Bai giang GT1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC TS BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng GIẢI TÍCH I (lưu hành nội bộ) HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ - TÍCH PHÂN - HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập Lời giải Hà Nội- 2019 (bản cập nhật Ngày 13 tháng năm 2019) Tập Bài giảng q trình hồn thiện chứa lỗi đánh máy, lỗi kí hiệu chỗ sai chưa kiểm tra hết Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến để tập Bài giảng hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng gửi địa “dieu.buixuan@hust.edu.vn” Warning: This lecture notes have not been reviewed and may contain errors or typos Use at your own risk! Hà Nội, Ngày 13 tháng năm 2019 MỤC Mục lục LỤC Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) 5 Sơ lược yếu tố Lôgic; tập số: N, Z, Q, R Trị tuyệt đối tính chất Hàm số 3.1 Định nghĩa hàm số 3.2 Hàm số đơn điệu 3.3 Hàm số bị chặn 3.4 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 3.5 Hàm số tuần hoàn 3.6 Hàm hợp 3.7 Hàm ngược 3.8 Hàm số sơ cấp 3.9 Bài tập Dãy số 4.1 Dãy số giới hạn dãy số 4.2 Các tiêu chuẩn tồn giới hạn 4.3 Bài tập Giới hạn hàm số 5.1 Định nghĩa 5.2 Các phép toán giới hạn 5.3 Giới hạn hàm hợp 5.4 Giới hạn vô 5.5 Các tiêu chuẩn tồn giới hạn 5.6 Mối liên hệ giới hạn dãy số giới hạn hàm số 5.7 Bài tập Vô lớn, vô bé 5 6 6 7 8 13 19 19 20 22 27 27 27 28 28 28 29 29 30 MỤC LỤC 10 6.1 Vô bé (VCB) 30 6.2 Vô lớn (VCL) 32 6.3 Bài tập 33 Hàm số liên tục 37 7.1 Định nghĩa 37 7.2 Các phép toán số học hàm số liên tục 37 7.3 Sự liên tục hàm ngược 38 7.4 Sự liên tục hàm hợp 38 7.5 Các định lý hàm liên tục 38 7.6 Điểm gián đoạn phân loại điểm gián đoạn hàm số 39 7.7 Bài tập 40 Đạo hàm vi phân 42 8.1 Định nghĩa 42 8.2 Các phép toán đạo hàm 43 8.3 Đạo hàm hàm hợp 43 8.4 Đạo hàm hàm ngược 44 8.5 Đạo hàm hàm số sơ cấp 44 8.6 Vi phân hàm số 44 8.7 Đạo hàm cấp cao 47 8.8 Vi phân cấp cao 50 8.9 Bài tập 50 8.10 Đọc thêm: Về khái niệm vi phân 54 Các định lý hàm khả vi ứng dụng 56 9.1 Các định lý hàm khả vi 56 9.2 Các công thức khai triển Taylor, Maclaurin 61 9.3 Quy tắc L’Hospital 70 9.4 Về số dạng vô định 71 9.5 Thay tương đương có hiệu hai VCB? 73 9.6 Hiệu hai VCB tương đương 75 9.7 Ba phương pháp (mới) để tính giới hạn 76 9.8 Về VCL tiêu biểu 77 9.9 Bài tập ôn tập 78 Các lược đồ khảo sát hàm số 83 10.1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) 83 10.2 Khảo sát vẽ đường cong cho dạng tham số 85 10.3 Khảo sát vẽ đường cong hệ toạ độ cực 86 10.4 Bài tập 89 MỤC LỤC Chương Phép tính tích phân biến số 93 Tích phân bất định 1.1 Nguyên hàm hàm số 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 1.4 Tích phân hàm lượng giác 1.5 Tích phân biểu thức vô tỷ Tích phân xác định 2.1 Định nghĩa tích phân xác định 2.2 Các tiêu chuẩn khả tích 2.3 Các tính chất tích phân xác định 2.4 Tích phân với cận thay đổi (hàm tích phân) 2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 2.6 Hệ thống tập Tích phân suy rộng 3.1 Tích phân suy rộng với cận vơ hạn 3.2 Tích phân suy rộng hàm số không bị chặn 3.3 Các tiêu chuẩn hội tụ 3.4 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối bán hội tụ 3.5 Bài tập Các ứng dụng tích phân xác định 4.1 Tính diện tích hình phằng 4.2 Tính độ dài đường cong phẳng 4.3 Tính thể tích vật thể 4.4 Tính diện tích mặt trịn xoay Chương Hàm số nhiều biến số Giới hạn hàm số nhiều biến số 1.1 Giới hạn hàm số nhiều biến số 1.2 Tính liên tục hàm số nhiều biến số 1.3 Bài tập Đạo hàm vi phân 2.1 Đạo hàm riêng 2.2 Vi phân toàn phần 2.3 Đạo hàm hàm số hợp 2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient 2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm hàm số ẩn 93 93 95 100 102 104 109 109 109 110 111 112 113 124 124 126 127 129 130 136 136 138 139 141 145 145 145 146 146 148 148 148 149 150 150 152 MỤC LỤC 2.7 Bài tập Cực trị hàm số nhiều biến số 3.1 Cực trị tự 3.2 Cực trị có điều kiện 3.3 Giá trị lớn - Giá trị nhỏ 152 159 159 161 163 CHƯƠNG HÀM §1 SƠ SỐ MỘT BIẾN SỐ LƯỢC VỀ CÁC YẾU TỐ (13LT+13BT) LÔGIC; CÁC TẬP SỐ : N, Z, Q, R Phần Lôgic không dạy trực tiếp (phần Đại số dạy) mà nhắc lại phép suy luận thông qua giảng nội dung khác thấy cần thiết Giới thiệu tập số; cần nói rõ tập Q rộng Z chưa lấp đầy trục số tập R lấp đầy trục số chứa tất giới hạn dãy số hội tụ, ta có bao hàm thức N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R §2 TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT Nhắc lại định nghĩa nêu tính chất sau • | x | ≥ 0, | x | = ⇐⇒ x = 0, | x + y| ≤ | x | + |y|; • | x − y| ≥ || x | − |y|| , | x | ≥ A ⇐⇒ x ≥ A x ≤ − A • | x | ≤ B ⇐⇒ − B ≤ x ≤ B Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) §3 HÀM SỐ 3.1 Định nghĩa hàm số Định nghĩa 1.1 Một hàm số từ tập X vào tập Y quy tắc cho tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử y ∈ Y Một hàm số cho dạng biểu thức giải tích y = f ( x ), chẳng hạn hàm số y = x2 Khi đó, cần phải xác định rõ miền xác định (hay tập xác định), tập hợp tất phần tử x ∈ X cho biểu thức f ( x ) xác định, hàm số Tập giá trị hàm số: tập tất phần tử y ∈ Y cho tồn x ∈ X, f ( x ) = y Ví dụ 3.1 (Giữa kì, K61) Tìm tập xác định tập giá trị hàm số a) y = arcsin(cos 2x ) d) y = arccos(2 sin x ) b) y = arcsin(2 cos x ) e) y = sin(π cos 3x ) c) y = arccos(sin 2x ) f) y = cos(π sin 3x ) 3.2 Hàm số đơn điệu • Một hàm số f ( x ) gọi đơn điệu tăng khoảng ( a, b) nếu: ∀ x1 , x2 ∈ ( a, b), x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) • Một hàm số f ( x ) gọi đơn điệu giảm khoảng ( a, b) ∀ x1 , x2 ∈ ( a, b), x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Chú ý 1.1 Trong Bài giảng quan tâm đến tính đơn điệu hàm số khoảng mà hàm số xác định Chẳng hạn như, hàm số f ( x ) = 1x có f ′ ( x ) = − x12 < ∀ x ∈ TXĐ = R \ {0} nói f ( x ) đơn điệu giảm R \ {0} dẫn đến nghịch lý −1 < −1 = f (−1) < f (1) = Thay đó, ta nói hàm số f ( x ) đơn điệu giảm khoảng (−∞, 0) (0, +∞) 3.3 Hàm số bị chặn • Một hàm số f ( x ) gọi bị chặn tồn số M ∈ R cho f ( x ) ≤ M với x ∈ TXĐ Hàm số • Một hàm số f ( x ) gọi bị chặn tồn số m ∈ R cho f ( x ) ≥ M với x ∈ TXĐ • Một hàm số f ( x ) gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn 3.4 Hàm số chẵn, hàm số lẻ   x ∈ TXĐ ⇒ − x ∈ TXĐ • Một hàm số f ( x ) gọi chẵn  f (− x ) = f ( x ) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng   x ∈ TXĐ ⇒ − x ∈ TXĐ • Một hàm số f ( x ) gọi lẻ  f (− x ) = − f ( x ) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Ví dụ 3.2 Chứng minh hàm số f ( x ) xác định khoảng đối xứng (− a, a) biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn hàm số lẻ [Gợi ý] Với f ( x ) ta ln có f (x) = 1 [ f ( x ) + f (− x )] + [ f ( x ) − f (− x )] 2 g( x ) h( x ) g( x ) hàm số chẵn, h( x ) hàm số lẻ Các bạn độc giả khuyến khích tự chứng minh tính phân tích 3.5 Hàm số tuần hoàn Định nghĩa 1.2 Một hàm số f ( x ) gọi tuần hoàn tồn số thực T > cho f ( x ) = f ( x + T ) ∀ x ∈ TXĐ Ví dụ hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x học phổ thơng hàm số tuần hồn Trong phạm vi Bài giảng này, quan tâm chủ yếu xem có số T > thỏa mãn f ( x + T ) = f ( x ) mà không sâu vào việc tìm chu kỳ (số T > bé nhất) Các câu hỏi sau phát biểu đơn giản (và tưởng chừng dễ trả lời) câu trả lời thú vị: Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) • Tổng (hiệu) hai hàm số tuần hồn có tuần hồn khơng? • Tích hai hàm số tuần hồn có tuần hồn khơng? • Thương hai hàm số tuần hồn có tuần hồn khơng? • Đạo hàm hàm số tuần hồn (nếu có) có tuần hồn khơng? • Nếu hàm số F ( x ) có đạo hàm R F ′ ( x ) hàm số tuần hoàn F ( x ) có tuần hồn khơng? Nói cách khác, f ( x ) hàm số tuần hồn F ( x ) = có tuần hồn khơng? x f (t)dt 3.6 Hàm hợp Cho hai hàm số f , g Hàm hợp f g, kí hiệu f ◦ g, hàm số định nghĩa ( f ◦ g)( x ) = f [ g( x )] 3.7 Hàm ngược Định nghĩa 1.3 Một hàm số f : X → Y gọi ánh xạ − (hay gọi đơn ánh) nếu: x1 = x2 ⇒ f ( x1 ) = f ( x2 ) Định nghĩa 1.4 Cho f đơn ánh với miền xác định A miền giá trị B Khi hàm ngược f −1 , có miền xác định B miền giá trị A, định nghĩa f −1 (y) = x ⇔ f ( x ) = y Miền xác định f = Miền giá trị f −1 Miền giá trị f = Miền xác định f −1 Chú ý 1.2 Đồ thị hàm ngược đối xứng với đồ thị hàm y = f ( x ) qua đường phân giác góc phần tư thứ Để tìm hàm số ngược hàm số y = f ( x ) ta làm sau: • Viết y = f ( x ), • Từ phương trình giải x theo y, giả sử x = g(y), • Đổi vai trò x y để hàm số ngược f −1 ( x ) = g( x ) 150 Chương Hàm số nhiều biến số 2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao • Cho hàm số hai biến số z = f ( x, y) Các đạo hàm riêng f x′ , f y′ đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp tồn gọi đạo hàm riêng cấp hai Có bốn đạo hàm riêng cấp hai kí hiệu sau:   ∂2 f ∂f  ′ )′ = f ” = ∂  = ( f  x x xx  ∂x ∂x ∂x2     ∂2 f ∂f  ” = ∂  = ( f x′ )′y = f xy ∂y ∂x ∂y∂x ∂2 f ∂ f ∂  ′ )′ = f ” =   = ( f y x yx   ∂x ∂y ∂x∂y     ∂ ∂f ∂2 f  ′ ′ ”  = ( f y )y = f yy = ∂y ∂y ∂y Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp hai, tồn tại, gọi đạo hàm riêng cấp ba, Định lý 3.52 (Schwarz) Nếu lân cận U điểm M0 ( x0 , y0 ) hàm ” , f ” đạo hàm riêng liên tục số z = f ( x, y) có đạo hàm riêng f xy yx ” = f ” M M0 f xy yx • Xét hàm số z = f ( x, y), vi phân toàn phần dz = f x′ dx + f y′ dy, tồn tại, hàm số với hai biến số x, y Vi phân toàn phần dz, tồn tại, gọi vi phân tồn phần cấp hai z kí hiệu d2 z Ta có cơng thức ” ” ” d2 z = f xx dx2 + f xy dxdy + f yy dy2 Ví dụ 2.2 (Cuối kì, K62, GT2,  Nhóm ngành 2) Cho hàm số z = z( x, y) có đạo hàm  x = r cos ϕ, riêng cấp liên tục, y = r sin ϕ Chứng minh ∂z ∂x + ∂z ∂y = ∂z ∂r + r2 ∂z ∂ϕ 2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient Định nghĩa 3.34 Cho f ( x, y, z) hàm số xác định miền D ∈ R3 l = (l1 , l2 , l3 ) véctơ đơn vị R3 Giới hạn, có, lim t →0 f ( M0 + tl ) − f ( M ) t 150 (3.2) Đạo hàm vi phân 151 gọi đạo hàm hàm số f theo hướng l M0 kí hiệu ∂f ∂l ( M0 ) • Nếu l khơng phải véc tơ đơn vị giới hạn cơng thức 3.2 thay u( x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ) − u( x0 , y0 , z0 ) lim , t →0 t − → cos α, cos β, cosγ cosin phương l • Nếu l trùng với véctơ đơn vị i trục Ox đạo hàm theo hướng l đạo hàm riêng theo biến x hàm f ∂f ∂f ( M0 ) = ( M0 ) ∂x ∂l • Vậy đạo hàm riêng theo biến x đạo hàm theo hướng trục Ox, ∂f ∂f , đạo hàm f theo hướng trục Oy Oz Định lý sau cho vậy, ∂y ∂z ta mối liên hệ đạo hàm theo hướng đạo hàm riêng: Định lý 3.53 Nếu hàm số f ( x, y, z) khả vi điểm M0 ( x0 , y0 , z0 ) M0 có đạo hàm theo hướng l ta có ∂f ∂l ( M0 ) = ∂f ∂f ∂f ( M0 ) cos α + ( M0 ) cos β + ( M0 ) cos γ ∂x ∂y ∂z (cos α, cos β, cos γ) cosin phương l Cho f ( x, y, z) hàm số có đạo hàm riêng M0 ( x0 , y0 , z0 ) Người ta gọi gradient f M0 véctơ ∂f ∂f ∂f ( M0 ), ( M0 ), ( M0 ) ∂x ∂y ∂z −−→ kí hiệu grad f ( M0 ) − → Định lý 3.54 Nếu l véctơ đơn vị hàm số f ( x, y, z) khả vi M0 ta có ∂f ∂l Chú ý: ∂f ∂l −−→ ( M0 ) = grad f l ( M0 ) thể tốc độ biến thiên hàm số f M0 theo hướng l Từ công −−→ −−→ −−→ ∂f ( M0 ) = grad f l = grad f l cos grad f , l ta có ( M0 ) đạt giá trị lớn ∂l ∂l −−−→ −−→ grad f l l có phương với grad f Cụ thể thức ∂f • Theo hướng l, hàm số f tăng nhanh M0 l có phương, hướng −−−→ với grad f • Theo hướng l, hàm số f giảm nhanh M0 l có phương, ngược hướng −−−→ với grad f 151 152 Chương Hàm số nhiều biến số 2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm hàm số ẩn • Cho phương trình F ( x, y) = F : U → R hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập mở U ⊂ R2 Fy′ ( x0 , y0 ) = Khi phương trình F ( x, y) = xác định hàm số ẩn y = y( x ) lân cận x0 có đạo hàm y′ ( x ) = − Fx′ Fy′ • Tương tự, cho phương trình F ( x, y, z) = F : U → R hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập mở U ⊂ R3 Fz′ ( x0 , y0 , z0 ) = Khi phương trình F ( x, y, z) = xác định hàm số ẩn z = z( x, y) lân cận ( x0 , y0 ) có đạo hàm Fy′ Fx′ ′ ′ z x = − ′ , zy = − ′ Fz Fz 2.7 Bài tập Bài tập 3.4 Chứng minh hàm số xy 2 f ( x, y) = x + y    ( x, y) = (0, 0) ( x, y) = (0, 0) có đạo hàm riêng (0, 0) không liên tục (0, 0) khơng khả vi (0, 0) Bài tập 3.5 Tính đạo hàm riêng hàm số sau a) z = ln x + c) z = x y x + y2 z x − y2 x + y2 d) z = arctan b) z = y2 sin yx Chứng minh e) u = x y , ( x, y, z > 0) f) u = e x2 +y2 +z2 , ( x, y, z > 0) a) z′x = 1+ √ x+ x x + y2 x2 + y2 = x2 + y2 ; z′y = √ y x + y2 x+ b) x x x z′x = y cos ; z′y = 2y sin − x cos y y y 152 x + y2 Đạo hàm vi phân 153 c) z′x = y3 x y −1 ; z′y = 3y2 ln x.x y d) z′x = z′y = x − y2 x + y2 ∂ + ∂x x − y2 x + y2 = ∂ + ∂y x − y2 x + y2 = x − y2 x + y2 y2 x − y4 x −y x − y4 e) u′x = yz x y z −1 z z ; u′y = x y zyz−1 ln x; u′z = x y yz ln y ln x f) u′x = e x2 +y2 +z2 −2x ( x + y2 + z2 ) −2y ; u′y = e x2 +y2 +z2 ( x + y2 + z2 ) ; u′z = e x2 +y2 +z2 −2z ( x + y2 + z2 ) Bài tập 3.6 Khảo sát liên tục tồn tại, liên tục đạo hàm riêng hàm số f ( x, y) sau   x arctan y x = x a) f ( x, y) = 0 x =    x sin y − y sin x ( x, y) = (0, 0) x + y2 b) f ( x, y) =  0 ( x, y) = (0, 0) Chứng minh a) Dễ thấy hàm số liên tục với ( x, y) = (0, y) y ≤ π2 | x | nên lim x arctan yx = = f (0, y) Vậy f ( x, y) Xét x = 0, x arctan x x →0 R2 liên tục Với x = đạo hàm riêng tồn liên tục: z′x = arctan y x − 2x3 y 2x2 y2 ′ , z = x + y4 y x + y4 Xét x = 0,     0, y = f ( h, y) − f (0, y)    f x′ (0, y) = lim = arctan yh =  π h h →0 2,y =   f (0, y + k) − f (0, y)    f y′ (0, y) = lim = lim = k k →0 k →0 Vậy ta thấy f x′ ( x, y) liên tục R2 \ (0, 0) ; f y′ ( x, y) liên tục R2 153 154 Chương Hàm số nhiều biến số b) Hàm số liên tục R2 \ (0, 0), (0, 0) 0≤ xy x sin y − ysinx = 2 x +y x + y2 nên lim x →0 y →0 Vậy f ( x, y) liên tục R2 sin y sin x − y x ≤ sin y sin x − y x x sin y − ysinx =0 x + y2 Bài tập 3.7 Giả sử z = y f x2 − y2 , f hàm số khả vi Chứng minh hàm số z hệ thức sau thoả mãn ′ z z x + z′y = x y y Chứng minh Ta có z′x = y f x2 − y2 2x, z′y = f x2 − y2 + y f x2 − y2 (−2y) nên f x − y2 ′ ′ z z x + zy = = x y y y Bài tập 3.8 Tìm đạo hàm hàm số hợp sau a) z = eu −2v2 x + y2 , u = cos x, v = b) z = ln u2 + v2 , u = xy, v = yx c) z = arcsin ( x − y) , x = 3t, y = 4t3 Chứng minh a) Ta có u′x u′y nên   v′x = √ x = − sin x x + y2 ; ;  v′y = √ y =0 2 x +y  z′ = ecos x2 −2( x2 +y2 ) [− sin 2x − 4x ] x z′ = ecos x2 −2( x2 +y2 ) [−4y] y b) Ta có u′x = y ; u′y = x nên z′x = v′x = v′y = y −x y2 y4 − ′ , zy = x y ( y4 + 1) 154 Đạo hàm vi phân 155 c) Ta có xt′ = y′t = 12t2 nên z′t = − ( x − y )2 − 12t2 Bài tập 3.9 Tìm vi phân tồn phần hàm số a) z = sin x2 + y2 c) z = arctan x−y b) z = ln tan x d) u = x y x +y y Chứng minh 2z a) dz = cos x2 + y2 (2xdx + 2ydy) b) dz = sin 2y x xdy − ydx x2 c) dz = ( x − y) dx + ( x + y) dy ( x − y )2 + ( x + y )2 d) du = x y 2z y2 z dx + 2yz ln xdy + y2 ln xdz x Bài tập 3.10 Tính gần a) A = b) B = ln (1, 02)2 + (0, 05)2 Chứng minh a) Xét hàm f ( x, y) = f x′ = √ 1, 03 + √ 0, 98 − x2 + y2 , ∆x = 0, 02; ∆y = 0, 05; x = 1; y = Ta có 2/3 ( x + y2 ) 2x; f y′ = ( x + y2 ) 2/3 2y Khi f (1 + ∆x, + ∆y) ≈ f (1, 0) + f x′ (1, 0) ∆x + f y′ (1, 0) ∆y = + 0, 02 + 0.0, 05 = 1, 013 155 156 Chương Hàm số nhiều biến số b) Xét hàm f ( x, y) = ln √ x+ √ x+ √ Ta có f x′ = √ Khi y − ; x = 1; y = 1; ∆x = 0, 03; ∆y = 0, 02 y − 3x ; f y′ = √ x+ √ y − 3y 43 f (1 + ∆x, + ∆y) ≈ f (1, 1) + f x′ (1, 1) ∆x + f y′ (1, 1) ∆y 1 = + 0, 03 + (−0, 02) = 0, 005 Bài tập 3.11 Tìm đạo hàm hàm số ẩn xác định phương trình sau a) x3 y − y3 x = a4 ; tính y′ c) x + y + z = ez ; tính z′x , z′y b) arctan d) x3 + y3 + z3 − 3xyz = 0, tính z′x , z′y x +y a = ya ; tính y′ Chứng minh a) Xét hàm số ẩn F ( x, y) = x3 y − y3 x − a4 = 0, có Fx′ = 3x2 y − y3 ; Fy′ = x3 − 3y2 x Vậy − F′ 3x2 y − y3 y′ = ′ x = − Fy x − 3y2 x b) Xét hàm số ẩn F ( x, y) = arctan x +y a − y a có y′ =    Fx′ =   Fy′ = a ( x + y )2 1+ ( a x +y a ) a a2 +( x +y)2 = a a2 +( x +y)2 − 1a = a2 − a2 −( x +y)2 a( a2 +( x +y)2 ) nên c) Xét hàm số ẩn F ( x, y, z) = x + y + z − ez có Fx′ = 1; Fy′ = 1; Fz′ = − ez nên z′x = −1 −1 ; z′y = z 1−e − ez d) Xét hàm số ẩn F ( x, y) = x3 + y3 + z3 − 3xyz = có Fx′ = 3x2 − 3yz; Fy′ = 3y2 − 3xz; Fz′ = 3z2 − 3xy nên 3xz − 3y2 3yz − 3x2 ′ ; zx = z′x = 3z − 3xy 3z − 3xy +z ′ ′ Bài tập 3.12 Cho u = yx+ z , tính u x , uy biết z hàm số ẩn x, y xác định phương trình z.ez = x.e x + y.ey 156 Đạo hàm vi phân 157 Chứng minh Xét hàm số F ( x, y, z) = zez − xe x − yey = có   ′ x x    Fx = − (e + xe ) nên Fy′ = − (ey + yey )     F ′ = ez + zez z  e x + xe x e x + xe x  ′ ′ − x + z + ( )  z z e +ze ez +zez (1 + z x ) ( y + z ) − ( x + z ) ( z x )  ′   = u x = ( y + z )2 ( y + z )2 ey +yey ′ − (y + z) z′  x + z + x + z + z ( ) ( )  y y ez +zez − ( y + z )   ′  = uy = ( y + z )2 ( y + z )2 ey +yey ez +zez Bài tập 3.13 Tìm đạo hàm hàm số ẩn y( x ), z( x ) xác định hệ  x + y + z =0  x + y2 + z2 = Chứng minh Lấy đạo hàm hai vế phương trình hệ ta có  1 + y ′ + z ′ =0 x x 2x + 2yy′ + 2zz′ = x nên Bài tập 3.14 Phương trình z2 + x2 z′x + y1 z′y = 1z x x  z−x   y′x = y−z x−y  ′  zx = y−z = y2 − z2 , xác định hàm ẩn z = z ( x, y) Chứng minh Chứng minh Xét hàm số F ( x, y, z) = z2 + x −    x2 ′  zx =    2z + √  −y    Fx′ = − x22    −y ′ y2 − z2 có Fy = √y2 −z2      Fz′ = 2z + √ z y2 − z2 √2   y −z  ′  zy =   2z + √ 2z  y − z2 Từ suy x2 z′x + z′y y = 1z Bài tập 3.15 Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau 157 nên z y2 − z2 158 Chương Hàm số nhiều biến số a) z = ( x + y2 ) b) z = x2 ln x2 + y2 y a) Ta có Chứng minh  z′ = x x z′ = y x + y2 x2 y + y2 ⇒ b) Ta có    z′x = 2x ln ( x + y) +   z′y = c) z = arctan x x2 x+y     z′′xx =      z′′yy =       ′′  z xy =  ′   zy = x2 x+y 1+ y x 1+ −y −y = 2 x x + y2 x = 2x x + y2 y x x + y2 + y 2xy x + y2 = 2x x + y2 2y x + y2 xy = = 2x2 + y2 x + y2 + 2y2 x2 x + y2 x + y2  2x 2x ( x + y) − x2  ′′  z xx = ln ( x + y) + +   x+y  ( x + y )2    2x − x2 + ⇒ z′′xy = x + y ( x + y )2      x2   z′′yy = ( x + y )2 c) Ta có   ′   z x = x + y2 + x  2xy   z′′xx =    ( x + y2 )    − x2 + y2 + y.2y y2 − x = ⇒ z′′xy = 2  ( x + y2 ) ( x + y2 )    −2xy   ′′  zyy = 2 ( x + y2 ) Bài tập 3.16 Tính vi phân cấp hai hàm số sau a) z = xy2 − x2 y Chứng minh b) z = 2( x + y2 ) a) Ta có dz = y2 − 2xy dx + 2xy − x2 dy nên d2 z = −2y (dx )2 + (y − x ) dxdy+ (2y) (dy)2 b) Ta có dz = x 2( x + y2 ) d2 z = dx + y 2( x + y2 ) y2 − 3x2 ( x2 + y2 )3 dy nên (dx )2 − 4xy ( x2 158 + y2 ) dxdy + x2 − 3y2 ( x2 + y2 )3 (dy)2 Cực trị hàm số nhiều biến số §3 CỰC 159 TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 3.1 Cực trị tự Định nghĩa 3.35 Cho hàm số z = f ( x, y) xác định miền D M0 ( x0 , y0 ) ∈ D Ts nói hàm số f ( x, y) đạt cực trị M0 với điểm M lân cận M0 khác M0 , hiệu số f ( M ) − f ( M0 ) có dấu khơng đổi • Nếu f ( M ) − f ( M0 ) > lân cận M0 M0 gọi cực tiểu hàm số f M0 • Nếu f ( M ) − f ( M0 ) < lân cận M0 M0 gọi cực đại hàm số f M0 Trong phần sử dụng kí hiệu sau: p = f x′ ( M ), q = f y ( M ), r = f xx ”( M ), s = f xy ”( M ), t = f yy ”( M ) Định lý 3.55 Nếu hàm số f ( x, y) đạt cực trị M đạo hàm riêng p = f x′ ( M ), q = f y ( M ) tồn đạo hàm riêng không Định lý 3.56 Giả sử hàm số z = f ( x, y) có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục lân cận M0 ( x0 , y0 ) Giả sử M0 ta có p = q = 0, Nếu s2 − rt < f ( x, y) đạt cực trị M0 Đó cực tiểu r > 0, cực đại r < Nếu s2 − rt > f ( x, y) khơng đạt cực trị M0 Chú ý: Nếu s2 − rt = chưa kết luận điều điểm M0 , cực trị, khơng Trong trường hợp ta dùng định nghĩa để xét xem M0 có phải cực trị hay không cách xét hiệu f ( M ) − f ( M0 ), xác định dấu lân cận M0 cực trị ngược lại Ví dụ 3.1 (Cuối kì, K61 Viện ĐTQT) Tìm cực trị hàm số a) z = x2 − 2x + arctan(y2 ) b) z = y2 − 2y + arctan( x2 ) Bài tập 3.17 Tìm cực trị hàm số sau 159 160 Chương Hàm số nhiều biến số a) z = x2 + xy + y2 + x − y + c) z = 2x4 + y4 − x2 − 2y2 b) z = x + y − x.ey d) z = x2 + y2 − e−( x Chứng minh   p = z′ = 2x + y + = x a) Xét hệ phương trình q = z′ = x + 2y − = y + y2 ⇔ )   x = −1 y = Vậy ta có M (−1, 1) điểm tới hạn Ta có A = z′′xx ( M ) = 2; B = z′′xy ( M ) = 1; C = z′′yy ( M ) = nên B2 − AC = − = −3 < Vậy hàm số đạt cực trị M A > nên M điểm cực tiểu b) Xét hệ phương trình   p = − ey = q = − xey =  x = ⇔ y = Vậy hàm số có điểm tới hạn M (1, 0) Ta có A = z′′xx ( M ) = 0; B = z′′xy ( M ) = −1; C = z′′yy ( M) = −1 nên B2 − AC = > Hàm số cho khơng có cực trị c) Xét  hệ phương trình  z′ = 8x3 − 2x  x 4x2 − = x ⇔ z′ = 4y3 − 4y  y y2 − = y Vậy điểm tới hạn hàm số M1 (0, 0) ; M6 , −1 ;  x = ∨ x = ∨ x = − 2 ⇔  y = ∨ y = ∨ y = −1 M2 (0, 1) ; M3 (0, −1) ; M4 M7 − , ; M8 − , ; M9 ,0 ; − , −1 M5 ,1 Ta có z′′xx = 24x2 − 2; z′′xy = 0; z′′yy = 12y2 − • Tại M1 (0, 0), A = −2; B = 0; C = −4; B2 − AC = −8 < nên M1 điểm cực đại với z = • Tại M2 (0, 1) ; M3 (0, −1) ; A = −2; B = 0; C = 8; B2 − AC = 16 > nên M2 , M3 điểm cực đại với z = • Tại M4 2, ; M7 • Tại M5 2, ; M6 −1 ,0 ; A = 4; B = 0; C = −4; B2 − AC = 16 > nên M4 , M7 , −1 ; M8 − 12 , ; M9 − 21 , −1 ; A = 4; B = 0; C = 8; B2 − điểm cực đại với z = AC = −32 < nên M5 , M6 , M8 , M9 điểm cực tiểu với giá trị z = − 98    p = z′ = 2x + e−( x2 +y2 ) 2x = x = x d) Xét hệ phương trình ⇔ q = z′ = 2y + e−( x2 +y2 ) 2y = y = y 160 Cực trị hàm số nhiều biến số 161 Vậy M (0, 0) điểm tới hạn Xét z′′xx = + 2.e−( x +y ) − 4x2 e−( x 2 z′′ = −4xy.e−( x +y ) xy ′′ zyy = + 2.e−( x 2 + y2 + y2 ) ) − 4y2 e−( x2 +y2 ) Tại M (0, 0) có A = 4; B = 0; C = 4; B2 − AC = −16 < 0; A > nên M hàm số đạt cực tiểu 3.2 Cực trị có điều kiện Cho tập mở U ⊂ R2 hàm số f : U → R Xét tốn tìm cực trị hàm số f ( x, y) biến x, y thoả mãn phương trình ϕ( x, y) = Ta nói điểm ( x0 , y0 ) ∈ U thoả mãn điều kiện ϕ( x0 , y0 ) = hàm f có cực đại tương đối (tương ứng cực tiểu tương đối) tồn lân cận V ⊂ U cho f ( x, y) ≤ f ( x0 , y0 ) (tương ứng f ( x, y) ≥ f ( x0 , y0 )) với ( x, y) ∈ V thoả mãn điều kiện ϕ( x, y) = Điểm ( x0 , y0 ) gọi cực trị có điều kiện hàm số f ( x, y), điều kiện ϕ( x, y) = gọi điều kiện ràng buộc toán Nếu lân cận ( x0 , y0 ) từ hệ thức ϕ( x, y) = ta xác định hàm số y = y( x ) rõ ràng ( x0 , y( x0 )) cực trị địa phương hàm số biến số g( x ) = f ( x, y( x )) Như vậy, trường hợp tốn tìm cực trị ràng buộc đưa tốn tìm cực trị tự hàm số biến số Ta xét toán sau Bài tập 3.18 Tìm cực trị có điều kiện a) z = x + y với điều kiện x2 + y2 = a2 b) z = x.y với điều kiện x + y = Chứng minh a) Đặt x = a sin t ; y = a cos t , z= ta có x2 + y2 = a2 Khi sin t cos t 1 + = + x y a a Ta có √ cos t sin t π π 5π = − = sin −t = ⇔ t = ∨t = a a a 4 √ √ √ − Với t = π4 ta có x = 2a; y = 2a, hàm số đạt cực tiểu zCT = a √ √ √ 5π Với t = ta có x = − 2a; y = − 2a, hàm số đạt cực đại zCĐ = a2 z′t 161 162 Chương Hàm số nhiều biến số b) Từ điều kiện x + y = ta suy y = − x Vậy z = xy = x (1 − x ) Dễ dàng nhận thấy hàm số x = x (1 − x ) đạt cực đại x = 12 zCĐ = 41 Tuy nhiên khơng phải lúc tìm hàm số y = y( x ) từ điều kiện ϕ( x, y) = Do tốn tìm cực trị điều kiện khơng phải lúc đưa tốn tìm cực trị tự Trong trường hợp ta dùng phương pháp Lagrange trình bày Định lý 3.57 (Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị điều kiện) Giả sử U tập mở R2 , f : U → R ( x0 , y0 ) điểm cực trị hàm f với điều kiện ϕ( x, y) = Hơn giả thiết rằng: a Các hàm f ( x, y), ϕ( x, y) có đạo hàm riêng liên tục lân cận ( x0 , y0 ) b ∂ϕ ∂y ( x0 , y0 ) = Khi tồn số λ0 với x0 , y0 tạo thành nghiệm hệ phương trình sau (đối với λ, x, y)   ∂φ    ∂x =  ∂∂xf ( x, y) + λ ∂ϕ   ∂x ( x, y ) =   ∂φ ∂f ∂ϕ ⇔ ∂y ( x, y) + λ ∂y ( x, y) = (3.3) ∂y =        ∂φ =  ϕ( x, y) = ∂λ với φ( x, y, λ) = f ( x, y) + λϕ( x, y) gọi hàm Lagrange Định lý điều kiện cần cực trị có ràng buộc Giải hệ phương trình 3.3 ta thu điểm tới hạn Giả sử M ( x0 , y0 ) điểm tới hạn ứng với giá trị λ0 Ta có φ( x, y, λ0 ) − φ( x0 , y0 , λ0 ) = f ( x, y) + λ0 ϕ( x, y) − f ( x0 , y0 ) − λ0 ϕ( x0 , y0 ) = f ( x, y) − f ( x0 , y0 ) nên M điểm cực trị hàm số φ( x, y, λ0 ) M điểm cực trị hàm số f ( x, y) với điều kiện ϕ( x, y) = Muốn xét xem M có phải điểm cực trị hàm số φ( x, y, λ0 ) hay không ta quay lại sử dụng định lý 3.56 tính vi phân cấp hai d2 φ ( x0 , y0 , λ0 ) = ∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ ( x , y , λ ) dxdy + ( x , y , λ ) dx + ( x0 , y0 , λ0 )dy2 0 0 0 2 ∂x∂y ∂x ∂y dx dy liên hệ với hệ thức ∂ϕ ∂ϕ ( x0 , y0 )dx + ( x0 , y0 )dy = ∂x ∂y hay ∂ϕ ∂x dy = − ∂ϕ ( x0 , y0 ) ∂y ( x0 , y0 ) 162 dx Cực trị hàm số nhiều biến số 163 Thay biểu thức dy vào d2 φ( x0 , y0 , λ0 ) ta có d2 φ( x0 , y0 , λ0 ) = G ( x0 , y0 , λ0 )dx2 Từ suy • Nếu G ( x0 , y0 , λ0 ) > ( x0 , y0 ) điểm cực tiểu có điều kiện • Nếu G ( x0 , y0 , λ0 ) < ( x0 , y0 ) điểm cực đại có điều kiện Bài tập 3.19 Tìm cực trị có điều kiện hàm số z = x + y với điều kiện x2 + y2 = a2 Chứng minh Xét hàm số Lagrange φ( x, y, λ) = 1x + y1 + λ( x12 + y12 − a12 ) Từ hệ phương trình  ∂φ  = − x12 − 2λ   x3  ∂x ∂φ 2λ ∂y = − y2 − y3    ∂φ  = 12 + 12 − 12 = ∂λ x y a √ √ √ √ ta thu điểm tới hạn M1 ( a 2, a 2) ứng với λ1 = − √a , M2 (− a 2, − a 2) ứng với λ2 = √a Ta có d2 φ = Từ điều kiện d2 φ ta có x2 ∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ dxdy + dx + dy = ∂x∂y ∂x2 ∂y2 6λ + x3 x4 6λ + y3 y4 dx2 + dy2 + y12 − a12 = suy − x23 dx − y23 dy = nên dy = − yx3 dx, thay vào biểu thức √ √ • Tại M1 , d2 φ( M1 ) = − 4a23 (dx2 + dy2 ) = − 24a32 (dx2 ) < nên M1 điểm cực đại có điều kiện • Tại M2 , d2 φ( M2 ) = kiện √ (dx2 4a3 + dy2 ) = √ 2 (dx2 ) 4a3 > nên M2 điểm cực tiểu có điều 3.3 Giá trị lớn - Giá trị nhỏ Giả sử f : A → R hàm số liên tục tập hợp đóng A R2 Khi đó, f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ A Để tìm giá trị ta tìm giá trị hàm số tất điểm dừng miền A điểm đạo hàm riêng không tồn tại, sau so sánh giá trị với giá trị hàm biên ∂A A (tức ta phải xét cực trị có điều kiện) Bài tập 3.20 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: 163 164 Chương Hàm số nhiều biến số a) z = x2 y(4 − x − y) hình tam giác giới hạn đường x = 0, y = 0, x + y = b) z = sin x + sin y + sin( x + y) hình chữ nhật giới hạn đường x = 0, x = π π , y = 0, y = 164