Xử lý các quá trình ngẫu nhiên

http://www.ebook.edu.vn Chương 6 XỬ LÝ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN §6.1. MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT 6.1.1. Vấn đề nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên trong miền tần số (☼) Trong trường hợp tất định, biến đổi Fourier của tín hiệu cho ta biết tần số có mặt trong tín hiệu. Ví dụ, với các tín hiệu ( ) ( ) 10 st cos t ω = , () () 2 1 s t rect t 0 ⎧ == ⎨ ⎩ 86 các biến đổi Fourier tương ứng là: ( ) ( ) ( ) 100 S ⎡ ⎤ ω=πδω−ω +δω−ω ⎣ ⎦ , () ( ) 2 sin / 2 SSa /2 2 1 ω ⎧ ω ⎪ ⎛⎞ ω= = ω ⎨ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎪ ⎩ Các hàm ( ) 1 S , ω ( ) 2 S ω chẵn, đồ thị của chúng ứng với thể hiện ở Hình 6.1. 0ω> Hình 6.1. Tần số của hai tín hiệu Với trường hợp thứ nhất, tín hiệu có một tần số 0 ω , với trường hợp thứ hai, tín hiệu có vô hạn tần số. Bên cạnh việc nghiên cứu tín hiệu trong miền thời gian (theo biến t), việc nghiên cứu tín hiệu trong miền tần số - tức là nghiên cứu phổ của tín hiệu - là mảng nghiên cứu hết sức hiệu quả để xử lý tín hiệu tất định. Về vấn đề phổ (biến đổi Fuorier của tín hiệu tất định), chúng ta có thể tham kh ảo ở [5], [9], [7]. Khi tín hiệu là ngẫu nhiên, từ chỗ mỗi quỹ đạo ( ) Xt, ( Sζζ∈ cố định) của một QTNN là một tín hiệu tất định, một nghiên cứu hứa hẹn là biểu diễn các quỹ đạo này trên miền tần số. Như vậy, một cách tự nhiên, chúng ta xét biến đổi Fourier của quỹ đạo X(t, )ζ S 1 (ω) 2 S( )ω ω 1 π 0 ω 0 ω với t1/2,≤ t1/2> 0ω ≠ với với 0,ω = http://www.ebook.edu.vn () () jt X, Xt,e dt ∞ −ω −∞ ωζ = ζ ∫ . (6.1.1) Hàm phổ tính theo (6.1.1) xác định với từng quỹ đạo của quá trình, nó được gọi là phổ biên độ. Thường thì X(t) là điện áp của một đoạn mạch nào đó với kháng 1 Ω nên nó cũng được gọi là phổ điện áp. Tuy nhiên, hai nguyên nhân sau là những cản trở nặng nề mà hầu như chúng ta không thể vượt qua: Thứ nhất, đối với hầu hết các QTNN, với xác suất dương hoặc thậm chí bằng 1, điều kiện hội tụ tuyệt đối của tích phân () Xt, dt ∞ −∞ ζ ∫ không thoả mãn. Từ đó, về mặt lý thuyết, dường như tích phân (6.1.1) không bao giờ tồn tại. Thứ hai, về mặt thực tiễn, gần như không bao giờ chúng ta biết hết các quỹ đạo của QTNN đã cho, thậm chí là một quỹ đạo của QT Poisson hay QT Wiener. Hơn nữa, dù quỹ đạo có thể biết được, nhiều khó khăn khác cũng không khắc phục nổi. Một trong những hướng xử lý v ấn đề là nghiên cứu tích phân (6.1.1) như là giới hạn theo bình phương trung bình giá trị chính của tích phân, đó là , trong đó tích phân trên đoạn [-T;T] hiểu theo nghĩa bình phương trung bình. () T jt T T lim X t e dt −ω →∞ − ∫ Biểu diễn phổ như thế của một QTNN cũng có nhiều kết quả quan trọng (xem [3] phần II, [6],[8]). Tuy nhiên ở cuốn sách này chúng ta chưa có điều kiện đề cập tới. Từ bỏ ý định sử dụng phép biến đổi Fourier (6.1.1), bằng cách nghiên cứu năng lượng của QTNN, người ta đi đến khái niệm hàm mật độ phổ công suấ t. Sau đây chúng ta dẫn ra một cách tiệm cận khái niệm này. Để đơn giản, trước hết hãy xét vấn đề trên cho quá trình dừng. Đối với một quỹ đạo bất kỳ ( ) { } Xt, ,tζ∈¡ , xét quỹ đạo chặt cụt () ( ) [ ] [] T Xt, khit T;T, Xt, 0tT ⎧ ζ∈− ⎪ ζ= ⎨ ∈− ⎪ ⎩ ;T. Nói chung, chúng ta có thể giả thiết () T i T Xt, dt − ζ <∞ ∫ , i = 1,2 (ví dụ, với QT có quỹ đạo liên tục hay bước nhảy). 87 http://www.ebook.edu.vn Với Sζ∈ , năng lượng của quỹ đạo tất định ( ) { } Xt,ζ trên đoạn thời gian là [] T;T− () T 2 T Xt, dt − ζ ∫ . Từ đó, công suất trung bình của tín hiệu ( ) { } Xt,ζ trên đoạn này là () () T 22 TT T 11 PXt,dtXt, 2T 2T dt ∞ −−∞ =ζ= ζ ∫∫ . Mặt khác, do () T Xt, dt +∞ −∞ ζ <∞ ∫ nên có thể xác định được biến đổi Fourier của ( ) { } T Xt,ζ : ℱ T [X (t, )]=ζ () () T jt jt T T Xt,e dt Xt,e dt ∞ −ω −ω −∞ − ζ=ζ ∫∫ . Sử dụng định lý Parseval chúng ta nhận được () () () 2 TT TT jt js TT 1 PXt,dt 2T 11 X t, e dt X s, e ds d . 22T ∞ −∞ ∞ −ω ω −∞ − − =ζ ⎡⎤⎡ = ⎤ ζζω ⎢⎥⎢ π ⎣⎦⎣ ∫ ∫∫ ∫ ⎥ ⎦ Như vậy có thể coi () () () TT jt js T TT 1 X , X t, e dt X s, e ds 2T −ω ω −− ⎡⎤⎡ ωζ = ζ ζ ⎢⎥⎢ ⎣⎦⎣ ∫∫ ⎤ ⎥ ⎦ (6.1.2) là công suất trung bình của tín hiệu ( ) { } Xt,ζ trên đoạn [ ] T;T− trong dải tần ; nói cách khác, đó là hàm mật độ phổ vì khi lấy tích phân trên [ ;dωω+ ω ] ¡ rồi nhân với 1/ chúng ta nhận được P (2 )π T . ( ) T X,ω ζ là BNN vì phụ thuộc vào ζ ∈Ω . Khi , nói chung BNN T →∞ ( ) T X ω không dần đến giới hạn xác định. Tuy nhiên chứng minh được, đối với mọi tần số ω, phương sai của các BNN này bị chặn (xem, ví dụ, Левин Б.Р., Cơ sở lý thuyết vô tuyến thống kê, M.Coв. Paдиo, 1975, mục 3.5.5). Từ đó, người ta lấy giới hạn (nếu có) của mô men bậc một của mật độ (6.1.2) ( ) ( ) ( ) T X T SlimEX →∞ ω= ω (6.1.3) làm hàm mật độ phổ công suất (trung bình) của QT ( ) { } Xt . Lấy kì vọng hai vế (6.1.2), bằng tính toán giống như ở Định lý 5.8 ta đi đến () () 2T j T X 2T EX , 1 R e d. 2T −ωτ − ⎛⎞τ ⎡⎤ ω ζ =− τ ⎜⎟ ⎣⎦ ⎝⎠ ∫ τ 88 http://www.ebook.edu.vn Khi , với những điều kiện nhất định, ví dụ T →∞ ( ) X R τ khả tích tuyệt đối trên ¡ : () X Rd ∞ −∞ ττ<∞ ∫ , vế phải của (6.1.3) sẽ dần đến giới hạn () j X Red ∞ −ωτ −∞ τ τ ∫ là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan ( ) X R τ . Đó là nội dung của định lý Khinchine - Wiener đưa ra vào năm 1930 (trước đó - vào năm 1990 - định lý được chứng minh bởi Al. Einstein). Chúng ta có thể tham khảo chứng minh trong [15], tr101. Từ những phân tích trên, đối với những người quan tâm đến ứng dụng, người ta đưa ra định nghĩa về hàm mật độ phổ công suất trình bày ở mục 6.1.2 dưới đây, gọi là định nghĩa theo phương pháp tương quan. (☼) 6.1.2. Mật độ phổ công suất Định nghĩa . Ta gọi biến đổi Fourie của hàm tự tương quan ( ) X R τ của QT dừng ( ) { } Xt () () j XX SRed ∞ − ωτ −∞ ω =τ ∫ τ (6.1.4) là hàm mật độ phổ công suất của QT này. Theo tính chất của phép biến đổi Fourier, ( ) X R τ là biến đổi Fourier ngược của ( ) X S ω () () j XX 1 RSe 2 d. ∞ ωτ −∞ τ =ω π ∫ ω (6.1.5) Như vậy, ( ) X R τ và ( ) X S ω là cặp biến đổi Fourier: ( ) X R τ ↔ ( ) X S ω . Có nhiều tên gọi để chỉ hàm mật độ phổ công suất: mật độ phổ công suất, mật độ phổ, phổ và có lẽ thông dụng và đơn giản nhất là phổ công suất, dù rằng từ này không chính xác vì không liên quan đến đơn vị. Nếu đơn vị của X(t) là Vol (trên đoạn 1 Ω) thì đơn vị của phổ công suất là Wat - giây (W - s) hay Wat/Hz (W/Hz). Tuy nhiên, nếu quá trình có ý nghĩa thực tế khác thì thuật ngữ và các đơn vị đưa ra có thể không còn phù hợp, cần thay đổi. Dù sao, trong các đoạn sau, chúng ta vẫn giữ các thuật ngữ này. Lưu ý: Tần số ω nói đến ở (6.1.4), (6.1.5) là tần số góc (đơn vị là Rad/s). Nhiều tài liệu lại dùng tần số vòng f (đơn vị là Hz) để xác định mật độ phổ: () () j2 f XX fRed. ∞ −πτ −∞ = ττ ∫ S (6.1.4') Từ tính chất của phép biến đổi Fourier suy ra 89 http://www.ebook.edu.vn 90 df. () () j2 f XX Rfe ∞ πτ −∞ τ= ∫ S (6.1.5') Mối quan hệ giữa tần số góc và tần số vòng là: 2 f ω =π. Từ đó, mối quan hệ giữa "hai dạng mật độ" là: () () ( ) XX XX S, 2 fS2f ⎧ . ω ⎛⎞ ω= ⎪⎜⎟ π ⎝⎠ ⎨ ⎪ = π ⎩ S S (6.1.6) Nếu không sợ hiểu nhầm, người ta có thể viết ( ) X S f thay cho X . 2 ω ⎛⎞ ⎜⎟ π ⎝⎠ S Với quy ước đó thì: ( ) ( ) XX SSω= f. Tính chất của phổ công suất thể hiện ở định lý sau. Định lý 6.1. Phổ công suất ( ) X S ω của QTNN thực, dừng ( ) { } Xt,t∈ ¡ có các tính chất sau đây: i) ( ) X S ω là hàm thực, không âm, chẵn của tần số ω∈¡ và có thể tính theo công thức ( ) () ( ) () ( ) XX X 0 S Rcosd2Rcosd ∞∞ −∞ .ω =τωττ=τωτ ∫∫ τ (6.1.7) ii) ( ) X S ω xác định duy nhất hàm tự tương quan ( ) X R τ : () () ( ) () ( ) XX X 0 11 RScosdScos 2 ∞∞ −∞ d. τ =ωωτω=ωωτ ππ ∫∫ ω (6.1.8) iii) Công suất của QT ( ) { } Xt là hằng số, xác định theo: () () () () () () 22 XX 1 Pt EXt EX0 S d 2 ∞ −∞ ===ω π ∫ ω. (6.1.9) Chứng minh. (i) Vì ( ) X R τ là thực và chẵn suy ra: () ( ) ( ) () ( ) () ( ) XX XX 0 SR()cosjsind R cos d 2 R cos d . ∞ −∞ ∞∞ −∞ ω= τ⎡ ωτ− ωτ⎤τ ⎣⎦ =τωττ=τωτ ∫ ∫∫ τ Từ (6.1.2) và từ chỗ kỳ vọng của BNN không âm là không âm, ta suy ra ( ) X Sω≥0. Tính chất thực và chẵn của ( ) X S ω được suy từ (6.1.7). http://www.ebook.edu.vn (ii) Khẳng định suy ra từ tính chẵn của ( ) X S ω và tính chất của phép biến đổi Fourier: ( ) X R τ là biến đổi Fourier ngược của ( ) X S ω () () () ( ) () ( ) j XX XX 0 1 RSed 2 11 Scosd Scos 2 ∞ ωτ −∞ ∞∞ −∞ τ= ω τ π =ωωττ=ωωτ ππ ∫ ∫∫ d. τ (iii) Thay τ = 0 vào (6.1.8) ta nhận được (6.1.9).  Ví dụ 6.1. Sóng sin ngẫu nhiên . Xét QTNN ( ) ( ) 0 Xt Asin t U, t= ω+ ∈¡ với A, ω 0 - hằng số, U có phân bố đều trên [0; 2π]. là dừng với () () 2 Xo A Rcos 2 τ =ωτ. Từ Ví dụ 5.10 , ta thấy ( ) { } Xt Từ bảng B-2 các phép biến đổi Fourier ở Phụ lục, ta có () ()( 2 X0 A S 2 π ) 0 ⎡ ⎤ ω= δω−ω +δω+ω ⎣ ⎦ . Hình 6.2 mô tả mật độ này. Các tính chất (i), (ii) dễ dàng được kiểm nghiệm. Công suất của tín hiệu tính bởi: () 222 XX 1AA PSd 24 +∞ −∞ =ωω=+= π ∫ A . 42 X S()ω ω 0 −ω 0 ω 2 A 2 π Hình 6.2. Phổ công suất của sóng sin ngẫu nhiên Ví dụ 6.2. Tín hiệu điện báo ngẫu nhiên . Đó là QTNN Z(t) = AY(t) trong đó ( ) { } Yt là QT điện báo nửa ngẫu nhiên xét đến ở Ví dụ 5.18, còn A là BNN nhận giá trị ± 1 với xác suất 1/2 và độc lập với Y(t). Chúng ta sẽ chứng tỏ ( ) { } Z t là QT dừng và tìm phổ công suất của nó. Trước hết ta có: ( ) ( ) EZt E[A]ETt 0.⎡⎤= ⎡⎤= ⎣⎦ ⎣⎦ 91 http://www.ebook.edu.vn Bởi vì 2 E[A] 0 ; E[A ] 1= = , sử dụng kết quả ở Ví dụ 5.18 suy ra: () ()() ()() 2 Z 22 R t ,t EAYt Yt E[A ]E Y t Y t e , t, 0. −λτ ⎡⎤ +τ = +τ ⎣⎦ =⎡+τ⎤=τ ⎣⎦ ≥ Vậy ( ) { } Z t là QT dừng. Tính trực tiếp hoặc sử dụng bảng B-2 các phép biến đổi Fourier ở Phụ lục B ta được () 2 j Z 22 4 Seed 4 ∞ −λτ −ωτ −∞ λ ω= τ = λ+ω ∫ . Giả sử cho trước hàm số ( ) S,ω ω∈¡. Với điều kiện nào ( ) S ω là phổ công suất của một QT dừng ( ) { } X t nào đó? Định lý sau cho ta câu trả lời với trường hợp thời gian liên tục. Định lý 6.2. Hàm ( ) S,ωω∈¡ là phổ công suất của một QT dừng, nhận giá trị thực với công suất hữu hạn nào đó khi và chỉ khi ( ) S ω là hàm chẵn, thực, không âm, khả tích trên ¡ . Chứng minh. Điều kiện cần suy từ tính chất phổ công suất (Định lý 6.1). Để chứng minh điều kiện đủ, xét QTNN ( ) { } X t là dao động ngẫu nhiên ( ) ( ) Xt acosVt+U= trong đó a là hằng số chọn sau; U là V là hai BNN độc lập; U có phân bố đều trên [0;2π]; V có hàm mật độ f V (x) chọn sau. Trước hết thấy ( ) { } X t là QT dừng. Thực vậy, từ chỗ U và V độc lập ta có: ( ) ( ) () () EXt aEcosVt+U a E[cos Vt ]E[cos (U)] E[sin Vt ]E[sin(U)] 0. 2 ⎡⎤=⎡ ⎤ ⎣⎦⎣ ⎦ = ⎡− ⎣⎦ ⎤= Tương tự tính toán ta thấy ( ) ( ) EcosV2t+ 2U 0. ⎡⎤ τ += ⎣⎦ Từ đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 E X t+ X t a E cos V t+ +U cos Vt+U ⎡ ⎤ ⎡τ ⎤= τ ⎣⎦ ⎣ ⎦ () ( ) () {} 2 a E[cos V ] E[cos V 2t+ 2U ] 2 =τ+ τ+ () 2 a E[cos V ]. 2 = τ là hàm chỉ phụ thuộc vào τ. Vậy QT ( ) { } Xt dừng với () () () ( ) 22 XV aa R E[cos V ] f cos d . 22 ∞ −∞ τ= τ = ω ωτ ω ∫ Theo (6.1.8), chúng ta chọn mật độ f V (x) sao cho () () () ( ) 2 VV 2 2S a fShayf 2 a ω ω= ω ω= . 92 http://www.ebook.edu.vn 93 1Vì ta chỉ cần chọn () V fd ∞ −∞ ωω= ∫ () a2Sd ∞ −∞ .= ωω ∫ Cuối cùng () ( ) () V Sx fx Sxdx ∞ −∞ = ∫ là dạng chuẩn hoá của phổ công suất S(ω) (để trở thành mật độ xác suất).  Lưu ý: Nếu bỏ tính chẵn của S( )ω , ta được phổ công suất của QT dừng, nói chung nhận giá trị phức (xem Định lý 6. 2 ′ ). 6.1.3. Mật độ phổ công suất chéo Giống như trên, ta dùng định nghĩa sau đây về mật độ phổ công suất chéo. Định nghĩa. Ta gọi biến đổi Fourier của hàm tự tương quan chéo của hai quá trình dừng đồng thời là mật độ phổ công suất chéo (gọi tắt: phổ công suất chéo) của chúng: {X(t)},{Y(t)} () () j XY XY SRed ∞ − ωτ −∞ ω =τ ∫ τ d. , () () j YX YX SRe +∞ −ωτ −∞ ω =τ ∫ τ (6.1.10) Như vậy, phổ công suất chéo là biến đổi Fourier của hàm tương quan chéo. Từ tính chất của phép biến đổi Fourier ta được: () () j XY XY 1 RSe 2 d, ∞ ωτ −∞ τ =ω π ∫ ω () () j YX YX 1 RS 2 ed ∞ ωτ −∞ τ =ω π ∫ ω. (6.1.11) Nói chung, phổ công suất chéo là hàm nhận giá trị phức, kể cả khi QT xuất phát nhận giá trị thực. Ngoài ra, phổ công suất chéo còn có các tính chất khác thể hiện ở định lý sau đây: {X(t)},{Y(t)} Định lý 6.3. Đối với hai quá trình { thực, dừng đồng thời thì: X(t)},{Y(t)} i) ( ) ( ) ( ) * XY YX YX SS Sω= −ω= ω. (6.1.12) ii) ( ) XY Re S⎡ω ⎣⎦ ⎤và ( ) YX Re S⎡ω ⎣ ⎤ ⎦ là những hàm chẵn của ω. iii) ( ) XY Im S⎡ω ⎣⎦ ⎤và ( ) YX Im S⎡ ω⎤ ⎣ ⎦ là những hàm lẻ của ω. iv) Nếu {X(t)} và {Y(t)} là hai QT trực giao thì: ( ) ( ) XY YX SS0ω =ω=. v) Nếu { là hai quá trình không tương quan thì X(t)},{Y(t)} ( ) ( ) ( ) XY YX X Y SS2ω= ω=πµµδω. (6.1.13) http://www.ebook.edu.vn Định lý 6.4 (Phổ công suất của tổng hai quá trình) Nếu { là hai quá trình thực, dừng đồng thời thì X(t)},{Y(t)} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) XY X Y XY YX SSSSS + ω= ω+ ω+ ω+ ω. (6.1.14) Chứng minh. Sử dụng tính chất của hàm tương quan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) XY X Y XY YX RRRRR + τ= τ+ τ+ τ+ τ (công thức (5.2.18)) rồi dùng phép biến đổi Fourier cả hai vế.  Định lý trên cho phép chúng ta tính phổ công suất của tổng hai QT thông qua phổ công suất của từng quá trình và các phổ công suất chéo. Định lý cũng được mở rộng sang trường hợp n quá trình. Định lý 6.5. Nếu ( ) ( ) { } 1N X t , ., X t là các QT thực, dừng đồng thời thì: () () () N X .X X XX 1N i ij i1 i j SSS ++ =≠ ω =ω+ ∑∑ ω. (6.1.15) Ví dụ 6.3. Dạng trễ của tín hiệu ngẫu nhiên. Cho QT dừng {X(t)} với phổ công suất ( ) X S ω , {Y(t)} là dạng trễ của {X(t)} xác định bởi Y(t) = X(t - d), d là hằng số dương cho trước. Khi đó YX (t) E(X(t d))µ= −=µ ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) YX Rt,s EYtYs EXtdXsd Rts=⎡ ⎤=⎡ − −⎤= − ⎣⎦⎣ ⎦ . Vậy {Y(t)}là QT dừng với cùng hàm tự tương quan và do đó cùng phổ công suất với {X(t)}: ( ) ( ) YX SSω =ω. Từ đây rút ra nhận xét: Sự bằng nhau của hai hàm tự tương quan hoặc của hai phổ công suất của hai QT dừng chưa thể suy ra các quỹ đạo trùng nhau. Bây giờ ta tính hàm tương quan chéo. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) YX X Rt,sEYtXsEXtdXsRtsd=⎡ ⎤=⎡ − ⎤= −− ⎣⎦⎣ ⎦ . Hàm này chỉ phụ thuộc vào hiệu t - s, vậy ( ) ( ) { } Xt,Yt là dừng đồng thời, ( ) ( ) YX X RRdτ =τ−. Từ tính chất của phép biến đổi Fourier suy ra ( ) YX S ω= ℱ ( ) ( ) jd XX RdSe. − ω ⎡τ−⎤=ω ⎣⎦ Rõ ràng ở đây phổ công suất chéo không nhận giá trị thực. Ví dụ 6.4. Xét hai QTNN ( ) ( ) ( ) ( ) 00 Xt sin t U; Yt cos t U=ω+ = ω+ trong đó tần số ω 0 cố định, U có phân bố đều trên [0;2π]. 94 http://www.ebook.edu.vn Như đã thấy (xem Ví dụ 5.10), mỗi QT ( ) { } Xt và ( ) { } Yt là dừng. Chúng ta tính hàm tương quan chéo ( ) ( ) ( ) ( ) XY 0 0 Rt+,tEsin t UcostU ⎡⎤ τ= ω +τ+ ω+ ⎣⎦ () () () 00 1 Esin sin 2t 2U 2 ⎡⎤ = ωτ+ ω +τ+ ⎣⎦ () () 0XY 1 sin R . 2 = ωτ = τ Đây là hàm chỉ phụ thuộc τ, vậy ( ) { } ( ) { } Xt , Yt là dừng đồng thời. Ta tính phổ công suất chéo () () ()() j XY 0 0 0 1j Ssined 22 ∞ −ωτ −∞ π . ⎡ ⎤ ω= ωτ τ= δω+ω −δω−ω ⎣ ⎦ ∫ Sử dụng (6.1.12) chúng ta nhận được () ()( * YX XY 0 0 j ) () . 2 SS − π ⎡ ⎤ ω= ω= δω+ω −δω−ω ⎣ ⎦ Ví dụ 6.5. Cho phổ công suất chéo b aj W ω + với − W < ω < W ( ) XY S ω= 0 ngược lại trong đó a, b, W là các hằng số thực, W > 0. Tích phân từng phần ta được () ()() ( W j XY -W 2 1b R a+j e d . 2W 1 aW b sin W bW co s W . W ωτ ω ⎛⎞ τ= ω= = ⎜⎟ π ⎝⎠ =⎡τ− τ+τ τ ) ⎤ ⎣ ⎦ πτ ∫ 6.1.4. Mật độ phổ công suất cho quá trình thực, không dừng Người ta cũng nghiên cứu phổ công suất cho QT không dừng. Chúng ta lướt qua một vài kết quả chính. Các hàm tự tương quan, tương quan chéo trong các công thức (6.1.4), (6.1.5), (6.1.10) cần phải thay bởi hàm tự tương quan thời gian, tương quan chéo thời gian: () ( ) j XX - SARt,te ∞ −ωτ ∞ ω= ⎡ +τ ⎤ τ ⎣⎦ ∫ d, () () j XX - 1 AR t ,t S e d. 2 ∞ ωτ ∞ ⎡+τ⎤= ω ⎣⎦ π ∫ τ Rt,ted. (6.1.16) SA () ( ) j XY XY - ∞ −ωτ ∞ ω= ⎡ +τ ⎤ τ ⎣⎦ ∫ (6.1.17) 95 [...]... công suất của quá trình lấy mẫu Trong ứng dụng, nhiều QT số (digital process) - tức là dãy ngẫu nhiên được tạo thành bằng cách lấy mẫu một quá trình tương tự (analog process) - tức là QT với thời gian liên tục – nào đó Sau đây chúng ta trình bày mối liên hệ giữa các hàm tương quan cũng như mật độ phổ của hai QT này Cho QT tương tự {X a ( t ) , t ∈R} Quá trình số {X d ( n )} được tạo ra bằng cách lấy mẫu:... giờ là nhằm mô tả các hiện tượng ngẫu nhiên bằng cách mô hình hoá nó như là quỹ đạo của QTNN Chúng ta nhận ra rằng, phương pháp miền thời gian dựa vào hàm tương quan và kỹ thuật miền tần số dựa vào phổ công suất lập nên những cách cực kỳ hiệu quả để xác định dáng điệu của tín hiệu ngẫu nhiên Tuy nhiên, chúng ta phải dừng lại ở đây, bởi vì khía cạnh quan trọng nhất của tín hiệu ngẫu nhiên là gắn kết... trị của mỗi quá trình có thực tại hai thời điểm đủ gần nhau luôn tương quan với nhau! Như vậy, nhiễu trắng là QT lý tưởng hoá, không có trong thế giới thực Tuy nhiên, trong lý thuyết mạch, mạng thông tin,…, nhiễu trắng luôn là mô hình được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi nhất Hai trong những lý do quan trọng giải thích cho hiện tượng này là: + Mỗi quá trình dừng với phổ công suất không quá đặc biệt... không là biến đổi Fourier của quá trình, mà là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan của QT; sự khác biệt giữa hai công thức (6.2.13) và (6.3.11) là điều hiểu được c) Trường hợp QT phức Nếu đầu vào là tín hiệu ngẫu nhiên phức, đáp ứng xung là hàm phức thì các kết quả trên thay đổi một chút Vói các lý do như với trường hợp thực chúng ta nhận được các kết luận sau Thay thế các công thức (6.3.4), (6.3.5)... chỉ phụ thuộc vào hiệu t – s nên {X ( t ) } , {Y ( t ) } là hai quá trình dừng đồng thời Các công thức (6.3.3) – (6.3.6) được đơn giản đi rất nhiều Định lý 6.13 Giả sử thoả mãn các giả thiết ở Định lý 6.10, ngoài ra QT đầu vào {X ( t )} là dừng với hàm kỳ vọng µ X ( t ) và hàm tự tương quan RX(τ) Khi đó {X ( t ) } ,{Y ( t )} là hai quá trình dừng đồng thời, hơn nữa: µ Y =µ X ∞ ∫ h ( t ) dt ; (6.3.7)... biến đổi Fourier §6.3 HỆ TUYẾN TÍNH VỚI ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN 6.3.1 Vấn đề đầu ra Giả sử chúng ta có hệ LTI Trước hết giả sử với đáp ứng xung h(t) khả tích tuyệt đối trên R Xét QTNN {x ( t ) , t∈ R} , các qũy đạo x ( t,ζ ) của nó là đầu vào hệ đã cho (Hình 6.9) X( t,ζ ) h(t) Y( t,ζ ) Hình 6.9 Hệ LTI với đầu vào ngẫu nhiên Với mỗi kết cục của thí nghiệm ngẫu nhiên ζ ∈ S cố định, tín hiệu tất định Y ( t,ζ... Tuy nhiên, tính toán họ phân bố hữu hạn chiều của QT đầu ra như thế là hết sức phức tạp, chỉ có câu trả lời đầy đủ khi QT đầu vào là Gauss Trong trường hợp tổng quát, người ta chỉ có thể biết được những đặc trưng riêng rẽ về đầu ra Điều này hạn chế mọi hy vọng rằng sẽ có một đặc trưng xác suất đầy đủ về đầu ra 6.3.2 Các đặc trưng xác suất của QT đầu ra a) Trường hợp tổng quát với QT thực Định lý 6.12... hệ tuyến tính tất định có thể bỏ qua mục này, chuyển ngay đến mục §6.3 tiếp sau 6.2.1 Hệ tuyến tính tổng quát Hệ là mô hình toán học của một quá trình vật lý mà tác động lên tín hiệu đầu vào x(t) để tạo thành tín hiệu đầu ra y(t) Như vậy, hệ là phép biến đổi (ánh xạ) tín hiệu x(t) nằm trong tập các tín hiệu được phép D nào đó thành tín hiệu y(t) Phép biến đổi này ký hiệu bởi T và chúng ta viết y (... ( ω) dω = PYX 2π −∞ SXY (ω) = SYX (−ω) = S∗ (ω) YX (6.1.20) Ví dụ 6.6 Đáp ứng của bộ tích với tín hiệu ngẫu nhiên Bộ tích là thiết bị điện thông dụng Ở đây, dạng sóng ngẫu nhiên {X(t)} được nhân với sóng mang cosin (có thể là sin) để tạo thành QT mới Y(t) = X(t)A o cos(ωo t) trong đó A o ,ωo là các hằng số Chúng ta tính A o cos(ωo t) phổ công suất SY (ω) qua SX (ω) R Y (t + τ, t) = E[Y(t+τ,t)Y(t)]... vẫn còn đúng cho trường hợp phức 6.3.3 Đáp ứng hệ LTI rời rạc với đầu vào ngẫu nhiên Chúng ta đã nghiên cứu hàm tương quan và phổ công suất của dãy ngẫu nhiên ở các mục 6.1.5 và 6.2.4 Bây giờ giả sử tại đầu vào của hệ LTI rời rạc cho tác động một dãy ngẫu nhiên {X ( n )} Theo (6.2.23) ta xác định được {Y ( n )} Y(n) = ∞ ∑ X(n − m)h(m) , m =−∞ 120 http://www.ebook.edu.vn (6.3.15) giới hạn theo bình . http://www.ebook.edu.vn Chương 6 XỬ LÝ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN §6.1. MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT 6.1.1. Vấn đề nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên trong miền tần số (☼). suất của quá trình lấy mẫu . Trong ứng dụng, nhiều QT số (digital process) - tức là dãy ngẫu nhiên - được tạo thành bằng cách lấy mẫu một quá trình tương