Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học

Các phép chứng minh phân tích, chứng minh tổng hợp, chứng minh phản chứng và chứng minh loại dần là những phép chứng minh thường được sử dụng khi giải các bài toán ở trường phổ thông. Tuy nhiên, khi sử dụng những phép chứng minh này trong quá trình giải toán, sinh viên thường mắc phải một số sai lầm. Bài viết phân tích một số sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học, nguyên nhân dẫn đến sai lầm và biện pháp khắc phục những sai lầm đó.

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Interdisciplinary Sci., 2014, Vol 59, No 6, pp 10-19 BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA SINH VIÊN KHI SỬ DỤNG CÁC PHÉP CHỨNG MINH TỐN HỌC Đào Thị Hoa Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt Các phép chứng minh phân tích, chứng minh tổng hợp, chứng minh phản chứng chứng minh loại dần phép chứng minh thường sử dụng giải tốn trường phổ thơng Tuy nhiên, sử dụng phép chứng minh trình giải toán, sinh viên thường mắc phải số sai lầm Bài báo phân tích số sai lầm thường gặp sinh viên sử dụng phép chứng minh toán học, nguyên nhân dẫn đến sai lầm biện pháp khắc phục sai lầm Từ khóa: Phép chứng minh, sai lầm, toán, giải toán Mở đầu Trong dạy học tốn nhà trường phổ thơng, việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải tốn trình bày lời giải tốn công việc thường xuyên cần thiết giáo viên toán Với dạng toán chứng minh, thầy trò thường xuyên sử dụng phép chứng minh tốn học phép chứng minh phân tích, phép chứng minh tổng hợp, phép chứng minh phản chứng, phép chứng minh loại dần, Như vậy, tri thức kĩ năng, kĩ xảo phép chứng minh toán học hành trang quan trọng mà giáo viên toán tương lai cần phải trang bị rèn luyện (Có thể tìm hiểu phép chứng minh tốn học nhiều tài liệu [2, 4, 5]) Trong trình dạy hoc phép chứng minh tốn học, kiểm tra hiểu biết sinh viên phép chứng minh thông qua tập, nhận thấy sinh viên thường mắc phải số sai lầm khơng đáng có Vấn đề đặt làm để hạn chế tối đa sai lầm đó? Như vậy, nghiên cứu cụ thể nhằm khắc phục sai lầm sinh viên sử dụng phép chứng minh tốn học cần thiết có ý nghĩa, góp phần nâng cao lực chun mơn nghiệp vụ cho sinh viên khoa Toán - Đại học Sư phạm Ngày nhận bài: 12/2/2014 Ngày nhận đăng: 15/5/2014 Tác giả liên lạc: Đào Thị Hoa, e-mail: daothihoa.sp2@moet.edu.vn 10 Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp sinh viên sử dụng phép chứng minh toán học Nội dung nghiên cứu 2.1 Sai lầm sử dụng phép chứng minh phân tích tổng hợp Như ta biết, phân tích tổng hợp hai phép chứng minh trực tiếp thường sử dụng dạy học tốn phổ thơng Về mặt lí thuyết, hai phương pháp chứng minh rõ ràng dễ hiểu Mặc dù vậy, sinh viên mắc phải số sai lầm Những sai lầm phân tích thơng qua ví dụ cụ thể sau: Ví dụ: Cho tốn sau: “Chứng minh ba góc tam giác ABC thỏa mãn hệ thức sin A = sin B cos C tam giác ABC cân A” a) Trình bày lời giải tốn b) Trình bày hiểu biết phép chứng minh sử dụng để giải toán Trong toán trên, phần a đề ta có: Mệnh đề cho “ba góc tam giác ABC thỏa mãn hệ thức sin A = sin B cos C”, mệnh đề cần chứng minh “tam giác ABC cân A” Để trình bày phần a sinh viên có nhiều cách khác nhau, cịn phần b lại phụ thuộc vào phần a Với đề này, sinh viên thường mắc phải sai lầm lời giải sau: Lời giải 1: a) Vì tam giác ABC cân A ⇒ B = C ⇒ A = π − 2B ⇒ sin A = sin(π − 2B) ⇒ sin A = sin 2B ⇒ sin A = sin B cos B ⇒ sin A = sin B cos C (B = C theo trên) Mà sin A = sin B cos C mệnh đề ta có điều phải chứng minh b) Phép chứng minh sử dụng để giải toán phép chứng minh phân tích xuống Phân tích lời giải: Ở lời giải này, phần a, sinh viên sử dụng phép phân tích xuống, nhiên trường hợp mệnh đề cho “sin A = sin B cos C” mệnh đề nên chưa thể kết luận mệnh đề cần chứng minh Phép phân tích xuống trường hợp là phép chứng minh (sai lầm luận chứng), phần trình bày khơng phải lời giải tốn Như vậy, lời giải phần a phần b sai Lời giải 2: a) Để chứng minh tam giác ABC cân A, ta chứng minh B = C Để chứng minh B = C, ta chứng minh A = π − 2B Để chứng minh A = π − 2B, ta chứng minh sin A = sin(π−2B) Để chứng minh sin A = sin(π−2B), ta chứng minh sin A = sin 2B Để chứng minh sin A = sin 2B, ta chứng minh sin A = sin B cos B Để chứng minh sin A = sin B cos B, ta chứng minh sin A = sin B cos C (B = C theo trên) Mà sin A = sin B cos C mệnh đề biết nên ta có điều phải chứng minh b) Phép chứng minh sử dụng để giải toán phép chứng minh phân tích lên Phân tích lời giải: Ở lời giải này, phần a, sinh viên sử dụng phép phân tích lên, nhiên trường hợp mệnh đề sin A = sin B cos C kéo theo mệnh đề 11 Đào Thị Hoa sin A = sin B cos B giải thích “B = C theo trên” khơng có sở, có B = C hiển nhiên tam giác ABC cân A (sai lầm luận cứ) Như vậy, sai lầm phần a phần b sai Lời giải 3: a) Để chứng minh tam giác ABC cân A, ta chứng minh B = C Để chứng minh B = C, ta chứng minh sin(B − C) = Để chứng minh sin(B − C) = 0, ta chứng minh sin B cos C − cos B sin C = Để chứng minh sin B cos C − cos B sin C, ta chứng minh sin C cos B = cos C sin B Để chứng minh sin C cos B = cos C sin B, ta chứng minh sin C cos B + sin B cos C = cos C sin B + sin B cos C Để chứng minh sin C cos B + sin B cos C = cos C sin B + sin B cos C, ta chứng minh sin(B + C) = sin B cos C Để chứng minh sin(B +C) = sin B cos C, ta chứng minh sin[π −(B +C)] = sin B cos C Để chứng minh sin[π − (B + C)] = sin B cos C, ta chứng minh sin A = sin B cos C Mà sin A = sin B cos C mệnh đề biết nên ta có điều phải chứng minh b) Phép chứng minh sử dụng để giải tốn phép chứng minh phân tích xuống Phân tích lời giải: Ở lời giải, phần a, sinh viên sử dụng phép phân tích lên, trường hợp mệnh đề sin A = sin B cos C mệnh đề nên kết luận mệnh đề “tam giác ABC cân” mệnh đề Lúc phép phân tích lên phép chứng minh phân tích lên Nhưng phần b) lại trả lời phép chứng minh phân tích xuống Sai lầm nhầm lẫn phép phân tích lên phân tích xuống Như vậy, sai lầm 3, phần a phần b sai Lời giải 4: a) sin A = sin B cos C ⇐ sin[π − (B + C)] = sin B cos C ⇐ sin(B + C) = sin B cos C ⇐ sin B cos C + cos B sin C = sin B cos C ⇐ cos B sin C = sin B cos C ⇐ sin(C − B) = ⇐ B = C ⇐ Tam giác ABC cân b) Phép chứng minh sử dụng để giải tốn phép chứng minh tổng hợp Phân tích lời giải: Ở lời giải này, phần a, có sử dụng mệnh đề xuất phát mệnh đề biết, lại sử dụng mũi tên “⇐”, sơ đồ phép chứng minh tổng hợp (sai lầm luận chứng) Như vậy, sai lầm phần a phần b sai Lời giải 5: a) sin A = sin B cos C ⇒ sin[π − (B + C)] = sin B cos C ⇒ sin(B + C) = sin B cos C ⇒ sin B cos C + cos B sin C = sin B cos C ⇒ cos B sin C = sin B cos C ⇒ sin(C − B) = ⇒ B = C ⇒ Tam giác ABC cân b) Phép chứng minh sử dụng để giải toán phép chứng minh phân tích xuống Phân tích lời giải: Ở lời giải này, phần a, sinh viên sử dụng phép chứng minh tổng hợp, phần b) lại trả lời phép chứng minh phân tích xuống quan tâm đến kí hiệu “⇒” mà không quan tâm đến mệnh đề xuất phát mệnh đề cho hay mệnh đề cần chứng minh Như vậy, sai lầm 5, phần a phần b sai 12 Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp sinh viên sử dụng phép chứng minh tốn học Có thể thấy rằng, hai phép chứng minh phân tích tổng hợp hai phép chứng minh mà sinh viên ngành Sư phạm Toán cần nắm vững Tuy nhiên thực hành sinh viên mắc sai lầm chưa hiểu rõ phép chứng minh phân tích phép chứng minh tổng hợp; chưa phân biệt phép chứng minh phân tích với phép chứng minh tổng hợp; chưa nắm phép phân tích trở thành phép chứng minh phân tích Đặc biệt sử dụng phép phân tích xuống: mệnh đề cho, biết mệnh đề cần phải chứng minh chưa Mặc dù vậy, sinh viên thừa nhận mệnh đề cho, biết mệnh đề cần phải chứng minh đúng, dẫn đến sai lầm 2.2 Sai lầm sử dụng phép chứng minh phản chứng phép chứng minh loại dần Khi chứng minh mệnh đề tốn học, ngồi phép chứng minh trực tiếp, ta cịn sử dụng phép chứng minh gián tiếp Những phép chứng minh gián tiếp thường sử dụng phép chứng minh phản chứng phép chứng minh loại dần Khi sử dụng hai phép chứng minh gián tiếp này, sinh viên thường mắc phải số sai lầm Các sai lầm phân tích thơng qua ví dụ cụ thể sau đây: Ví dụ: Cho toán: “Chứng minh đường thẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng cịn lại” a) Trình bày lời giải tốn b) Trình bày hiểu biết phương pháp chứng minh sử dụng để giải toán Ở toán này, mệnh đề cho: “(P )//(Q) a cắt (P )”, mệnh đề phải chứng minh: “a cắt (Q)” Khi giải sinh viên mắc phải số sai lầm lời giải sau: Lời giải 1: a) Giả sử (P )//(Q), a cắt (P ) a khơng cắt (Q) Vì a khơng cắt (Q) nên a//(Q) mà theo giả thiết (P )//(Q) nên a//(P ) (mâu thuẫn giả thiết a cắt (P )) Vậy điều giả sử sai, suy a (Q) cắt b) Phép chứng minh sử dụng để giải toán phép chứng minh phản chứng (Sau trình bày phép chứng minh phản chứng) Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm phần a, lập luận: “Vì a khơng cắt (Q) nên a//(Q)” lập luận: “a//(Q) mà theo giả thiết (P )//(Q) nên a//(P )” Ở lập luận thứ thiếu trường hợp a ⊂ (Q); lập luận thứ hai thiếu trường hợp a ⊂ (P ) Lời giải 2: a) Giả sử (P )//(Q), a cắt (P ) a//(Q) Vì a//(Q) mà theo giả thiết (P )//(Q) nên a ⊂ (P ) a//(P ) (mâu thuẫn giả thiết a cắt (P )) Vậy điều giả sử sai, suy a (Q) cắt b) Phép chứng minh sử dụng để giải toán phép chứng minh phản 13 Đào Thị Hoa chứng (Sau trình bày phép chứng minh phản chứng) Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm phần a, xác định mệnh đề phủ định chưa đúng, mệnh đề cần chứng minh “a cắt (Q)” nên mệnh đề phủ định “a//(Q)” Mệnh đề phủ định phải là: “a ⊂ (Q) a//(Q)” Như thiếu trường hợp a ⊂ (Q) Lời giải 3: a) Giả sử (P )//(Q), a cắt (P ) a ⊂ (Q) Vì a ⊂ (Q) mà theo giả thiết a cắt (P ) nên (P ) ∩ (Q) ̸= ∅ (mâu thuẫn giả thiết (P )//(Q)) Vậy điều giả sử sai, suy a (Q) cắt b) Phép chứng minh sử dụng để giải toán phép chứng minh phản chứng (Sau trình bày phép chứng minh phản chứng) Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm tương tự sai lầm 2, xác định mệnh đề phủ định chưa đúng, mệnh đề cần chứng minh “a cắt (Q)” nên mệnh đề phủ định “a ⊂ (Q)” Mệnh đề phủ định phải là: “a ⊂ (Q) (a)//(Q)” Như thiếu trường hợp a//(Q) Lời giải 4: a) Giả sử a cắt (P ) a//(Q) Vì a//(Q) mà theo giả thiết (P )//(Q) nên a//(P ) (mâu thuẫn giả thiết a cắt (P )) Vậy điều giả sử sai, suy a (Q) cắt b) Phép chứng minh sử dụng để giải toán phép chứng minh phản chứng (Sau trình bày phép chứng minh phản chứng) Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm tương tự sai lầm 2, lập luận: “a//(Q) mà theo giả thiết (P )//(Q) nên a//(P )” chưa xác, cịn thiếu trường hợp a ⊂ (P ) Lời giải 5: a) Vị trí tương đối a (Q): a ⊂ (Q), a//(Q), a cắt (Q) (i): Nếu a ⊂ (Q) theo giả thiết a cắt (P ) nên (P ) ∩ (Q) ̸= ∅ (mâu thuẫn giả thiết (P )//(Q)) Nên a không thuộc (Q) (ii): Nếu a//(Q) theo giả thiết (P )//(Q) nên a ⊂ (P ) a//(P ) (mâu thuẫn giả thiết a cắt (P )) Nên a không song song với (Q) Vậy từ (i) (ii) suy a (Q) cắt b) Phép chứng minh sử dụng để giải toán phép chứng minh phản chứng (Sau trình bày phép chứng minh phản chứng) Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm phần b, xác định phép chứng minh chưa xác phép chứng minh sử dụng lời giải phép chứng minh loại dần Như sinh viên chưa phân biệt phép chứng minh phản chứng với phép chứng minh loại dần Lời giải 6: a) Giả sử a cắt (P ) a không cắt (Q), a ⊂ (Q) a//(Q) (i): Nếu a ⊂ (Q) theo giả thiết a cắt (P ) nên (P ) ∩ (Q) ̸= ∅ (mâu thuẫn giả 14 Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp sinh viên sử dụng phép chứng minh tốn học thiết (P )//(Q)) Nên a khơng thuộc (Q) (ii): Nếu a//(Q) theo giả thiết (P )//(Q) nên a ⊂ (P ) a//(P ) (mâu thuẫn giả thiết a cắt (P )) Nên a không song song với (Q) Vậy điều giả sử sai, suy a (Q) cắt b) Phép chứng minh sử dụng để giải toán phép chứng minh loại dần (Sau trình bày phép chứng minh loại dần) Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm phần b, xác định phép chứng minh chưa xác phép chứng minh sử dụng lời giải phép chứng minh phản chứng Như sinh viên chưa phân biệt phép chứng minh loại dần với phép chứng minh phản chứng Thơng qua ví dụ trên, thấy sử dụng phép chứng minh gián tiếp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần, sinh viên thường mắc phải số sai lầm như: Chưa hiểu rõ loại chứng minh này; chưa phân biệt chứng minh phản chứng chứng minh loại dần; xác định mệnh đề phủ không đúng; sử dụng luận không 2.3 Biện pháp khắc phục sai lầm sử dụng số phép chứng minh toán học Để hạn chế tối đa sai lầm mắc phải sinh viên sử dụng phép chứng minh toán học, đề xuất số biện pháp sư phạm sau: 2.3.1 Nhấn mạnh vào dấu hiệu đặc trưng phép chứng minh Mỗi phép chứng minh có dấu hiệu đặc trưng riêng Việc nhấn mạnh vào dấu hiệu đặc trưng phép chứng minh giúp sinh viên hiểu rõ hơn, đầy đủ phép chứng minh Đối với phép chứng minh phân tích, mệnh đề xuất phát phải mệnh đề cần chứng minh mệnh đề biết Đối với phép chứng minh tổng hợp, mệnh đề xuất phát phải mệnh đề biết mệnh đề cần chứng minh Cần nhấn mạnh phép phân tích trở thành phép chứng minh phân tích Chú ý đến chiều mũi tên sơ đồ phép chứng minh phân tích tổng hợp Đối với phép chứng minh phản chứng, ta bác bỏ mệnh đề phủ định mệnh đề cần chứng minh, cần ý thiết lập mệnh đề phủ định Đối với phép chứng minh loại dần, ta khẳng định mệnh đề có k khả xảy khẳng định xảy khả thứ i việc loại bỏ k - khả lại, cần ý xét hết khả xảy mệnh đề 2.3.2 Minh họa chứng minh thơng qua ví dụ Sau sinh viên nắm dấu hiệu đặc trưng phép chứng minh, cần lấy ví dụ loại chứng minh, phân tích ví dụ để sinh viên hiểu rõ loại chứng minh 15 Đào Thị Hoa Cũng cho tốn với vài lời giải tương ứng, yêu cầu sinh viên cho biết phép chứng minh sử dụng lời giải Ví dụ: Cho tốn: “Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn ≤ a, b, c ≤ Chứng minh ba bất đẳng thức: a(2 − b) > 1; b(2 − c) > 1; c(2 − a) > không xảy ra” Hãy phép chứng minh sử dụng lời giải sau đây: Lời giải 1: Vai trò a, b, c đoạn [0; 2], đặt max {a, b, c} = a ⇒ c ≤ a ⇒ c(2 − a) ≤ c(2 − c) Mặt khác ≤ c ≤ nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có c(2 − c) ≤ Do c(2 − a) ≤ Vậy ta có điều phải chứng minh Lời giải 2: Để chứng minh ba bất đẳng thức: a(2 − b) > 1; b(2 − c) > 1; c(2 − a) > không xảy ra, ta cần chứng minh xảy ba bất đẳng thức a(2 − b) ≤ 1; b(2 − c) ≤ 1; c(2 − a) ≤ Để chứng minh xảy ba bất đẳng thức a(2−b) ≤ 1; b(2−c) ≤ 1; c(2−a) ≤ 1, ta chứng minh xảy ba bất đẳng thức a(2−b) ≤ a(2−a) ≤ 1; b(2−c) ≤ b(2−b) ≤ 1; c(2−a) ≤ c(2−c) ≤ Để chứng minh xảy ba bất đẳng thức a(2−b) ≤ a(2−a) ≤ 1; b(2−c) ≤ b(2−b) ≤ 1; c(2−a) ≤ c(2−c) ≤ 1, ta chứng minh xảy ba trường hợp a ≤ b a(2 − a) ≤ b ≤ c b(2 − b) ≤ c ≤ a c(2 − c) ≤ Để chứng minh xảy ba ba trường hợp a ≤ bva(2 − a) ≤ b ≤ c b(2 − b) ≤ c ≤ a c(2 − c) ≤ 1, ta chứng minh tồn max {a, b, c} b, c, a chứng minh ≤ a; b; c ≤ Đây điều biết nên ta có điều phải chứng minh Lời giải 3: Giả sử ba bất đẳng thức: a(2 − b) > 1; b(2 − c) > 1; c(2 − a) > xảy ⇒ a(2 − b)b(2 − c)c(2 − a) > (*) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm a, − b, b, − c, c, − a, ta có a(2 − b)b(2 − c)c(2 − a) ≤ 1, mâu thuẫn với (*) Vậy giả sử sai, nên ta có điều phải chứng minh 2.3.3 Yêu cầu sinh viên lấy ví dụ loại chứng minh Việc sinh viên lấy ví dụ loại chứng minh, giúp giáo viên nắm mức độ nhận biết kiến thức sinh viên phép chứng minh để kịp thời điều chỉnh cho phù hợp Đồng thời qua sinh viên củng cố loại chứng minh Có thể u cầu sinh viên tự tìm hiểu tốn chứng minh phổ thơng sử dụng phép chứng minh phù hợp Cũng đưa tốn cụ thể phổ thông yêu cầu sinh viên sử dụng nhiều phép chứng minh để giải tốn Ví dụ: Sử dụng phép chứng minh toán học giải toán sau nhiều cách rõ phép chứng minh sử dụng cách: “Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y = Chứng minh x.y ≤ 1” 16 Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp sinh viên sử dụng phép chứng minh toán học 2.3.4 Tạo tình có sử dụng phép chứng minh tốn học để sinh viên trao đổi, thảo luận Để khắc phục sai lầm cho sinh viên sử dụng phép chứng minh toán học, giáo viên tạo tình có sai lầm, khơng có sai lầm để sinh viên tự phân tích, tự xoay xở, tự tìm cách giải Trên sở giáo viên nhận xét, đánh giá, góp ý Từ sinh viên thấy tính đúng, sai cách nghĩ, cách làm, tránh sai lầm, sinh viên có kĩ sử dụng phép chứng minh này, hướng dẫn học sinh giải toán chứng minh sau trường Ví dụ 1: Cho tốn: “Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng cắt a b Hai đường thẳng a, b song song với mặt phẳng (Q) Chứng minh (P ) song song với (Q)” a) Trình bày lời giải tốn b) Trình bày hiểu biết phương pháp chứng minh sử dụng để giải toán Trong lời giải sau, lời giải đúng, lời giải sai, sao? Lời giải 1: a) Giả sử mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P ) cắt (Q) Gọi c giao tuyến (P ) (Q), a//(Q) a ⊂ (P ) nên c//a Tương tự c//b Suy a//b (mâu thuẫn với giả thiết) Vậy giả sử sai, từ suy điều phải chứng minh b) Phương pháp chứng minh sử dụng chứng minh phản chứng Lời giải 2: a) Mặt phẳng (P ) song song với mặp phẳng (Q) mặt phẳng (P ) cắt mặt phẳng (Q) Nếu mặt phẳng (P ) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến c a//(Q) a ⊂ (P ) nên c//a Tương tự c//b Suy a//b (mâu thuẫn với giả thiết) Vậy mặt phẳng (P ) song song với mặp phẳng (Q) b) Phương pháp chứng minh sử dụng chứng minh loại dần Lời giải 3: a) Mặt phẳng (P ) song song với mặp phẳng (Q) mặt phẳng (P ) cắt mặt phẳng (Q) Nếu mặt phẳng (P ) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến c a//(Q) a ⊂ (P ) nên c//a Tương tự c//b Suy a//b (mâu thuẫn với giả thiết) Vậy mặt phẳng (P ) song song với mặp phẳng (Q) 17 Đào Thị Hoa b) Phương pháp chứng minh sử dụng chứng minh phản chứng Nhận xét: Cả ba lời giải sai, cụ thể: Ở lời giải thứ nhất, sai lầm phần a xác định mệnh đề phủ định chứng minh phản chứng chưa lập luận c//a, c//b suy a//b chưa đủ, a trùng b Ở lời giải thứ hai, sai lầm phần a xác định khả xảy (P ) (Q) chưa đủ phần lại sai lầm lời giải thứ Ở lời giải thứ ba, sai lầm tương tự lời giải 2, cịn xác định phép chứng minh chưa Ví dụ 2: Giải toán sau phép chứng minh phản chứng: ‘Cho 2m −1(m ∈ N ) số nguyên tố Chứng minh m số nguyên tố” (1) Lời giải sau hay sai, sao? Lời giải: Để chứng minh toán ta ta việc chứng minh toán: “Cho m hợp số Chứng minh 2m − 1(m ∈ N ) hợp số” (2) Thật vậy: m hợp số ⇔ m = pq với ∀pq ∈ N, p, q > Ta có: 2m − = 2pq − = (2p − 1)(2p(q−1) + 2p(q−2) + + 1) Các thừa số 2m − nguyên dương lớn 2m − hợp số Vậy 2m − 1(m ∈ N ) số nguyên tố m phải số nguyên tố Nhận xét: Sai lầm lời giải tốn khơng sử dụng phép chứng minh phản chứng theo yêu cầu đề Hơn nữa, chứng minh toán (2) chưa đủ để khẳng định chứng minh toán (1) 2.3.5 Yêu cầu sinh viên dự kiến sai lầm thường gặp giải tốn cụ thể có sử dụng phép chứng minh Cùng với việc tạo tình có sai lầm khơng có sai lầm để sinh viên tự học tập, ta xây dựng đề toán cụ thể yêu cầu sinh viên dự kiến sai lầm xảy giải tốn Ví dụ 1: Dự kiến sai lầm xảy giải tốn sau, phân tích ngun nhân sai lầm cho lời giải xác: “Trình bày lời giải số a, b, x, y thỏa mãn a2 + b2 = x2 + y = √ toán: Cho 4√ Chứng minh rằng: − ≤ a.x + b.y ≤ Hãy cho biết phép chứng minh sử dụng để giải toán trên.” Hướng dẫn: Có thể xảy sai lầm tương tự ví dụ mục Ví dụ 2: Dự kiến sai lầm xảy giải tốn sau, phân tích ngun nhân sai lầm cho lời giải xác: “Trình bày lời giải tốn: “Cho ∆ABC.Gọi (α) mặt phẳng vng góc với đường thẳng CA A (β) mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB B Chứng minh hai mặt phẳng (α) (β) cắt giao tuyến d chúng vng góc với 18 Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp sinh viên sử dụng phép chứng minh toán học mặt phẳng (ABC)” Hãy cho biết phương pháp chứng minh sử dụng để giải tốn trên.” Hướng dẫn: Có thể xảy sai lầm tương tự ví dụ mục Kết luận Các phép chứng minh phân tích, chứng minh tổng hợp, chứng minh phản chứng chứng minh loại dần phép chứng minh thường sử dụng giải toán trường phổ thông Khi sử dụng phép chứng minh q trình giải tốn, sinh viên thường mắc phải số sai lầm Những sai lầm nguyên nhân dẫn đến sai lầm phân tích thơng qua ví dụ sở để đề xuất biện pháp sư phạm nhằm khắc phục sai lầm mà sinh viên mắc phải, thơng qua giúp sinh viên nâng cao chất lượng, hiệu học tập mơn phương pháp dạy học Tốn học, chất lượng hiệu việc dạy học toán sau trường TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang, 1997 Sai lầm phổ biến giải toán NXB Giáo dục [2] Hồng Chúng, 1996 Lơgic học phổ thơng NXB Giáo dục [3] Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn, 2004 Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán NXB Hà Nội [4] Nguyễn Đức Thuần, 1979 Suy luận chứng minh NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [5] Nguyễn Anh Tuấn, 2012 Giáo trình lơgic tốn lịch sử toán học NXB Đại học Sư phạm ABSTRACT A mistake often made by student teachers when using the mathematical reasoning, and how to avoid it Analysis, synthesis, contradiction, and exclusion are common forms of mathematical reasoning that are used to solve high school math problems However, student teachers themselves often make mistakes in this area This article looks at the most common mistakes made, why they are made and how to avoid making them 19 ... sinh viên sử dụng phép chứng minh toán học 2.3.4 Tạo tình có sử dụng phép chứng minh tốn học để sinh viên trao đổi, thảo luận Để khắc phục sai lầm cho sinh viên sử dụng phép chứng minh toán học, ... ngồi phép chứng minh trực tiếp, ta cịn sử dụng phép chứng minh gián tiếp Những phép chứng minh gián tiếp thường sử dụng phép chứng minh phản chứng phép chứng minh loại dần Khi sử dụng hai phép chứng. .. dụ: Sử dụng phép chứng minh toán học giải toán sau nhiều cách rõ phép chứng minh sử dụng cách: “Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y = Chứng minh x.y ≤ 1” 16 Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp