Giới hạn và liên tục của hàm số

Chu . o . ng 7 Gi´o . iha . nv`aliˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ 7.1 Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 4 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o . id i . nh ngh˜ıa gi´o . i ha . n 5 7.1.2 Ch´u . ng minh su . . hˆo . itu . cu ’ a d˜ay sˆo ´ du . . a trˆen c´ac d i . nh l´y vˆe ` gi´o . iha . n 11 7.1.3 Ch´u . ng minh su . . hˆo . itu . cu ’ a d˜ay sˆo ´ du . . a trˆen d iˆe ` ukiˆe . ndu ’ dˆe ’ d˜ay hˆo . itu . (nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 17 7.1.4 Ch´u . ng minh su . . hˆo . itu . cu ’ a d˜ay sˆo ´ du . . a trˆen d iˆe ` ukiˆe . ncˆa ` nv`adu ’ dˆe ’ d˜ay hˆo . itu . (nguyˆen l ´y h ˆo . itu . Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25 7.2 Gi´o . iha . n h`am mˆo . tbiˆe ´ n 27 7.2.1 C´ac kh´ai niˆe . mv`ad i . nh l´y co . ba ’ nvˆe ` gi´o . iha . n27 7.3 H`am liˆen tu . c 41 7.4 Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n. 51 4Chu . o . ng 7. Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ 7.1 Gi´o . iha . ncu ’ ad˜ay sˆo ´ H`am sˆo ´ x´ac di . nh trˆen tˆa . pho . . p N d u . o . . cgo . i l`a d˜ay sˆo ´ vˆo ha . n. D˜ay sˆo ´ thu . `o . ng d u . o . . cviˆe ´ tdu . ´o . ida . ng: a 1 ,a 2 , .,a n , . (7.1) ho˘a . c {a n }, trong d´o a n = f(n), n ∈ N du . o . . cgo . il`asˆo ´ ha . ng tˆo ’ ng qu´at cu ’ a d˜ay, n l`a sˆo ´ hiˆe . ucu ’ asˆo ´ ha . ng trong d˜ay. Ta cˆa ` nlu . u ´y c´ac kh´ai niˆe . m sau d ˆay: i) D˜ay (7.1) d u . o . . cgo . il`abi . ch˘a . nnˆe ´ u ∃ M ∈ R + : ∀ n ∈ N ⇒|a n |  M; v`a go . i l`a khˆong bi . ch˘a . nnˆe ´ u: ∀ M ∈ R + : ∃ n ∈ N ⇒|a n | >M. ii) Sˆo ´ a d u . o . . cgo . i l`a gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay (7.1) nˆe ´ u: ∀ ε>0, ∃ N(ε):∀ n  N ⇒|a n − a| <ε. (7.2) iii) Sˆo ´ a khˆong pha ’ i l`a gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay (7.1) nˆe ´ u: ∃ ε>0, ∀ N : ∃ n  N ⇒|a n − a|  ε. (7.3) iv) D˜ay c´o gi´o . iha . nd u . o . . cgo . i l`a d˜ay hˆo . itu . , trong tru . `o . ng ho . . p ngu . o . . c la . i d˜ay (7.1) go . i l`a d˜ay phˆan k`y. v) D˜ay (7.1) go . i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe ´ u lim n→∞ a n =0v`ago . i l`a d˜ay vˆo c`ung l´o . nnˆe ´ u ∀ A>0, ∃ N sao cho ∀ n>N⇒|a n | >Av`a viˆe ´ t lim a n = ∞. vi) D iˆe ` ukiˆe . ncˆa ` ndˆe ’ d˜ay hˆo . itu . l`a d˜ay d´o pha ’ ibi . ch˘a . n. Ch´u´y:i) Hˆe . th´u . c (7.2) tu . o . ng d u . o . ng v´o . i: −ε<a n − a<ε⇔ a − ε<a n <a+ ε. (7.4) 7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 5 Hˆe . th´u . c (7.4) ch´u . ng to ’ r˘a ` ng mo . isˆo ´ ha . ng v´o . ichı ’ sˆo ´ n>Ncu ’ a d˜ay hˆo . itu . d ˆe ` un˘a ` m trong khoa ’ ng (a − ε, a + ε), khoa ’ ng n`ay go . il`aε-lˆan cˆa . ncu ’ ad iˆe ’ m a. Nhu . vˆa . y, nˆe ´ u d˜ay (7.1) hˆo . itu . d ˆe ´ nsˆo ´ a th`ı mo . isˆo ´ ha . ng cu ’ a n´o tr`u . ra mˆo . tsˆo ´ h˜u . uha . nsˆo ´ ha . ng d ˆe ` un˘a ` m trong ε-lˆan cˆa . nbˆa ´ tk`yb´ebao nhiˆeu t`uy ´y cu ’ ad iˆe ’ m a. ii) Ta lu . u´yr˘a ` ng d˜ay sˆo ´ vˆo c`ung l´o . n khˆong hˆo . itu . v`a k´y hiˆe . u lim a n = ∞ (−∞)chı ’ c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a n l`a vˆo c`ung l´o . nv`ak´yhiˆe . ud ´o ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o . iha . n. 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o . id i . nh ngh˜ıa gi´o . i ha . n Dˆe ’ ch´u . ng minh lim a n = a b˘a ` ng c´ach su . ’ du . ng d i . nh ngh˜ıa, ta cˆa ` ntiˆe ´ n h`anh theo c´ac bu . ´o . csaud ˆay: i) Lˆa . pbiˆe ’ uth´u . c |a n − a| ii) Cho . n d˜ay b n (nˆe ´ udiˆe ` ud´o c ´o l o . . i) sao cho |a n − a|  b n ∀ n v`a v´o . i ε d u ’ b´e bˆa ´ tk`ybˆa ´ tphu . o . ng tr`ınh d ˆo ´ iv´o . i n: b n <ε (7.5) c´o thˆe ’ gia ’ imˆo . t c´ach dˆe ˜ d`ang. Gia ’ su . ’ (7.5) c´o nghiˆe . ml`an>f(ε), f(ε) > 0. Khi d ´o ta c´o thˆe ’ lˆa ´ y n l`a [f(ε)], trong d´o[f(ε)] l`a phˆa ` n nguyˆen cu ’ a f(ε). C ´ AC V ´ IDU . V´ı d u . 1. Gia ’ su . ’ a n = n (−1) n .Ch´u . ng minh r˘a ` ng: i) D˜ay a n khˆong bi . ch˘a . n. ii) D˜ay a n khˆong pha ’ il`avˆoc`ung l´o . n. Gia ’ i. i) Ta ch´u . ng minh r˘a ` ng a n tho ’ a m˜an di . nh ngh˜ıa d˜ay khˆong bi . ch˘a . n. Thˆa . tvˆa . y, ∀ M>0sˆo ´ ha . ng v´o . isˆo ´ hiˆe . u n = 2([M]+1) b˘a ` ng n v`a l´o . nho . n M.D iˆe ` ud´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a n khˆong bi . ch˘a . n. 6Chu . o . ng 7. Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ ii) Ta ch´u . ng minh r˘a ` ng a n khˆong pha ’ i l`a vˆo c`ung l´o . n. Thˆa . tvˆa . y, ta x´et khoa ’ ng (−2, 2). Hiˆe ’ n nhiˆen mo . isˆo ´ ha . ng cu ’ a d˜ay v´o . isˆo ´ hiˆe . ule ’ d ˆe ` u thuˆo . c khoa ’ ng (−2, 2) v`ı khi n le ’ th`ı ta c´o: n (−1) n = n −1 =1/n ∈ (−2, 2). Nhu . vˆa . y trong kho ’ ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo ´ sˆo ´ ha . ng cu ’ a d˜ay. T`u . d ´o, theo d i . nh ngh˜ıa suy ra a n khˆong pha ’ i l`a vˆo c`ung l´o . n.  V´ı d u . 2. D`ung d i . nh ngh˜ıa gi´o . iha . n d˜ay sˆo ´ d ˆe ’ ch´u . ng minh r˘a ` ng: 1) lim n→∞ (−1) n−1 n =0. 2) lim n→∞ n n +1 =1. Gia ’ i. D ˆe ’ ch´u . ng minh d˜ay a n c´o gi´o . iha . nl`aa, ta cˆa ` nch´u . ng minh r˘a ` ng d ˆo ´ iv´o . imˆo ˜ isˆo ´ ε>0 cho tru . ´o . cc´othˆe ’ t`ım d u . o . . csˆo ´ N (N phu . thuˆo . c ε) sao cho khi n>N th`ı suy ra |a n − a| <ε. Thˆong thu . `o . ng ta c´o thˆe ’ chı ’ ra cˆong th´u . ctu . `o . ng minh biˆe ’ udiˆe ˜ n N qua ε. 1) Ta c´o: |a n − 0| =    (−1) n−1 n    = 1 n · Gia ’ su . ’ ε l`a sˆo ´ du . o . ng cho tru . ´o . ct`uy ´y. Khi d ´o: 1 n <ε⇔ n> 1 ε · V`ıthˆe ´ ta c´o thˆe ’ lˆa ´ y N l`a sˆo ´ tu . . nhiˆen n`ao d ´o tho ’ am˜andiˆe ` ukiˆe . n: N> 1 ε ⇒ 1 N <ε. (Ch˘a ’ ng ha . n, ta c´o thˆe ’ lˆa ´ y N =[1/ε], trong d ´o[1/ε] l`a phˆa ` n nguyˆen cu ’ a1/ε). Khi d ´o ∀ n  N th`ı: |a n − 0| = 1 n  1 N <ε. 7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 7 Diˆe ` ud´o c´o ngh˜ıa l`a lim n→∞ (−1) n n =0. 2) Ta lˆa ´ ysˆo ´ ε>0bˆa ´ tk`yv`at`ımsˆo ´ tu . . nhiˆen N(ε) sao cho ∀ n> N(ε) th`ı:    n n +1 − 1    <ε. Bˆa ´ td ˘a ’ ng th´u . c |a n − 1| <ε⇔ 1 n +1 <ε⇔ 1 ε − 1. Do d ´o ta c´o thˆe ’ lˆa ´ ysˆo ´ N(ε) l`a phˆa ` n nguyˆen cu ’ a 1 ε − 1, t´u . c l`a: N(ε)=E((1/ε) − 1). Khi d ´ov´o . imo . i n  N ta c´o:    n n +1 − 1    = 1 n +1  1 N +1 <ε⇒ lim n→∞ n n +1 =1.  V´ı d u . 3. Ch´u . ng minh r˘a ` ng c´ac d˜ay sau d ˆay phˆan k`y: 1) a n = n, n ∈ N (7.6) 2) a n =(−1) n ,n∈ N (7.7) 3) a n =(−1) n + 1 n · (7.8) Gia ’ i. 1) Gia ’ su . ’ d˜ay (7.6) hˆo . itu . v`a c´o gi´o . iha . nl`aa.Talˆa ´ y ε =1. Khi d ´o theo di . nh ngh˜ıa gi´o . iha . ntˆo ` nta . isˆo ´ hiˆe . u N sao cho ∀ n>Nth`ı ta c´o |a n − a| < 1 ngh˜ıa l`a |n− a| < 1 ∀ n>N.T`u . d ´o −1 <n− a<1 ∀ n>N⇔ a − 1 <n<a+1∀ n>N. Nhu . ng bˆa ´ td ˘a ’ ng th´u . c n<a+1,∀ n>N l`a vˆo l´y v`ı tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen khˆong bi . ch˘a . n. 2) C´ach 1. Gia ’ su . ’ d˜ay a n hˆo . itu . v`a c´o gi´o . iha . nl`aa.Talˆa ´ y lˆan cˆa . n  a− 1 2 ,a+ 1 2  cu ’ ad iˆe ’ m a.Taviˆe ´ t d˜ay d˜a cho du . ´o . ida . ng: {a n } = −1, 1,−1, 1, (7.9) 8Chu . o . ng 7. Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ V`ıdˆo . d`ai cu ’ a khoa ’ ng  a − 1 2 ,a+ 1 2  l`a b˘a ` ng 1 nˆen hai d iˆe ’ m −1 v`a +1 khˆong thˆe ’ d ˆo ` ng th`o . i thuˆo . c lˆan cˆa . n  a− 1 2 ,a+ 1 2  cu ’ ad iˆe ’ m a, v`ı khoa ’ ng c´ach gi˜u . a −1v`a+1b˘a ` ng 2. D iˆe ` ud´o c´o ngh˜ıa l`a o . ’ ngo`ai lˆan cˆa . n  a − 1 2 ,a+ 1 2  c´o vˆo sˆo ´ sˆo ´ ha . ng cu ’ ad˜ayv`av`ıthˆe ´ (xem ch´u ´yo . ’ trˆen) sˆo ´ a khˆong thˆe ’ l`a gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay. C´ach 2. Gia ’ su . ’ a n → a. Khi d´o ∀ ε>0 (lˆa ´ y ε = 1 2 ) ta c´o |a n − a| < 1 2 ∀ n  N. V`ı a n = ±1nˆen |1 − a| < 1 2 , |−1 − a| < 1 2 ⇒2=|(1 − a)+(1+a)|  |1 − a| + |a +1|  1 2 + 1 2 =1 ⇒2 < 1, vˆo l´y. 3) Lu . u´yr˘a ` ng v´o . i n =2m ⇒ a 2m =1+ 1 2m .Sˆo ´ ha . ng kˆe ` v´o . in´o c´o sˆo ´ hiˆe . ule ’ 2m +1(hay2m− 1) v`a a 2m+1 = −1+ 1 2m +1 < 0 (hay a 2m−1 = −1+ 1 2m − 1  0). T`u . d ´o suy r˘a ` ng |a n − a n−1 | > 1. Nˆe ´ usˆo ´ a n`ao d ´o l`a gi´o . iha . ncu ’ ad˜ay(a n ) th`ı b˘a ´ tdˆa ` ut`u . sˆo ´ hiˆe . u n`ao d ´o ( a n ) tho ’ a m˜an bˆa ´ td˘a ’ ng th´u . c |a n − a| < 1 2 . Khi d ´o |a n − a n+1 |  |a n − a| + |a n+1 − a| < 1 2 + 1 2 =1. Nhu . ng hiˆe . ugi˜u . a hai sˆo ´ ha . ng kˆe ` nhau bˆa ´ tk`ycu ’ ad˜ayd ˜a cho luˆon luˆon l´o . nho . n1. D iˆe ` u mˆau thuˆa ˜ n n`ay ch´u . ng to ’ r˘a ` ng khˆong mˆo . tsˆo ´ thu . . c n`ao c´o thˆe ’ l`a gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay d ˜a cho.  7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 9 B ` AI T ˆ A . P H˜ay su . ’ du . ng d i . nh ngh˜ıa gi´o . iha . nd ˆe ’ ch´u . ng minh r˘a ` ng 1. lim n→∞ a n =1nˆe ´ u a n = 2n − 1 2n +2 2. lim n→∞ a n = 3 5 nˆe ´ u a n = 3n 2 +1 5n 2 − 1 B˘a ´ td ˆa ` ut`u . sˆo ´ hiˆe . u N n`ao th`ı: |a n − 3/5| < 0, 01 (DS. N =5) 3. lim n→∞ a n =1nˆe ´ u a n = 3 n +1 3 n . 4. lim n→∞ cos n n =0. 5. lim n→∞ 2 n +5· 6 n 3 n +6 n =5. 6. lim n→∞ 3 √ n 2 sin n 2 n +1 =0. 7. Ch´u . ng minh r˘a ` ng sˆo ´ a = 0 khˆong pha ’ i l`a gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay a n = n 2 − 2 2n 2 − 9 . 8. Ch´u . ng minh r˘a ` ng lim n→∞ n 2 +2n +1+sinn n 2 + n +1 =1. 9. Ch´u . ng minh r˘a ` ng d˜ay: a n =(−1) n +1/n phˆan k`y. 10. Ch´u . ng minh r˘a ` ng d˜ay; a n = sin n 0 phˆan k`y. 11. T`ım gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; .,0, 22 .2    n , . Chı ’ dˆa ˜ n. Biˆe ’ udiˆe ˜ n a n du . ´o . ida . ng a n =0, 22 .2= 2 10 + 2 10 2 + ···+ 2 10 n (DS. lim a n =2/9) 10 Chu . o . ng 7. Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ 12. T`ım gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ : 0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; .,0, 233 .3    n , . Chı ’ dˆa ˜ n. Biˆe ’ udiˆe ˜ n a n du . ´o . ida . ng a n = 2 10 +  3 10 2 + 3 10 3 + ···+ 3 10 n  (D S. 7/30) 13. Ch´u . ng minh r˘a ` ng nˆe ´ u d˜ay a n hˆo . itu . dˆe ´ n a, c`on d˜ay b n dˆa ` ndˆe ´ n ∞ th`ı d˜ay a n /b n dˆa ` ndˆe ´ n0. 14. Ch´u . ng minh r˘a ` ng i) lim n→∞ n 2 n =0. ii) lim n→∞ n a n =0 (a>1). Chı ’ dˆa ˜ n. i) Su . ’ du . ng hˆe . th´u . c: 2 n = (1 + 1) n =1+n + n(n − 1) 2 + ···+1>n+ n(n − 1) 2 > n 2 2 · v`a u . ´o . clu . o . . ng |a n − 0|. ii) Tu . o . ng tu . . nhu . i). Su . ’ du . ng hˆe . th´u . c: a n =[1+(a − 1)] n > n(n − 1) 2 (a − 1). 15. Ch´u . ng minh r˘a ` ng lim a n =2nˆe ´ u a n =1+ 1 2 + ···+ 1 2 n Chı ’ dˆa ˜ n. ´ Ap du . ng cˆong th´u . c t´ınh tˆo ’ ng cˆa ´ psˆo ´ nhˆan d ˆe ’ t´ınh a n rˆo ` i u . ´o . clu . o . . ng |a n − 2|. 16. Biˆe ´ tr˘a ` ng d˜ay a n c´o gi´o . iha . n, c`on d˜ay b n khˆong c´o gi´o . iha . n. C´o thˆe ’ n´oi g`ıvˆe ` gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay: i) {a n + b n }. ii) {a n b n }. (D S. i) lim{a n + b n } khˆong tˆo ` nta . i. H˜ay ch´u . ng minh. 7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 11 ii) C´o thˆe ’ g˘a . pca ’ hai tru . `o . ng ho . . p c´o gi´o . iha . n v`a khˆong c´o gi´o . iha . n, v´ıdu . : a n = n − 1 n ,b n =(−1) n ; a n = 1 n ,b n =(−1) n . 7.1.2 Ch´u . ng minh su . . hˆo . itu . cu ’ a d˜ay sˆo ´ du . . a trˆen c´ac d i . nh l´yvˆe ` gi´o . iha . n Dˆe ’ t´ınh gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ , ngu . `o . i ta thu . `o . ng su . ’ du . ng c´ac d i . nh l´y v`a kh´ai niˆe . m sau d ˆay: Gia ’ su . ’ lim a n = a, lim b n = b. i) lim(a n ± b n )=lima n ± lim b n = a ± b. ii) lim a n b n = lim a n · lim b n = a · b. iii) Nˆe ´ u b = 0 th`ı b˘a ´ td ˆa ` ut`u . mˆo . tsˆo ´ hiˆe . u n`ao d ´o d˜ay a n /b n x´ac d i . nh (ngh˜ıa l`a ∃ N : ∀ n  N ⇒ b n = 0) v`a: lim a n b n = lim a n lim b n = a b · iv) Nˆe ´ u lim a n = a, lim b n = a v`a b˘a ´ tdˆa ` ut`u . mˆo . tsˆo ´ hiˆe . u n`ao d ´o a n  z n  b n th`ı lim z n = a (Nguyˆen l´ybi . ch˘a . n hai phi´a). v) T´ıch cu ’ a d˜ay vˆo c`ung b´e v´o . i d˜ay bi . ch˘a . n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e. vi) Nˆe ´ u(a n ) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o . nv`aa n = 0 th`ı d˜ay  1 a n  l`a d˜ay vˆo c`ung b´e; ngu . o . . cla . i, nˆe ´ u α n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e v`a α n =0th`ıd˜ay  1 α n  l`a vˆo c`ung l´o . n. Nhˆa . nx´et. D ˆe ’ ´ap du . ng d´ung d˘a ´ nc´acdi . nh l´y trˆen ta cˆa ` nlu . u´ymˆo . t sˆo ´ nhˆa . n x´et sau d ˆay: i) D i . nh l´y (iii) vˆe ` gi´o . iha . ncu ’ athu . o . ng s˜e khˆong ´ap du . ng d u . o . . cnˆe ´ u tu . ’ sˆo ´ v`a mˆa ˜ usˆo ´ khˆong c´o gi´o . iha . nh˜u . uha . n ho˘a . cmˆa ˜ usˆo ´ c´o gi´o . iha . n b˘a ` ng 0. Trong nh˜u . ng tru . `o . ng ho . . pd ´o nˆen biˆe ´ ndˆo ’ iso . bˆo . d˜ay thu . o . ng, ch˘a ’ ng ha . nb˘a ` ng c´ach chia ho˘a . c nhˆan tu . ’ sˆo ´ v`a mˆa ˜ usˆo ´ v´o . ic`ung mˆo . t biˆe ’ uth´u . c. 12 Chu . o . ng 7. Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ ii) Dˆo ´ iv´o . id i . nh l´y (i) v`a (ii) c˜ung cˆa ` n pha ’ i thˆa . n tro . ng khi ´ap du . ng. Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay ta cˆa ` n pha ’ ibiˆe ´ nd ˆo ’ i c´ac biˆe ’ uth´u . c a n ± b n v`a a n · b n tru . ´o . c khi t´ınh gi´o . iha . n (xem v´ıdu . 1, iii). iii) Nˆe ´ u a n = a ≡ const ∀ n th`ı lim n→∞ a n = a. C ´ AC V ´ IDU . V´ı d u . 1. T`ım lim a n nˆe ´ u: 1) a n =(1+7 n+2 )/(3 − 7 n ) 2) a n =(2+4+6+···+2n)/[1+3+5+···+(2n + 1)] 3) a n = n 3 /(1 2 +2 2 + ···+ n 2 ) Gia ’ i. D ˆe ’ gia ’ i c´ac b`ai to´an n`ay ta d`ung l´y thuyˆe ´ tcˆa ´ psˆo ´ 1) Nhˆan tu . ’ sˆo ´ v`a mˆa ˜ usˆo ´ phˆan th´u . cv´o . i7 −n ta c´o: a n = 1+7 n+2 3 − 7 n = 7 −n +7 2 3 · 7 −n − 1 Do d ´o lim a n = lim 7 −n +7 2 3 · 7 −n − 1 = −49 v`ı lim 7 −n =0,n→∞. 2) Tu . ’ sˆo ´ v`a mˆa ˜ usˆo ´ d ˆe ` u l`a cˆa ´ psˆo ´ cˆo . ng nˆen ta c´o: 2+4+6+···+2n = 2+2n 2 · n; 1+3+5+···+(2n +1)= 1+(2n +2) 2 (n +1). Do d ´o a n = n n +1 ⇒ lim a n =1. 3) Nhu . ta biˆe ´ t: 1 2 +2 2 + ···+ n 2 = n(n + 1)(2n +1) 6