BÀI GIẢNG (phần 2 laplace)

BÀI GIẢNG ÔN THI LÝ THUYẾT MẠCH Chương IV: Phân tích mạch bằng phương pháp toán tử Laplace Đặt vấn đề Trong thực tế tác động lên mạch điện hoặc sự thay đổi cấu trúc của mạch thường bắt đầu từ một thời điểm t0 nào đó (thường qui ước t0  0), khi đó mạch điện trải qua hai chế độ:  Chế độ quá độ  Chế độ xác lập Ở chế độ quá độ, phản ứng trong mạch có qui luật KHÁC với tác động và phụ thuộc vào cấu trúc cũng như tính chất các phần tử mạch. Quá trình quá độ liên quan tới việc tích lũy hoặc giải phóng năng lượng của các điện cảm và điện dung trong mạch. Sau khi kết thúc chế độ quá độ, mạch chuyển sang chế độ xác lập, khi đó phản ứng trong mạch có qui luật GIỐNG với qui luật của tác động. Hoạt động cấp nguồn cho mạch hoặc thay đổi cấu trúc của mạch được mô hình hóa bằng hoạt động ĐÓNG hoặc MỞ một khóa

BÀI GIẢNG ÔN THI LÝ THUYẾT MẠCH Chương IV: Phân tích mạch phương pháp tốn tử Laplace Đặt vấn đề Trong thực tế tác động lên mạch điện thay đổi cấu trúc mạch thường thời điểm t0 (thường qui ước t0  ), mạch điện trải qua hai chế độ:  Chế độ độ  Chế độ xác lập Ở chế độ độ, phản ứng mạch có qui luật KHÁC với tác động phụ thuộc vào cấu trúc tính chất phần tử mạch Quá trình độ liên quan tới việc tích lũy giải phóng lượng điện cảm điện dung mạch Sau kết thúc chế độ độ, mạch chuyển sang chế độ xác lập, phản ứng mạch có qui luật GIỐNG với qui luật tác động Hoạt động cấp nguồn cho mạch thay đổi cấu trúc mạch mơ hình hóa hoạt động ĐĨNG MỞ khóa K Ví dụ: C K + E R L u (t ) Biết khóa K đóng thời điểm t=0, tìm điện áp u(t)? Phương pháp tốn tử Laplace công cụ mạnh mẽ để giải toán loại Liên quan tới hoạt động ĐĨNG MỞ khóa K, có hai định luật gọi định luật “đóng-mở”: Định luật 1: Dòng điện qua điện cảm đột biến mà phải biến thiên liên tục từ giá trị vốn có trước thời điểm đóng mở Giả sử thời điểm “đóng-mở” t=0, định luật mơ tả gọn sau: iL (0)  iL (0) , iL (0) dòng qua điện cảm NGAY TRƯỚC KHI “đóng-mở”, iL (0) dòng qua điện cảm NGAY SAU KHI “đóng-mở” Định luật 2: Điện áp điện dung đột biến mà phải biến thiên liên tục từ giá trị vốn có trước thời điểm đóng mở Giả sử thời điểm “đóng-mở” t=0, định luật mơ tả gọn sau: uC (0)  uC (0) , uC (0) điện áp điện dung NGAY TRƯỚC KHI “đóng-mở”, uC (0) điện áp điện dung NGAY SAU KHI “đóng-mở” Điều kiện ban đầu mạch: Các dòng điện qua điện cảm điện áp điện dung thời điểm “đóng-mở” gọi ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU mạch 4.1 Giới thiệu phép biến đổi Laplace: Cho hàm f(t) thỏa mãn điều kiện sau: f (t )  0, t  f (t ) liên tục liên tục đoạn t  Xét tích phân:   f (t )e  pt dt , p    j (1)  Ký hiệu: F ( P)   f (t )e  pt dt (2) F(P) gọi ẢNH LAPLACE f(t) Hàm f(f) gọi hàm gốc Quan hệ ảnh-gốc qui ước biểu diễn sau: F ( P)  f (t ) F ( P)  f (t ) L f (t )   F ( P) Nếu tích phân (1) tồn tại, ta nói (1) phép biến đổi thuận Laplace cho hàm f(t) Khi biết hàm ảnh, tìm lại hàm gốc nhờ bảng tra hàm ảnh- hàm gốc Lưu ý: Để thuận tiện làm tập, đề cho sẵn quan hệ hàm ảnh – hàm gốc Một số tính chất phép biến đổi Laplace Tính đơn ánh: Mỗi hàm gốc có hàm ảnh ngược lại Tính chất tuyến tính: Nếu f1 (t )  F1 ( P), f (t )  F2 ( P) af1 (t )  bf (t )  aF1 ( P)  bF2 ( P) Tính chất ảnh đạo hàm: df (t ) Nếu f (t )  F ( P)  PF ( P)  f (0) dt Tính chất ảnh tích phân: F ( P) G(0)  Nếu f (t )  F ( P)  f (t )dt  , P P G(t )   f (t )dt G(0)  G(t ) t 0 A P Bảng quan hệ ảnh- gốc số hàm Hàm gốc f(t) ( t  ) Hàm ảnh F(P) A A P A P( P  ) A P2 AP P  2 A P  2 A P  2P  02 AP P  2P  02 Aet A (1  et )  At Acos(t ) A sin(t )  A t e sin 1t , với 1  02   1    Aet  cos 1t  sin 1t  , 1  02   1   4.2 Các định luật dạng toán tử Laplace: 4.2.1 Định luật Ôm: 3.2.1.1 Định luật Ôm cho điện trở: Thực biến đổi Laplace vế (1) ta có: Biểu thức định luật Ơm cho U ( P) U ( P) I R ( P)  R  I R ( P)  R (2) điện trở miền R R thời gian: (2) định luật Ơm cho điện trở dạng tốn tử uR (t ) iR (t )  (1) R Nhận xét: Đối với điện trở, dạng biểu thức định luật Ôm miền thời gian miền toán tử nhau: Từ (1) nhận (2) (3) cách thay dòng điện điện áp tức thời ảnh toán tử chúng Sơ đồ tương đương điện trở miền toán tử Laplace: I R ( P) R U R ( P) 4.2.1.2 Định luật Ôm cho điện cảm: Biểu thức định Thực biến đổi Laplace vế (1) ta có: luật Ôm cho điện U L ( P)  L  PI L ( P)  iL (0)  PLI L ( P)  LiL (0) cảm miền thời U ( P)  LiL (0) U L ( P)  LiL (0) gian:  I L ( P)  L  (2) PL Z ( P ) L di (t ) uL (t )  L L (1) Trong Z ( P)  PL gọi trở kháng toán tử điện cảm, L dt đơn vị đo Ôm (  ) Thành phần LiL (0) gọi sức điện động đặc trưng cho điều kiện ban đầu (2) định luật Ôm cho điện cảm dạng toán tử Sơ đồ tương đương điện cảm miền toán tử: I L ( P) I L ( P )Z L ( P ) Z L ( P) Li (0) L U L ( P) U L ( P) b) Khi điều kiện đầu “0” a) Khi điều kiện đầu khác 3.2.1.3 Định luật Ôm cho điện dung: Thực biến đổi Laplace vế (1) ta có: Biểu thức định luật Ơm cho điện cảm I C ( P)  C  PU C ( P)  uC (0)   PC.U C ( P)  CuC (0) miền thời gian: u (0) u (0) U C ( P)  C U C ( P)  C duC (t ) iC (t )  C (1) P  P  I C ( P)  (2) dt Z ( P) C PC gọi trở kháng toán tử điện PC u (0) dung, đơn vị đo Ôm (  ) Thành phần  C gọi sức P điện động đặc trưng cho điều kiện ban đầu Trong ZC ( P)  (2) định luật Ôm cho điện dung dạng toán tử Sơ đồ tương đương điện dung miền toán tử: I C ( P) Z C ( P) uC (0) / P U C ( P) a) Khi điều kiện đầu khác I C ( P) ZC ( P) U C ( P) b) Khi điều kiện đầu “0” 3.2.2 Định luật Kiếc-khốp 1: Trên miền thời gian, xét Biến đổi Laplace vế (1) ta có: N nút ta có: I k ( P)  (2) N  k  ik (t )  (1)  (2) định luật Kiếc-khốp dạng toán tử k 1 Nhận xét: Từ (1) nhận (2) cách thay giá trị tức thời dòng ảnh tốn tử chúng 3.2.3 Định luật Kiếc-khốp 2: Trên miền thời gian, xét Biến đổi Laplace vế (1) ta có: N vòng ta có: iCy (0) M U ( P )  L i (0)   Eq ( P) (2) N M  x x Lx y P   k k  q  (1) uk (t )   e p (t )  k 1 p 1 (2) định luật Kiếc-khốp dạng tốn tử, có chứa nguồn đặc trưng cho điều kiện ban đầu mạch 4.2.4 Sơ đồ tương đương mạch điện miền toán tử Laplace: Các định luật miền biến phức cho phép xây dựng sơ đồ tương đương mạch miền toán tử cách:  Thay dòng, áp, nguồn ẢNH LAPLACE chúng  Thay điện trở, điện cảm, điện dung SƠ ĐỒ TƯƠNG ĐƯƠNG chúng Ví dụ xây dựng sơ đồ tương đương mạch miền biến phức Mạch miền thời gian: Mạch miền toán tử: L1 Z ( P) E3 ( P ) i1 i3 L1iL1 (0) I ( P) I (P) L1 R1 e1 V1 C2 e2 i2 V2 R3 R1 ZC (P)  E1 ( P ) uC (0) P E2 ( P) I ( P) R3 Nhận xét: Sơ đồ mạch miền biến phức có dạng GIỐNG mạch trở!  Có thể sử dụng tất phương pháp học để phân tích mạch miền tốn tử! Lưu ý: Có thể giữ ngun kí hiệu cho điện cảm điện dung (khơng cần thay khối chữ nhật), cần hiểu điện cảm điện dung đại diện TRỞ KHÁNG TOÁN TỬ chúng! 3.2.5 Trở kháng phức tổng dẫn phức đoạn mạch (mạng cực) khơng nguồn: Do cấu trúc mạch miền tốn tử giống mạch trở nên cách tính trở kháng tốn tử tổng dẫn toán tử đoạn mạch giống hệ điện trở Sau số ví dụ: a R a R L b b C Z ab ( P)  ZTD ( P)  R  ZC ( P)  R  b a Z1 Z2 ZN Zab ( P)  ZTD ( P)  R  Z L ( P)  R  PL PC Zab (P)  ZTD (P)  Z1(P)  Z2 (P)   Z N ( P) Z1 a Z2 b 1 1      Z ab ( P) ZTD ( P) Z1 ( P) Z ( P) Z N ( P)  Yab ( P)  YTD ( P)  Y1 ( P)  Y2 ( P)   YN ( P) ZN 3.3 Các phương pháp phân tích mạch phương pháp tốn tử: Cũng cấu trúc mạch miền toán tử giống với mạch trở nên phương pháp phân tích tương tự cho mạch trở với ý sau: Mạch trở Điện trở R Điện dẫn G Điện trở tương đương RTD Điện dẫn tương đương GTD Điện trở Rij Mạch miền biến phức Trở kháng toán tử Z(P) Tổng dẫn toán tử Y(P) Trở kháng toán tử tương đương ZTD ( P) Tổng dẫn toán tử tương đương YTD ( P) Trở kháng toán tử Zij ( P) Điện dẫn Gij Tổng dẫn toán tử Yij ( P)