửa cung bị chắn) Suy DEM  DBM  DBF  Mà DE  FE  DEF , suy EM tia phân giác góc DEF AB cung nằm đường trịn tâm E , đường kính AB Suy ME đường trung trực cạnh FD b) Ta có ME AC  ME : x  y 1  Do D F đối xứng qua ME ta tìm điểm  13  F   ;   5 Suy phương trình đường thẳng BC : C  BC  AC   5;0   B   1; 2  x2 y 1   x  y   Suy điểm 13   1 5 9  8  Ta có phương trình AD  BD  AD :  x     y     x  y  11  5  5  Vậy A  AD  AC  1;4  Câu 7: (2 điểm) Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho loại sản phẩm Theo yêu cầu lãnh đạo nhà máy, hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vng có dạng hình trụ Biết hộp sữa tích 1dm Hãy giuýp lãnh đạo nhà máy thiết kế hộp sữa cho vật liệu sử dụng làm bao bì Lời giải - Nếu hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vng: Gọi độ dài cạnh đáy x  dm  , chiều cao h  dm   x, h   h h a R - b Khi thể tích hộp: V  x h   h  Suy diện tích tồn phần hộp x Stp  xh  x   x Vật liệu sử dụng làm bao bì Stp đạt giá trị nhỏ x 2 Mà  x    x  3.2  Vậy TH Stp đạt giá trị nhỏ 6dm2 x x x đáy hình vng có cạnh x :  x  x  1 dm  x Nếu hộp sữa có dạng hình trụ đáy đường trịn có bán kính R  dm  , chiều cao h  dm  ,  R, h   Khi ta tích hộp: V   R h   h  Suy diện tích tồn  R2 phần hộp Stp  2 Rh  2 R  1  2 R    2 R  3 2 Vậy TH R R R Stp đạt giá trị nhỏ 3 2 dm đáy hình trịn có bán kính 1  2 R  R   dm  R 2 - So sánh hai trường hợp lãnh đạo nhà máy nên thiết kế hộp sữa có dạng hình trụ với bán kính đáy R   dm  2 Câu 8: (1 điểm) Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú Thuận chung phòng ký túc xá trường trung học phô thông Một hơm, người quản lý ký túc xá đến phịng năm học sinh để xác định lại hộ nhà học sinh Vì học sinh giỏi tốn nên học sinh khơng trả lời trực tiệp mà nói với người quản lý ký túc xá sau: - Tính: “Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ” - Nghĩa: “Nhà em Cờ Đỏ cịn nhà bạn Tuấn Ơ Mơn” - Tuấn: “Nhà em Cờ Đỏ cịn nhà bạn Phú Thốt Nốt” - Phú: “Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều” - Thuận: “Nhà em Ninh Kiều nhà bạn Tính Thốt Nốt Em giúp người quản lý ký túc xá xác định hộ nhà học sinh Biết câu trả lời học sinh có phân phần sai đồng thời địa phương địa hộ khâu học sinh Lời giải - Tính: “ Nhà bạn Phú Thới Lai cịn nhà em Cờ Đỏ ” 1 R:  2  3 - Nghĩa: “ Nhà em Cờ Đỏ cịn nhà bạn Tuấn Ơ Môn ” - Tuấn : “ Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt ” - Phú: “ Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều” - Thuận: “ Nhà em Ninh Kiều cịn nhà bạn Tính Thốt Nốt ”  4  5 Nếu ý đầu  3 nhà Tuấn Cờ Đỏ Do hai ý   sai Vậy ý đầu  3 sai Do ý sau  3 hay nhà bạn Phú Thốt Nốt Do ý đầu 1 sai ý sau  5 sai hay ý sau 1 ý đầu  5 Suy nhà bạn Tính Cờ Đỏ nhà bạn Thuận Ninh Kiều Vì nhà bạn Tính Cờ Đỏ nên ý đầu   sai hay ý sau   Suy nhà bạn Tuấn Ơ Mơn Cịn lại nhà bạn Nghĩa Thới Lai Kết luận: nhà bạn Phú Thốt Nốt; nhà bạn Tính Cờ Đỏ nhà bạn Thuận Ninh Kiều; nhà bạn Tuấn Ô Môn; nhà bạn Nghĩa Thới Lai  ... nhà học sinh Biết câu trả lời học sinh có phân phần sai đồng thời địa phương địa hộ khâu học sinh - HẾT - SỞ GD&ĐT CẦN THƠ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ CHÍNH THỨC CẤP THÀNH PHỐ LỚP... Một lớp học trường đại học có 60 sinh viên, có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp học Tính xác suất để sinh. .. phanh, ta chọn v0   m/s  b) Cách 1: Sử dụng biểu đồ ven hình vẽ bên Như lớp học đại học cho có 10 học sinh khơng học ngoại ngữ Ta xét phép thử: Chọn học sinh số 60 học sinh lớp học Số khả