Giới hạn và liên tục của hàm một biến thực

Chương 2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC 2.1. Hàm số 2.1.1. Định nghĩa - Phân loại hàm số Một ánh xạ f từ một tập con X của R vào R được gọi là một hàm số, X được gọi là miền xác định của f còn f(X) được gọi là miền giá trị của nó. Đồ thị của hàm số f là tập hợp: Gr(f) := {(x; f(x)) | x ∈ X} ⊆ R × R. Vẽ đồ thị của một hàm số chính là biểu diễn tập hợp tất cả các điểm M(x; f(x)), x ∈ X trong mặt phẳng toạ độ Descartes vuông góc Oxy. Hàm f : X −→ R được gọi là hàm chẵn (lẻ) nếu tập X là đối xứng (tức là ∀x, x ∈ X ⇒ −x ∈ X) và ∀x ∈ X, f(−x) = f(x) (f(−x) = −f(x)) . Rõ ràng, một hàm số là chẵn (lẻ) nếu và chỉ nếu đồ thị của nó là một hình đối xứng qua trục Oy (qua tâm toạ độ O) trong mặt phẳng Oxy. Hàm f : R −→ R được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số dương L sao cho f(x + L) = f(x); ∀x ∈ R. (2.1) Lúc đó, L được gọi là một chu kỳ của f (Thật ra, người ta thường chọn số dương L bé nhất, nếu có, thoả mãn (2.1) làm chu kỳ của f). Hàm f được gọi là hàm không giảm (không tăng; tăng; giảm) trên (a, b) ⊆ X nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ (a, b), x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) (f(x 1 ) ≥ f(x 2 ); f(x 1 ) < f(x 2 ); f(x 1 ) > f(x 2 )). 27 Một hàm thoả mãn một trong bốn tính chất trên được gọi là hàm đơn điệu trên khoảng (a, b). Hàm f được gọi là lồi (lõm) trên khoảng (a, b) ⊆ X nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ (a, b) và mọi số λ ∈ (0, 1) ta có f(λx 1 +(1−λ)x 2 ) ≤ λf(x 1 )+(1−λ)f(x 2 ) (f(λx 1 +(1−λ)x 2 ) ≥ λf(x 1 )+(1−λ)f(x 2 )). 2.1.2. Các phép toán trên hàm số Cho X ⊆ R. Ta đặt F := {f | f : X → R}. Với mọi f, g ∈ F ta gọi f bé hơn hoặc bằng g và viết f ≤ g nếu với mọi x ∈ X, f(x) ≤ g(x). Tương tự, ta có thể định nghĩa các quan hệ bé hơn, lớn hơn, lớn hơn hoặc bằng trên F. Dễ kiểm chứng được rằng đây là các quan hệ thứ tự bộ phận trên F. f được gọi là bằng g, và viết f = g, nếu f(x) = g(x) với mọi x ∈ X. Với mọi f, g ∈ F, ta định nghĩa f ± g, f.g, f g , f ∨ g, f ∧ g : X → R là các hàm được xác định bởi, ∀x ∈ X : (f ± g)(x) := f(x)± g(x); (f.g)(x) := f(x).g(x);  f g  (x) := f(x) g(x) ; (f ∨ g)(x) := max{f (x), g(x)}; (f ∧ g)(x) := min{f (x), g(x)}. Cho f : X → R và g : Y ⊂ R → R là các hàm số sao cho f(X) ⊂ Y . Hàm hợp của f và g, ký hiệu g ◦ f, là hàm được xác định bởi (g ◦ f)(x) := g[f (x)] với mọi x ∈ X. Dễ thấy rằng, nói chung, g ◦ f = f ◦ g. Cho f là hàm số xác định trên X sao cho f : X → Y là một song ánh. Lúc đó tồn tại ánh xạ ngược f −1 : Y → X. f −1 được gọi là hàm ngược của f. Nếu quan niệm đồ thị của f −1 là tập {(x, y) | y ∈ Y ; x = f −1 (y)} thì đồ thị của f và f −1 trùng nhau. Nhưng nếu xem đồ thì hàm f −1 là tập Gr(f −1 ) := {(x; y) | x ∈ Y ; y = f −1 (x)} thì hai đồ thị là đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Cụ thể là ∀(x, y) ∈ R 2 : (x, y) ∈ Gr(f) ⇐⇒ (y, x) ∈ Gr(f −1 ). 28 2.1.3. Một số hàm cơ bản a. Hàm đa thức, hàm phân thức Với mỗi số thực x và số nguyên dương n người ta định nghĩa luỹ thừa bậc n của x một cách quy nạp như sau: x 1 := x; x n := (x n−1 ).x với n ≥ 2. Hàm đa thức bậc n là hàm có dạng y = a n x n + a n−1 x n−1 + ··· + a 1 x + a 0 . Hàm phân thức là thương của hai hàm đa thức: y = a n x n + a n−1 x n−1 + ··· + a 1 x + a 0 b m x m + b m−1 x m−1 + ··· + b 1 x + b 0 . b. Các hàm lượng giác Là các hàm đã được khảo sát kỹ trong chương trình phổ thông, thông qua các số đo trong hình tròn đơn vị: Hàm y = sin(x) xác định trên R, nhận giá trị trong [−1, 1]. Đây là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm y = cos(x) xác định trên R, nhận giá trị trong [−1, 1]. Đây là hàm chẵn và cũng tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm y = tan(x) = tg(x) được xác định bởi tan(x) := sin(x) cos(x) . Hàm này có miền xác định là mọi x = π 2 + kπ, k ∈ Z và có tập giá trị là R. Hàm y = cot(x) = cotg(x) được xác định bởi cot(x) := cos(x) sin(x) . Hàm này có miền xác định là mọi x = kπ, k ∈ Z và có tập giá trị là R. Các hàm tan và cot đều là các hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ π. c. Các hàm lượng giác ngược Hàm sin là một song ánh từ [− π 2 , π 2 ] lên [−1, 1]. Hàm ngược của nó được gọi là hàm arcsin. Vậy y = arcsin(x) ⇐⇒ x = sin(y) với mọi x ∈ [−1, 1] và y ∈ [ π 2 , π 2 ]. Hàm cos là một song ánh từ [0, π] lên [−1, 1]. Hàm ngược của nó được gọi là hàm arccos. Vậy y = arccos(x) ⇐⇒ x = cos(y) với mọi x ∈ [−1, 1] và y ∈ [0, π]. Hàm tan là một song ánh từ (− π 2 , π 2 ) lên R. Hàm ngược của nó được gọi là hàm arctan. Vậy y = arctan(x) ⇐⇒ x = tan(y) với mọi x ∈ R và y ∈ ( π 2 , π 2 ). Hàm cot là một song ánh từ (0, π) lên R. Hàm ngược của nó được gọi là hàm arccot. Vậy y = arccot(x) ⇐⇒ x = cot(y) với mọi x ∈ R và y ∈ (0, π). 29 2.2. Giới hạn của hàm số 2.2.1. Các định nghĩa a. Giới hạn hàm số tại một điểm Cho hàm f xác định trong N δ (x 0 ) \ {x 0 }, ta nói f có giới hạn bằng l ∈ R tại x 0 nếu ∀ > 0,∃δ 1 > 0,∀x ∈ N δ 1 (x 0 ) \ {x 0 } : |f(x)− l| < . Lúc đó, ta viết lim x→x 0 f(x) = l. Ví dụ 2.1. Hàm f(x) = x 2 − 1 x − 1 có giới hạn bằng 2 tại x 0 = 1. Hàm f(x) = x sin  1 x  có giới hạn bằng 0 tại 0. b. Giới hạn hàm số tại vô cùng + Cho hàm f xác định trên khoảng (a; +∞), ta nói f có giới hạn bằng l ∈ R tại +∞ nếu ∀ > 0,∃M,∀x > M : |f(x)− l| < . Lúc đó, ta viết lim x→+∞ f(x) = l. + Tương tự, nếu hàm f xác định trên khoảng (−∞; b), ta có định nghiã giới hạn tại −∞ như sau: lim x→−∞ f(x) = l ⇔ ∀ > 0,∃m,∀x < m : |f(x) − l| < . Ví dụ 2.2. lim x→+∞ x √ x 2 + 1 = 1; lim x→−∞ x √ x 2 + 1 = −1. c. Giới hạn trái, phải Cho hàm f xác định trên khoảng (x 0 ; x 0 + δ) ((x 0 − δ; x 0 )), ta nói f có giới hạn phải (trái) bằng l ∈ R tại x 0 nếu ∀ > 0,∃δ 1 > 0,∀x ∈ (x 0 ; x 0 + δ 1 )(∀x ∈ (x 0 − δ 1 ; x 0 )) : |f(x)− l| < . Lúc đó, ta viết l = lim x→x 0 + f(x) (l = lim x→x 0 − f(x)). d. Giới hạn bằng vô cùng Trong các định nghĩa trên, giới hạn của hàm f là một số thực l. Bây giờ ta sẽ xét đến các trường hợp ở đó giá trị hàm f tiến ra vô cùng khi x dần đến x 0 . 30 + Cho hàm f xác định trong N δ (x 0 ) \ {x 0 }, ta nói f có giới hạn bằng +∞ tại x 0 nếu ∀K,∃δ 1 > 0,∀x ∈ N δ 1 (x 0 ) \ {x 0 } : f(x) > K. Ký hiệu: lim x→x 0 f(x) = ∞. + Tương tự, ta có định nghĩa: lim x→x 0 f(x) = −∞ ⇔ ∀L,∃δ 1 > 0,∀x ∈ N δ 1 (x 0 ) \ {x 0 } : f(x) < L. + Khi f xác định trên (0; +∞), ta có định nghĩa giới hạn vô cùng tại vô cùng: lim x→+∞ f(x) = +∞ ⇔ ∀K,∃M,∀x > M : f(x) > K. Việc đưa ra các định nghĩa lim x→+∞ f(x) = −∞; lim x→−∞ f(x) = +∞; lim x→−∞ f(x) = −∞ cũng như các giới hạn trái, phải bằng vô cùng được dành cho các bạn. Ví dụ 2.3. Hàm hằng f = C trên (a, b)  x 0 : lim x→x 0 C = C. Hàm đồng nhất f(x) = x trên (a, b)  x 0 : lim x→x 0 x = x 0 . Hàm f(x) = 1 x : lim x→0+ 1 x = +∞; lim x→0− 1 x = −∞; lim x→±∞ 1 x = 0. 2.2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn Định lý 2.1 (Tiêu chuẩn qua dãy). Cho f xác định trên N δ (x 0 ) \ {x 0 }. Lúc đó lim x→x 0 f(x) = l ⇐⇒ (∀(x n ) ⊂ N δ (x 0 ) \ {x 0 }, x n → x 0 ⇒ f(x n ) → l). Lưu ý rằng định lý trên đúng cả khi l = ±∞. Ngoài ra, ta cũng có các phát biểu tương tự cho các trường hợp giới hạn một phía. Mệnh đề 2.2. Nếu f có giới hạn l ∈ R tại x 0 thì đó là giới hạn duy nhất. 31 Mệnh đề 2.3. Nếu f có giới hạn l ∈ (a; b) tại x 0 thì tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ∈ (a; b) với mọi x ∈ N δ (x 0 ) \ {x 0 }. Định lý 2.4 (Tiêu chuẩn Cauchy). Hàm f có giới hạn hữu hạn tại x 0 khi và chỉ khi ∀ > 0,∃δ 0 > 0,∀x, x  ∈ N δ 0 (x 0 ) \ {x 0 }, |f(x)− f(x  )| < . Định lý 2.5. Giả sử lim x→x 0 f(x) = l ∈ R, lim x→x 0 g(x) = m ∈ R và λ ∈ R. Lúc đó, a) lim x→x 0 (f ± g)(x) = l ± m; b) lim x→x 0 (λf)(x) = λl; c) lim x→x 0 (fg)(x) = lm; d) Nếu m = 0 thì lim x→x 0  f g  (x) = l m ; e) Nếu f ≤ g thì l ≤ m. Các phát biểu a)-d) được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải có nghĩa. Mệnh đề 2.6. Giả sử f ≤ g ≤ h trên N δ (x 0 ) \ {x 0 } và lim x→x 0 f(x) = lim x→x 0 h(x) = l. Lúc đó lim x→x 0 g(x) = l. Định lý 2.7. Giả sử f là một hàm đơn điệu trên (a; b) và c là một điểm nằm trong khoảng này. Lúc đó tồn tại các giới hạn một phía hữu hạn của hàm f tại c. Chú ý rằng cũng tồn tại các giới hạn lim x→a+ f(x) ∈ R; lim x→b− f(x) ∈ R. Hơn nữa, nếu f bị chặn trên (a; b) thì các giới hạn đó hữu hạn. 2.2.3. Vô cùng bé, vô cùng lớn Hàm f được gọi là một vô cùng bé khi x → x 0 nếu lim x→x 0 f(x) = 0; Hàm f được gọi là một vô cùng lớn khi x → x 0 nếu lim x→x 0 |f(x)| = +∞. 32 Hệ quả 2.1. f là một vô cùng lớn khi x → x 0 nếu và chỉ nếu 1 f là một vô cùng bé khi x → x 0 . Cho α và β là hai vô cùng bé khi x → x 0 . Ta nói - α và β là hai vô cùng bé tương đương và viết α ∼ β nếu lim x→x 0 α(x) β(x) = 1. - α là vô cùng bé bậc cao hơn β và viết α = o(β) nếu lim x→x 0 α(x) β(x) = 0. - α và β là các vô cùng bé cùng bậc nếu lim x→x 0 α(x) β(x) = m ∈ R \ {0}. Rõ ràng, điều này xảy ra khi và chỉ khi α ∼ mβ. 2.2.4. Giới hạn của một số hàm số cơ bản a. Giới hạn của các hàm đa thức và phân thức Từ phép lấy giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương ta dễ dàng nhận được giới hạn của hàm đa thức và phân thức. Cụ thể, nếu P (x) và Q(x) là các đa thức thì ta có lim x→x 0 P (x) = P (x 0 ); lim x→x 0 P (x) Q(x) = P (x 0 ) Q(x 0 ) ; nếu Q(x 0 ) = 0. b. Giới hạn của các hàm lượng giác Ta cũng dễ dàng chứng minh được các công thức giới hạn sau lim x→x 0 sin(x) = sin(x 0 ). lim x→x 0 cos(x) = cos(x 0 ). lim x→x 0 tan(x) = tan(x 0 ); x 0 = π 2 + kπ. lim x→x 0 cot(x) = cot(x 0 ); x 0 = kπ. 33 2.3. Sự liên tục 2.3.1. Định nghĩa Một hàm số f xác định trên N δ (x 0 ) được gọi là liên tục tại x 0 nếu tồn tại giới hạn của f tại điểm đó và lim x→x 0 f(x) = f(x 0 ). Ta nói f gián đoạn tại x 0 nếu nó không liên tục tại điểm đó. Tuy nhiên, ta có các định nghĩa yếu hơn: f được gọi là liên tục trái (phải) tại x 0 nếu nó xác định trong (x 0 − δ; x 0 ] ([x 0 ; x 0 + δ)) và lim x→x 0 − f(x) = f(x 0 ) ( lim x→x 0 + f(x) = f(x 0 )). Bây giờ giả sử f gián đoạn tại x 0 . x 0 được gọi là điểm gián đoạn bỏ được nếu tồn tại giới hạn lim x→x 0 f(x) = f(x 0 ), được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu tồn tại các giới hạn trái phải tại đó nhưng lim x→x 0 − f(x) = lim x→x 0 + f(x). Cuối cùng, x 0 được gọi là điểm gián đoạn loại II nếu nó không thuộc vào hai dạng trên. Hàm f được gọi là liên tục trên (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Nếu f liên tục trên (a; b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a ta nói f liên tục trên [a; b]. Định lý 2.8. Ba phát biểu sau tương đương a) f liên tục tại x 0 ; b) ∀ > 0,∃δ > 0,∀x ∈ N δ (x 0 ) : |f(x)− f(x 0 )| < ; c) ∀(x n ) ⊆ R : x n → x 0 =⇒ f(x n ) → f(x 0 ). Ví dụ 2.4. Các hàm f(x) = C (C ∈ R), f(x) = x, f(x) = sin(x), f(x) = cos(x) và hàm sau đây đều liên tục trên R f(x) :=  x sin( 1 x ); x = 0; 0; x = 0. 34 2.3.2. Các định lý cơ bản Định lý 2.9. Cho f, g là hai hàm liên tục tại x 0 và c là một số thực. Lúc đó, các hàm f ± g, cf, fg đều liên tục tại x 0 . Nếu hơn nữa, g(x 0 ) = 0 thì hàm f g cũng liên tục tại điểm đó. Hệ quả 2.2. a) Một hàm đa thức thì liên tục trên R. b) Một hàm phân thức liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của mẫu. c) Các hàm tan, cot liên tục trên miền xác định của chúng. Định lý 2.10. Nếu hàm f liên tục tại x 0 và hàm g liên tục tại y 0 = g(x 0 ) thì hàm hợp g ◦ f liên tục tại x 0 . Định lý 2.11. Giả sử hàm f liên tục trên [a; b] và f (a)f(b) < 0. Lúc đó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0. Định lý 2.12 (Định lý giá trị trung gian). Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a; b] thì f nhận mọi giá trị nằm giữa f(a) và f(b). Từ nay ta sẽ gọi khoảng là một trong các tập có dạng: [a; b], [a; b), (a; b], (a; b). Từ Định lý 2.12 suy ra rằng một hàm f liên tục trên một khoảng I thì có miền giá trị J = f ( I ) cũng là một khoảng. Mệnh đề 2.13. Một hàm đơn điệu trên một khoảng chỉ có thể có điểm gián đoạn loại I. Hệ quả 2.3. Nếu hàm f đơn điệu trên một khoảng I, có tập giá trị f(I) cũng là một khoảng thì nó liên tục trên I. Định lý 2.14 (Tính liên tục của hàm ngược). Giả sử y = f(x) liên tục, tăng (giảm) trên khoảng I. Lúc đó tồn tại hàm ngược x = f −1 (y) cũng liên tục và tăng (giảm) trên khoảng J = f(I). Hệ quả 2.4. Mọi hàm lượng giác ngược đều liên tục và đơn điệu chặt trên miền xác định của chúng. Định lý 2.15. Cho f liên tục trên khoảng I = [a; b]. Lúc đó tồn tại x ∗ , x ∗ ∈ I sao cho m := f(x ∗ ) ≤ f(x) ≤ f(x ∗ ) =: M; ∀x ∈ I. Hơn nữa, f(I) = [m; M]. Định lý này có thể mở rộng cho trường hợp hàm liên tục trên tập đóng bị chặn, ngoại trừ khẳng định cuối cùng nói rằng miền giá trị là một đoạn. Một hàm f được gọi là liên tục đều trên một tập A ⊆ R nếu ∀ > 0,∃δ > 0,∀x, x  ∈ A : |x − x  | < δ =⇒ |f(x)− f(x  )| < . 35 Chẳng hạn, hàm f(x) = sin(x) liên tục đều trên R, hàm g(x) = sin( 1 x ) liên tục nhưng không liên tục đều trên (0; 1). Định lý 2.16. Mọi hàm số liên tục trên một khoảng đóng, bị chặn thì liên tục đều trên khoảng đó. 2.3.3. Hàm luỹ thừa, hàm mũ a) Căn bậc n Mệnh đề 2.17. Với mọi số nguyên dương n, hàm f n (x) = x n là một hàm tăng và là song ánh liên tục từ [0; +∞) lên [0; +∞). Kết hợp kết quả này với Định lý 2.14 suy ra tồn tại hàm ngược f −1 n đơn điệu tăng và liên tục trên [0; +∞), mà ta gọi là hàm căn bậc n và ký hiệu: n √ x := x 1 n := f −1 n (x). Tức là ∀x, y ∈ [0; +∞) : y = n √ x ⇔ x = y n . Mệnh đề 2.18. a) Cho m > n ≥ 1. Lúc đó 1 < m √ x < n √ x nếu x > 1 và 1 > m √ x > n √ x > 0 nếu x ∈ (0, 1). b) lim n → + ∞ n √ x = 1 với mọi x > 0. Chứng minh. a) Chú ý rằng, với x > 1 ta có 1 < x n < x m nên 1 < mn √ x n < mn √ x m . Tương tự cho trường hợp 0 < x < 1. b) Với x > 1, dãy ( n √ x) n giảm, bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ đến α ≥ 1. Chỉ còn phải kiểm chứng α = 1. b) Luỹ thừa hữu tỷ Với mỗi số thực x > 0, ta định nghĩa x 0 := 1; x −n := 1 x n , n ∈ N ∗ . Cuối cùng, với p ∈ Z và q ∈ N ∗ ta định nghĩa hàm luỹ thừa bậc p q : x p q := q √ x p = (x p ) 1 q . Từ các định lý về sự liên tục của hàm thương và hàm hợp ta dễ dàng chứng minh được tính liên tục của hàm f(x) = x p q trên (0; +∞). Việc định nghĩa luỹ thừa vô tỷ sẽ được xét đến sau khi có định nghĩa hàm mũ. c) Các hàm exp, ln Bổ đề 2.1. Nếu (u n ) là một dãy số hội tụ về 0 thì lim n→+∞  1 + u n n  n = 1. [...]... f : I → I liên tục thì tồn tại x ∈ I sao cho f (x) = x Khẳng định trên còn đúng không nếu I = (a, b)? 2.37 Cho f, g : [0, 1] → [0, 1] là các hàm liên tục Nếu g không giảm và f ◦ g = g ◦ f thì phương trình f (x) = g(x) có nghiệm trên [0, 1] 47 2.38 Chứng minh nếu f liên tục trên R và tồn tại các giới hạn hữu hạn lim f (x), x→±∞ thì f liên tục đều trên R 2.39 Cho f (x) là một hàm số liên tục trên đoạn... tồn tại giới hạn của hàm f tại mọi điểm trên R 1 Chứng minh với mọi a ∈ [−1, 1] tồn tại dãy (xn ) ⊂ R x sao cho xn → 0 và f (xn ) → a 2.25 Cho f (x) = arctan 2.26 Định nghĩa f (x) = x3 x nếu x ∈ Q, nếu x ∈ R \ Q Hàm f có giới hạn tại những điểm nào? 2.27 Cho f là một hàm tuần hoàn trên R và lim f (x) = l ∈ R Chứng minh f x→+∞ là hàm hằng trên R 46 2.28 Cho hai hàm f (x) = x sin giới hạn của hàm g ◦... = x sin giới hạn của hàm g ◦ f tại 0 1 x và g(x) = sgn(x) Chứng minh không tồn tại 2.29 Cho f là một hàm xác định, không âm trong một lân cận của điểm x0 và liên tục tại điểm đó Chứng minh hàm f (x) cũng liên tục tại x0 2.30 Chứng minh nếu f liên tục tại một điểm x0 thì |f | cũng vậy Điều ngược lại còn đúng không? 2.31 Tìm tất cả các điểm gián đoạn của các hàm sau a) f (x) = {x}; b) f (x) = [x] +... dưới dạng tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ 2.12 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ (nếu có) của các hàm sau a) f (x) = sin(3x) + 2 sin(2x); b) f (x) = cos(x2 ); c) f (x) = cos2 x; d) f (x) = [x]; e) f (x) = {x} 44 2.13 Cho hàm số f Tìm sự liên hệ giữa đồ thị hàm f và các hàm: a) g(x) = f (x) + y0 ; b) g(x) = f (x + x0 ); c) g(x) = f (x + x0 ) + y0 ; d) g(x) = |f (x)| 2.14 Vẽ đồ thị các hàm số sau trên... giá trị f (x0 ) := l ta được hàm f liên tục trên (a, b) Lúc đó ta nói hàm f có thể thác triển liên tục lên khoảng (a, b) Trong các hàm sau, hàm nào có thể thác triển liên tục lên R? Nếu được thì bổ sung những giá trị nào tại những điểm nào? 1 1 a) f (x) = x sin ; b) f (x) = sin x x x 1 1 1 ; d) f (x) = ((1 + x)n − 1), n ∈ N∗ c) f (x) = sin x x 2x 2.35 Cho f là hàm liên tục trên R thoả mãn lim f (nx)... với x = p là phân số tối giản của số hữu tỷ x Chứng minh f gián đoạn tại mọi q điểm hữu tỷ khác không và liên tục tại mọi điểm còn lại 2.46 Hãy xác định giá trị tham số m để các hàm số sau liên tục trên R Vẽ đồ thị của các hàm số lúc đó f (x) := −x2 + m; x ≥ −1, (m − 2)x − 3; x < −1 g(x) := (2m + 1)x − 1; x < −1, x3 + mx; x ≥ −1 2.47 Chứng minh rằng nếu hàm f liên tục tại một điểm x0 ∈ R, ở đó f (x0... và được ký hiệu là ln Vậy ∀x ∈ (0; +∞), y ∈ R : y = ln(x) ⇔ x = ey Hệ quả 2.5 Hàm ln liên tục, tăng trên (0; +∞), hơn nữa, a) ln(xy) = ln(x) + ln(y); x > 0, y > 0; b) lim ln(x) = −∞ và lim ln(x) = +∞ x→0+ ln(1 + x) = 1 x→0 x c) lim x→+∞ 38 c) Hàm mũ, hàm lôgarit Bây giờ cho 1 = a > 0 Ta định nghĩa hàm mũ cơ số a bởi công thức sau ax := ex ln(a) ; x ∈ R Dễ kiểm chứng được rằng đây là một hàm liên tục. .. là hàm: fα (x) = xα := eα ln(x) ; x > 0 Có thể kiểm chứng được rằng với α ∈ Q hàm này trùng với hàm luỹ thừa hữu tỷ được định nghĩa trong b) Tức là, √ p xα = q xp ; ∀α = ∈ Q, ∀x > 0 q 2.4 Thực hành tính toán trên Maple 2.4.1 Định nghĩa một hàm số Cú pháp: [> f:= x− > (biểu thức hàm theo x); Sau đó, muốn tính giá trị hàm tại một điểm x0 ta chỉ cần viết f (x0 ) Ta có thể dùng một biến khác thay cho x và. .. nhất hai nghiệm thực trái dấu trong khoảng (−1, 1): 2 x2 ecos(1−x ) − sin(ex ) = 0 2.43 Chứng minh phương trình sau có ít nhất hai nghiệm thực trái dấu trong khoảng (− π , π ): 2 2 π x x sin e + x2 − x tan = 0 2 2 2.44 Chứng minh rằng nếu hàm f (x) liên tục, thì hàm f 2 (x) cũng liên tục Điều ngược lại còn đúng không? 2.45 Cho hàm số thực f được xác định bởi, f (x) = 0 với x là số vô tỷ, và f (x) = 1... 2.32 Tìm tất cả các điểm gián đoạn của hàm:  0; x ∈ R \ Q, f (x) = 1 p p  ; x = với p ∈ Z, q ∈ N∗ và là phân số tối giản q q q 2.33 Tìm m và n để hàm sau   1 − cos x   x2 f (x) = m   2  2x − n nếu x > 0, nếu x = 0, nếu x < 0 liên tục trên R Với f xác định như trên, tìm số S dương lớn nhất sao cho f (x) > 0 với mọi x ∈ (−S, S) 2.34 Cho f là một hàm liên tục trên tập (a, b)\{x0 } Nếu tồn tại . GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC 2.1. Hàm số 2.1.1. Định nghĩa - Phân loại hàm số Một ánh xạ f từ một tập con X của R vào R được gọi là một hàm. Giới hạn của một số hàm số cơ bản a. Giới hạn của các hàm đa thức và phân thức Từ phép lấy giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương ta dễ dàng nhận được giới